一次函數(shù)壓軸題-2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題分類（解析版）

專題05一次函數(shù)壓軸題

一、單選題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,4,4,4,…在x軸正半軸上，點(diǎn)綜與氏…在直線)=4x(x20)上,

若4(1,0),且△/圈444與444旦4，…均為等邊三角形，則線段鳥(niǎo)。"與磔的長(zhǎng)度為()

A.22021V3B.22020V3C.22019V3D.22018V3

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意得出乙AnOBn=30。，從而推出AnBn=OAn，得到BjyBn+尸BnAn+1,算出B]A2=1,B2A3=2,

B3A4=4,找出規(guī)律得到BnAn+l=2n-l,從而計(jì)算結(jié)果.

【解析】

解：設(shè)△BnAI1An+i的邊長(zhǎng)為an,

???點(diǎn)Bi，B2,B3,…是直線y=Jx(x20)上的第一象限內(nèi)的點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)Ai作x軸的垂線，交直線＞=4x(x20)于C,

-?'Ai(1,0),令x=l,則產(chǎn)更,

?-?AiC=

3

tanZ40C==—

043

.,.Z.AnOBn=30°,

???"i與旗△小與4/應(yīng)用同，…均為等邊三角形,

Z.BnAnAn+1=60°,

o

??.zOBnAn=30,

.*.AnBn=OAn,

vZ.BnAn+1Bn+1=60°,

.*.zAn+iBnBn+i=90°9

.e.BnBn+i=V3BnAn+l，

???點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（1,0）,

.,.AIBI=A]A2=B]A2=l,AzB2=OA2=B2A3=2,A3B3=OA3=B3A4=4,…,

n-1

AnBn=OAn=BnAn+i=2，

???^2019-^2020=V3B2019A2020=百X22°18，

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解

決該題型題目時(shí)，根據(jù)等邊三角形邊的特征找出邊的變化規(guī)律是關(guān)鍵.

2.如圖，過(guò)點(diǎn)4(0,1)作y軸的垂線交直線/：y=[x于點(diǎn)4,過(guò)點(diǎn)4作直線/的垂線，交y軸于點(diǎn)4,過(guò)

點(diǎn)4作y軸的垂線交直線/于點(diǎn)4,…，這樣依次下去，得到M44，A444，M446,其面積分

別記為S-S],S3,…，則小。()

D.3A/3x2395

【答案】D

【分析】

本題需先求出OA1和OA2的長(zhǎng)，再根據(jù)題意得出OAn=2n,把縱坐標(biāo)代入解析式求得橫坐標(biāo)，然后根據(jù)三角

形相似的性質(zhì)即可求得S100.

【解析】

???點(diǎn)4的坐標(biāo)是（°，1），

.*.OAQ=1,

???點(diǎn)4在直線y=上,

OA{=2,4）4=百，

OA2—4,

OA3=8,

0A4=16,

得出=2",

198198

OA19S=2,498499=2.V3,

S]=；(4—1).A/3=,

44〃4OO499>

1'1^4)^1^200,^^198499^200，

...S=2396?工=3石*2395

2

故選D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了如何根據(jù)一次函數(shù)的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)求線段的長(zhǎng)度，以及如何根據(jù)線段的長(zhǎng)度求出點(diǎn)的

坐標(biāo)，解題時(shí)要注意相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用.

3.在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，已知直線N=/x+2/+2（?>0）與兩坐

標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域（不含邊界）中有且只有四個(gè)整點(diǎn)，則/的取值范圍是（）

11

A.—W/<2B.一

22

C.\<t<2D.且twl

【答案】D

【分析】

畫(huà)出函數(shù)圖象，利用圖象可得t的取值范圍.

【解析】

?：y=tx+2t+2,

2

???當(dāng)y=0時(shí),x=-2-—；當(dāng)x=0時(shí)，y=2t+2,

2

??.直線y=及+2，+2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2-70）,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2t+2）,

vt>0,

.,.2t+2>2,

當(dāng)t=；時(shí)，2t+2=3,此時(shí)-2-2=-6,由圖象知：直線y=/x+2f+2（/>0）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域

2t

（不含邊界）中有且只有四個(gè)整點(diǎn)，如圖1,

2一

當(dāng)t=2時(shí)，2t+2=6,此時(shí)-2—-=?3,由圖象知：直線》=b+2，+2（，〉0）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域

t

（不含邊界）中有且只有四個(gè)整點(diǎn)，如圖2,

2

當(dāng)t=l時(shí)，2t+2=4,-2-4=4,由圖象知：直線>=a+2%+2（/>0）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域（不

t

含邊界）中有且只有三個(gè)整點(diǎn)，如圖3,

/<2且/w1,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)t的值正確畫(huà)出圖象理解題意是解

題的關(guān)鍵.

