天津市河?xùn)|區(qū)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含解析】

河?xùn)|區(qū)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)

局一數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題4分，滿分32分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確結(jié)論的代號(hào)填在下表內(nèi).

1,已知集合/=3tK2},8={小〉0},則WB（）

A.{x|x<2}B,

C.{x\x>1}D.{x|x〉0}

【答案】B

【解析】

【分析】利用并集的運(yùn)算進(jìn)行求解即可.

【詳解】由集合N={x|—l<x<2},5={x|x>0},

則N={x|-l<xV2}u{x|x〉0}={x|x2-1）,

故選：B.

2.若夕：Hx〉I,/-3x+2〉0,則夕的否定為（）

A.3x>l,x2-3x+2<0B.3x<l,x2-3x+2<0

C.Vx<l,x2-3x+2<0D.Vx>l,x2-3x+2<0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用存在量詞命題的否定求解即可.

【詳解】命題P：it〉：1,/—3x+2〉0是存在量詞命題，其否定是全稱量詞命題,

所以命題?的否定為Vx〉l,x2-3x+2<0.

故選：D.

3.下列關(guān)系中，正確的有（）.

①%R；②國(guó)Q；③卜3|eN；?|-V5|eQ.

A1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)元素與集合之間的關(guān)系結(jié)合常用數(shù)集逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于①：因?yàn)镽為實(shí)數(shù)集，所以且eR，正確；

3

對(duì)于②④：因?yàn)镼為有理數(shù)集，所以后gQ,卜后卜布色。，②正確，④錯(cuò)誤;

對(duì)于③：因?yàn)镹為自然數(shù)集，卜3|=3eN,正確；

所以正確的有3個(gè).

故選：C.

4.十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“=”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利

奧特首次使用和“〉”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若

a>6>0,則下列結(jié)論正確的是（）

11,,,

A.—>—B.a+m<b+mC.出>b，D-3C<be

ab

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】由。>6>0=>。6>0=>幺所以選項(xiàng)A不正確；

ababba

由Q>b=a+加>b+加，所以選項(xiàng)B不正確；

由a〉b〉0nG〉VFna5〉A(chǔ)所以選項(xiàng)C正確；

當(dāng)。=0時(shí)，顯然3C<不成立，所以選項(xiàng)D不正確，

故選：C

5.函數(shù)/（x）=3——?jiǎng)e的部分圖象大致為（）

【答案】A

【解析】

【分析】分析函數(shù)/(x)的奇偶性，單調(diào)性，/(0)的正負(fù)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?(x)的定義域?yàn)镽,又/(—x)=3(—eE=3/_/=/(x),所以/(x)是偶函

數(shù)，

因?yàn)?(。)=一1<0,排除BC選項(xiàng)，

當(dāng)x?0時(shí)，f(x)=3x2-=3x2-ex,所以/'(x)=6x—e”,

令g(x)=/'(x),所以g'(x)=6-e)

所以當(dāng)0<x<ln6時(shí)，g'(x)〉O,當(dāng)x>ln6時(shí)，g'(x)<0,

所以g(x)在(O』n6)上單調(diào)遞增，在(In6,+⑹上單調(diào)遞減，

即/'⑴在(O,ln6)上單調(diào)遞增，在(ln6,+s)上單調(diào)遞減，

又以0)=—1,/,(ln6)=61n6-6>0,/(4)=24-e4<0,

，

所以存在占e(O,ln6),x2e(ta6,4)1使得/'(玉)=0,/(x2)=0,

所以當(dāng)xe(O,xJ時(shí)，/,(x)<0,當(dāng)》€(wěn)(石,X2)時(shí)，

當(dāng)》€(wěn)(》2，+°°)時(shí)，/'(x)<0,

所以/(x)在(O,xJ上單調(diào)遞減，在(國(guó),/)上單調(diào)遞增，在(9，+⑹上單調(diào)遞減，故A符合.

故選：A.

6.已知函數(shù)歹=/(x)的定義域?yàn)镽.則“/(0)=0"是"/(x)為奇函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】因函數(shù)的定義域是R,若/(x)為奇函數(shù)，則f(—x)=—f(x),

令x=0,可得/(0)=0,故"/(0)=0"<="/(x)為奇函數(shù)”，

但/(0)=0,函數(shù)/(x)不一定是奇函數(shù)，比如

故"/(0)=O"R"/(x)為奇函數(shù)”，

因此“/(0)=0"是“/(X)為奇函數(shù)”的必要不充分條件，

故選：B.

7.已知不等式分2+加+2>0的解集為{x|T<x<2},則不等式21+fox+a<0的解集為()

或

A.{x|-l<x<1}B.{x|x<-1x>g}C.{x|-2<x<l)D.{x|x<-2或久>1}

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)不等式分2+加+2>0的解集求出。，6,代入不等式2必+樂(lè)+。<0中，化簡(jiǎn)求出不等式

的解集.

