浙江省寧波五校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

絕密★考試結(jié)束前

2024學(xué)年第一學(xué)期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1.本卷共5頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字。

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙。

選擇題部分

一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是正確的.

1.下列直線中，傾斜角最大的是

A.>/3x+y+1=0B.\/3x-y+1-0

C.x+y+l=0D.x-y+l=0

2.已知點(diǎn)/（3,2,-1）,8（4,1,-2）,C（-5,4,3）,且四邊形NBC。是平行四邊形，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為

A.(-6,5,4)B.(3,-2,7)

C.(-1,2,6)D.(-6,1,-3)

3.如圖，平行六面體"CD-4片。］。中，E為的中點(diǎn)，AB=a,

AD=b,AA,=c,則屏=

A.a--b+cB.a--b-c

22

—3一-1-1——

C?a+—b+cD.-a+—b-c

222

4.如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形

2.,2

被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線v-彳=1（。>0,6>0）的一部

分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直

徑為40cm,最大直徑為60cm,雙曲線的離心率為后，則該花瓶的

高為

A.90cmB.100cmC.110cm

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第1頁(yè)（共5頁(yè)）

5.若直線2x+（2a-5）歹+2=0與直線bx+2y-1=0互相垂直，貝a2+b2的最小值為

A.0B.3C.5D.V5

22

6.已知雙曲線C:--4=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為用月，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)8在。上,

ab~

F\A1F^,F\A=-F\B,則C的離心率為

A.也B.V3+V2C.2D.V3+1

22

7.已知雙曲線。:「一彳=1（a＞0,b＞0）的離心率為有，圓*一。）2+必=9與0的一條

ab~

漸近線相交，且弦長(zhǎng)不小于2,則4的取值范圍是

A.（0,1]B.（0，Vw]C.0,-D.10,-

I2」I2_

8.已知曲線及x\x\+y\y\=l,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

A.曲線￡與直線y=-x無(wú)公共點(diǎn)

B.曲線￡關(guān)于直線y=x對(duì)稱

C.曲線￡與圓（X+點(diǎn)）2+（歹+應(yīng)）2=9有三個(gè)公共點(diǎn)

D.曲線￡上的點(diǎn)到直線y=-x的最大距離是亞

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知向量不=627,2）4=（2"2,-/,-1）,則下列結(jié)論正確的是

4

A.若不J.a,貝卜=—1B.若不〃瓦，則》=二

C.同的最大值2D.＜藍(lán)瓦＞為鈍角，貝!k＞—1

10.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P是線段G2上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法

正確的是

A.平面84尸_L平面

B.8P的最小值為2后

C.若尸是CiB的中點(diǎn)，則到平面8片尸的距離為歧

D.若直線片尸與84所成角的余弦值為孚，則2P=；

11.中國(guó)結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對(duì)稱精致，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美觀念，中

國(guó)結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標(biāo)系

X0中，到兩定點(diǎn)6（-a,0）,%（。,0）距離之積為常數(shù)/的點(diǎn)的軌跡。是雙紐線.若M（3,0）是

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第2頁(yè)（共5頁(yè)）

%

曲線。上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

A.曲線。上有且僅有1個(gè)點(diǎn)尸滿足歸娟=|尸名|x

B.曲線。經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

C.若直線歹=履與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為u[L+oo）

D.曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)3

非選擇題部分

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.點(diǎn)M（1,O）到直線y=b+2的距離最大值是.尸

13.如圖，在三棱錐尸-/BC中，已知尸平面NBC,乙48c=120。，

PA=AB=BC=6,則向量定在向量圮上的投影向量為（用一\1-7

一

向量BC來(lái)表示）.浙考神墻750B

14.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖瞄提出了計(jì)算體積的祖迪原理：“幕勢(shì)既同，則積不容異”，其

意思可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如

果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相

等.如圖，陰影部分是由雙曲線片=1與它的漸近線以及直線

42

歹=±4逝所圍成的圖形，將此圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)

體，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為.

