實(shí)數(shù)及其運(yùn)算-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（江蘇專用）（解析版）

第一章數(shù)與式

第01講實(shí)數(shù)及其運(yùn)算（3~6分）

（思維導(dǎo)圖+14考點(diǎn)+6種題型+難度分層練）

考情透視目標(biāo)導(dǎo)航..............................................................2

知識導(dǎo)圖思維導(dǎo)航..............................................................3

考點(diǎn)突破考法探究..............................................................4

重點(diǎn)考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類......................................................4

重點(diǎn)考點(diǎn)二數(shù)軸、相反數(shù)'絕對值'倒數(shù).......................................5

重點(diǎn)考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)（高頻考點(diǎn)）..................................7

重點(diǎn)考點(diǎn)四實(shí)數(shù)比較大小....................................................8

重點(diǎn)考點(diǎn)五平方根、算術(shù)平方根、立方根......................................9

重點(diǎn)考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算（高頻考點(diǎn)）.........................................11

題型精研考向洞悉.............................................................12

第一部分：常考考點(diǎn)講練........................................................12

考點(diǎn)1：數(shù)軸................................................................12

考點(diǎn)2：相反數(shù)..............................................................13

考點(diǎn)3：絕對值..............................................................14

考點(diǎn)4：科學(xué)記數(shù)法..........................................................14

考點(diǎn)5：平方根..............................................................16

考點(diǎn)6：算術(shù)平方根..........................................................16

考點(diǎn)7：立方根..............................................................17

考點(diǎn)8：無理數(shù)..............................................................18

考點(diǎn)9：實(shí)數(shù)................................................................19

考點(diǎn)10：實(shí)數(shù)的性質(zhì).........................................................19

考點(diǎn)11：實(shí)數(shù)與數(shù)軸.........................................................20

考點(diǎn)12：實(shí)數(shù)大小比較.......................................................22

考點(diǎn)13：估算無理數(shù)的大小...................................................23

考點(diǎn)14：實(shí)數(shù)的運(yùn)算.........................................................24

第二部分：高頻題型洞悉........................................................25

題型1:有關(guān)實(shí)數(shù)的大小比較..................................................................25

題型2：有關(guān)實(shí)數(shù)的計(jì)算問題..................................................................27

題型3：無理數(shù)的估算..........................................................................28

題型4：有關(guān)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的簡單應(yīng)用題........................................................30

題型5：有關(guān)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的復(fù)雜應(yīng)用題........................................................31

題型6：數(shù)軸中的數(shù)形結(jié)合思想................................................................35

分層訓(xùn)練鞏固提升..................................................................................38

基礎(chǔ)夯實(shí)訓(xùn)練....................................................................................38

能力拔高訓(xùn)練....................................................................................42

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求考直頻次（地區(qū)版加）命題預(yù)測

理解有理數(shù)、無理數(shù)的概念，知道10年8考實(shí)數(shù)這一考點(diǎn)在中考數(shù)學(xué)中

實(shí)數(shù)的分類

實(shí)數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的屬于較為簡單的一類考點(diǎn)，在

可以借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值近10年連續(xù)考查中考，實(shí)數(shù)的分類及相關(guān)概念

實(shí)數(shù)的相關(guān)概的意義，會求實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對主要以選擇題或填空題形式

念值、倒數(shù)，知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)考查，比較簡單；科學(xué)記數(shù)法、

----對應(yīng)近似數(shù)多以選擇題或填空題

利用科學(xué)記數(shù)法簡化表示非常大或形式考查，有大數(shù)和小數(shù)兩種

科學(xué)記數(shù)法、

非常小的數(shù)，了解近似數(shù)，會按問形式,有時(shí)帶“億”“萬”“千萬”

近似數(shù)

題的要求進(jìn)行簡單的近似計(jì)算等單位，做題時(shí)要仔細(xì)審題，

實(shí)數(shù)比較大小靈活運(yùn)用多種方法比較實(shí)數(shù)大小切忽略單位；實(shí)數(shù)的大小比較

常以選擇題形式出現(xiàn)，常與數(shù)

平方根、算術(shù)了解平方根、算術(shù)平方根、立方根

平方根、立方的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、軸結(jié)合考查；實(shí)數(shù)的運(yùn)算考查