【詳解】解：因?yàn)椴坏仁椒?+加+2>0的解集為{x|T<x<2},

72

ax?+bx+2=0的兩根為一1,2,且。<0,即—1+2=—，(—1)x2=—,解得〃=—1,6=1,

aa

則不等式可化為2/+x-i<o,解得則不等式2必+法+。<0的解集為

2

[T<x</

故選：A.

8.已知J=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)％,丫氏(占5),都有(七一％)(/(西)一/12))<0.若

/(1)=-1,則滿足—1W/(X-2)W1的x的取值范圍是()

A[1,3]B.[-1,1]C.[0,4]D.[-2,2]

【答案】A

【解析】

【分析】先利用奇函數(shù)得到/(-1)=1,再?gòu)念}意可得到歹=/(x)是R上的減函數(shù)，即可求出答案

【詳解】因?yàn)?(1)=-1,y=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(一1)=1,

因?yàn)閂X1,%eR,(MNX2),都有(X1-工2)(/(否)一/卜2))<0，

所以y=/(x)是R上的減函數(shù)，

因?yàn)?⑴=T4/(x-2)Wl=/(-l),

所以——241,解得1WXW3,故x的取值范圍是[1,3],

故選：A

二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，滿分24分.請(qǐng)將答案填在題中橫線上.

9.函數(shù)/(x)=+4的定義域?yàn)?

X

【答案】(一8,0)U(0,2]

【解析】

【分析】根據(jù)題意列關(guān)于x的不等式組即可求解.

【詳解】由題要使得/(X)有意義，貝“XW0，

故x42且xw0,

從而/(X)的定義域?yàn)?一叫0)U(0,2],

故答案為：(-?,0)U(0,2].

11,

10.已知正實(shí)數(shù)X,V滿足一+—=1,則x+4v最小值為

xy

【答案】9

【解析】

【分析】利用基本不等式的性質(zhì)直接求解即可.

11,

【詳解】?.?正數(shù)x,V滿足：一+—=1,

XJ

...X+4J=(X+4-[-+—=5+—+—>5+2!—-—=9,

7y)xyNxy

4yx3

當(dāng)且僅當(dāng)上=—,即x=2y,x=3,>=—時(shí)"=”成立，

xy2

故答案為：9.

11.已知哥函數(shù)/(x)=(機(jī)-2)/',則加=.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義求出參數(shù)功的值.

【詳解】由/(x)=(機(jī)—2)x及為幕函數(shù)，

則m-2=1,解得m=3,則/(x)=1,

故答案為：3.

2x2+3,x>0

12.已知函數(shù)/(x)=<0,x=0,則/(/(—1))=.

3,x<0

【答案】21

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先求/(-1)=3,再求/(/(-1)),即可求解.

【詳解】由/(—1)=3,則/(/(-1))=/(3)=2X32+3=21,

故答案為：21.

13.調(diào)查顯示，垃圾分類投放可以帶來(lái)約0.34元/千克的經(jīng)濟(jì)效益.為激勵(lì)居民垃圾分類，某市準(zhǔn)備給每個(gè)

家庭發(fā)放一張積分卡，每分類投放1kg積分1分，若一個(gè)家庭一個(gè)月內(nèi)垃圾分類投放總量不低于100kg,

則額外獎(jiǎng)勵(lì)無(wú)分(尤為正整數(shù)).月底積分會(huì)按照0.1元/分進(jìn)行自動(dòng)兌換.

①當(dāng)x=10時(shí)，若某家庭某月產(chǎn)生120kg生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換元；

②為了保證每個(gè)家庭每月積分卡兌換的金額均不超過(guò)當(dāng)月垃圾分類投放帶來(lái)的收益的40%,則尤的最大

值為.

【答案】0.13②.36

【解析】

【分析】①計(jì)算出該家庭月底的積分，再拿積分乘以0.1可得出該家庭該月積分卡能兌換的金額；

②設(shè)每個(gè)家庭每月產(chǎn)生的垃圾為fkg,每個(gè)家庭月底月積分卡能兌換的金額為/(7)元，分04/<100、

72100兩種情況討論，計(jì)算/(/)的表達(dá)式，結(jié)合/?)<0.34/x0.4可求得尤的最大值.

【詳解】①若某家庭某月產(chǎn)生120kg生活垃圾，則該家庭月底的積分為120+10=130分,

故該家庭該月積分卡能兌換130義0.1=13元；

②設(shè)每個(gè)家庭每月產(chǎn)生的垃圾為/kg,每個(gè)家庭月底月積分卡能兌換的金額為/?)元.

