八年級數(shù)學下冊單元速記·巧練（人教版）-第十八章 平行四邊形（壓軸題專練）（原卷版）

第十八章平行四邊形（壓軸題專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一矩形中的折疊問題】 1【考點二菱形中的折疊問題】 5【考點三正方形中的折疊問題】 11【考點四矩形、菱形、正方形中旋轉問題】 15【考點五矩形、菱形、正方形中求定值問題】 22【考點六矩形、菱形、正方形中求最小值問題】 27【考點七矩形、菱形、正方形中求最大值問題】 31【考點八矩形、菱形、正方形中點四邊形問題】 36【考點一矩形中的折疊問題】例題：（2023秋·湖南衡陽·八年級?？计谀┤鐖D，將矩形沿著對角線折疊，使點落在處，交于，若，，______．【變式訓練】1．（2023秋·福建福州·八年級福建省福州第一中學?？计谀┤鐖D，長方形中，E為的中點，將沿直線折疊時點B落在點F處，連接，若，則___________度．2．（2023春·八年級課時練習）長方形紙片中，，，點E是邊上一動點，連接，把∠B沿折疊，使點B落在點F處，連接，當為直角三角形時，的長為______．3．（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）如圖，長方形紙片中，，，點、分別在邊和邊上，連接，將紙片沿折疊．(1)如圖（1），若點落在邊的延長線上的點處，求證：；(2)如圖（2），若點落在邊的中點處，求的長．【考點二菱形中的折疊問題】例題：（2022秋·九年級課時練習）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點E是邊AB上一點，以DE為對稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點B的對應點為點H，折痕為EF且交BC于點F．（1）∠DEF＝________；（2）若點E是AB的中點，則DF的長為________．【變式訓練】1．（2022·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處不與、重合，折痕為，若，，則的長為______．2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，在菱形中，F(xiàn)為邊上一點，將沿折疊，點C恰好落在延長線上的點E處，連接交于點G，若，，則的長為______．3．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，使點C落在AD邊上的點F處，過點F作FG∥CD，交BE于點G，連接CG．(1)判斷四邊形CEFG的形狀，并說明理由．(2)若AB=6，AD=10，求四邊形CEFG的面積．【考點三正方形中的折疊問題】例題：（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習）如圖，將正方形紙片按如圖折疊，為折痕，點落在對角線上的點處，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，將正方形沿對折，使點落在對角線上的處，連接，則_________．2．（2022秋·福建寧德·八年級校考階段練習）如圖，在正方形中，，點E在邊上，將沿對折至，延長交于點G，G恰好是邊的中點，則的長是________．3．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖1，在正方形中，點E為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點，連接．①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．【考點四矩形、菱形、正方形中旋轉問題】例題：（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，四邊形是矩形，以點B為旋轉中心，順時針旋轉矩形得到矩形，點，，的對應點分別為點，，，點恰好在的延長線上．(1)求證：：(2)若，求的長．【變式訓練】1．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第一一三中學校考期中）如圖，將矩形繞點A順時針旋轉后，得到矩形，如果，那么_______．2．（2022秋·江西宜春·九年級?？计谥校┤鐖D，將邊長為的正方形繞點順時針旋轉30°到的位置，則陰影部分的面積是___________．3．（2022秋·安徽銅陵·九年級銅陵市第十五中學?？计谥校┤鐖D，在菱形中，，把菱形繞點A順時針旋轉得到菱形，則圖中陰影部分的面積為_________．4．（2022秋·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐【情境呈現(xiàn)】如圖1，將兩個正方形紙片和放置在一起.若固定正方形，將正方形繞著點A旋轉．(1)【數(shù)學思考】如圖1，當點E在邊上，點G在邊上時，線段與的數(shù)量關系是，位置關系是．(2)如圖2，是將正方形繞著點A逆時針旋轉度得到的，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(3)【拓展探究】如圖3，若點D，E，G在同一條直線上，且，求線段的長度（直接寫出答案）．【考點五矩形、菱形、正方形中求定值問題】例題：（2022秋·山東棗莊·九年級校考階段練習）如圖，在矩形中，，，是上異于和的任意一點，且于，于，則為_____．【變式訓練】1．（2022秋·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，點E是對角線上一點，有且，點P是上一動點，則點P到邊，的距離之和的值（

）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值2．（2023秋·吉林長春·八年級長春外國語學校?？计谀┤鐖D，菱形的周長為20，面積為24，是對角線上一點，分別作點到直線、的垂線段、，則等于______3．（2022·全國·八年級專題練習）如圖，已知四邊形為正方形，，點E為對角線上一動點，連接，過點E作交于點F，以為鄰邊作矩形，連接．(1)求證：矩形是正方形；(2)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．【考點六矩形、菱形、正方形中求最小值問題】例題：（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市鳳鳴山中學校聯(lián)考期末）如圖，為正方形邊上一點，，，為對角線上一個動點，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．10【變式訓練】1．（2023秋·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期末）已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值是（）A．5 B．5 C．5 D．不能確定2．（2022秋·吉林長春·八年級長春外國語學校校考階段練習）△ABC中，AC＝1，AB＝，BC＝2，點P為BC邊上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，在點P運動的過程中，EF的最小值是（

）A． B．2 C． D．3．（2022春·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習）如圖，在正方形中，邊長，點Q是邊的中點，點P是線段上的動點，則的最小值為_____．【考點七矩形、菱形、正方形中求最大值問題】例題：（2022秋·貴州貴陽·九年級統(tǒng)考階段練習）矩形中，，，點A是y軸正半軸上任意一點，點B在x軸正半軸上．連接．則的最大值是___________．【變式訓練】1．（2022秋·福建漳州·九年級校考期中）如圖，平面內三點A、B、C，，，以為對角線作正方形，連接，則的最大值是（

）A．6 B．11 C． D．2．（2022秋·全國·九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC與BD交于點O，點N在AC上且AN＝2，點M在BC上且BM＝BC，P為對角線BD上一點，則PM﹣PN的最大值為____．3．（2022秋·湖北黃石·九年級?？茧A段練習）如圖所示，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動，且E、F不與B、C、D重合．（1）計算：=________；（2）當點E、F在BC、CD上滑動時，△CEF的面積最大值是____________．【考點八矩形、菱形、正方形中點四邊形問題】例題：（2022春·安徽合肥·八年級?？计谥校┤鐖D，、、、分別是四邊形四條邊的中點，順次連接、、、得四邊形，連接、，下列命題不正確的是（）A．當四邊形是矩形時，四邊形是菱形B．當四邊形是菱形時，四邊形是矩形C．當四邊形滿足時，四邊形是菱形D．當四邊形滿足，時，四邊形是矩形【變式訓練】1．（2022春·北京西城·八年級?？计谥校┧倪呅蔚膶蔷€，交于點，點，，，分別為邊，，，的中點．有下列四個推斷：①對于任意四邊形，四邊形都是平行四邊形；②若四邊形是平行四邊形，則與交于點；③若四邊形是矩形，則四邊形也是矩形；④若四邊形是正方形，則四邊形也一定是正方形．所有正確推斷的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．③④2．（2022秋·九年級課時練習）如圖，在四邊形中，，分別是，的中點，，分別是對角線，的中點，依次連接，，，，連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）當時，與有怎樣的位置關系？請說明理由；3．（2022秋·九年級課時練習）我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中所得的四邊形叫中點四邊形．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，