4.如圖，直線y=-[X+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是以C(-1,0)為圓心，1為半徑的圓

上一點(diǎn)，連接PA,PB,則APAB面積的最小值是()

A.5B.10C.15D.20

【答案】A

【分析】

作CHL42于H交。。于E、F.當(dāng)點(diǎn)尸與E重合時(shí)，△P/2的面積最小，求出四、48的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題

【解析】

作于H交于E、F.連接2c.

■.■A（4,0）,B（0,3）,.?,04=4,02=3,AB=5.

■■■SAABC=；AB，CH*AC,OB,：.AB-CH=AC-OB,.,.5677=（4+1）x3,解得：CH=3,:.EH=3-1=2.

當(dāng)點(diǎn)尸與E重合時(shí)，AP/B的面積最小，最小值=；x5x2=5.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用直線與圓的位置關(guān)系解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題.

5.如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（9,6）,ABly軸，垂足為B,點(diǎn)P從原點(diǎn)0出發(fā)向x

軸正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P

與點(diǎn)Q的速度之比為1：2,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.線段PQ始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3）

B.線段PQ始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,2）

C.線段PQ始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2)

D.線段PQ不可能始終經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)

【答案】B

【分析】

當(dāng)0「日時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(9-236).設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b(k#0),利

用待定系數(shù)法求出PQ的解析式即可判斷；

【解析】

當(dāng)。「x時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,0),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(9-236).

設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b(原0),

將P(t,0)、Q(9-2t,6)代入y=kx+b,得，

r晨2

[(9-2t)k+b=6,解得：2t,

ib=---

、t—3

2t

???直線PQ的解析式為y2=*x+V.

??,x=3時(shí)，y=2,

???直線PQ始終經(jīng)過(guò)(3,2),

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬

于中考?？碱}型.

6.規(guī)定：/(x)=|x-3|,g(y)=|y+4],例如〃-4)=卜4一3|=7,g(-4)=|-4+4|=0,下列結(jié)論中，正確

的是()

①若〃x)+g(y)=O,貝|2x-3y=18；②若x<-4,貝ij/(x)g(x)=l-2x；③能使=g(x)成立的x的

值不存在；④式子/(x-l)+g(x+l)的最小值是9.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】

根據(jù)非負(fù)數(shù)和為。的性質(zhì)可判定①，由x<-4可以化簡(jiǎn)絕對(duì)值，進(jìn)而可判斷②；由兩數(shù)絕對(duì)值相等得出兩

數(shù)相等或互為相反數(shù)可判斷③；分三種情況討論化簡(jiǎn)絕對(duì)值，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可判斷④.

【解析】

解：①若/(x)+g(y)=O,即,_3|+僅+4|=0,解得：x=3,y=-4,則2-3>=18；故①正確；

②若x<-4,貝lJ/(x)g(x)=(-x+3)(-x-4)=/+x-12,故錯(cuò)誤；

③若/(x)=g(x)，M|x-3|=|x+4|,即x-3=x+4或x-3=-x-4,

解得：x=-0.5,所以能使/(x)=g(x)成立的x的值存在；故錯(cuò)誤；

④式子/(x-l)+g(x+l)=|x_4]+|x+5],當(dāng)xV—5時(shí)，—l)+g(x+l)=4—%—X—5=-2x—l,貝lj

/(x-l)+g(x+l)的值隨X的增大而減小，所以當(dāng)x=-5時(shí)有最小值9；當(dāng)-5<x<4時(shí)，

f(x—l)+g(x+l)=4—x+x+5=9；當(dāng)x24日寸，f(x—l)+g(x+l)=x—4+x+5=2尤+1,貝|

/(x-l)+g(x+l)的值隨X的增大而增大，所以當(dāng)x=4時(shí)有最小值9；綜上所述：/(x-l)+g(x+l)的最小

值是9,故正確；

???正確的有①④，共2個(gè)；

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)及絕對(duì)值，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)及絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵.

-2x+10|x?—j

7.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)48是函數(shù)>=，,圖象上的兩動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫

xx>—

[I3J

坐標(biāo)是加，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是加+1,將點(diǎn)A,點(diǎn)B之間的函數(shù)圖象記作圖型把圖型/沿直線/：V=-gx+3

進(jìn)行翻折，得到圖型Z,若圖型工與x軸有交點(diǎn)時(shí)，則加的取值范圍為（）

A.2<m<——B.2<m<—C.3<w<—D.—<m<3

7777

【答案】A

【分析】

先由N2關(guān)于/對(duì)稱直線和x軸相交得到x軸關(guān)于直線I對(duì)稱的直線也與AB相交，作x軸關(guān)于直線I對(duì)稱直

線//,即其在y=-gx+3中，然后再求出C、。點(diǎn)的坐標(biāo)，求出。。的長(zhǎng)，設(shè)//的解析式為>=左（x-6）,作

DElh，可得?！?3,然后運(yùn)用點(diǎn)與直線的距離求得左，最后再代入分段函數(shù)即可求得加的取值范圍.

