浙江省某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試卷

浙江省寧波中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:—_______姓名：__________班級：___________考號：—

一、單選題

1.已知集合{1,2,4,7}，N={4,6,7}，則MC|N=()

A.{1,2,4,6,7)B-{1,2,6)

。{4,7}D.{2,4}

2.命題“W九￡N，/+〃+2eZ”的否定為（）

A.VneN，/+〃+2eZB.X/〃eN,+a+2eZ

C.ReN,/+〃+2￡ZD.3neN,/+〃+2eZ

3.已知°=3。2,6=3%C=202,則()

A

?b>a>ca>b>c

c

?b>c>aa>c>b

已知正實數(shù)“"滿足"+則最小值為

4.，6=2,3+2的()

ab

27

A.—B.14C.15D.27

2

5.函數(shù)/（工）=彳的圖象大致為（）

e|x|

試卷第11頁，共33頁

A.■B.

6-設(shè)”，R，“…!"是“方程療i+"4=。在區(qū)間”）上有兩個不等實

根”的（）條件.

A.充分必要B.充分不必要

C.必要不充分D.既不充分也不必要

7.中國5G技術(shù)領(lǐng)先世界，其數(shù)學(xué)原理之一便是香農(nóng)公式：c=〃iog2（l+E），它表示：

在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速率c取決于信道帶寬平、信道內(nèi)信號的平均功率

,、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率"的大小，其中9叫信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬

N

”,將信噪比?從2000提升至10000,貝產(chǎn)大約增加了（322°3010）（）

N

A-18%B-21%C'23%D-25%

8.己知函數(shù)/（x）為R上的奇函數(shù)，當x20時，f（x）=x2-lx）若函數(shù)g（x）滿足

試卷第21頁，共33頁

/(x),x-°，且g(〃x)i=°有8個不同的解，則實數(shù)"的取值范圍為()

-/(x),x<0

B--l<a<0

c

JO<6Z<1

、多選題

9.已知〃，。為實數(shù)，且Q>6〉0,則下列不等式正確的是(

A.—<—B.----<----

aba-cb-c

ac>be

io.已知函數(shù)/(x)=lg(Jx2_2x+2_x+l),則下列說法正確的是()

A.”x)的值域為R

B./(x+1)關(guān)于原點對稱

c.“X)在(1,+8)上單調(diào)遞增

D.“X)在xe口-私1+河上的最大值、最小值分別為M、N，則A/+N=0

11.已知函數(shù)/(x)滿足：對于x,yeR,都有/(x-y)=/(x)/U)+/(l+x)/(l+y)，且

/(0)0/(2)，則以下選項正確的是()

A./(0)=0B./(1)=0

C./(l+x)+/(l-x)=0D./(x+4)=/(x)

試卷第31頁，共33頁

三、填空題

12.函數(shù)/（x）=log3（3x+l）的定義域為一?

13.定義〃x）=「x]（其中「月表示不小于x的最小整數(shù)）為“向上取整函數(shù)”.例如

-口]=_1，[2_1]=3，「4]=4?以下描述正確的是—?（請?zhí)顚懶蛱枺?/p>

①若y（x）=2024,則xe（2023,2024],②若_71Vl+1240'貝1Jxe（2,4],

③/（x）=「回是口上的奇函數(shù)，④"X）在R上單調(diào)遞增?

14.已知“，6滿足/+a6_2/j2=1,貝！13a2-2ab的最小值為_

四、解答題

15.求值

（1）</4X322+lnVe-2024°

⑵（log25+log40.2）（log52+log250.5）

16.已知集合八科"+lW2mT},5=L1<2^<81.

⑴求B；

（2）若求實數(shù)加的取值范圍?

17.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果

特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量少（單位：千克）與使用肥料x（單位:

試卷第41頁，共33頁

10(X2+3),0<X<21lx

千克)滿足如下關(guān)系：W(x)=<,肥料成本投入為元，其他成本投

100--,2<x<5

x+1

入(如培育管理、施肥等人工費)25x元?已知這種水果的市場售價為20元/千克，且銷路

暢通供不應(yīng)求.記該水果樹的單株利潤為了(X)(單位：元)?

