整式的加減（原卷版）-2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊（北師大版）

清單03整式的加減（19個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)

練）

考曼帳單

整

式

的

加去括號

減合并同類項

整式的加減運算

整式的加減一

整式加減化簡求值

整式加減的應(yīng)用

整式加減中無關(guān)型問題

日歷中的規(guī)律

探索與表達規(guī)律數(shù)字中的規(guī)律

圖形中的規(guī)律

【清單01】代數(shù)式

i.定義：用運算符號（加、減、乘、除、乘方、開方等）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。

單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式。

注意：

①代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運算符號外，還可以有括號；

②代數(shù)式中不含有“=、＞、＜、等符號。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等號和不等號兩邊的式子

一般都是代數(shù)式；

③代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須要使這個代數(shù)式有意義，是實際問題的要符合實際問題的意義。

2.代數(shù)式的書寫格式：

①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號，通常省略不寫，如vt；

②數(shù)字與字母相乘時，數(shù)字應(yīng)寫在字母前面，如4a；

③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，如2-xa應(yīng)寫作,a；

33

④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“X”號，即“X”號不省略；

4

⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運算時，一般寫成分?jǐn)?shù)的形式，如4+(a-4)應(yīng)寫作——；注意：分?jǐn)?shù)線具有

a-4

“七”號和括號的雙重作用。

⑥在表示和(或)差的代數(shù)式后有單位名稱的，則必須把代數(shù)式括起來，再將單位名稱寫在式子的后面，

如—疔)平方米。

【清單02】單項式

1.單項式定義

(1)定義：由數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項式。

說明：單獨的一個數(shù)或者單獨的一個字母也是單項式.

2、單項式的系數(shù)：

單項式中的數(shù)字因數(shù)叫這個單項式的系數(shù).

說明：(1)單項式的系數(shù)可以是整數(shù)，也可能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。如3/的系數(shù)是3；空的系數(shù)是工；

33

4.8。的系數(shù)是4.8；

(2)單項式的系數(shù)有正有負(fù)，確定一個單項式的系數(shù)，要注意包含在它前面的符號

如—4盯2的系數(shù)是—4；—(2/了)的系數(shù)是—2；

(3)對于只含有字母因數(shù)的單項式，其系數(shù)是1或-1,不能認(rèn)為是0,如-。〃的系數(shù)是/；?！ǖ南?/p>

數(shù)是1；

(4)表示圓周率的口，在數(shù)學(xué)中是一個固定的常數(shù)，當(dāng)它出現(xiàn)在單項式中時，應(yīng)將其作為系數(shù)的一部

分，而不能當(dāng)成字母。如2mxy的系數(shù)就是2.

3、單項式的次數(shù)：

一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù).

說明：

(1)計算單項式的次數(shù)時，應(yīng)注意是所有字母的指數(shù)和，不要漏掉字母指數(shù)是1的情況。如單項式2/^2?

的次數(shù)是字母z,y,X的指數(shù)和，即4+3+1=8,而不是7次，應(yīng)注意字母z的指數(shù)是1而不是0；

(2)單項式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無關(guān)。如單項式-24丁/24的次數(shù)是2+3+4=9

而不是13次；

(3)單項式是一個單獨字母時，它的指數(shù)是1,如單項式m的指數(shù)是1,單項式是單獨的一個常數(shù)時，一

般不討論它的次數(shù)；

4、在含有字母的式子中如果出現(xiàn)乘號，通常將乘號寫作“*”或者省略不寫。

例如：100x/可以寫成100?/或100/

5、在書寫單項式時，數(shù)字因數(shù)寫在字母因數(shù)的前面，數(shù)字因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù).

【清單03】多項式

1、定義：幾個單項式的和叫多項式.

2、多項式的項：

多項式中的每個單項式叫做多項式的項.

3、多項式的次數(shù)：

多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù).

4、多項式的項數(shù)：

多項式中所含單項式的個數(shù)就是多項式的項數(shù).

5、常數(shù)項：多項式里，不含字母的項叫做常數(shù)項.

【清單04】整式

(1)單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。

(2)單項式或多項式都是整式。

(3)整式不一定是單項式。

(4)整式不一定是多項式。

(5)分母中含有字母的代數(shù)式不是整式；而是今后將要學(xué)習(xí)的分式。

【清單05】同類項

L定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項。

2.合并同類項：

（1）合并同類項的概念：把多項式中的同類項合并成一項叫做合并同類項。

（2）合并同類項的法則：

同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

（3）合并同類項步驟：

a.準(zhǔn)確的找出同類項。

b.逆用分配律，把同類項的系數(shù)加在一起（用小括號），字母和字母的指數(shù)不變。

c.寫出合并后的結(jié)果。

（4）在掌握合并同類項時注意：

a.如果兩個同類項的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項后，結(jié)果為0.

b.不要漏掉不能合并的項。

c.只要不再有同類項，就是結(jié)果（可能是單項式，也可能是多項式）。

說明：合并同類項的關(guān)鍵是正確判斷同類項。

型情單

【考點題型一】用代數(shù)式表示式

【典例1】六一兒童節(jié)，學(xué)校開展研學(xué)活動，租用大巴車和面包車共10輛，租用一輛大巴車和一輛面

包車的費用分別是600和400元，若租了a輛大巴車，租車總費用是元.