【解析】

解：???48關(guān)于/對(duì)稱直線和x軸相交

???X軸關(guān)于直線1對(duì)稱的直線也與AB相交

作X軸關(guān)于直線/對(duì)稱直線/"即其在v=-；x+3中

當(dāng)y=0時(shí)，x=6,即C(6,0)

在/中，當(dāng)x=0時(shí)，產(chǎn)3,即OD=3

設(shè)//的解析式為〉=左(x-6),作DEI"

-x軸和直線I］關(guān)于直線/對(duì)稱

，OD=OE=3

???//：y=--x+S

由題意可知：—§x+8=-2x+lo[x,,§gx+8=x[x>g),解得x=3,x=~^~

???交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3和74m

??,交點(diǎn)在I上

24、2424

???3g加S〒或3g加+上?，即2”m?一.

777

故選4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用、軸對(duì)稱的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答

本題的關(guān)鍵.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=-：x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P(l,0)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

得到點(diǎn)。，連接則。0'的最小值為()

572675

D.

丁5

【答案】B

【分析】

利用等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形，求出旋轉(zhuǎn)后Q'的坐標(biāo)，然后根據(jù)勾股定理并利用二次函數(shù)的性質(zhì)即

可解決問(wèn)題.

【解析】

解：作QM"軸于點(diǎn)M,QNLx軸于N,

設(shè)Q（m，機(jī)+2）,貝i|PM="zT,QM=-1m+2,

■,■ZPMQ=ZPNQ,=ZQPQ,=9O°,

.-.ZQPM+ZNPQ,=ZPQ,N+ZNPQ,,

.-.ZQPM=ZPQ,N,

在△PQM和△QTN中，

'NPMQ=ZPNQ'=90。

<ZQPM=ZPQ'N,

PQ=Q'P

.??△PQM三△Q'PN(AAS),

?■.PN=QM=-1+2,QN=PM=w-1,

.?.ON=1+PN=3--7M,

2

.■.Q'(3-^m,1-m),

.?-0Q，2=(3-^m)2+(1-m)2=^m2-5m+10=：(m-2)2+5,

當(dāng)m=2時(shí)，OQ。有最小值為5,

??.OQ'的最小值為追，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的變

換-旋轉(zhuǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知/VIBC的三個(gè)頂點(diǎn)/(a,0)、B(b,0)、C(0,2a)(6>a>0),作A48C關(guān)于直線NC的對(duì)稱圖

形AABjC,若點(diǎn)8/恰好落在y軸上，則/的值為()

b

【答案】D

【分析】

由3S，0)、C(0,2a),可得品="/+/,△48C關(guān)于直線/C的對(duì)稱圖形A48/C,且點(diǎn)5恰好落在y

軸上，即可確定B的坐標(biāo)，進(jìn)而確定BBi的中點(diǎn)D的坐標(biāo)；A43c關(guān)于直線/C的對(duì)稱圖形A42/C,則段

BBi的中點(diǎn)D在直線AC上；再由/(a,0)、C(0,2a)確定直線AC的解析式，最后將D點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即

可.

【解析】

解：???8(6,0)、C(0,2a)

???BC=7V7F

■■-AABC關(guān)于直線AC的對(duì)稱圖形△//8/C,且點(diǎn)處恰好落在y軸上

??B的坐標(biāo)為。^4a2+b2-2a)

??.BBt的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(之業(yè)〃+，一2“)

22

???Z(Q,0)、C(0,2。)

?,?直線AC的解析式為：y=-2x+2a

■.■AABC關(guān)于直線AC的對(duì)稱圖形A42/C,

.?.段BB］的中點(diǎn)D在直線AC上

???"/+/一2=一2上+2a,即32。2+3/-24仍=0

22

?a八

+3=0且7>0

?.?比…?b

解得：T=l

bx

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對(duì)稱變換、勾股定理、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)、一次函數(shù)解析式等在知識(shí)點(diǎn)，考查知識(shí)點(diǎn)較多，靈

活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵.

10.如圖，已知正比例函數(shù)丁=丘（左>0）的圖象與X軸相交所成的銳角為70。，定點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0,4）,

尸為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N為函數(shù)y=b4>0）的圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則/M+MP+PN的最小值為（）

A.2B.4sin40°

C.2V3D.4sin20°（l+cos200+sin20°cos200）

【答案】C

【分析】

如圖所示直線OC、y軸關(guān)于直線對(duì)稱，直線直線y=Ax關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)?是點(diǎn)/關(guān)于直線y

=fcr的對(duì)稱點(diǎn)，作?￡1。。垂足為￡,交y軸于點(diǎn)P,交直線y=fcc于作尸N1直線>=船垂足為N,此

時(shí)/什尸"+尸￡=4￡1最?。ù咕€段最短），在RTAHE。中利用勾股定理即可解決.

【解析】

解：如圖所示，直線。C、/軸關(guān)于直線對(duì)稱，直線。。、直線了=履關(guān)于>軸對(duì)稱，點(diǎn)4是點(diǎn)”關(guān)于

直線的對(duì)稱點(diǎn).