⑴求/(x)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當使用肥料為多少千克時，該水果樹單株利潤最大，最大利潤是多少？

18.已知函數(shù)〃力=今”為奇函數(shù)，

⑴求°的值；

(2)判斷了J)的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義加以證明；

⑶求關(guān)于x的不等式/+2x)+/(X-4)<0的解集.

19.已知函數(shù)/(x)=卜-4-3+。，(a*R),

(1)若a=l,求關(guān)于x的方程/(x)=l的解；

(2)若關(guān)于x的方程〃無)=2有三個不同的正實數(shù)根占，％,退且再<尤2<

a

(i)求°的取值范圍；

5)證明：W3>3.

試卷第51頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案CDAADCBBADABD

題號11

答案BCD

1.C

【分析】利用集合的交集運算即可得解.

【詳解】因為M={1,2,4,7}，N={4,6,7}，

所以{4,7}?

故選：C.

2.D

【分析】利用量詞命題的否定方法即可得解.

【詳解】因為量詞命題的否定方法為：改量詞，否結(jié)論，

所以命題“eN，I+〃+2eZ”的否定為eN,n2+n+2^Z-

故選：D.

3.A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與募函數(shù)的單調(diào)性即可判斷得解.

【詳解】因為>=3*為單調(diào)遞增函數(shù)，所以3°3>30,2,則6>.，

因為y=92為增函數(shù)，所以3皿>2微，則a>c,

綜上'b>a>c'

故選：A.

4.A

【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解.

【詳解】因正實數(shù)。，%滿足a+6=2，

所以3121,八12115+色+以4+2

切“一+—=-(a+b)A

ab2b2ab

答案第11頁，共22頁

當且僅當獨=效，即=4時取等號，

ab33

所以3+U的最小值為

ab2

故選：A

5.D

【分析】先利用奇偶函數(shù)的定義判斷得的奇偶性排除AB,再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分

析得“X）的正負情況，從而排除°，由此得解.

【詳解】對于〃x）=弓，其定義域為，

又/'（9===一￥=一〃刈，則"X）是奇函數(shù)，排除AB,

當x>0時，3x>0>e'=e*>0，所以/（無）>0，排除C,

又選項D的圖象滿足上述性質(zhì)，故D正確.

故選：D.

6.C

【分析】舉反例說明充分性，利用二次方程根的分布說明必要性，從而得解.

【詳解】當加〈-工時，取冽二一3,

2

則方程加2__（加+3）1+4=o為9/+4=0，顯然無解，即充分性不成立；

當方程加2_—（加+3）工+4=O在區(qū)間（2,+oo）上有兩個不等實根時，

答案第21頁，共22頁

2加w031

m>0——<m<——

3.52

A3=_>0加2〉——<m<l

5

加+3

則x=—^>23、則

2m2——<m<0或0<m<\

4

4m2-2(m+3)+4>0

/J

——或加)1

此時僅<-,成立，即必要性成立；

2

所以前者是后者的必要不充分，故C正確.

故選：C.

7.B

【分析】由已知公式，將信噪比*看作整體，分別取200°/000°求出相應(yīng)的0值，再利用

N

對數(shù)運算性質(zhì)與換底公式變形即可得解.

【詳解】由題意，將信噪比2從2000提升至10000,

N

則最大信息傳遞速率C從C1=少log2(1+2000)增加至C?=匹log2(1+10000)，

10001

所以所-<=沙log?10001-乎log?2001=logz^ooT

一log2001

G—?Flog220012

,10001,10000,10

lg

1g-------1g--------_T1—0.301

_2001?2000=-----------?0.21=21%

1g2001~1g2000lg2+lgl030.301+3

故選：B.

8.B

【分析】先利用函數(shù)的奇偶性與題設(shè)條件得到/(x)與g(x)的解析式，設(shè)/=/1),作出函

數(shù)g?)的圖象，數(shù)形結(jié)合，分類討論函數(shù)q<_1、一1<.<0與a>()三種情況，得到對應(yīng)情

答案第31頁，共22頁

況下g(/(x))-。=0的解的個數(shù)，從而得解?