【變式1-1】一箱梨的售價為a元，箱子和梨的總質(zhì)量為mkg,箱子的質(zhì)量為律kg,則每千克梨的售價

為元.

【變式1-2】標(biāo)價為機元的商品，若打8折出售，則售價為元.（用含有加的代數(shù)式表示）

【變式1-3】為了豐富班級的課余活動，王老師預(yù)購置5副羽毛球拍和20個羽毛球，已知買一副羽毛球

拍要a元，買一個羽毛球要b元.王老師一共要花元（用含a、6的式子表示）.

【考點題型二】用代數(shù)式的概念及意義

【典例2】下列式子，符合代數(shù)式書寫格式的是（）

A.B.2gbC.mx7D.%+y

【變式2?1】下列各式中，符合整式書寫要求的是（）

1

A.%-5B.4mxnC.—lxD.--ab

【變式2-2］代數(shù)式5（y-5）的正確含義是（）

A.5乘y減5B.y的5倍減去5

C.y與5的差的5倍D.5與y的積減去5

【變式2-3】貴陽某中學(xué)七年級（6）班張老師在黑板上寫了一個代數(shù)式3m,關(guān)于這個代數(shù)式，下列說

法正確的是（）

A.表示3與zn的和B.表示3與租的商

C.表示單價為3元的鋼筆買了小支的總價D.表示3與機的差

【考點題型三】求代數(shù)式的值

【典例3】已知代數(shù)式3y2—2y+6的值是8,那么6y2—4y的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式3-1］若久—2y—2的值為1,則整式2x—4y—3的值為（）

A.-2B.3C.0D.9

【變式3-2］已知2a+36=1,那么l—4a—66=.

【變式3-3】已知。-26=-2,貝|4—2a+46的值為.

【考點題型四】單項式的判斷

【典例4】下列代數(shù)式中6,-3必；等,/+、2,_3a23中，單項式共有（）

A.6個B.5個C.4個D.3個

【變式4-1】下列式子孫、—3、a3+1、等、_m2nyI2中，單項式的個數(shù)是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式4-2】下列式子中,C）是單項式.

,3c21

A.-B.一C3D

7Ta-而

【變式4-3】在式子5久2_刈|,a+b中，單項式有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點題型五】單項式的項和次數(shù)

【典例5】單項式-2/y的系數(shù)和次數(shù)分別是（）

A.2、3B.-2、3C.2、2D.-2、2

【變式5-1】代數(shù)式-誓的系數(shù)是,次數(shù)是.

【變式5-2］已知0+3）專/陽+1是關(guān)于x,＞的五次單項式，則加的值是,

【變式5-3】單項式-等的系數(shù)與次數(shù)的乘積為.

【考點題型六】多項式的判斷

【典例6】在下列整式、b-m2,竽，拳2.5V中多項式有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式6-1】下列各式中是多項式的是（）

I1r

A.-xyB.2xC.-D.x2-2

【變式6-2】下列式子京6,安，|+p/+%—3中，多項式有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式6-3】在式子擊、去一久、6孫+1、手中，多項式有個.

【考點題型七】多項式的項、項數(shù)或次數(shù)

【典例7】多項式2好_丫2+盯—4%3y3+1是次項式，其中最高次項的系數(shù)是

A.3,3B.3,-3C.5,-3D.2,3

【變式7-2］若關(guān)于久、y的多項式3%同必+%2y-4是四次三項式，則m的值為.

【考點題型八】多項式系數(shù)、指數(shù)中字母求值

【典例8】多項式3，啊/2+町2+2是四次三項式，則加的值為（）

A.2B.-2C.±2D.0

【變式8-1］若多項式3㈤+（m-5）%2+3是關(guān)于x的五次三項式，則m的值為

【變式8-2］若多項式2/aT「（a-3產(chǎn)+7是關(guān)于X的二次三項式，則a的值為.

【變式8-3］若3%阿—（2-租/+5是關(guān)于x的二次三項式，那么小的值為.

