一般一元二次方程的解法及韋達(dá)定理（知識(shí)講解+綜合訓(xùn)練）（解析版）

章節(jié)復(fù)習(xí)知識(shí)精講與綜合訓(xùn)練

專題05一般一元二次方程的解法及韋達(dá)定理

4配方法|

4求根公式

知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)01一般一元二次方程的解法

1、將一元二次方程配成(X+加)2="的形式，再利用直接開(kāi)平方法求解，這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

配方法的步驟

①先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1:即方程左右兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；

②移項(xiàng)：把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把原方程化成(X+")2=〃的形

式；

④當(dāng)〃W0時(shí)，用直接開(kāi)平方的方法解變形后的方程.

_Z7±J/??_4QC

2、把％=...-..........(b2-4ac^0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的求

2a

根公式.用求根公式解一元二次方程的方法是公式法。

求根公式法的一般步驟

①把一元二次方程化成一般形式辦2+/?%+C=0(。，0)；

②確定Q、b、c的值；

③求出加-4〃。的值(或代數(shù)式)；

若尸一4死20,貝U把°、b、c及廿一4℃的值代入求根公式x=*如必竺，求

2a

出M、x2；若Z?2-4QC<0,則方程無(wú)解.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①aWO；②62-4*20.

【典例分析】

【例1】填空：

(1)X2--X+=(x-)2；

2-----------

(2)X2-+-=(%-)2；

-------25-----

(3)x2-—x+=(%-)2；

a

(4)4x2-+4=(2X_)2.

a

r型安11121b2b4bb

164554(r2aaa

【解析】通過(guò)公式/±2。6+/=(?！?)2進(jìn)行解答.

【總結(jié)】本題考查通過(guò)公式a2±2ab+b2=(a±b)2進(jìn)行配方.

【例2】如果/+辦+4是一個(gè)完全平方式，那么。的值可以是()

A.2B.-2C.2或-2D.都不對(duì)

【答案】D

【解析】通過(guò)公式。2±2.6+〃=(.±6)2進(jìn)行解答，根據(jù)完全平方有和的平方，差的平

方兩種，所以有兩種情況，并且中間一項(xiàng)是積的2倍.

【總結(jié)】本題考查通過(guò)公式1±2“6+62=("±方『進(jìn)行配方，要考慮兩種情形.

【例3】己知0,6,c是有理數(shù)，試證明關(guān)于x的方程：

x2-2ax+a2-b2-c2+2bc=0的根也是有理數(shù).

【答案】略.

【解析】由f-Zax+a。+26c=0,可得：(x-af--c)2=0,

所以X]=a+b-c,x2=a-b+c,由于a,b，c是有理數(shù)，

所以a+6—c、a-b+c也是有理數(shù)，所以即證.

【總結(jié)】本題考查一元二次方程的解法的應(yīng)用.

【例4】已知關(guān)于x的方程：x2-4(m-l)x+3m2-2m+4k=0,當(dāng)加取任意有理數(shù)

時(shí)，方程的根都是有理數(shù)，求才的值或者是左的取值范圍.

【答案】k=--.

4

2

【解析】解：a=l,b=-4(m-1),c=3m-2m+4kf

得△=b?-4ac=16（m-l）*2-4（^3m2一2加+4左）=4m2-24加+16-16左,

???當(dāng)加取任意有理數(shù)時(shí)，方程的根都是有理數(shù)，.?.〃一4這是完全平方式，

.-.16-16^=36,k=--.

4

【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，主要考查學(xué)生對(duì)方程的根是有理數(shù)的理解.

知識(shí)點(diǎn)02韋達(dá)定理

韋達(dá)定理如果再，馬是一元二次方程辦2-6x+c=0(aw0)的兩個(gè)根，由解方程中

的公式法得，%==+"j。,迎=一人而-4女

2a2a

那么可推得西+X,=-2,=￡這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

aa

【典例分析】

【例5】若方程/-(加+l)x+加=0有解，利用適當(dāng)?shù)姆椒ń膺@兩個(gè)根，分別是

;若這兩個(gè)根互為相反數(shù)則加的值是

;若兩個(gè)根互為倒數(shù)，則加的值是.

