湖北省武漢市鋼城第四中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2鋼城四中2021—2022(下)期中考試卷一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.下列各式運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是A.(1+i)2 B.i2(1-i) C.i(1+i)2 D.i(1+i)【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,再由純虛數(shù)的定義,即可求解.【詳解】由題意,對(duì)于A中,復(fù)數(shù)純虛數(shù),所以正確;對(duì)于B中,復(fù)數(shù)不是純虛數(shù),所以不正確;對(duì)于C中,復(fù)數(shù)不是純虛數(shù),所以不正確;對(duì)于D中,復(fù)數(shù)不是純虛數(shù),所以不正確,故選A.【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基本題.首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,要切實(shí)掌握其四則運(yùn)算技巧和常規(guī)思路.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2.已知四邊形的三個(gè)頂點(diǎn),,,且,則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本小題主要考查平面向量的基本知識(shí),先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)所給的點(diǎn)的坐標(biāo),寫出向量的坐標(biāo),根據(jù)向量的數(shù)乘關(guān)系,得到向量坐標(biāo)之間的關(guān)系,由橫標(biāo)和縱標(biāo)分別相等,得到結(jié)果.【詳解】解:設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y)∵=(4,3),=(x,y-2),且,∴解得故選A3.如圖所示,中,點(diǎn)是線段的中點(diǎn),是線段的靠近的三等分點(diǎn),則()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)槭蔷€段的靠近的三等分點(diǎn),所以,又是線段的中點(diǎn),所以,所以.故選:A.4.已知向量,,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意,結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和余弦的兩角和公式,即可求解.【詳解】解:因?yàn)橄蛄?,所以.故選:C.5.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象,若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后可得函數(shù)的解析式為:,的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,則:,即:,令可得:.故選:B6.若,則A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析:由,得或,所以,故選A.【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,倍角公式.【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)求值:①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化,通過(guò)相消或相約消去非特殊角,進(jìn)而求出三角函數(shù)值;②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確,建立已知和所求之間的聯(lián)系.7.在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,且,若,則的形狀是()A.等腰且非等邊三角形 B.直角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)余弦定理可知,再利用邊角互化,以及條件證明,從而判斷的形狀.【詳解】根據(jù)余弦定理可知,因?yàn)?所以,根據(jù)正弦定理可知,所以,所以,則的形狀是等邊三角形.故選:C8.如圖,在中,是線段上的一點(diǎn),且,過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線,于點(diǎn),,若,,則的最小值是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理,以及三點(diǎn)共線,可確定的關(guān)系,即,可得,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】由條件可得,∵,∴,因?yàn)槿c(diǎn)共線,∴,∴,∵,∴,則;當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),故的最小值是;故選:C.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.)9.復(fù)數(shù),i是虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A. B.z的共軛復(fù)數(shù)為C.z的實(shí)部與虛部之和為2 D.z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,整理復(fù)數(shù),再逐一分析選項(xiàng),即得.【詳解】由題得,復(fù)數(shù),可得,則A不正確;的共軛復(fù)數(shù)為,則B不正確;的實(shí)部與虛部之和為,則C正確;在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,位于第一象限,則D正確.綜上,正確結(jié)論是CD.故選:CD【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的定義,共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的模,考查知識(shí)點(diǎn)全面.10.下列命題中:其中正確的是()A.若,則或B.若不平行的兩個(gè)非零向量,滿足,則C.若與平行,則D.若,,則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量的概念、運(yùn)算性質(zhì)及平行關(guān)系進(jìn)行判定.【詳解】若,則,故A錯(cuò);若,則,故B對(duì);若與平行,則與夾角或,所以,故C對(duì);若,則和任意向量都平行,故D錯(cuò).故選:BC11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在單調(diào)遞減D.該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象【答案】BD【解析】【分析】由圖象求出函數(shù)解析式,然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng).【詳解】由函數(shù)的圖象可得,周期,所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,即,所以,則,又,得,故函數(shù).對(duì)于A,,故A不正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,即直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,故B正確;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,所以,函數(shù)在區(qū)間不單調(diào),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,將的圖象向右平移個(gè)單位后,得到的圖象,即D正確.故選:BD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題考查由圖象求三角函數(shù)的解析式,考查正弦型函數(shù)的性質(zhì).解題思路是圖象中最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求得,由零點(diǎn)或最值點(diǎn)求出周期從而得,再由點(diǎn)的坐標(biāo)求得,得函數(shù)解析式,然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解.12.