作4E1。。垂足為￡,交y軸于點(diǎn)P,交直線y=fcc于M,作尸N1直線>=船垂足為N,

?:PN=PE,AM=A'M,

.■.AM+PM+PN^A'M+PM+PE^A'E最?。ù咕€段最短）,

在火TA^'E。中，???々'￡'0=90°,。/'=4,4'O￡=3UOM=60°,

.???！?/。4=2,A，E=d0A，2-OE。=2也.

-.AM+MP+PN的最小值為26.

故選：C.

本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、垂線段最短、直角三角形30度角的性質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱性質(zhì)正確找到等尸的位置，題目有點(diǎn)難度，是最短問(wèn)題中比較難的題目.

11.如圖，在直角坐標(biāo)系中，等腰直角aABO的O點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，A的坐標(biāo)是（-4,0）,直角頂點(diǎn)B在

第二象限，等腰直角ABCD的C點(diǎn)在y軸上移動(dòng)，我們發(fā)現(xiàn)直角頂點(diǎn)D點(diǎn)隨之在一條直線上移動(dòng)，這條直

線的解析式是（）

A.y=-2x+lB.y=-yx+2C.y=-3x-2D.y=-x+2

【答案】D

【分析】

抓住兩個(gè)特殊位置：當(dāng)2c與x軸平行時(shí)，求出。的坐標(biāo)；C與原點(diǎn)重合時(shí)，。在/軸上，求出此時(shí)。的

坐標(biāo)，設(shè)所求直線解析式為尸質(zhì)+6,將兩位置。坐標(biāo)代入得到關(guān)于后與6的方程組，求出方程組的解得到人

與6的值，即可確定出所求直線解析式.

【解析】

當(dāng)8c與x軸平行時(shí)，過(guò)8作BElx軸，過(guò)。作。Fix軸，交BC于點(diǎn)、G,如圖1所示.

???等腰直角AASO的。點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，/的坐標(biāo)是(-4,0),.-.AO=4,：.BC=BE=AE=EO=GF=^OA=2,

OF=DG=BG=CG=-BC=\,ZJDG+G尸=3,二。坐標(biāo)為(-1,3)；

2

當(dāng)C與原點(diǎn)。重合時(shí)，。在y軸上，此時(shí)?！?gt;=2￡=2,即。(0,2),設(shè)所求直線解析式為產(chǎn)履+6(原0),

f―k+6=3[k——1

將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：八；，解得：Jc.

[匕=2[b=2

則這條直線解析式為尸-x+2.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐

標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法是解答本題的關(guān)鍵.

12.如圖，已知點(diǎn)A(1,4),點(diǎn)B(3,5),在y軸上取一點(diǎn)C,連接AC,將線段AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90。到CD,連接AD,BD,則AD+BD的最小值是()

A.25/5B.36C.472D.5

【答案】D

【分析】

首先證明點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y=-x+3,作點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x+3的對(duì)稱點(diǎn)M(-1,2),連接BM

交直線y=-x+3于D，，連接AD,此時(shí)AD+BD的值最小，最小值為線段BM的長(zhǎng).

【解析】

解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作。尸，V軸于點(diǎn)F,設(shè)C(0,m),

由題意A(l,4),線段CD是由線段CA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到，

貝1|"EC=ACFD,

AE=CF=\,EC=FD=4-m,

OF=m-l,

???D(4-m,m-1),

設(shè)4-m=x,m-1=y,可得y=-x+3,

?,?點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y=-x+3,

作點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x+3的對(duì)稱點(diǎn)M(-1,2),連接BM交直線y=-x+3于D\連接AD,此時(shí)AD+BD

的值最小，最小值為線段BM的長(zhǎng)，

??B(3,5),M(-1,2),

??.BM=Jzp+32=5,

■?.AD+BD的最小值為5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是分析出動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求出線段和的最小

值.

二、填空題

13.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形CM8C的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)/,C分別在x軸，y軸上，B,。兩

點(diǎn)坐標(biāo)分別為8(-4,6),D(0,4),線段￡尸在邊O/上移動(dòng)，保持￡尸=3,當(dāng)四邊形ADEF的周長(zhǎng)最

小時(shí)，點(diǎn)￡的坐標(biāo)為.

【答案】(-040)

【分析】

先得出。點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為〃(0,-4),再通過(guò)轉(zhuǎn)化，將求四邊形8。跖的周長(zhǎng)的最小值轉(zhuǎn)化為

求尸G+3廠的最小值，再利用兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)斤、G、5三點(diǎn)共線時(shí)FG+2尸的值最小，用待定系數(shù)

法求出直線8G的解析式后，令y=0,即可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，最后得到點(diǎn)￡的坐標(biāo).