【答案】x[=m,x2=1；—1；1.

【解析】利用十字相乘法因式分解得到方程的兩根，后依據(jù)相反數(shù)和倒數(shù)的概念得出相

應(yīng)m

的值.

【總結(jié)】本題考查一元二次方程的解法.

【例6】如果再，%是方程212+3工一6=0的兩個(gè)根，那么石+%2=；

玉?%2=_______________■

【答案】-3；-3.

2

【解析】由韋達(dá)定理，可得：x1+x2=――9xxx2=—3.

【總結(jié)】本題考查韋達(dá)定理西+迎=-2,再/=￡的應(yīng)用.

aa

綜合訓(xùn)練

一、單選題

1.已知mb是方程Y+x—3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，貝|〃2一6+2022的值是()

A.2026B.2024C.2022D.2020

2.方程%2-9=0的解是()

A.X]=x?-3B.Xj—%2=-3C.X]=3,X]——3D.石=0,%2=9

3.用配方法解一元二次方程2——2x-1=0,下列配方正確的是

_3

-4

4.定義新運(yùn)算"※J對(duì)于實(shí)數(shù)加、n、p、q,有阿㈤※國(guó)/]=加〃+pq,其中等式右邊

是通常的加法和乘法運(yùn)算，例如：[2,刃※[4,5]=2x5+3x4=22.若關(guān)于x的方程

※設(shè)-2左用=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是()

A.k<—B.k>—C.kM—且上40D.k<—且上N0

4444

5.關(guān)于X的一元二次方程x?+p無(wú)+q=0有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方

程/+處+P=0也有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，則下列說(shuō)法正確的是()

A.〃是正數(shù)，q是負(fù)數(shù)B.5-2)2+(g-2)2V8

C.4是正數(shù)，p是負(fù)數(shù)D.(p-2)2+(q-2)2>8

6.用配方法解方程2x2-x-l=0時(shí).變形結(jié)果正確的是()

7.下列因式分解中，正確的是(

A.x2-2=(x+2)(x-2)B.x2-4x+4=(x-2)

C.x2+x=x(x+1)D.t2+t-16=(什4)(?-4)+t

8.用配方法解方程d+2尤-1=0時(shí),配方結(jié)果正確的是()

A.(x+2)2=2B.(x+1)2=2C.(x+2>=3D.(x+1)2=3

9.已知。、6是一元二次方程V+5x+3=0的兩個(gè)根，則“小|+6不|的值是（）

A.-2A/3B.-372C.3V2D.2A/3

10.用一根長(zhǎng)為20厘米的繩子，圍成一個(gè)面積為》平方厘米的長(zhǎng)方形，則了的值不可

能是（）

A.30B.20C.16D.10

二、填空題

11.在等腰“3C中，BC=4,AB、/C的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程X2_10X+"?=0的兩根,

則m的值是.

12.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：3X2-X-1=.

13.已知2，=a,3x=t,貝!124*=.（用含a,/的代數(shù)式表示）

14.已知a、/是方程/-x-l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式儲(chǔ)+a（"-2）的值為.

15.已知。、〃是方程尤2+xT=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式M+a?4+〃2+q2的值為

16.若二次三項(xiàng)式一+反+c在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可分解因式為（》-二8）（X+。8）,則該二次

44

三項(xiàng)式對(duì)應(yīng)一元二次方程b,c的值分別為.

17.若關(guān)于元的一元二次方程-獷+左=0的解是再=-2,x2=l,則關(guān)于x的一元

二次方程a（x-h+3）2+k=0的解是.

18.設(shè)不、xZ是方程2/+5x-7=0的兩個(gè)根，則的值為.

19.若關(guān)于x的一元二次方程辦2>0）的兩個(gè)根分別是羽-1和2〃?+4,貝1]2=

a

20.我們知道一元二次方程Y-2X-3=0的兩個(gè)根為西=3,x2=-l,那么在關(guān)于加

的方程〃/一2加2一3=0中，實(shí)數(shù)機(jī)的值是—.