若0</<100時(shí)，f(f)=0.1t<0.34/x0.4=0.136,恒成立；

若,2100時(shí)，f(^)=O.k+O.lx<0.34^x0.4,<(0.36Z)mjn=36.

故龍的最大值為36.

故答案為：①13；②36.

14.關(guān)于x的不等式辦2+辦—2<0在R上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(—8,0]

【解析】

【分析】分a=0和討論，a20時(shí)根據(jù)二次函數(shù)開(kāi)口向下，且與x軸無(wú)交點(diǎn)列出不等式即可

【詳解】1°若a=0,得-2<0,符合題意

a<0

2°若<7/0,由題知〈人2O八,解得一8<。<0

△=tr+8a<0

綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,0]

故答案為：(-8,0]

三、解答題：本大題共5小題，滿分44分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或推理過(guò)程.

￡_________j_

6⑴計(jì)算2,(6—2『—+3)°；

(2)已知0<x<l,求y=x(3—3x)的最大值.

53

【答案】(1)--；(2)—.

24

【解析】

【分析】(1)利用指數(shù)幕的運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)求解;

(2)利用基本不等式進(jìn)行求解.

【詳解】(1)

U-252%卜82+1

1

=——4+273-122+1

2

=--4+2V3-2V3+l=--.

22

(2)由0<x<l,則l—x>0,

則y=x(3—3x)=3x(1一x)(3="

當(dāng)且僅當(dāng)x=l-x,即、=工時(shí)，等號(hào)成立，

2

1a

所以當(dāng)％=5時(shí)，V=%(3—3x)的最大值為“

16.設(shè)全集U=R,集合力={#2+5%>0卜集合5={%卜一時(shí)<4卜其中功eR.

(1)當(dāng)加=2時(shí)，求4c8,應(yīng)“2臺(tái)；

(2)若8=4,求加的取值范圍.

【答案】(1)4cB={司0<%<6),={x卜5Vx<6}

(2){加帆V-9或加24}

【解析】

【分析】(1)解一元二次不等式求出集合A,解絕對(duì)值不等式求出集合5,再根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算可

得；

(2)由8=4,可得加+4W—5或加—420,解得即可.

【小問(wèn)1詳解】

由12+5%>0，即(x+5)x>0,解得x〉0或x<—5,

所以/={%,<一5或x>0},則eZ={H-5<x<。},

由上一加|<4,即一4<%—加<4,解得加一4<、<加+4,

所以5={x|加一4<%<加+4

當(dāng)加=2時(shí)，B=^x\-2<x<6j],

所以Z={x[0<x<6},(Q/N)=3-5<x<6}.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?={x]掰一4<x<m+4}且

所以加+4<—5或加一420,

解得加W-9或加24,

即功的取值范圍為{機(jī)|切<一9或m24}.

17.已知a,6都是正實(shí)數(shù)，

(1)試比較/+人3與仍2+/6的大小，并證明；

(2)當(dāng)a+Z)=l時(shí)，求證：111+()29.

【答案】(1)a3+b3>ab-+a2b，證明見(jiàn)詳解

(2)證明見(jiàn)詳解

【解析】

【分析】(1)利用做差法可得答案；

(2)利用基本不等式可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

結(jié)論：ai+bi>ab2+a2b，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，等號(hào)成立.

證明：(a3+b3^-^ab2+a2b^=(a3-ab2^+(b3-a2b^

=a(a1-b2^+b^b2-a2^=^a+b^[a-b^,

因?yàn)閍,6都是正數(shù)，所以(a+b)(a—bp20,當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)，等號(hào)成立,

即當(dāng)且僅當(dāng)。=/,時(shí)，等號(hào)成立;

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閍,b,c都是正數(shù)，且a+Z?=l,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=，時(shí)，等號(hào)成立.

2

18.已知函數(shù)/(切=^^是定義在(-M)上的函數(shù).

(1)判斷并證明函數(shù)/(X)的奇偶性；

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并用定義法證明；

【答案】(1)奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析

(2)/(%)在(一1,1)上為單調(diào)遞增函數(shù)，證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)奇偶性的定義判斷和證明即可；

(2)根據(jù)單調(diào)性的定義判斷和證明即可.

【小問(wèn)1詳解】

函數(shù)/(x)為奇函數(shù)

證明如下：函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?/p>

/(-x)=^-=-/(x).

JT+1

所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù).

【小問(wèn)2詳解】

/(%)在(-1,1)上為單調(diào)遞增函數(shù)

證明如下：

設(shè)一1V'l<%2<1，

則/&)—/(/)=9

X]+1%+1(再+1)(工2+1)

因?yàn)橐?Vxi，

所以-+1)(^2+1)>0，

則/㈤夕馬).

故/(%)在(-1」)上為單調(diào)遞增函數(shù).

19.已知函數(shù)/(%)=4"+