【解析】

解:如圖所示，???￡>(0,4),

.Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為“(0,-4),

：.ED=EH,

將點(diǎn)，向左平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)G(-3,-4),

：.EF=HG,EFWHG,

???四邊形EFGH是平行四邊形，

：.EH=FG,

：.FG=ED,

■：B(-4,6),

-BD=^(-4-0)2+(6-4)2=275，

又?:EF=3,

???四邊形BDEF的周^z=BD+DE+EF+BF=275+FG+3+BF,

要使四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小，則應(yīng)使FG+BF的值最小,

而當(dāng)尸、G、8三點(diǎn)共線時(shí)尸G+3P的值最小，

設(shè)直線BG的解析式為：夕=區(qū)+6(1*0)

■：B(-4,6),G(-3,-4),

J-4左+b=6

1-3左+6=-4'

[6=-34

y——1Ox—34,

當(dāng)尸0時(shí)，X--3A,

...F(-3.4,0),

.?.￡1(-0.4,0)

故答案為：（-04,0）.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、最短路徑問(wèn)題、平移的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)，

解決問(wèn)題的關(guān)鍵是‘轉(zhuǎn)化"，即將不同的線段之間通過(guò)轉(zhuǎn)化建立相等關(guān)系，將求四邊形的周長(zhǎng)的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為三點(diǎn)共線和最短的問(wèn)題等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的思想方法等.

14.如圖，一次函數(shù)y=2x與反比例數(shù)y=左＞0）的圖像交于/,8兩點(diǎn)，點(diǎn)M在以C（2,0）為圓心，半徑

3

為1的OC上，N是/加■的中點(diǎn)，已知ON長(zhǎng)的最大值為彳，則左的值是

2-----------

【答案】|3|2

【分析】

根據(jù)題意得出ON是A4BN的中位線，所以O(shè)N取到最大值時(shí)，也取到最大值，就轉(zhuǎn)化為研究5M也取到

最大值時(shí)左的值，根據(jù)用三點(diǎn)共線時(shí)，3M取得最大值，解出B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可求解.

【解析】

解：連接如下圖：

在A48N中，

???。,"分別是/8/屈的中點(diǎn)，

：.ON是AABM的中位線，

:.ON=-BM,

2

3

已知ON長(zhǎng)的最大值為：，

此時(shí)的3M=3,

顯然當(dāng)反C,M三點(diǎn)共線時(shí)，取到最大值：BM=3,

BM=BC+CM=BC+1=3,

BC=2,

設(shè)3（/2）,由兩點(diǎn)間的距離公式：BC=?t-2）?+4t2=2,

（-2）2+4〃=4,

4

解得：4=]＜2=0（取舍），

力孝），

55

k

將8（不4R*代入》=；（左＞0），

解得：人=|32|,

32

故答案是：

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、三角形的中位線、圓，研究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中線段最大值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵

是：根據(jù)中位線的性質(zhì)，利用轉(zhuǎn)化思想，研究期取最大值時(shí)上的值.

15.如圖，過(guò)直線/：＞=岳上的點(diǎn)4作交X軸于點(diǎn)與，過(guò)點(diǎn)用作用4Lx軸.交直線1于點(diǎn)4；

過(guò)點(diǎn)4作4為，/,交x軸于點(diǎn)與，過(guò)點(diǎn)當(dāng)作為軸，交直線1于點(diǎn)4；……按照此方法繼續(xù)作下去,

若。4=1,則線段44-的長(zhǎng)度為.（結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）

【答案】3x221

【分析】

根據(jù)題意由。旦=1,直線1關(guān)系式y(tǒng)=可以得出A2的坐標(biāo)，可判斷出Z_OA2BI=30。，Z.A2OBI=60°,根

據(jù)題意可得出NAiBQ=30。，可求出OAi的值，在RtZiOAzBi中，可以求出OA?的長(zhǎng)；再在Rt^OAzB2中,

利用30。角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可求出OB?的值，同理可求出OA3QB3……,然后再找規(guī)律，得出

OAn的值，用OAbOA?1，從而求得點(diǎn)AnAz的值.

【解析】

解：根據(jù)題意，結(jié)合y=V^x,得出A2(1,6)

???在RtAA2OB)中，根據(jù)勾股定理得OA2=2

.,.Z.OA2B|=30°,Z.A2OBI=60°

???A|B|1OAI

Z.AiB}O=30o,

又OBi=l

.?.OAi=y

由OA2=2,得OB2=4,

*'?OAg—8?OB3—16?

2n

按照此規(guī)律即可求出OAn=22nT,OAn_1=2^

11222n-52n-52n-5

.-.AnAn-i=22T—2"-S=2.2-2=3x2

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)圖象上線段長(zhǎng)度特征，勾股定理，含30。角的直角三角形的特性，在找規(guī)律時(shí)，不斷求出

OAiQA—.OAn的長(zhǎng)度即可找出規(guī)律，求出答案.