【詳解】因為函數(shù)“X)為R上的奇函數(shù)，當X20時〃x)=/_2x，

令x<0,貝IJ-x>0,貝U/(_》)=X2+2X，

又/(x)=-7'(f)=-x2-2x

x2—2x,x>0|j||i,、x2-2x,x>0

gW=，

*_2x,…’V+2x,x<0

設(shè)f=/(x)，作出函數(shù)g(/)的圖象,

對于A,當°＜一1時，函數(shù)g?)=q沒有實數(shù)根，不滿足題意;

對于B,當-1＜”0時，函數(shù)g⑺=〃有四個根"也網(wǎng),小

其中％e(-2,-1)，”(T，0)，6(0,1)-z4e(l,2)；

作出/(x)與y=%、y=t,、＞=4與了=。的圖象，如圖，

答案第41頁，共22頁

顯然幾個函數(shù)恰有8個交點，則g(/(x))-a=O有8個不同的解，故B正確；

對于CD,當0>0時，函數(shù)g(t)=q有兩個根,其中，［€(-%-2),^€(2,+(?)，

與選項B同理可知/(x)與>=/r>=弓各有一個交點，

則g(/(x))-a=。只有2個不同的解，不滿足題意，故CD錯誤?

故選：B.

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

9.AD

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，作差逐一判斷即可.

【詳解】因為—>o，

選項A：1-1=—<0,所以［<!，故A說法正確；

ababab

a-cb-c(q-c)(b-c)

^,a>b>c_^c>a>b,b-a八刖11

當或時n,5c)"c)"即=;

當">c>6時，b-a>0,即—L>」_,故B說法錯誤;

^a-c)\b-c)a-cb-c

選項c：當c=0時，ac=bc，故C說法錯誤；

選項D：因為［>(),所以烏>々，故D說法正確；

ccc

答案第51頁，共22頁

故選：AD

10.ABD

【分析】利用作差法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A,構(gòu)造函數(shù)NxjfglVTIT-x),研究

Mx)的性質(zhì)判斷B,利用/x)的單調(diào)性與奇偶性判斷CD,從而得解.

【詳解】對于A一一2x+2-

所以小-2X+2>(X-1)2?0，則G-2X+2>X-J

即G^T+1>0恒成立,所以小)的定義域為R,

且當x趨于無窮大時，片『^^+1接近于0，

X,-----------------------1

當趨于無窮小時，y=&-2x+2-x+l=,-----趨于無窮大，

v-2x+2+x-1

所以“X)的值域為R，故A正確；

對于B,因為/\x+l)=lg("(x+l)~-2(x+l)+2_(無+1)+1)=lg(+1-x),

令左(%)=九(，/+1-目,則/(x+D=Mx),易知Mx)的定義域為R,

又發(fā)(一X)+左(x)=1g(A/X?+1+x)+lg(Jx?+1-x)=1g1=0,

所以Mx)為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，即/(x+1)關(guān)于原點對稱，故B正確；

對于c,因為乂上.行1-x)=ig〉L—在(°，+°°)上遞減，

而將Mx)的圖象向右平移一個單位可得了卜)的圖象，

答案第61頁，共22頁

所以/（X）在（1,+00）上單調(diào)遞減，故C錯誤；

對于D,因為《（X）在（0,+8）上遞減，

且左（》）=坨（而［-%）為奇函數(shù)，則左（°）=°,

k（x）=lg（Vx2+l-x）在（f,+⑹上為減函數(shù)，

而將Mx）的圖象向右平移一個單位可得/（x）的圖象，

/（X）在（_Q0,+8）上為減函數(shù)，即/（X）在［1-加,1+〃”上單調(diào)遞減，

則M+N=/（1-〃?）+/（1+機）=々（一加）+左（加）=0，故D正確.

故選：ABD.

II.BCD

【分析】利用賦值法，結(jié)合條件分析得的值，從而判斷AB,利用賦值法，結(jié)合

AB中的結(jié)論、抽象函數(shù)的奇偶性和周期性的判定方法判斷CD,從而得解.

