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河北省部分重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.臺(tái)球是一項(xiàng)國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運(yùn)動(dòng),也叫桌球(中國粵港澳地區(qū)的叫法)、撞球(中國地區(qū)的叫法)控制撞球點(diǎn)、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項(xiàng)重要技術(shù),一次臺(tái)球技術(shù)表演節(jié)目中,在臺(tái)球桌上,畫出如圖正方形ABCD,在點(diǎn)E,F(xiàn)處各放一個(gè)目標(biāo)球,表演者先將母球放在點(diǎn)A處,通過擊打母球,使其依次撞擊點(diǎn)E,F(xiàn)處的目標(biāo)球,最后停在點(diǎn)C處,若AE=50cm.EF=40cm.FC=30cm,∠AEF=∠CFE=60°,則該正方形的邊長(zhǎng)為()A.50cm B.40cm C.50cm D.20cm2.已知(為虛數(shù)單位,為的共軛復(fù)數(shù)),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在().A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進(jìn)一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費(fèi)使用效益的意見》中提出,要優(yōu)先落實(shí)教育投入.某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了年至年國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù),并將其繪制成下表,由下表可知下列敘述錯(cuò)誤的是()A.隨著文化教育重視程度的不斷提高,國在財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出持續(xù)增長(zhǎng)B.年以來,國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出占比例持續(xù)年保持在以上C.從年至年,中國的總值最少增加萬億D.從年到年,國家財(cái)政性教育經(jīng)費(fèi)的支出增長(zhǎng)最多的年份是年4.已知函數(shù),存在實(shí)數(shù),使得,則的最大值為()A. B. C. D.5.設(shè)、,數(shù)列滿足,,,則()A.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立B.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立C.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立D.對(duì)于任意,都存在實(shí)數(shù),使得恒成立6.已知實(shí)數(shù)、滿足不等式組,則的最大值為()A. B. C. D.7.已知,則的值等于()A. B. C. D.8.雙曲線:(,)的一個(gè)焦點(diǎn)為(),且雙曲線的兩條漸近線與圓:均相切,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.9.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},則下列結(jié)論正確的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B10.拋物線的準(zhǔn)線方程是,則實(shí)數(shù)()A. B. C. D.11.已知數(shù)列an滿足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.1912.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),,則A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,則滿足的正整數(shù)的值為______.14.已知為等比數(shù)列,是它的前項(xiàng)和.若,且與的等差中項(xiàng)為,則__________.15.已知向量=(1,2),=(-3,1),則=______.16.若,則的最小值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,且.(1)求角的大小;(2)若,的面積為,求及的值.18.(12分)已知矩陣,二階矩陣滿足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.19.(12分)已知橢圓,左、右焦點(diǎn)為,點(diǎn)為上任意一點(diǎn),若的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)動(dòng)直線過點(diǎn)與交于兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使成立,說明理由.20.(12分)已知橢圓:的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,點(diǎn)(為橢圓的離心率)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖,為直線上任一點(diǎn),過點(diǎn)橢圓上點(diǎn)處的切線為,,切點(diǎn)分別,,直線與直線,分別交于,兩點(diǎn),點(diǎn),的縱坐標(biāo)分別為,,求的值.21.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為,且滿足.(Ⅰ)求角的大??;(Ⅱ)若的面積為,,求和的值.22.(10分)已知,均為給定的大于1的自然數(shù),設(shè)集合,.(Ⅰ)當(dāng),時(shí),用列舉法表示集合;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,且集合滿足下列條件:①對(duì)任意,;②.證明:(?。┤簦瑒t(集合為集合在集合中的補(bǔ)集);(ⅱ)為一個(gè)定值(不必求出此定值);(Ⅲ)設(shè),,,其中,,若,則.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
過點(diǎn)做正方形邊的垂線,如圖,設(shè),利用直線三角形中的邊角關(guān)系,將用表示出來,根據(jù),列方程求出,進(jìn)而可得正方形的邊長(zhǎng).【詳解】過點(diǎn)做正方形邊的垂線,如圖,設(shè),則,,則,因?yàn)?,則,整理化簡(jiǎn)得,又,得,.即該正方形的邊長(zhǎng)為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系,關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形,是中檔題.2、D【解析】
設(shè),由,得,利用復(fù)數(shù)相等建立方程組即可.【詳解】設(shè),則,所以,解得,故,復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,涉及到共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模等知識(shí),考查學(xué)生的基本計(jì)算能力,是一道容易題.3、C【解析】
觀察圖表,判斷四個(gè)選項(xiàng)是否正確.【詳解】由表易知、、項(xiàng)均正確,年中國為萬億元,年中國為萬億元,則從年至年,中國的總值大約增加萬億,故C項(xiàng)錯(cuò)誤.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表,正確認(rèn)識(shí)圖表是解題基礎(chǔ).4、A【解析】
畫出分段函數(shù)圖像,可得,由于,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,分析最值,即得解.【詳解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.5、D【解析】
取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況,進(jìn)而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數(shù)列恒單調(diào)遞增,且不存在最大值,故排除AB選項(xiàng);由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn),且,,因?yàn)楫?dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞增,則;當(dāng)時(shí),數(shù)列單調(diào)遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡(jiǎn)得且.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用,考查邏輯推理能力,屬于難題.6、A【解析】