16.如圖，直線的解析式為＞=x+l與x軸交于點(diǎn)加，與丁軸交于點(diǎn)A,以04為邊作正方形48c

點(diǎn)3坐標(biāo)為(1,1).過(guò)點(diǎn)3作EQJLM4交跖1于點(diǎn)E,交X軸于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)作X軸的垂線交M4于點(diǎn)4以

。八|為邊作正方形。/百G，點(diǎn)用的坐標(biāo)為(5,3).過(guò)點(diǎn)為作交M4于丹,交x軸于點(diǎn)。2,過(guò)點(diǎn)Q

作x軸的垂線交M4于點(diǎn)4，以。2次為邊作正方形024層。2，L,則點(diǎn)名期的坐標(biāo).

【分析】

根據(jù)題意得出三角形AMO為等腰直角三角形，ZAMO=45°,分別求出個(gè)線段的長(zhǎng)度，表示出B1和B2的坐

標(biāo)，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，代入2020即可求解

【解析】

解：???4W的解析式為y=x+i,

(-1,0),A(0,1),

即AO=MO=1,ZAMO=45°,

由題意得：MO=OC=COi=l,

OiAi=MOi=3,

?.?四邊形是正方形，

.-.OICI=CIO2=MOI=3,

.-,OCI=2X3-1=5,BiCi=OiG=3,Bi(5,3),

.-.A2O2=3CIO2=9,B2c2=9,OO2=OC2-MO=9-1=8,

nnn

綜上，MCn=2x3,OCn=2x3-l,BnCn=AnOn=3,

2020

當(dāng)n=2020時(shí)，OC202O=2X32°2（M,B2O2OC2O2O=3,

點(diǎn)B（2X3202O_1,3202。）,

故答案為：（2x3.一

【點(diǎn)睛】

本題考查規(guī)律型問(wèn)題、等腰直角三角形的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中

考?？碱}型.

17.如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=r+4的圖像分別與》軸和x軸交于點(diǎn)點(diǎn)反定點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,6百），

點(diǎn)。是y軸上任意一點(diǎn),則^PQ+QB的最小值為.

【答案】56

【分析】

以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，y軸為一邊，在y軸右側(cè)作/。尸。=30。，與x軸交于點(diǎn)。，作點(diǎn)3關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)8,

過(guò)點(diǎn)夕作B'E,尸。，交y軸與點(diǎn)。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出8Z即為最小值，然后利用勾股定理和直

角三角形的性質(zhì)求出BE的長(zhǎng)即可.

【解析】

如圖，以點(diǎn)尸為頂點(diǎn)，?軸為一邊，在了軸右側(cè)作/。尸。=30。，與x軸交于點(diǎn)。，作點(diǎn)3關(guān)于7軸的對(duì)稱

點(diǎn)、B',過(guò)點(diǎn)"作交y軸與點(diǎn)Q,

B'E±PD,ZOPD=30°,

.■.QE=^PQ,

???此時(shí)8。=夕0,

則B'E即為3尸0+。2的最小值.

???ZOPD=30°,ZPOD=90°,

PD=2OD,ZODP=60°,

根據(jù)勾股定理可得or>2+(66)2=(2。。)2,

解得OD=6,

???直線y=-x+4的圖象分別與y軸和X軸交于點(diǎn)/,點(diǎn)、B,

令％=0,得產(chǎn)4；令產(chǎn)0,得x=4,

則點(diǎn)4(0,4),5(4,0),

/.OB=4,

.??08'=4,

87)=4+6=10,

B'E1PD,NOD尸=60。，

ZEB'D=30°,

.-.DE^-B'D=5,

2

???B'E=yjB'D--DE1=7102-52=573，

即gP0+08的最小值為5班.

故答案為：5出■

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理，最短路徑問(wèn)題，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，正確得出最短路徑是解題關(guān)鍵.

18.甲、乙兩輛冷鏈運(yùn)輸車從某公司疫苗存儲(chǔ)庫(kù)同時(shí)出發(fā)，各自將一批疫苗運(yùn)往省疾控中心疫苗倉(cāng)儲(chǔ)庫(kù)，

他們將疫苗運(yùn)到省疾控中心疫苗倉(cāng)儲(chǔ)庫(kù)后，省疾控中心將按規(guī)定流程對(duì)疫苗的質(zhì)量進(jìn)行檢查驗(yàn)收，檢查驗(yàn)

收及卸貨的時(shí)間共為30分鐘，然后甲、乙兩輛冷鏈運(yùn)輸車又各自按原路原速返回公司疫苗存儲(chǔ)庫(kù)，在整個(gè)

過(guò)程中，假設(shè)甲、乙兩輛冷鏈運(yùn)輸車均保持各自的速度勻速行駛，且甲車的速度比乙車的速度快.甲、乙

兩車相距的路程?。ㄇ祝┡c甲車離開(kāi)公司疫苗存儲(chǔ)庫(kù)的時(shí)間x（小時(shí)）之間的關(guān)系如圖所示，則在甲車返

回到公司疫苗存儲(chǔ)庫(kù)時(shí)，乙車距公司疫苗存儲(chǔ)庫(kù)的距離為千米.