【詳解】對于B：令、=k°,則/'（。）=［/⑼了+［7（1）丁，

令、="1,則〃0）=［〃1）］2+［〃2）］2,所以［〃0）］2=［〃2）］

因為/（。）"2），所以〃0）=_〃2），

令x=l,y=o,則/⑴=+/⑵/（1）=0,故B正確；

對于A：由選項B可得〃0）=［/（0）］2,所以〃°）=°或/⑼=1,

若〃°）=°,貝"⑼=卜⑴了+［〃2）7=0,

答案第71頁，共22頁

所以"2)=0，這與〃0)w/(2)矛盾，舍去;

若/⑼=1,則八0)=[〃1)了+["2仃=0,解得〃2)=±1,

因為j(O)w/⑵,所以〃2)=-1，/(O)=P故A錯誤；

對于C令x=o,則/㈠)=〃0)/⑺+/(1)/(1+力，

因為/fl詞。，〃0)=1，所以/(-力=/(.，所以〃x)為偶函數(shù)，

令x=l，則/(]—)=/■⑴/3+/⑵+田一+力

即/(l-x)=-/(l+x)，所以/(l+x)+〃l-x)=O,故C正確；

對于D：由選項C知=+,所以/(_尤)=_/(》+2)，

又/(x)為偶函數(shù)，所以〃X)=〃T)=_/(X+2)，即,

所以/ixH40H-/8xH20H/ix?,故D正確.

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：抽象函數(shù)求值問題，一般是通過賦值法，即在已知等式中讓自變量取

特殊值求得一些特殊的函數(shù)值，解題時注意所要求函數(shù)值的變量值與已知的量之間的關(guān)系,

通過賦值還可能得出函數(shù)的奇偶性、周期性，這樣對規(guī)律性求值起到?jīng)Q定性的作用.

12.|巾〉】:

【分析】根據(jù)對數(shù)式的意義即可求解.

【詳解】要使函數(shù)有意義，則3x+l>0nx>」，

3

所以函數(shù)的定義域為日內(nèi)-4.

答案第81頁，共22頁

故答案為：

13.①②

【分析】利用對“向上取整函數(shù)”定義的理解，結(jié)合定義域與二次不等式的求解可判斷①

②，舉反例，結(jié)合函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義可判斷③④，從而得解.

【詳解】因為「回表示不小于x的最小整數(shù)，

貝U有「目會且即R-

對于①，7(x)=[x]=2024，貝!12023<xV2024,即xe(2023,2024],故①正確；

對于②，令r=[x]，則不等式可化為/_7l+12W0，解得3W4，

又”口]為整數(shù)，貝卜=3或七4，

當”3時，即「x]=3,則2<x43;

當/=4時，即卜]=4，則3<xW4，

所以2<x44,則xe(2,4],故②正確；

對于③，因為/(x)=「x「則/(0.5)=1，/(-0.5)=0~/(0.5)，

則/(x)=「x]不是R上的奇函數(shù)，故③錯誤；

對于④，因為/卜)=「/|，則/(0.5)=1,/(0.6)=b即/(0.5)=〃0.6)，

所以“X)在R上不單調(diào)遞增，故④錯誤.

故答案為：①②.

14.2

【分析】變形給定等式，換元0+26=加，用加表示凡/,，再代入，利用基本不等式求出最

小值.

答案第91頁，共22頁

【詳解】由-2/=1,得9+26)("6)=1,令a+2b=m,則…」,

m

角牟得。=生+-^-,3a-2b=a+2(tz-b)=—+-^―,

33m33機

因止匕3a2-lab=a(3a-2b)=(—+—)(—+—)=-(10+m2+^-)>-(10+2Im2-)=2,

33m33m9m9Vm

當且僅當/=/，即"『=4時取等號，

m

所以3片-2仍的最小值為2

故答案為：2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：將/+46-2〃=1變形為(q+2b)(q-b)=1,令a+2b=m，再表示

出4力是求出最小值的關(guān)鍵.

15.⑴”

2

1

⑵I

【分析】(1)根據(jù)根式與指數(shù)式的互化將根式化為同底的指數(shù)式，再結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)和

指數(shù)基性質(zhì)即可計算得解.

(2)根據(jù)對數(shù)性質(zhì)、運算法則和換底公式即可計算求解.