三、解答題

21.（1）解方程：2（x—l）2=3（1-x）；

（2）用配方法解方程：3X2+6X-2=0.

22.求下列各式中的x

?0=母66-父8一尸(17)

C9￡

-=---------------(￡)

xxC—乙箕

.x￡-6=(￡-x)@(Z)

0=產(chǎn)1(1一久￡)(T),￡3

I8-=t(Z+^)￡(E)

0=6嘰([t)億)

0=91-產(chǎn)-⑴

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系可得出。2+即3,4+氏-1,將其代入即可

求出結(jié)論.

【詳解】解：mb是方程N(yùn)+x—3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

???。2+。=3,a+b=-l,

a2-8+2022

=/—（—〃—1）+2022

=a?+〃+1+2022

=3+1+2022

=2026

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值問(wèn)題，熟練掌握和運(yùn)

用一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】直接開(kāi)平方法求方程的根，對(duì)照選擇即可.

【詳解】解：因?yàn)?-9二0，

解得西=3,%=-3,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直接開(kāi)平方法求方程的根，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解方程的方式.

3.C

【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷.

【詳解】解：方程2/_2X；=0,

整理得：x2-x=j-,

配方得：x2-x+1==,即（X-；）2=，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】按新定義規(guī)定的運(yùn)算法則，將其化為關(guān)于x的一元二次方程，從二次項(xiàng)系數(shù)和判別

式兩個(gè)方面入手，即可解決.

【詳解】解：;[N+1,幻※[5-2左，月=0,

+1）+（5—2左）x=0.

整理得，丘2+(5-2k)x+后=0.

???方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

判別式ANO且片與0.

由A^O得，(5-2人)2-4左220,

解得，左V,

?■k的取值范圍是左4;且上N0.

4

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算、一元二次方程的根的判別等知識(shí)點(diǎn)，正確理解新定義的運(yùn)

算法則是解題的基礎(chǔ)，熟知一元二次方程的條件、根的不同情況與判別式符號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.此類題目容易忽略之處在于二次項(xiàng)系數(shù)不能為零的條件限制，要引起高度

重視.

5.D

【分析】設(shè)方程x2+px+q=0的兩根為X/、物方程/+qy+p=O的兩根為力、y2.根據(jù)方程

解的情況，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出x/?X2=q>0,乃?"=P>0，即可判斷A與C；②由

方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式得出加-4.0,q2-4p>0,利用不等式的性質(zhì)以及完全平

方公式得出(p-2)2+(q-2)2>8,即可判斷B與D.

【詳解】解：設(shè)方程N(yùn)+0x+q=O的兩根為X/、%方程/+處+0=0的兩根為刃、y2-

?.?關(guān)于x的一元二次方程/+?+4=0有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程jAqy+p

=0也有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，

；.Xi,X2=q>0,"叩2=。>°，

故選項(xiàng)A與C說(shuō)法均錯(cuò)誤，不符合題意；

???關(guān)于x的一元二次方程x2+*+q=0有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程/+0+0

=0也有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，

■?p2-4農(nóng)0,q2-4p>0,

(p-2)2+(q-2)2=p2_4q+4+q2-4p+4>8(p、q不能同時(shí)為2,否則兩個(gè)方程均無(wú)實(shí)

數(shù)根)，

故選項(xiàng)B說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)D說(shuō)法正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)說(shuō)法的正誤是解題

的關(guān)鍵.

6.A

【分析】先給方程兩邊同除2,然后再根據(jù)完全平方公式和等式的性質(zhì)配方即可.

【詳解】解：2X2-X-1=0

x2--x--=0

22

22

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：①把方程整理成一元二

次方程的一般形式；②把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；③把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;④等式兩邊

同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

7.C

【分析】根據(jù)平方差公式完全平方公式，提公因式法因式分解因式計(jì)算即可求解，對(duì)于D

選項(xiàng)先解一元二次方程求得方程的根.