【答案】36

【分析】

根據(jù)圖象求出甲、乙速度和公司疫苗存儲(chǔ)庫(kù)到省疾控中心疫苗倉(cāng)儲(chǔ)庫(kù)的距離，從而可得甲回到公司疫苗存

儲(chǔ)庫(kù)所用時(shí)間，求出這段時(shí)間乙行駛路程，即可得到答案.

【解析】

解：如圖:

由/（1.8,18）可知，甲1.8小時(shí)達(dá)到省疾控中心疫苗倉(cāng)儲(chǔ)庫(kù)，且1.8小時(shí)，甲、乙相距18千米，即甲比

乙多行駛18千米，

?理、乙速度差為：-/嚏=18+1.8=10（千米/時(shí)），

,??檢查驗(yàn)收及卸貨的時(shí)間共為30分鐘（0.5小時(shí)），

：.C（2.3,0）,

而xD=2.5,

???甲比乙早0.2小時(shí)返回，即甲比乙早0.2小時(shí)到省疾控中心疫苗倉(cāng)儲(chǔ)庫(kù)，

設(shè)甲速度為x千米/時(shí)，則乙速度是（x-10）千米/時(shí)，可得：

1.8x=（1.8+0.2）（x-10）,

解得尤=100,

.??甲速度為100千米/時(shí)，乙速度是90千米/時(shí)，公司疫苗存儲(chǔ)庫(kù)到省疾控中心疫苗倉(cāng)儲(chǔ)庫(kù)的距離是180千米,

???在整個(gè)過(guò)程中，甲、乙兩輛冷鏈運(yùn)輸車均保持各自的速度勻速行駛，

甲從第2.3小時(shí)返回，到公司疫苗存儲(chǔ)庫(kù)時(shí)間為2.3+1.8=4.1（小時(shí)），

乙從2.5小時(shí)開(kāi)始返回，到4.1小時(shí)所行路程為：（4.1-2.5）X90=144（千米），

此時(shí)到公司疫苗存儲(chǔ)庫(kù)距離是180-144=36（千米）,

???甲車返回到公司疫苗存儲(chǔ)庫(kù)時(shí)，乙車距公司疫苗存儲(chǔ)庫(kù)的距離是36千米.

故答案為：36.

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)圖象及應(yīng)用，讀懂圖象，特別是理解重要點(diǎn)的坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

[~x(x<0)一,

19.已知函數(shù)=+的圖象如圖所示，點(diǎn)么(西，")在第一象限內(nèi)的函數(shù)圖象上?

(1)若點(diǎn)8(X2，%)也在上述函數(shù)圖象上，滿足了2<玉.

①當(dāng)％=%=4時(shí)，求占,馬的值；

②若網(wǎng)=同，設(shè)卬="-%，求w的最小值；

(2)過(guò)/點(diǎn)作了軸的垂線/P,垂足為尸，點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P,過(guò)N點(diǎn)作x軸的線垂足為

Q,0關(guān)于直線/P'的對(duì)稱點(diǎn)為。'，直線N。'是否與y軸交于某定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)若不是,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)@X,=2,X2=-4;②一;；⑵直線/。'與了軸交于定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為

【分析】

（I）①先確定940，再根據(jù)%=X=4代入求解即可得；

②先確定赴<0,-工2=再，從而可得必=^,%=-工2,再代入可得一個(gè)關(guān)于花的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)

的性質(zhì)即可得；

（2）先分別求出點(diǎn)己尸',。的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線/P,。。的解析式，從而可得點(diǎn)。'的坐標(biāo),

然后利用待定系數(shù)法求出直線N0'的解析式，由此即可得出結(jié)論.

【解析】

解：⑴①對(duì)于二次函數(shù)

在x>0內(nèi)，了隨x的增大而增大，

?.,馬<xl,xl>0,y2=必=4,

?.x2<0,

則當(dāng)弘=4時(shí)，#=4,解得%=2或?yàn)?-2<0（舍去），

當(dāng)外=4時(shí)，一工2=4,解得x2=-4；

（2）---x2<xl,xl>0,|x2|=|x1|,

/.x2<0,-x2=xx,

2

「?必=再，歹2=一工2，

貝1叩=必_%=%；_（_%2）=%；一再，

化成頂點(diǎn)式為W=（項(xiàng)-;了-;,

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在玉>0內(nèi)，當(dāng)演=；時(shí)，w取最小值，最小值為一；；