【詳解】⑴原式=(22)%(25)；+91=2吊3一3=23一；=3

⑵原式=[log25+glog20.2￥log52+|log50.5)

答案第101頁，共22頁

log5+loglogs2+logsj=log2V5xlog5V2

22I

xlgV|

lg2lg54

16.⑴3={X|-2WXV4}

⑵（f|_

【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，從而化簡集合B；

（2）利用集合間的包含關(guān)系，分類討論/=0與NX。兩種情況，得到關(guān)于％的不等式

（組），解之即可得解.

【詳解】（1）由得2-421423,

8

所以-3WX-1W3'解得-2WxW4'

所以8={x|-24x44卜

（2）因為A=^x\m+\<x<2m-1j）

當/=0時，加+1>2加-1，得m<2,滿足條件；

當/N0時，加三2且124刃+1,解得24加一；

[2m-l<42

綜上所述，加的取值范圍是Joo].

答案第111頁，共22頁

200X2-36X+600,0<X<2

17.

(D/(x)=，2000-^^-36x,2<x<5

1+x

(2)當使用肥料為5千克時，該水果樹單株利潤最大，最大利潤是卷上元.

【分析】(1)根據(jù)單株產(chǎn)量少與施用肥料x滿足的關(guān)系，結(jié)合利潤的算法，即可求得答案.

(2)結(jié)合二次函數(shù)的最值以及對勾函數(shù)求最值，分段計算水果樹的單株利潤，比較大小，

即可求得答案.

【詳解】(1)依題意，

200(X2+3)-36X,0<X<2

/(x)=20f7(x)-25x-llx=20平(x)-36x=<

20(100-—)-36x,2<x<5

1+x

200x2-36x+600,0<x<2

2000-^^-36X,2<X<5

1+x

(2)當04x42時，/(X)=200X2-36X+600>則當x=2時，/(x)取得最大值〃2)=1328;

當2<*'5時，/(X)=2036-一36(1+x)=2036-4[四+9(1+x)]

1+x1+X

人1+X=，G(3,6]500、500立將500^(3,6]二的、田、泄討

令,---+9(l+x)=——+9t,函數(shù)y=——十%在上單倜遞減，

1+xtt

當’=6時，加=苧,此時-，〃x)取得最大值〃5)=寫,而1328〈警,

因此當'=5時，"X)皿4460

3

所以當使用肥料為5千克時，該水果樹單株利潤最大，最大利潤是于元.

答案第121頁，共22頁

⑻（1）0=1

（2）/（x）在R上單調(diào)遞增，證明見解析

⑶{x|-4<x<l}

【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)/（（））=（）求得％再進行檢驗即可得解；

（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解；

（3）利用“X）的奇偶性與單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為/+2X<4_X，從而得解?

【詳解】（1）因為/（》）=?￡為奇函數(shù)，且定義域為R,

所以則上2=0,解得"=1,此時〃x）=:二=2，_:,

2°2-

貝I〃_司=2-，一.=一12:（）=一〃x），即〃x）為奇函數(shù)，

所以

（2）“x）在R上單調(diào)遞增，證明如下：

任取Xi⑦eR，且網(wǎng)<馬，則2?-2%<0，2X'-2X2>0

則〃再）-〃尤2）=2"

V'-2X1/、(1A

二2,—2%+----------=(2*一2*)1+----------<0>

2&.2工21々2X1-2X2)

所以/(x)</卜2)，故〃x)在R上單調(diào)遞增,

(3)因為+2x)+/(x-4)<0，

答案第131頁，共22頁

所以/(Y+2x)<-f{x-4)=/(4-x)，

則，+2x<4-x，即r+3無一4<0，解得一4<%<1，

所以+2x)+/(x-4)<0的解集為{x|-4<x<l卜

19.⑴x=J_+姮

22

⑵⑴y+0新］；(ii)證明見解析

I2)

【分析】(1)根據(jù)題意得由=分類討論XN1與X<1兩種情況去掉絕對值即可得

解；

(2)(i)分段討論“X)的解析式，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)分析得“X)的單調(diào)性，進而得到

關(guān)于。的不等式，解之即可得解；(ii)利用(i)中結(jié)論，分析得不三=3與演關(guān)于〃的表

達式，進而得解.

zy—12

【詳解】(1)當時，/(x)