四、解答題：本題共5神墻小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）

已知直線4:x+y+2=0,/2:x+y=0,直線/過(guò)點(diǎn)（10,-4）且與人垂直.

（1）求直線/的方程；

（2）設(shè)/分別與4交于點(diǎn)48,點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求過(guò)三點(diǎn)4民。的圓的方程?

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第3頁(yè)（共5頁(yè)）

16.（15分）

如圖，在三棱柱/8C-4AG中，四邊形44℃是邊長(zhǎng)為4的菱形，AB=BC=岳，點(diǎn)D

為棱ZC上動(dòng)點(diǎn)(不與4C重合)，平面與棱4G交于點(diǎn)E.

(1)求證//OE；

⑵已知網(wǎng)="F,理■=3,/44。=60°求直線/6與平面4瓦汨所成角的正弦值.

AC4

17.(15分)

已知雙曲線C:3=1(。>0/>0)的離心率為空,實(shí)軸長(zhǎng)為6,Z為雙曲線C的左頂

ab3

點(diǎn)，設(shè)直線I過(guò)定點(diǎn)5(-2,0),且與雙曲線C交于E,F兩點(diǎn).

(1)求雙曲線C的方程；

(2)證明：直線力￡與AF的斜率之積為定值.

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第4頁(yè)(共5頁(yè))

18.(17分)

如圖，在四棱錐P-中，APZ。是等邊三角形，平面P/O_L平面/BCD,

ZBCD=ZABC=90°,AB=2CD=2BC=472,M是棱尸。上的點(diǎn)，^.PM=APC,

0W4W1.浙考神墻750

(1)求證：8。_1平面尸/。；

(2)設(shè)二面角〃一6。-。的大小為6,若cos6=姮，求;I的值.

19.（17分）

已知橢圓「二+片1(。>6>0),點(diǎn)力為橢圓短軸的上端點(diǎn)，尸為橢圓上異于

力點(diǎn)的任一點(diǎn)，若P點(diǎn)到/點(diǎn)距離的最大值僅在尸點(diǎn)為短軸的另一端點(diǎn)時(shí)取到，則稱此

橢圓為“圓橢圓”，已知6=1.

(1)若。=立，判斷橢圓「是否為“圓橢圓”；

2

(2)若橢圓「是“圓橢圓”，求a的取值范圍;

(3)若橢圓「是“圓橢圓”，且。取最大值，。為尸關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)，。也異

于/點(diǎn)，直線/尸、分別與x軸交于〃、N兩點(diǎn)，試問(wèn)以線段為直徑的圓

是否過(guò)定點(diǎn)？證明你的結(jié)論.

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題第5頁(yè)(共5頁(yè))

2024學(xué)年第一學(xué)期寧波五校聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案

題號(hào)1234567891011

答案CABBCDBDABABCACD

一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的)

1,下列直線中，傾斜角最大的是()

A.y/3x+y+1=0B.>/3x-y+1=0

C.x+y+l=0D.x-y+l=0

【答案】c

【解析】

【分析】求出各選項(xiàng)中的直線傾斜角，再比較大小即得.

【詳解】直線氐+丁+1=0的斜率為-JI，傾斜角為120°;直線后一y+1=0的斜率

為6,傾斜角為60°，

直線x+y+1=0的斜率為-1，傾斜角為135°：直線x-y+1=0的斜率為1,傾斜角為45°，

顯然直線x+y+1=0的傾斜角最大.

故選：C

2.已知點(diǎn)力(3,2,-1),8(4,1,-2),。(一5,4,3),且四邊形力是平行四邊形，則點(diǎn)D的

坐標(biāo)為()

A.(-6,5,4)B.(3,-2,7)

C.(-1,2,6)D.(-6,1,-3)

【答案】A

第1頁(yè)共23頁(yè)

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,y,z).結(jié)合平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)和空間向

量的相等向量的計(jì)算即可求解.