（2）由題意，設(shè)與。O'交于點(diǎn)3,畫(huà)圖如下,

???/（X”M）在已知函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖象上，

yt=Xi,即

,.,4P_Ly軸，軸，點(diǎn)p關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為p,

...P（O,x：）,P（O,-x：）,Q（w，O）,

設(shè)直線/尸的解析式為y=klx+bl,

將點(diǎn)火謫）,尸'（o，T）代入得：[?再+",="，解得

也=-玉U

則直線的解析式為.y=2±X-x；,

???。關(guān)于直線/尸’的對(duì)稱點(diǎn)為。，

：.QQ'±AP',

???設(shè)直線。。'的解析式為＞=-;—x+4，

將點(diǎn)。區(qū),。）代入得：網(wǎng)+Z=0,解得d=：，

[X]2

,11

則直線°。的解析式為廣一攻'+，,

_玉（1+2x；）

y=2xx-xfx―4x：+l

xX］（l+2x；）

聯(lián)立11解得，即8

y=----x+—x.24x；+l

2萬(wàn)2廣干T

設(shè)點(diǎn)0'的坐標(biāo)為。（加,〃）,

_再（1+2%；）

m+xi

24x；+l

則-

〃+0_X：

24x；+l

設(shè)直線的解析式為y=&x+4，

勺再+b3=x；

x.2x；

—$k,+b=—T

、4x；+l3334x^+1

4玉

解得

4

則直線/。,的解析式為一富二;,

當(dāng)無(wú)=0時(shí)，y=->

即直線與了軸交于定點(diǎn)（0,：

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、軸對(duì)稱等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵.

3

20.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-77^,0）,點(diǎn)5在直線/：歹=三%上，過(guò)點(diǎn)5作的垂線，過(guò)原

8

點(diǎn)O作直線I的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C.

（1）如圖，點(diǎn)、B,C分別在第三、二象限內(nèi)，8c與/。相交于點(diǎn)D

①若BA=B0,求證：CD=CO.

②若NC3O=45。，求四邊形A80C的面積.

（2）是否存在點(diǎn)8,使得以4瓦。為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求08的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】（1）①見(jiàn)解析；@y;（2）存在，4+A4-V7,4,9,1

【分析】

（1）①等腰三角形等角對(duì)等邊，則/員4。=44。8,根據(jù)等角的余角相等和對(duì)頂角相等，得到

ACDO=ACOD,根據(jù)等角對(duì)等邊，即可證明CD=CO；

②添加輔助線，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)X,根據(jù)直線/的解析式和角的關(guān)系，分別求出線段/反BC、

OB、0c的長(zhǎng)，則S四邊.BOC=SJBC+S?CB。='"BxBC+'OBxOC；

（2）分多鐘情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，=時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，

N/C8=N8CO時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，ZACB=ZCBO^.

【解析】

解：（1）①證明：如圖1,

■：BA=BO,.-.Z1=Z2.

.-.BALBC,.??/2+/5=90。.

而N4=N5,

.??/2+/4=90。.

???OB1OC,Zl+Z3=90°.

.-.Z3=Z4,

CD=CO.

3

②如圖1,過(guò)點(diǎn)A作/于點(diǎn)"由題意可知tan/」？

8

4H3

在AHO中,tanZl=—=-.設(shè)/〃=3m,0H=8m.

OH8

2

AH2+OH2=OA2,，解得加=1.

AH=3,0H=8.

-ZCBO=45°,ZABC=90°,

ZABH=45°,

.??初=篇^，止得=3行

.?.0B=0H—BH=5.

vOB1OC,450=45。，

.?.CC=OBxtan45°=5,8C==5亞,

cos45°

;.S==ABxBC=15,

AABL22

1125

SCRO=-OBXOC=-X5X5=—：

△CB°222

=

???S四邊形2450cSA/BC+S^CBO=Z?

(2)過(guò)點(diǎn)/作于點(diǎn)H,則有4〃=3,OH=3.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在第二象限內(nèi)，/ZC5=/CB0時(shí)，設(shè)。5=￡

?：/ACB=/CBO,：,AC//OB.

又OCVOB,

.?.AH=OC=3.

vAH1OB,ABVBC,

.-.Zl+Z2=90°,Z2+Z3=90°,

??.N1=N3,

AH_HB

MAHBs八BOC,

~B0~~0C

32_/

??.y=—,整理得"_8+9=0,解得f=4土療.

???O8=4±J7.

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)C在第二象限內(nèi)，ZACB=ZBCOSi,延長(zhǎng)C。交于點(diǎn)G,

則會(huì)AGCB,：.AB=GB.

又,；AHLOB,OCYOB,

：.AAHB=ZGOB=90°,

而ZABH=ZGBO,

；.AABH知GBO,

：.OB=HB=LOH=4

2

③當(dāng)點(diǎn)。在第四象限內(nèi)，/ZC5=NCB。時(shí)，4C與。8相交于點(diǎn)心則有=

⑷如圖4,點(diǎn)5在第三象限內(nèi).

在放中，/1+/2=90。,//。5+/。/5=90。，.?./2=NC4B

：.AE=BE=CE,

又,,?AH1OBQC1OB,

,?"AHE=/COE=90。,

而ZAEH=ZCEO

???4AHEACOE,

：,HE=OE=-OH=^

2

???AE=y]AH2+HE2=5，

??.BE=5,

,?.OB=BE+OE=9

S）如圖5,點(diǎn)5在第一象限內(nèi).

在R於ABC中NZC5+ZCAB=90°,ZCBO+/ABE=90°

???/CAB=/ABE,??.AE=BE=CE.

又?:AHLOBQC1OB,

.-.ZAHE=ZCO