畫出不等式組所表示的平面區(qū)域,結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,代入即可求解,得到答案.【詳解】畫出不等式組所表示平面區(qū)域,如圖所示,由目標(biāo)函數(shù),化為直線,當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí),此時(shí)直線在y軸上的截距最大,目標(biāo)函數(shù)取得最大值,又由,解得,所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求”,確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】
由余弦公式的二倍角可得,,再由誘導(dǎo)公式有,所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對(duì)二倍角公式的應(yīng)用,要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式,屬于簡(jiǎn)單題8、A【解析】
根據(jù)題意得到,化簡(jiǎn)得到,得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:焦點(diǎn)到漸近線的距離為,故,故漸近線為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,雙曲線的漸近線,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.9、C【解析】試題分析:集合考點(diǎn):集合間的關(guān)系10、C【解析】
根據(jù)準(zhǔn)線的方程寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再對(duì)照系數(shù)求解即可.【詳解】因?yàn)闇?zhǔn)線方程為,所以拋物線方程為,所以,即.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與準(zhǔn)線的方程.屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【詳解】解:an即a1=an?6時(shí),a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時(shí),要使得a1則ak+1則k=17,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法,注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系,從而可簡(jiǎn)化與數(shù)列相關(guān)的方程,本題屬于難題.12、B【解析】
由可得,所以,故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、6【解析】
已知,利用,求出通項(xiàng),然后即可求解【詳解】∵,∴當(dāng)時(shí),,∴;當(dāng)時(shí),,∴,故數(shù)列是首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列,∴.又,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查通項(xiàng)求解問題,屬于基礎(chǔ)題14、【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意求出和的值,進(jìn)而可求得和的值,利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,,由于與的等差中項(xiàng)為,則,則,,,,,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和,解答的關(guān)鍵就是等比數(shù)列的公比,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15、-6【解析】
由可求,然后根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求.【詳解】∵=(1,2),=(-3,1),∴=(-4,-1),則=1×(-4)+2×(-1)=-6故答案為-6【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)試題.16、【解析】
由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等號(hào)取得的條件?!驹斀狻坑深}意,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)時(shí),取得最小值.【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值必須具備三個(gè)條件:①各項(xiàng)都是正數(shù);②和(或積)為定值;③等號(hào)取得的條件。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2);【解析】
(1)由代入中計(jì)算即可;(2)由余弦定理可得,所以,由,變形即可得到答案.【詳解】(1)因?yàn)?,可得:,∴,或(舍),∵,?(2)由余弦定理,得所以,故,又,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道容易題.18、(1)(2)特征值為或.【解析】
(1)先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運(yùn)算規(guī)律,即可求出矩陣.(2)令矩陣的特征多項(xiàng)式等于,即可求出矩陣的特征值.【詳解】解:(1)設(shè)矩陣由題意,因?yàn)?所以,即所以,(2)矩陣的特征多項(xiàng)式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或.【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學(xué)生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.19、(1)(2)存在;詳見解析【解析】
(1)由橢圓的性質(zhì)得,解得后可得,從而得橢圓方程;(2)設(shè),當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)為,代入橢圓方程,整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得,代入=0由恒成立問題可求得.驗(yàn)證斜率不存在時(shí)也適合即得.【詳解】解:(1)由題易知解得,所以橢圓方程為(2)設(shè)當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)為與橢圓方程聯(lián)立得,顯然所以因?yàn)榛?jiǎn)解得即所以此時(shí)存在定點(diǎn)滿足題意當(dāng)直線斜率不存在時(shí),顯然也滿足綜上所述,存在定點(diǎn),使成立【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓相交問題中的定點(diǎn)問題,解題方法是設(shè)而不求的思想方法.設(shè)而不求思想方法是直線與圓錐曲線相交問題中常用方法,只要涉及交點(diǎn)坐標(biāo),一般就用此法.20、(1);(2).【解析】
(1)因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,然后,利用,,得出,進(jìn)而求解即可(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,直線的方程為,分別聯(lián)立方程:和,利用韋達(dá)定理,再利用,,即可求出的值【詳解】(1)由橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為,得.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以.又因?yàn)?,,所以,所以(舍)?故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的方程為,直線的方程為.據(jù)得.據(jù)題意,得,得,同理,得,所以.又可求,得,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問題,聯(lián)立方程求定值的關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參,屬于中檔題21、(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】
(Ⅰ)運(yùn)用正弦定理和二角和的正弦公式,化簡(jiǎn),即可求出角的大小;(Ⅱ)通過面積公式和,可以求出,這樣用余弦定理可以求出,用余弦定理求出,根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系,可以求出,這樣可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【詳解】(Ⅰ)由正弦定理可知:,已知,所以,,所以有.(Ⅱ),由余弦定理可知:,,.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、面積公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系,考查了運(yùn)算能力.22、(Ⅰ);(Ⅱ)(?。┰斠娊馕觯áⅲ┰斠娊馕?(
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