數(shù)值分析 課件ch8-常微分方程數(shù)值解法

常微分方程數(shù)值解法08Chapter8.1引言8.1引言在工程和科學(xué)計(jì)算中，所建立的各種常微分方程的初值或邊值問(wèn)題，除很少幾類的特殊方程能給出解析解，絕大多數(shù)的方程是很難甚至不可能給出解析解的，其主要原因在于積分工具的局限性。

因此，人們轉(zhuǎn)向用數(shù)值方法去解常微分方程，并獲得相當(dāng)大的成功，討論和研究常微分方程的數(shù)值解法是有重要意義的。8.1引言常微分方程與解為n階常微分方程。

8.1引言

方程的通解滿足定解條件的解微分關(guān)系（方程）解的圖示8.1引言一階常微分方程的初值問(wèn)題

實(shí)際中常常需要求解常微分方程的定解，這類問(wèn)題最簡(jiǎn)單的形式是一階方程的初值問(wèn)題：定解條件（初始條件）8.1引言

僅有極少數(shù)的方程可以通過(guò)“常數(shù)變易法”、“可分離變量法”等特殊方法求得初等函數(shù)形式的解，絕大部分方程至今無(wú)法理論求解。如

等等實(shí)際問(wèn)題中歸結(jié)出來(lái)的微分方程主要靠數(shù)值解法.8.1引言數(shù)值解的思想

兩種：?jiǎn)尾椒ā⒍嗖椒?.1引言*數(shù)學(xué)界關(guān)注工程師關(guān)注如果找不到解函數(shù)數(shù)學(xué)界還關(guān)注：解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振動(dòng)性解的周期性解的穩(wěn)定性解的混沌性……8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造Taylor展開(kāi)可借助Taylor展開(kāi)（導(dǎo)數(shù)法）、差商法、積分法實(shí)現(xiàn)離散化來(lái)構(gòu)造求積公式

Euler格式截?cái)嗾`差8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造

18世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一，13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得碩士學(xué)位。

1727年-1741年（20歲-34歲）在彼得堡科學(xué)院從事研究工作，在分析學(xué)、數(shù)論、力學(xué)方面均有出色成就，并應(yīng)俄國(guó)政府要求，解決了不少地圖學(xué)、造船業(yè)等實(shí)際問(wèn)題。

24歲晉升物理學(xué)教授。

1735年（28歲）右眼失明。

1741年-1766（34歲-59歲）任德國(guó)科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)，任職25年。在行星運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)、微分方程、曲面微分幾何等研究領(lǐng)域均有開(kāi)創(chuàng)性的工作。

1766年應(yīng)沙皇禮聘重回彼得堡，在1771年（64歲）左眼失明。

Euler是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均以每年800頁(yè)的速度寫(xiě)出創(chuàng)造性論文。他去世后，人們用35年整理出他的研究成果74卷。

8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造差商法

用向前差分近似導(dǎo)數(shù)

Euler公式

用向后差分近似導(dǎo)數(shù)

向后Euler公式

8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造積分法對(duì)方程兩邊取積分取不同的數(shù)值積分可得不同的求解公式

用左矩形公式Euler公式

用右矩形公式

向后Euler公式用梯形公式

梯形公式8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造

幾何意義

Euler法

折線法8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造

梯形公式—顯、隱式兩種算法的平均

8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造預(yù)估校正法(改進(jìn)Eluer法)

改進(jìn)Euler法

平均斜率折線法

8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造

例8.2.1:初值問(wèn)題Bernoulli方程

Euler格式為

8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造依次計(jì)算下去，部分計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表.

xn

歐拉公式數(shù)值解yn準(zhǔn)確解y(xn)

誤差0.20.40.60.81.01.1918181.3582131.5089661.6497831.7847701.1832161.3416411.4832401.6124521.7320510.0086020.0165720.0257260.0373310.052719

8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造Euler值8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造

改進(jìn)的Euler格式為

xn

改進(jìn)Euler數(shù)值解yn準(zhǔn)確解y(xn)

誤差0.20.40.60.81.01.18411.34341.48601.61531.73791.1832161.3416411.4832401.6124521.7320510.00090.00180.00280.00280.0058同歐拉法的計(jì)算結(jié)果比較，明顯改善了精度.歐拉公式數(shù)值解yn1.1918181.3582131.5089661.6497831.7847708.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造例8.2.2：用Euler方法求解初值問(wèn)題

EulerExactError-1-10-0.9-0.9090.009-0.8199-0.83330.0134

解：8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造截?cái)嗾`差與代數(shù)精度

8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造Euler格式的誤差

8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造改進(jìn)Euler格式的誤差

為便于處理，通常假定

否則見(jiàn)P108

8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造

比較

得8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造

8.2初值問(wèn)題數(shù)值解法的構(gòu)造例8.2.3：已知初值問(wèn)題

8.3Runge-Kutta方法8.3Runge-Kutta方法構(gòu)造高階單步法的直接方法由Taylor公式

其局部截?cái)嗾`差為

8.3Runge-Kutta方法基本思想

8.3Runge-Kutta方法

R-K公式

8.3Runge-Kutta方法常數(shù)的確定確定的原則是使精度盡可能高以二階為例

首先

8.3Runge-Kutta方法

希望

8.3Runge-Kutta方法

改進(jìn)歐拉公式

中點(diǎn)公式8.3Runge-Kutta方法最常用的R-K公式——標(biāo)準(zhǔn)4階R-K公式

輸入a，b，n，y0h=(b-a)/n，x0=afori=1,i<=n,i++K1=f(x0,y0)K2=f(x0+h/2,y0+h*K1/2)K3=f(x0+h/2,y0+h*K2/2)K4=f(x0+h,y0+h*K3)x0=x0+hy0=y0+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6輸出x0，y08.3Runge-Kutta方法例8.3.1：用標(biāo)準(zhǔn)4階R-K公式求

8.3Runge-Kutta方法

8.4線性多步法8.4線性多步法

一般形式：

8.4線性多步法數(shù)值積分法

8.4線性多步法

其局部截?cái)嗾`差4階Adams顯式公式

8.4線性多步法

其局部截?cái)嗾`差

注1：隱式公式的顯化:(預(yù)測(cè)校正)

注2：并非所有線性多步法公式都可用數(shù)值積分法得到，但都可用Taylor展開(kāi)法得到。8.4線性多步法Taylor展開(kāi)法

代入多步法公式

8.4線性多步法得

8.4線性多步法

對(duì)應(yīng)相等，即有方程組:

此時(shí)有

8.4線性多步法在

8.4線性多步法米爾尼(Milne)公式

即

此時(shí)截?cái)嗾`差

為4階精度。顯式公式8.4線性多步法

隱式公式截?cái)嗾`差

8.4線性多步法Milne顯：

Hamming隱：

顯化得Milne-Hamming公式：

8.5邊值問(wèn)題的數(shù)值解法8.5邊值問(wèn)題的數(shù)值解法基本思想：運(yùn)用數(shù)值微分將導(dǎo)數(shù)用離散點(diǎn)上函數(shù)值表示，從而將邊值問(wèn)題的微分方程和邊界條件轉(zhuǎn)化為只含有限個(gè)未知數(shù)的差分方程組，并將此差分方程組的解作為該邊值問(wèn)題的數(shù)值解。二階常微分方程的第一邊