【詳解】設(shè)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x/,z),

由題意得刀=(4,1,—2)—(3,2,—1)=(1,-L—1)

0c=(-5,4,3)—(xj,z)=(-5-x,4-y,3—z),

因?yàn)樗倪呅?8C。是平行四邊形，所以荏=皮，

-5-^=1x=-6

所以<4-y=-\,解得,y=5

3—z=-0z=4

故選：A

3.如圖，平行六面體4BC￡>-481clz)］中，E為BC的中點(diǎn)，施￡,~AD=b，AA^c,

則率=()

D.匕+匕工

C.aH—b+c

222

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.

【詳解】在平行六面體ZBC?！?4GA中，E為3c的中點(diǎn),

所以D[E=DM+AlA+AB+BE=-AD-AA}+AB+^AD=a-^b-c.

故選：B

4.如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面,

第2頁(yè)共23頁(yè)

可以看成是雙曲線C：t?9。,6＞。）的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面

若該花瓶橫截面圓的最小直徑為40cm,最大直徑為60cm,雙曲線的離心率為石，則該

花瓶的高為（）

A90cmB.100cmC.110cmD.

120cm

【答案】B

【解析】

【分析】由a,b,c關(guān)系以及離心率、。=20可得雙曲線方程，進(jìn)一步代入x=30即可求解.

【詳解】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為40cm,有a=20,

又由雙曲線的離心率為痣，有c=20C,6=206，

22

可得雙曲線的方程為------J=1,代入X=30,可得V=±50,故該花瓶的高為100cm.

4002000

故選：B

5.若直線2x+（2a-5）y+2=0與直線加+2y-l=0互相垂直，則/+/的最小值為（）

A.73B.3C.5D.后

【答案】C

【分析】由兩直線垂直得區(qū)b關(guān)系后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解，

【解析】因?yàn)橹本€2x+（2a-5）y+2=0與直線及+27-1=0互相垂直，

所以2b+2（2a-5）=0,化簡(jiǎn)得b=5-2a,

所以/+/=/+?-%）2=32-20a+25=5（a-2）2+5,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí)取J"，所以，+從

的最小值為5,

第3頁(yè)共23頁(yè)

故選：c

f2

6.已知雙曲線C:■v-4=l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，鳥，點(diǎn)A在》軸上，點(diǎn)B在

ab

______)__

。上，用1月衛(wèi)，不=§而，則。的離心率為()

A.73B.y/3+>/2C.2D.TJ+l

【答案】D

【解析】

【分析】\AB\=x,根據(jù)條件表示出以用J戀忸用，忸用,則可表示出進(jìn)而可

得離心率.

【詳解】如圖，^\AB\=x,由即=§及瓦得|2胤=|四|=2x,

又ABA.BF2,則忸周=岳|=3x,\BF{\-\BF21=(3-6卜=2a,

即”=三叵x，又由出.|=2c=、BF；+BF；=2岳,得6=氐，

a3-V3

--x

2

7.已知雙曲線2T=1(。>0,b>0)的離心率為君，圓(x-a)2+_/=9與c

ab

的一條漸近線相交，且弦長(zhǎng)不小于2,則。的取值范圍是()

A.(0,1]B,(3，Vw]C,0,|D,fo,|

【答案】B

第4頁(yè)共23頁(yè)

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可得漸近線方程為歹=±2x,結(jié)合弦長(zhǎng)可得I--T

2,9『2

運(yùn)算求解即可.