【考點題型九】整式的判斷

【典例9】下列式子：久2+2,5+4,竿，?，5支，。中，整式的個數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【變式9-1】下歹!J式子%3一薛8-*abc+6,0,高丹皇中，整式有（

A.3個B.4個C.5個D.6個

【變式9-2】下列代數(shù)式中，整式有幾個（）

p2久+y,3a2b,0.5,a

A.4個B.5個C.6個D.7個

【變式9-3】代數(shù)式：2x+y,1a2b,g,0,5中整式的個數(shù)（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【考點題型十】去括號和添括號

【典例10】下列去括號中正確的（）

A.%+（3y+2）=%+3y—2B.a2—(3a2—2a+1)=a2—3a2—2a+1

C.y2+（-2y-l）=y2-2y-lD.—(2m2—4m—1)=-2m2+4m—1

【變式10-1］下列添括號正確的是（)

A.a—b+c=Q—（b+c）B.d—b+c=Q—(—b—c)

C.a-b+c=ct—（b—c）D.a—b+c=a—(—b+c)

【變式10-2】下列各式中，去括號正確的是（）

A.—(2a+1)=-2a+1B.—(―2a—1)=—2a+1

C.—(2a—1)=—2a+1D.—(—2a—1)=2a—1

【變式10?3】下列等式正確的是()

A.-ci+b=—(a—b)B.—CL+b=—(b+a)C.2—3x=-(3%+2)D.30—x=5(6—x)

【變式10-4】添括號：一比2-1=—（）.

【考點題型十一】同類項和合并同類項

【典例11］若2￡!機+262與—a362n是同類項，則6―八的結(jié)果為（）

A.1B.0C.-2D.-1

【典例121下列運算正確的是()

A.2a—3a=-1B.a2b-3ab2=-2a2h

C.4a-2a=2aD.a2h2—ah=ab

【變式12?11下列運算中，正確的是()

A.3a+4b=7abB.7a-3a=4

C.2a+2a=4a2D.a2b—ba2=0

【變式12-2］下列各組是同類項的一組是()

233

A.xy^xyB.-2ab^baC.ac與beD.TIC3X^9XC3

【變式12-3］下列運算正確的是()

A.2a2+/=3。5B.2a2—a2=2

C.3abc+ah=4abcD.2a2b+ba2=3a2b

【變式12-4］若一7%M+2y與_3%3y九是同類項，貝Ij⑺一九）2013的值為

【考點題型十二】整式的加減運算

【典例13】計算：

2()

(l)(8a-7b)-2(5a-66);(2)(4x—5xy)+6%y—|%2

【變式13-1］化簡下列各式：

(1)3/+2a+2—6a2—1—5a；(2)3Q2+2a+2—6a2—1—Set；

Q

(3)(4a2b-3ah)+(5a2b+4ab)；(4)3X2-［5X-(-X-3)+2x2］.

【變式13-2］化簡：

22

(l)p+3pq—6—8p+pq；(2)3(2/—孫)-4(/+Xy—6)-

【變式13-3］化簡下列式子：

(1)m—5m2+3—2m-l+5m2；(2)(2x2-3xy+4y2)-3(^x2—xy+|y2).

【考點題型十三】整式的加減中的化簡求值

【典例14］先化簡，再求值：-7(2a2b-ab2)+5(-ab2+2a2。)，其中。=1,b=-l.

【變式14-1】先化簡，再求值：；(4。2+2a—8)-(ga-3)，其中a=l.

【變式14-2】先化簡，再求值：2x—2(3/+乂—/y)+3(/+y),其中乂=一2,y=3.

【變式14-3】己知4=/—3久y+y2,5=x2_^Xy_y2

⑴求4—B;

(2)如果24-3B+C=0,求C

【考點題型十四】整式加減的應(yīng)用

【典例15】小亮房間窗戶的窗簾如圖（1）所示，它是由兩個四分之一圓組成（半徑相同）.

圖⑴圖⑵

（1）如圖（1）,請用代數(shù)式表示窗簾的面積:;用代數(shù)式表示窗戶能射進陽光的面積:

；（結(jié)果保留n）

（2）小亮又設(shè)計了如圖（2）的窗簾（由一個半圓和兩個四分之一圓組成，半徑相同），請你用代數(shù)式表

示窗戶能射進陽光的面積:.；（結(jié)果保留Tt）

（3）當(dāng)a=3米，b=2米時，圖（2）中窗戶能射進陽光的面積與圖（1）中窗戶能射進陽光的面積的差為

________（it取3）

【變式15-1】窗戶的形狀如圖所示（圖中長度單位：cm）,其上部為半圓形，下部是邊長相同的四個小正

方形.已知下部小正方形的邊長為xcm.計算:

（1）窗戶的面積是多少？

（2）窗戶的外框的總長是多少？

(3)當(dāng)久=20時，窗戶的面積和外框的總長分別是多少？

【變式15-2］如圖，是某學(xué)校內(nèi)的一塊長為30米，寬為15米的長方形勞動實踐基地，為了行走方便,

學(xué)校決定請工人對三條都一樣寬的走道進行硬化(陰影部分).設(shè)走道的寬為x米.

