拓展之構造函數(shù)法解決導數(shù)不等式問題（原卷版）-2025年高考數(shù)學一輪復習訓練

第09講：拓展二：構造函數(shù)法解決導數(shù)不等式問題

目錄

類型一：構造/(x)=x"(x)或網尤)=華(〃eZ,且"0)型........2

類型二：構造％，=6造(%)或歹(x)=4?(〃eZ,且"0)型.......3

e

類型三：構造/(x)=/(x)sin%或％x)=2型....................4

sinx

類型四：構造/(x)=/(x)cosx或2x)=3型....................5

cosX

類型五：根據(jù)不等式(求解目標)構造具體函數(shù)...............7

1、兩個基本還原

①/'(x)g(x)+f(x)g'(x)="(x)g(x)]'②/'(X)g(：)—#X)g'(X)=[弋丫

[g(x)]~g(x)

2、類型一：構造可導積函數(shù)

①*"'(x)+叭x)]=[e""(x)r高頻考點1：e'"'(x)+/(x)]=[e"(x)r

②X"T[V'(X)+叭X)]=[X"(X)了

高頻考點1：xf'(x)+f(x)=\_xf(x)]f高頻考點2x[xf\x)+2/(%)]=[x2/(x)]f

③八x)：4(x)=[配r高頻考點1：/X)/(x)=[駕了

eeee

xf'(x)-nf(x)"(x),

?XJi

高頻考點1：=[2M]，高頻考點2礦(X)二2/(x)=[駕r

XXXX

⑤f\x)sinx+/(%)cosx=[/(x)sinx]f

⑥f\x)cosx-/(x)sinx=[/(x)cosx]f

序號條件構造函數(shù)

1尸(x)g(x)+/(x)g'(x)>0尸(x)=f(x)g(x)

2r(x)+/(x)<0F(x)=exf(x)

3f'(x)+nf(x)<QF(x)=eMf(x)

4#'(*)+/(*)>0尸(x)=xf(x)

5#\%)+2/(%)<0F(x)=x2f(x)

6xf'(x)+nf(x)>QF(x)=x"/(x)

7f\x)sinx+/(x)cosx>0F(x)=/(x)sinx

8/r(x)cosx-/(x)sinx>0F(x)=f(x)cosx

3,類型二：構造可商函數(shù)

①/⑴?⑴=[當)]高頻考點1；=[當2了

eeee

exf'(x)-7礦(x)_r/(%),,,

U—L-J

Jin+1Jin

高頻考點1：礦⑴/(X)=[2M1高頻考點2：礦(X)二2/(x)=[△當

XXXX

③/'(x)sinx-/(x)cosx=1/(x)了

sin2xsinx

⑥/'(x)cosx+/(x)sinx=1/(x)了

一COS2XCOSX

高頻考點

類型一：構造b(x)=x"(x)或/(x)=C^("eZ,且"0)型

典型例題

例題L(23-24高二下?天津?階段練習)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)f(x)滿足

xf\x)-f(x)<0,且〃2)=2,則e，>0的解集是()

A.(YO,1II2)B.(In2,-Ko)C.(0,e2)D.(e2,+oo)

例題2.(23-24高三上?江蘇南通,期末)已知函數(shù)/(x)及其導函數(shù)/'(x)的定義域均為(0,+8),

若4(x)<2/(x),則()

A.4e2/(2)<16/(e)<e2/(4)B.e7(4)<4e2/(2)<16/(e)

C.e2/(4)<16/(e)<4e2/(2)D.16f(e)<e7(4)<4e2/(2)

例題3.(22-23高二下?重慶榮昌?期中)定義在R上的偶函數(shù)/'(x)的導函數(shù)為尸(x),且當

x<0時，xf'(x)+2f(x)<0.則()

A〃e)”2)

B.9〃3)>八1)

'4e2

D,迪小

C.4/(-2)<9/(-3)

9e2

練透核心考點

L（23-24高三上?天津?期中）已知定義域為R的奇函數(shù)＞=/（元）的導函數(shù)為y=/'（x）,當

若圖,"（一2）,。=1L

xw0時,1f(x)+四<0,n則a,6,c的大小關

X

系正確的是（）

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

2.（23-24高三上?江西南昌?階段練習）若函數(shù)y=滿足4＞'（%）＞-/（%）在R上恒成立,

且a＞Z?,則（）

A.af（b）＞bf（a）B,qf（a）＞bf（b）

C.af^a）＜bf[b}D.af（b）＜bf（a）

3.（多選）（23-24高二下?福建莆田?開學考試）已知尸（x）為函數(shù)的導函數(shù)，當x＞0時,

有了（司-獷'（同＞0恒成立，則下列不等式一定成立的是（）

A?佃立MB.佃＜2心

C.巾＞2〃1）D.2/出＞〃1）

類型二：構造2x)=e""(x)或/(x)=4^(〃wZ,且"0)型

e

典型例題

例題1.（23-24高二下?河北石家莊?階段練習）已知定義在R上的函數(shù)/（X）,其導函數(shù)為

廣（6,且〃力＜『'（"，則（）

A./（2024）＞/（2023）B./（2024）＞eA（2023）

C.e/^（2024）＜/（2023）D./（2024）＜e2/（2023）

例題2.（2024?貴州貴陽?一模）已知定義域為R的函數(shù)“X）,其導函數(shù)為尸（x）,且滿足

/'（x）-2/（^）＜0,"0）=1,貝IJ（）

A.e2/（-l）＜lB."I）:

C-＞eD.出

例題3.23-24高三嚀夏石嘴山?期中)已知函數(shù)f(x)在R上的導函數(shù)為了'⑴，若f(x)<2/'(x)

恒成立，且"In4)=2,則不等式的解集是()

A.(In2,+oo)B.(2In2,+oo)C.(^x),ln2)D.(田,21n2)

練透核心考點

1.(23-24高二上?江蘇宿遷?期末)函數(shù)/(尤)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)x恒有

r(x)-/(x)>0,則()

A./(-1)>0B./(3)>ef(2)

D.ef(3)>/(4)

2.(22-23高三下?江西南昌?階段練習)已知定義在(-2,2)上的函數(shù)滿足

/U)+e4'/(-^)=0/(l)=e2,/(尤)為f(x)的導函數(shù)，當xe[0,2)時，f'(x')>2f(x),則不

等式e2，/(2-x)<e4的解集為()

A.(—1,1)B.(—1,2)

C.(14)D.(1,5)

3.(22-23高二下?河南洛陽?期末)已知尸(x)是定義在R上的函數(shù)“X)的導函數(shù)，對于任

意的實數(shù)x,都有=當尤>0時，〃x)+/'(x)>0.若〃a+l"e2"T〃3a),

則實數(shù)。的取值范圍為()

A-RRB.匕2

(1]「1)/1]「1)

I2」14JI4」[2J

類型三：構造*x)=/(x)sinx或4乃=①型

sinx

典型例題

例題1.(22-23高二下?四川成都?期末)記函數(shù)/⑺的導函數(shù)為7'(x),若/⑺為奇函數(shù)，且

當xj-5,01寸恒有/(x)cos%+/'(x)sinx>0成立，則()

練透核心考點

1.(23-24高三上?黑龍江齊齊哈爾?期末)已知函數(shù)〃x)的定義域為(0,兀)，其導函數(shù)是1(x).

若對任意的xe(0,兀)有了'(尤)sinr-〃X)COK<0,則關于尤的不等式/(x)>2/(^)sinx的解集

為()

A.(0,，)B.(0,—)C.(—，^)D.(—,7r)

3636

2.(22-23高二下?四川成都?期末)記函數(shù)f(x)的導函數(shù)為/'(x),若/(X)為奇函數(shù)，且當

類型四：構造/(x)=/(x)cosx或％為=公型

COSX

典型例題

0,?上的函數(shù)“X),廣⑺是它的導函數(shù),

例題1.(2023高二上?寧夏石嘴山?期末)定義在

且恒有了(耳>/(分3%成立.則()

A.石啟］佰］B.V3/(l)<2cosl/

例題2.(2023?全國?模擬預測)已知定義在上的函數(shù)/(X)滿足/(-x)=〃x),當

xe(o,3時，不等式〃x)siiir+尸(x)cosx<0恒成立(尸(X)為〃尤)的導函數(shù))，若

acosl=/(-l),Z>cos-|=/(-lnVe),c=2/11J,貝ij()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

例題3.(2023高三上?江蘇南通?階段練習)已知函數(shù)對于任意的電卜3，2滿足

/'(x)cosx+〃x)sinx>0(其中「(力是函數(shù)〃x)的導函數(shù))，則下列不等式成立的是()

D./(0)>2/

練透核心考點

L(22-23高二下?陜西咸陽?期中)已知廣⑺是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，/(x)-/(-x)=0,且

對于任意的有廣(x)cosx+〃x)sinx>0.請你試用構造函數(shù)的方法，利用函數(shù)的

單調性判斷下列不等式一定成立的是(

C./(-l)<V2/fjcosl

2.(22-23高二下?四川成者B?期末)記函數(shù)f(x)的導函數(shù)為「(X),若A》)為奇函數(shù)，且當

3.(22-23高二下?山東聊城?階段練習)定義在10,皆上的函數(shù)f(x),已知尸(x)是它的導函

數(shù)，且恒有cosx-/'(x)+sinx-/(x)<0成立，則有()

c.町內燃0何會〈后中

類型五：根據(jù)不等式(求解目標)構造具體函數(shù)

典型例題

例題1.(23-24高二上?山西運城?期末)定義在R上的可導函數(shù)/(九)滿足

XX—1

/(x)-/(-x)=xex+—,當％vO時，/'(%)+—^>0,若實數(shù)〃滿足

exe

f(2a)-f{a+2)-2ae-2a+aca-2+2e^-2<0,則4的取值范圍為()

-2-

A.——,2B.[2,+co)

C.u[2,+co)D.(—8,2]

2.(2024?全國?模擬預測)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)〃尤)的導函數(shù)為((無)，若/'(無)

3x

/g)=3,則關于x的不等式3*>10>2苫的解集為()

3.(2023?吉林長春?一模)定義域為R的函數(shù)/(尤)的導函數(shù)記作了'(x),滿足/'a)-/(x)>3e',

/(2)=6e2