【詳解】設(shè)雙曲線。的半焦距為c>0,

且雙曲線。的焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線。的漸近線為y=±2x,

因?yàn)閳A(x-a)2+y2=9的圓心為(a,0),半徑r=3,

可知圓(x—a)2+y2=9關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨取漸近線為少=2x,即2x-y=0,

則圓心(?,0)到漸近線的距離d=^<3,可得0<口〈手，

又因?yàn)閳A(x-a)?+V=9與雙曲線c的一條漸近線相交弦長(zhǎng)為2萬(wàn)二F，

由題意可得，2［—KTT2解得，

所以a的取值范圍是.(0,炳］

故選：B

8.已知曲線氏x\x\+y\y\=1,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.曲線￡與直線歹=一彳無(wú)公共點(diǎn)B.曲線￡關(guān)于直線歹=》對(duì)稱

C.曲線￡與圓(、+、歷)2+(歹+發(fā))2=9有三個(gè)公共點(diǎn)D.曲線￡上的點(diǎn)到直線V=-X

的最大距離是0【答案】D

【解析】

【分析】分類討論求出曲線的方程，畫出圖象，結(jié)合圖象逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】因?yàn)榍€E的方程為X|X|+HM=I,

當(dāng)XNO,時(shí)，曲線E的方程為工2+歹2=1,

當(dāng)x>0,歹<0時(shí)，曲線E的方程為工2-y=1,

第5頁(yè)共23頁(yè)

是焦點(diǎn)在X上的等軸雙曲線右支的一部分.

當(dāng)x＜0,歹＞0時(shí)，曲線E的方程為歹2一、2=1,

是焦點(diǎn)在7上的等軸雙曲線上支的一部分.

作出曲線E的圖象如圖：

由圖象可知曲線E關(guān)于直線歹對(duì)稱，曲線E與直線V=-X無(wú)公共點(diǎn)，故A,B正確;

作》=一》的平行線與曲線E切于點(diǎn)

曲線E上的點(diǎn)到直線V=-X的最大距離是圓的半徑CM為1,故D錯(cuò)誤：

圓(x+JI)2+(y+JI)?=9的圓心為：(一亞,一&)，

曲線E上的點(diǎn)4號(hào),今到圓心的最大距離為［立+收+］也+應(yīng)=3.

曲線E與圓(x+、份＞+⑶+忘產(chǎn)=9有三個(gè)公共點(diǎn)，故C正確.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0

第6頁(yè)共23頁(yè)

分.

9.已知向量不=&2z,2）,&=（2，-2,一八一1）,則下列結(jié)論正確的是（）

一一4

A.若不>L5，貝UZ=—1B.若不〃&,貝ljZ=]

C?同的最大值2D.[g成鈍角，則“1

【答案】AB

【解析】

【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】A.若R1a,則4?a=/（27-2）—2『一2=0,得[=—1,故A正確;

B.若。]〃&,則q=笳2，即。,2t,2）=2（2l—2,T,—1）,得

7=4（2”2）

<2t=-At,解得：2=-2,/=-,故B正確；

2=-A

C.同=J『+4,+4=J5/+422,當(dāng)/=0時(shí)，同的最小值2,故C錯(cuò)誤；

D.7.7o,nmil,、1由B可知，4D錯(cuò)。

e，2=-2"2<0,則，>-1,￡>-1且/工上

5

故選：AB

10.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體438-44GA中，P是線段GA上的動(dòng)點(diǎn)，則下

列說(shuō)法正確的是（）

A.平面8片尸，平面ZBC。B.BP的最小值為20

C.若P是GR的中點(diǎn)，則441到平面8瓦尸的距離為挈

D.若直線用尸與8〃所成角的余弦值為半，則。P=g

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理即可判斷A；結(jié)合正方體結(jié)構(gòu)特征判斷當(dāng)點(diǎn)P與G重合

時(shí)，BP取最小值，即可判斷B；建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)空間角的向

第7頁(yè)共23頁(yè)

量求法可判斷C；將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，根據(jù)空間距離的向量求法求得點(diǎn)A到平面

8旦尸的距離，即可判斷D.