如下圖所示,B是AC的中點(diǎn),,P是平行四邊形BCDE內(nèi)含邊界的一點(diǎn),且,以下結(jié)論中正確的是()A.當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí),,B.當(dāng)時(shí),C.若為定值時(shí),則在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P的軌跡是一條線段D.的最大值為【答案】CD【解析】【分析】結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算、三點(diǎn)共線等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析,從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意,,A選項(xiàng),當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí),,A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng),若設(shè)分別是的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng),交的延長(zhǎng)線于,則,且,所以,則點(diǎn)的軌跡是,,所以,B選項(xiàng)錯(cuò)誤C選項(xiàng),,,令、的中點(diǎn)為,由于,即,所以三點(diǎn)共線.設(shè)分別是的中點(diǎn),連接,交于,則,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡是,點(diǎn)的軌跡是,所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng),,由于平行四邊形在的左上方,三點(diǎn)共線,所以,,故當(dāng)取得最大值,取得最小值時(shí),取得最大值,D選項(xiàng)正確.故選:CD三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上,填錯(cuò)位置,書寫不清,模棱兩可均不得分.)13.已知復(fù)數(shù),滿足,則__________.【答案】【解析】【詳解】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的模都為1,可求得及間的關(guān)系,根據(jù)方程,得;表示出,代入即可求值.詳解:設(shè)因?yàn)樗约椿?jiǎn)得點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)模的定義及其相關(guān)運(yùn)算,運(yùn)算過(guò)程中注意熟練運(yùn)用解題的技巧,屬于基礎(chǔ)題.14.的值__________.【答案】1【解析】【分析】由,結(jié)合輔助角公式可知原式為,結(jié)合誘導(dǎo)公式以及二倍角公式可求值.【詳解】解:.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,考查了二倍角公式,考查了輔助角公式,考查了誘導(dǎo)公式.本題的難點(diǎn)是熟練運(yùn)用公式對(duì)所求式子進(jìn)行變形整理.15.在圓中,為圓心,,為圓上的兩點(diǎn),且滿足4,則在方向上的投影向量的模是______.【答案】2【解析】【分析】取的中點(diǎn),連接,則,由投影的定義可得答案.【詳解】取的中點(diǎn),連接,由垂徑定理可得在方向上的投影向量的模為故答案為:2

16.已知為銳角三角形,滿足,外接圓的圓心為,半徑為1,則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理,將轉(zhuǎn)化為邊,得到,將所求的轉(zhuǎn)化成,結(jié)合,全部轉(zhuǎn)化為的函數(shù),再求出的范圍,從而得到答案.【詳解】根據(jù)正弦定理,將轉(zhuǎn)化為即,又因?yàn)殇J角,所以.所以因?yàn)槭卿J角三角形,所以,所以,得,所以故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積,正、余弦定理解三角形,余弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì),屬于難題.四、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)17.已知、、是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量,其中,,(1)若,求m的值;(2)若與共線,求k的值.【答案】(1)-1,(2)-2【解析】【分析】(1)先算出的坐標(biāo),再用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可解得;(2)先算出與的坐標(biāo),再用向量共線的坐標(biāo)公式即可解得.【詳解】(1)因?yàn)?所以.(2),,因?yàn)榕c共線,所以.18.(1)已知,,其中,,求;(2)已知,,且,求的值.【答案】(1)-1;(2).【解析】【詳解】試題分析:(1),根據(jù)條件求解即可;(2),只需求和三角函數(shù)即可.試題解析:(1)∵,,,,∴,,∴.(2)∵,,∴,∵,,∴,∴,∴.∴點(diǎn)睛:在三角化簡(jiǎn)求值類題目中,常常考“給值求值”的問(wèn)題,遇見這類題目一般的方法為——配湊角:即將要求的式子通過(guò)配湊,得到與已知角的關(guān)系,進(jìn)而用兩角和差的公式展開求值即可.19.已知函數(shù).(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.(2)當(dāng)時(shí),求的最值.【答案】(1)最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為,;(2)最小值1,最大值為2.【解析】【分析】(1)結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,進(jìn)而判斷圖象性質(zhì);(2)利用整體代入法求函數(shù)的最值.【詳解】(1)函數(shù);∴的最小正周期為;令,;解得,;∴單調(diào)遞增區(qū)間為,;(2)當(dāng)時(shí),,∴;∴時(shí),取得最小值為1,時(shí),取得最大值為2.20.在中,三個(gè)內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,且.(1)求;(2)若,三角形的面積,求.【答案】(1).(2)【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合正弦定理得,再由余弦定理可得,即可得解;(2)由(1)結(jié)合三角形面積公式可得,則利用余弦定理可得,計(jì)算即可得解.【詳解】(1)由得,由正弦定理得即,,,由可得.(2)由(1)知,則,解得,又,,解得.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.21.如圖,洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù),現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái),已知射線為濕地兩邊夾角為的公路(長(zhǎng)度均超過(guò)千米),在兩條公路上分別設(shè)立游客接送點(diǎn),從觀景臺(tái)到建造兩條觀光線路,測(cè)得千米,千米.(1)求線段的長(zhǎng)度;(2)若,求兩條觀光線路與之和的最大值.【答案】(1)千米;(2)千米【解析】【分析】(1)在中利用余弦定理即可求得結(jié)果;(2)設(shè),根據(jù)正弦定理可用表示出和,從而可將整理為,根據(jù)的范圍可知時(shí),取得最大值.【詳解】(1)在中,由余弦定理得:千米(2)設(shè),因?yàn)?所以在中,由正弦定理得:,當(dāng),即時(shí),取到最大值兩條觀光線路距離之和的最大值為千米【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理求解實(shí)際問(wèn)題,涉及到三角函數(shù)最值求解問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠?qū)⑺缶嚯x之和轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的函數(shù)問(wèn)題,得到函數(shù)關(guān)系式后根據(jù)三角函數(shù)最值的求解方法求得結(jié)果.22.已知向量,函數(shù),