(1)求走道的全面積為.

(2)經(jīng)測量該走道的寬x為0.5米，求出該走道的總面積;

(3)經(jīng)商議按25元/米2的費用支付給工人工錢，則學(xué)校要付給工人的費用是多少元?

【變式15-3】今年春季，三元土特產(chǎn)喜獲豐收，某土特產(chǎn)公司組織10輛汽車裝運甲，乙兩種土特產(chǎn)去

外地銷售，按計劃10輛車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一土特產(chǎn)，且必須裝滿，設(shè)裝運甲種土特產(chǎn)

的汽車有x輛，根據(jù)如表提供的信息，解答以下問題：

土特產(chǎn)種類甲乙

每輛汽車運載量(噸)43

每噸土特產(chǎn)利潤(元)140160

(1)求這10輛汽車共裝運土特產(chǎn)的數(shù)量(用含有x的式子表示)；

(2)求銷售完裝運的這批土特產(chǎn)后所獲得的總利潤(用含有光的式子表示).

(3)現(xiàn)為了促銷，公司決定甲種土特產(chǎn)每噸讓利加元，乙種土特產(chǎn)每噸利潤不變，若無論裝運甲的汽車

為多少輛，這10輛車裝運的土產(chǎn)品銷售完后，總利潤都保持不變，求小的值.

【考點題型十五】整式加減中的無關(guān)型問題

【典例16］已知多項式M=(2%2+3%y+3%)-2(%2_町+

1

(1)先化簡，再求值，其中％y=-1；

(2)若多項式〃與字母x的取值無關(guān)，求〉的值.

【變式16-1】已知關(guān)于刀的多項式4、B,其中4=小好+2尤一1,B-x2-nx+2(m,n為有理數(shù)).

⑴化簡3B-4；

(2)若3B—4的結(jié)果不含x項和小項，求加、〃的值.

【變式16-2］已知4=2久2-5xy-7y+3,B-x2-xy+1.

⑴求44一(24+B)的值；

(2)若A-2B的值與y的取值無關(guān)，求x的值.

【變式16-3］定義：若x-y=?n,則稱x與y是關(guān)于m的相關(guān)數(shù).

(1)若5與a是關(guān)于2的相關(guān)數(shù)，貝必=.

(2)若4與B是關(guān)于爪的相關(guān)數(shù)，A-3mn-5m+n+6,B的值與m無關(guān)，求8的值.

【考點題型十六】日歷中的規(guī)律

【典例712024年1月日歷排列如圖所示，用“JT形的方式任意框五個數(shù).

202忤1月

—*二三四五六日

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

293031

⑴若框住的5個數(shù)中，正中間的一個數(shù)為10,則這5個數(shù)的和為:

(2)用式子表示“X，形框內(nèi)五個數(shù)的和.

(3)“JT形框能否框住這樣的5個數(shù)，使得它們的和等于120?若能，求出正中間的數(shù)；若不能，請說明理

由.

【變式17-1】在一張日歷上，在同一行上任意圈出三個相鄰的數(shù)，它們的和不可能是()

A.63B.39C.27D.50

【變式17-2】下表是2002年12月份的日歷，現(xiàn)在用一個長方形在日歷中任意框出4個請你用一

個等式表示a、b、c、d之間的關(guān)系

日一二三四五六

1

23：45678

I

910：1112：131415

1________________?

16171819202122

23242526272829

30

【變式17-3］如圖是某月的日歷，現(xiàn)有一個十字形框框出5個數(shù),請觀察圖形解答下列問題:

星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

2728293031

(1)日歷圖中十字形框框出的5個數(shù)之和是該十字形框正中間數(shù)的一倍；

(2)如果用a表示正中間的數(shù)，這5個數(shù)的和等于一，這個關(guān)系對其他這樣的十字形框成立嗎?

(3)這個關(guān)系對任何一個月的日歷都成立嗎?為什么？

(4)如果將十字形框改為H形框，你能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律？

(5)你還能設(shè)計一個什么形狀的包含數(shù)字規(guī)律的數(shù)框？

【考點題型十七】數(shù)字中的規(guī)律

【典例18】求1+2+22+23+…+22°21的值時，可令5=1+2+22+23+…+22021,則2s=2+22

+23+…+22022,因此2S—S=22022—1.依照以上推理，計算出1+5+52+53+…+52022的值為

A.52022—1B.52023_1C.-~—