【詳解】在正方體48。。一44￡。中，因?yàn)開(kāi)L平面4BCD,Bgu平面84P,

所以平面8片P_L平面力8C。，故A正確：

連接BG，由AG1平面BBC。，8。1（=平面88℃,得。1G_LBG，

故在RtZSRGB中，當(dāng)點(diǎn)尸與G重合時(shí)，8P取最小值2a，故B正確；

如圖，以。4、DC.所在直線分別為x軸，V軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-.，

則8（2,2,0）,4僅,2,2）,〃（0,0,2）,設(shè)尸（0,肛2）,0<w<2,

則肝=（一2,加—2,0）,西=（一2,-2,2）,

假設(shè)存在點(diǎn)P,使直線與尸與3〃所成角的余弦值為巫,

5

B.P-BD,_|8-2/n|

則卜os〈81P,BA〉卜

肝|西?+（加—2廣265

解得膽=-2（舍去），或加=1,此時(shí)點(diǎn)尸是GQ中點(diǎn)，D、P=l,故D錯(cuò)誤；

由明〃明且AA,0平面BB,P,BB]U平面BB】P,知AA"平面BB}P,

則AA,到平面BBF的距離，即為A到平面BB.P的距離；

尸是GA的中點(diǎn)，故尸（0,1,2）,方=（0,2,0）,V=（-2-1,0）,函=（0,0,2）,

_/、\in-B,P=Q]2x+y=0

設(shè)平面BBT的法向量為加=（xj,z）,則_2_,即L,

[m-BBx=Q[2z=0

第8頁(yè)共23頁(yè)

取x=l,則丁=-2,Z=O,故而=(1,-2,0),

\AB-m\44J5

所以點(diǎn)A到平面BBF的距離為=)=絲2,

\m\y/55

即44到平面34尸的距離為上,C正確.

5

故選：ABC

11.11.中國(guó)結(jié)是一種手工編織工藝品，其外觀對(duì)稱精致，符合中國(guó)傳統(tǒng)裝飾的習(xí)俗和審美

觀念，中國(guó)結(jié)有著復(fù)雜曼妙的曲線，其中的八字結(jié)對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線.已知在平面

直角坐標(biāo)系xQy中，到兩定點(diǎn)片（-4,0）,瑪（。,0）距離之積為常數(shù)〃的點(diǎn)的軌跡C是雙

紐線.若"（3,0）是曲線C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C上有且僅有1個(gè)點(diǎn)尸滿足|尸耳|=|「周

B.B.曲線C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

C.若直線”去與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為

D.曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過(guò)3

答案ACD

【詳解】【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：1.|=^x+ay+y2-7（x-a）2+y2=a2,

化簡(jiǎn)得到：12+/）2=24212一,2）,

將M（3,0）代入可得2a2=9，

所以曲線0：卜2+、2）2=912一歹2）.

把（一W）代入［2+/）2=9e_、2）得12+、2）2=912_/）,

對(duì)于選項(xiàng)A:點(diǎn)尸滿足|尸制=|尸周，則尸在陰垂直平分線上，則Xp=0,

設(shè)P（0,4），則（也2+片）=/,

第9頁(yè)共23頁(yè)

yP=o,故只有原點(diǎn)滿足，一個(gè)點(diǎn)。

令尸。解得x=0,或、=±3,即曲線經(jīng)過(guò)(0,0),(3,0),(-3,0),

結(jié)合圖象，-3WxW3,

令、=±1,得八二咒病＜1,令、=±2,得1＜/=二口/具2,

因此結(jié)合圖象曲線C只能經(jīng)過(guò)3個(gè)整點(diǎn)，(0,0),(2,0),(-2,0),故B錯(cuò)誤：

仔+打=912-用可得W+/=9(：[)49,

所以曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離1=必方43,即都不超過(guò)3,

故D正確；

直線卜去與曲線卜2+/)2=912-力一定有公共點(diǎn)(0⑼，

若直線v=b與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以＜("+0)=9仁-力，整理得叫1+公)2=9x2(1-公)無(wú)解，

y=kx

即1-公40,解得壯(-8,-1]31，內(nèi))，故c正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.點(diǎn)"(1,0)到直線y=kx+2的距離最大值是.