【詳解】解：A.X2-2=(X+V2)(X-V2),故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.X2-4X+4=(X-2)2,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意;

C.x2+x=x(x+l),故該選項(xiàng)正確，符合題意；

D.令r+"16=0,解得％二土畫(huà)/廣士恒，

故該選項(xiàng)不正確，不符合題意;

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)，判斷出配方結(jié)果正確的是哪個(gè)即

可.

【詳解】解:vx2+2x-l=0,

x?+2x+1=2,

；.(x+l)2=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法在解一元二次方程中的應(yīng)用，要熟練掌握.

9.A

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到“+b=-5,ab=3,可知"0,b<0,將

化簡(jiǎn)為一2而，代入仍=3即可得出結(jié)論.

【詳解】解：:。、6是一元二次方程Y+5x+3=0的兩個(gè)根,

?,.。+6=—5,ab=3,

a<0,b<0,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及二次根式的化簡(jiǎn)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)

系得到。+6=-5,=3是解答本題的關(guān)鍵.

10.A

【分析】設(shè)圍成矩形的長(zhǎng)為無(wú)厘米，則圍成矩形的寬為(10-x)厘米，利用矩形的面積計(jì)算

公式，即可得出V=x(10-x),利用完全平方公式可得出y=-(x-5『+25,利用平方的非

負(fù)性可求出》的最大值，再對(duì)比各選項(xiàng)中的數(shù)據(jù)后即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)圍成矩形的長(zhǎng)為x厘米，

圍成矩形的寬為：20^2-x=10-x,

：.y=x(10-x)

=-x2+10x

-10x+25)+25

=-(X-5)2+25,

v(x-5)2>0

二-(x-5)W0

??--(X-5)2+25<25,

???當(dāng)x=5時(shí)，了取得最大值，最大值為25,

??J的值不可能為30.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，完全平方公式，平方的非負(fù)性.根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出

V關(guān)于尤的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

11.24或25##25或24

【分析】等腰。BC中，BC可能是方程的腰也可能是方程的底邊，應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討

論.當(dāng)8c是底邊時(shí)，AB=AC,則方程無(wú)2一1(^+〃7=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，即A=0,即可

得到關(guān)于〃，的方程，求得加的值；當(dāng)8c是腰時(shí)，則方程一定有一個(gè)解是》=4,根據(jù)一元二

次方程的根與系數(shù)的關(guān)系即可求得另一邊即底邊，與機(jī)的值.

【詳解】解：在方程--10x+〃?=0中，X,+x=--=10,

2a

當(dāng)這兩邊是等腰三角形的腰時(shí)，有石=%=5,

xxx2=25=m,

當(dāng)有兩個(gè)邊的長(zhǎng)都為4時(shí)，有4+%=10,

**?%2=6,

m=x]x2=4x6=24,

：.m=24或25.

故答案為：24或25.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)

點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

i2.

【分析】先解方程3--x-l=0,求得方程的兩個(gè)根，即可求解.

【詳解】解:3x2-x-1=0,

,,,a—3,6,=—l,c=—1,

A=6'—4ac=1+12=13,

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，因式分解，正確的求得方程的兩根是解題的關(guān)鍵.

13.a3t##ta3

【分析】利用累的乘方與積的乘方的法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：:2x=a,y=t,

?1?24x

=(23X3X

=23XX3X

=(2X)3X3"

—CIt?

故答案為：a3t.

【點(diǎn)睛】本題考查了幕的乘方與積的乘方，掌握幕的乘方與積的乘方的法則是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.

14.0

【分析】先確定1+〃=1,3=-1,再用夕+民小表示〃+&伊一2),后代入求值即可.

【詳解】因?yàn)椤?、萬(wàn)是方程=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以1+/7=1,口尸=—1,a2—a—1=09

所以M+a(夕一2)

=a2+a(3*(3-2a

=a2-a+印邛一a

P-a

=1-(77+ctr)

=1-1=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握根根

與系數(shù)關(guān)系定理，活用完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

15.4

【分析】先確定a+P=T,S=T,再用。+4,3表示。2+。2刀+羽2十分2,后代入求值即

可.