【答案】y/5

【解析】

【分析】根據(jù)直線丁=6+2過(guò)定點(diǎn)2(0,2),得到|他4|=有，進(jìn)而得到答案.

【詳解】由題意得，直線夕=丘+2過(guò)定點(diǎn)為(0,2),則|址4|=君，

如圖所示，當(dāng)直線丁=6+2與直線M4垂直時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)”(1,0)到直線y=kx+2的距離最大值，且最大值為y[5.

故答案為：Vs.

第10頁(yè)共23頁(yè)

13.如圖，在三棱錐P-ABC中，已知產(chǎn)為J.平面ABC,N4BC=120°,

PA=AB=BC=6,則向量定在向量前上的投影向量為(用向量前來(lái)表

B

3—.

【答案】-BC

2

【解析】

【分析】寫出定表達(dá)式，求出萬(wàn)?前，方?前，前?前，即可得出向量正在向量前

上的投影向量.

【詳解】由題意，

在三棱錐產(chǎn)一/8。中，已知尸4_L平面4BC,

PC=PA+JB+^BC,

面W,

：.PA1BC,PA-BC=O,

在中，ZABC=120°,PA=AB=BC=6,

/.BC-BC=|5C|2=36,

AB-BC=|jB|-|BC|cos(1800-Z^BC)=6x6cos(180°-120°)=18,

向量正在向量更上的投影向量為：

第11頁(yè)共23頁(yè)

PCBC^（蘇+萬(wàn)+㈣反擊PA-BC+AB-BC+BC-BC—

———BC

故答案為：-BC.

2

14.我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖曬提出了計(jì)算體積的祖暄原理：“基勢(shì)既同，則積不容異”，

其意思可描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所

截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.如圖，陰影部分是

《上=1

由雙曲線42與它的漸近線以及直線歹=±4后所圍成的圖形，將此圖形繞歹軸旋

轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積為.

【答案】32在r

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，可得旋轉(zhuǎn)體垂直于軸的截面是圓環(huán)，求出圓環(huán)面積，利用祖晅原理

求出旋轉(zhuǎn)體體積作答.

二-2=ir

【詳解】雙曲線42-的漸近線為*士歷二°,設(shè)直線、=?-4啦4144五）

交雙曲線及其漸近線分別于C,D及A,B

y=t

由得力（",，，網(wǎng)一衣

x±y/2y=0

y=t

由得C

x2-2y2=4'

線段ZC,BQ繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體的一個(gè)截面，它是一個(gè)圓環(huán)，其內(nèi)徑

\AB\=272\t\,外徑|C必=2"+2”,

第12頁(yè)共23頁(yè)

因此此旋轉(zhuǎn)體垂直于軸的任意一截面面積都為4兀，旋轉(zhuǎn)體的高為&五，

而底面圓半徑為2,高為&式的圓柱垂直于軸的任意一截面面積都為4兀，

由祖迪原理知，此旋轉(zhuǎn)體的體積等于底面圓半徑為2,高為&近的圓柱的體積為32缶?

故答案知32屆

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用祖晅原理求幾何體的體積，找到一個(gè)等高的可求體積的幾何體，

并將它們放置于兩個(gè)平行平面間，再探求出被平行于兩個(gè)平行平面的任意一平面所截，截面

面積相等是解題的關(guān)鍵.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步

驟.

15.已知直線4：x+y+2=0,：x+y=O,直線/過(guò)點(diǎn)(10,-4)且與4垂直.

(1)求直線/的方程；

(2)設(shè)/分別與/”4交于點(diǎn)aB,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求過(guò)三點(diǎn)aB,。的圓的方程.

【答案】(1)x-y-\4=0；

(2)x2+y2-6x+8y=0(或(x-3『+(y+4/=25)；

【解析】

【分析】(1)利用直線垂直可求得斜率為4=1,由點(diǎn)斜式方程可得結(jié)果：

(2)分別求出兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出圓的一般方程代入計(jì)算即可求得圓的方程.

【小問(wèn)1詳解】

由題意可得4：x+y+2=0的斜率為一1,

可得直線/的斜率為k=\,由點(diǎn)斜式方程可得歹+4=x-10,

第13頁(yè)共23頁(yè)

即直線/：x-y-14=0；4分

【小問(wèn)2詳解】

1+x-歹y+-21=4。=0，解得"/ST)、

聯(lián)立直線/和4方程＜.6分

x—y—14=0.、

聯(lián)立直線/和，2方程，"=0，解得/7，-7)；8分

設(shè)過(guò)三點(diǎn)/,B,。的圓的方程為f+j?+以+砂+尸=o,

(36+64+6。一8￡+9=0D=—6

將三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得〈49+49+7D-7E+R=0,解得〈E=8,

F=0F=0

可得圓的方程為犬+/一6了+即=0（或門一3）2+（歹+4『=25）......13分

16.如圖，在三棱柱ZBC-44G中，四邊形44￡C是邊長(zhǎng)為4的菱形，AB=BC=岳,

點(diǎn)〃為棱力C上動(dòng)點(diǎn)（不與力，。重合），平面與棱4G交于點(diǎn)發(fā)

(1)求證B8J/QE：

第14頁(yè)共23頁(yè)

⑵已知84=J萬(wàn)，—=-,ZJ,JC=60°求直線AB與平面B.BDE所成角的正弦值.

AC4

16.(1)詳見(jiàn)解析

嗚

【詳解】(1)?:BB、〃CC\,

且叫＜z平面ACC,A,,CGu平面ACC^,

.^.24〃平面/CG4，

又BB[U平面BtBD,且平面B}BDPl平面ACC^=DE,

BBJ/DE；...................................................................5分

(2)連結(jié)4C,取力C中點(diǎn)O,連結(jié)4。，BO,

在菱形ZCG4中，N4ZC=60°,.?.AN/C是等邊三角形，

又為47中點(diǎn)，.?.40_L/C,

4。=2A/3'

同理8。=3,又...例=歷

402+802=網(wǎng)2

/.4。上OB,

又???BO1AC,4。1AC，...................................................7分

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，。2,。＜?,。4為X軸，歹軸，2軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

.-.0(0,0,0),4(0,-2,0),4(0,0,26),8(3,0,0),￡＞(0,1,0),

:.BD=(-3,1,0),無(wú)=羽=(0,2,2@,

r

設(shè)平面48OE的一個(gè)法向量為〃=(xj,z),

第15頁(yè)共23頁(yè)

n-BD=0-3x+y=0

則所以令2=-/，貝!1)=3X=\................12分

元年=0’2y+2>/3z=0f

故力=0,3,-必)，又?.?M=(3,2,0),

設(shè)48與平面4跳出所成角為。,

AB-n|

9

二.sin6=

麗13

9

所以直線AB與平面B.BDE所成角的正弦值為5.................................15分

17.已知雙曲線。：馬一口=1(。>0,6>0)的離心率為—，實(shí)軸長(zhǎng)為6,A為雙曲線C的左頂點(diǎn),

ab3

設(shè)直線/過(guò)定點(diǎn)B(-2,0)，且與雙曲線C交于E,F兩點(diǎn).

(1)求雙曲線。的方程；

(2)證明:直線AE與AF的斜率之積為定值.

17(D.因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6,所以。=3,

2百c_2G

因?yàn)殡p曲線的離心率為亍，所以￡一亍，解得c=2百，

22

__2L=i

由/+*=c2,得b=G,則C的方程為93一.............................5分

第16頁(yè)共23頁(yè)