【詳解】因?yàn)?。、￡是方程f+x—ln。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以1+/7=—\yaf3=-1；

所以02+a1B+a伊+(31

=cif2+afi(a+4)+42

=a2+J32+1

=(a+￡)2_2a/?+l

=(-1)2-2X(-1)+1

=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握根根

與系數(shù)關(guān)系定理，活用完全平方公式是解題的關(guān)鍵.

已經(jīng)向鄧?yán)蠋焻R報(bào)，等信息，請(qǐng)老師撤回吧!

16.一直1

216

【分析】利用平方差公式計(jì)算后，再利用平方差公式計(jì)算，再和二次三項(xiàng)式比較即可.

【詳解】解：-三與(X+三與

故答案為：b=_g,c=~72-

216

【點(diǎn)睛】本題考查二次三項(xiàng)式的因式分解、一元二次方程的一般式，熟練掌握平方差公式和

完全平方公式能靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

17.再=-5,x?——2

【分析】令y=x+3,代入o(x-/?+3)2+k=0可求得y的值，從而求得x的值.

【詳解】解：令片x+3,代入。(x-/)+3)2+k=0可得：

a(y-h)2+k=0,

由已知可得：力二-2或%二1，

VX=y-3,

?'?Xi=-5,X2=-2,

故答案為Xi=-5,X2=-2.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握換元法解一元二次方程的方法和步驟是解

題關(guān)鍵.

53

18.—

4

【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得%+%=-2=一：，%.％=￡=-〈，再由

a2a2

x+x2

i2=(X1+X2)-2X1X2,代入計(jì)算即可.

■、*5b5c7

［詳解】斛：x+x=—=--,x-x=-=,

12a2l2a2

2

X；+X；=（再+X2）-2項(xiàng)工2

53

故答案為：v-

4

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握占+%=——b，玉.馬c=￡是解

a°

題的關(guān)鍵.

19.4

【分析】利用直接開(kāi)平方法得到x=±、歸，得到方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，所以

Va

機(jī)-1+2機(jī)+4=0,解得加=-1,則方程的兩個(gè)根分別是-2與2,則有口=2,然后兩邊平

Va

方得到2=4.

a

［詳解］由辦2=6（°%＞0）得/=9,解得x=土出,可知兩根互為相反數(shù).

aVa

???一元二次方程辦2=6（仍＞0）的兩個(gè)根分別是m-1和2m+4,

/.m-1+2m+4=0,解得加=一1,

二一元二次方程辦2=6（仍＞0）的兩個(gè)根分別是一2與2,

【點(diǎn)睛】本題考查直接開(kāi)方法解一元二次方程方程，正數(shù)的平方根互為相反數(shù)等知識(shí)，掌握

正數(shù)的平方根互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵.

20.±73

【分析】將加4-2加2—3=0變形為（機(jī)2丫一2（加2）—3=0,可矢口機(jī)2是方程/一2》一3=0的一個(gè)

根，據(jù)此即可作答.

【詳解】將〃/一2機(jī)2一3=0變形為（加2丫一2（加2）-3=0,

可知m2是方程X?-2x-3=0的一個(gè)根，

???x2-2x-3=0的根是3和-1,

又"m2>0

?*-m2=39

即加=+V3，

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用一元二次方程的根解特定的高次方程的知識(shí)，理解方程的根的定義

是解答本題的關(guān)鍵.

21.（1）=――,x2=1；（2）x=—1+，x2=-1—^1-

21323

【分析】（1）把方程移項(xiàng)變形后，利用因式分解法解方程即可；

（2）直接利用配方法解方程即可.

【詳解】解：⑴2（X-1）2=3（1-X）

解：移項(xiàng)，得2（x—l『+3（x—1）=0

因式分解得，（2x+l）（—1）=0,

???2x+1=0或x-1=0,

解得再=——，入2=1