（2）設(shè)E&,必）/（與必），因?yàn)橹本€/過(guò)定點(diǎn)/-2,0）,顯然直線/不垂直于歹軸，則

設(shè)直線/"=叩一2（加.土百）,

聯(lián)立方程組193一：消去x得(“-382-4叩-5=0,

/、25

,A=16m2+20(m2-3)>0w>7

田''J得JJ

因?yàn)榱殡p曲線。的左頂點(diǎn)，所以“（一3，°）,

kAE=——kAF=-必

直線ZE的斜率玉+3,直線4尸的斜率&+3,

所以

k.k;m2._________也^________,必%

AE"（項(xiàng)+3）心+3）（叼=2+3）（刃2一2+3）/必%+加（必+%）+i

即直線AE與AF的斜率之積為定值15分

第17頁(yè)共23頁(yè)

18.如圖，在四棱錐尸一腑②中，APAD是等邊三角形，平面尸ZD_L平面ABCD,

NBCD=4BC=90。,AB=2CD=2BC=4正,〃是棱PC上的點(diǎn)，且

PA7=ZPC9OWXI?

(1)求證：8。立平面必。；

(2)設(shè)二面角〃一8D—C的大小為6,若cos6=巫，求4的值.

13

【答案】(1〉證明見(jiàn)解析

13

(2)4=士或4=巳

35

【解析】

【分析】(1)由余弦定理計(jì)算后由勾股定理逆定理證明8。，取4D的中點(diǎn)。，連

結(jié)P。，由面面垂直得線面垂直，從而得線線垂直P。_L8。，然后可得證題設(shè)線面垂直；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求二面角，從而求出；I值.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)镹BCD=90°,CD=BC=2五,

所以BO=4,NCBD=45。,

在中，ZABD=45°,AB=4^2^由余弦定理得，

AD=ylAB2+BD2-2AB-BDcosZABD=4，

所以ZZ)2+8Q2=/B2,

即NADB=90。，AD1BD,

取4。的中點(diǎn)0,連結(jié)P。，因?yàn)锳P/D是等邊三角形，所以PO_LZO,

又因?yàn)槠矫鍼AD1平面ABCD,

平面PADc平面ABCD-AD,P0c平面PAD,

第18頁(yè)共23頁(yè)

所以P。人平面ZBC。，

又因?yàn)?。u平面NBC。,

所以

又因?yàn)镻On/D=。，PO,/Z)u平面「NO,

所以BQ1平面PZD...............................................5分

【小問(wèn)2詳解】

取ZB的中點(diǎn)M連結(jié)ON,則。N〃8D,所以4DJ.ON,

以。為原點(diǎn)，麗，而，麗的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系，則力(0,-2,0),L>(0,2,0),5(4,2,0),C(2,4,0),P(0,0,2jJ),

萬(wàn)=(0,2,2?

DM=DP+PM=DP+APC=(0-2,2何+2(2,4,-26)=(22,42-2,2^1-2))

...................................................................8分

又瓦=(4,0,0),設(shè)平面戚的一個(gè)法向量為力=(x,y,z),

ni\DM-n=0,an2Ax+(4A-2)y+2>/3(1-2)z=0,

則4一即，<

[DB-n=0,[4x=0,

當(dāng);l=L時(shí)，平面MB。_L平面/BCD，不合題意；

2

當(dāng);時(shí)，令z=2/l—l,

2

第19頁(yè)共23頁(yè)

由于平面與平面Z6CZ）所成角的余弦值為姮,

13

|22-1|_V13

|cosin,n\=

故有2213

^（A-l）］+（22-l）

13

解得；1=:或4

35■...................................................17分

19.已知橢圓=l（a>Z>>0）,點(diǎn)/為橢圓短軸的上端點(diǎn)，尸為橢圓上異于Z

a1bl

點(diǎn)的任一點(diǎn)，若P點(diǎn)到力點(diǎn)距離的最大值僅在尸點(diǎn)為短軸的另一端點(diǎn)時(shí)取到，則稱此橢圓

為“圓橢圓"，已知b=l

（1）若a=@，判斷橢圓「是否為"圓橢圓”；

2

（2）若橢圓「是“圓橢圓”，求。的取值范圍；

（3）若橢圓「是“圓橢圓”，且。取最大值，。為「關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)，