根算術(shù)平方根、立方根形式多樣，多數(shù)以解答題形式

出現(xiàn)，結(jié)合絕對值、銳角三函

掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘

數(shù)、二次根式、平方根、立方

方及簡單的混合運(yùn)算（以三步以內(nèi)

實(shí)數(shù)的相關(guān)計(jì)根等知識考查.對于實(shí)數(shù)的復(fù)

為主）；能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡

算習(xí)，需要學(xué)生熟練掌握實(shí)數(shù)相

單的問題，知道有理數(shù)的運(yùn)算律在

關(guān)概念及其性質(zhì)的應(yīng)用、實(shí)數(shù)

實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

運(yùn)算法則和順序等考點(diǎn).

知識導(dǎo)圖?思維引航

零既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)正數(shù)大于0的數(shù)

正數(shù)和負(fù)數(shù)」-------------；----------

0的相反數(shù)、絕對值是0關(guān)于零要牢記--------------負(fù)數(shù)小于0的數(shù)

Qi殳有倒數(shù)數(shù)軸在直線上用點(diǎn)表示數(shù)

且到原點(diǎn)距離相等位于原點(diǎn)兩側(cè)相反數(shù)的幾何意義相反數(shù)只有符號不同的兩個(gè)數(shù)

絕對值數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

非負(fù)性

去絕對值，看符號把握難點(diǎn)相關(guān)概念

同2。

非負(fù)數(shù)

專

VazO(azO)

知

學(xué)

題

識

正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)法

-----------------------1法則比較法

輸

兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小--------------指

01實(shí)

理

導(dǎo)

數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)數(shù)軸比較法

數(shù)

a—6>0oa>"及

作差比較法

a-b=Qo<i=b]

。-IvOoaVbl其

翅的大小

tt?運(yùn)

fvloavb

作商比較法算

loa-b(a>0,b>6)

若。＞0.6＞0.則"＞y。。＞6平方比較j去

比較被開方數(shù)根指數(shù)相同匕啦被開方數(shù)

化簡絕對值時(shí)，沒有判斷絕對值符號中各個(gè)數(shù)或式子的正負(fù)

實(shí)數(shù)的混合計(jì)算“兩變”出現(xiàn)錯(cuò)誤學(xué)習(xí)誤區(qū)

用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，容易把n的值算措

考點(diǎn)突破?考法探究

重點(diǎn)考點(diǎn)一實(shí)數(shù)的分類

國充實(shí)縣礎(chǔ)知識精沮

1、正負(fù)數(shù)的概念:大于0的數(shù)叫做正數(shù).正數(shù)前面加上符號的數(shù)叫負(fù)數(shù).負(fù)數(shù)前面的負(fù)號不能省

略.0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù).

2、正負(fù)數(shù)的意義:表示具有相反意義的量.在一對具有相反意義的量中，通常先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另

一個(gè)就用負(fù)表示.

3、整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)（本質(zhì)：能夠化為分?jǐn)?shù)的形式）.無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).有理數(shù)和無理數(shù)

統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

4、實(shí)數(shù)的分類:

1）按定義分類:2）按性質(zhì)分類:

廉!唐^易錯(cuò)把握細(xì)節(jié)

L有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù),因此有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù).（例：0.53（分?jǐn)?shù)形

qQ4.

式：—1.333333…（分?jǐn)?shù)形式：-）等）.

1003

2.無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù),因此無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù).（例如："，=（不是分?jǐn)?shù)）等）.

3.帶根號的數(shù)并不都是無理數(shù)，而開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù).

4.對非負(fù)整數(shù)、非正整數(shù)、非負(fù)數(shù)、非正數(shù)分類時(shí)遺漏0.

技巧點(diǎn)撥方法歸納

判斷一個(gè)數(shù)是有理數(shù)或無理數(shù)的方法

關(guān)鍵：1.有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，而無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)的形式.

2.判斷一個(gè)數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果.如J16是有理數(shù)，而不是無理數(shù).

常見的無理數(shù)：

①開方開不盡的數(shù)，如：&、V5等.

②有特定意義的數(shù)，如圓周率“，或化簡后含有”的數(shù)，如5-3+“，

③具有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（兩個(gè)1之間依次增加1個(gè)0）.

④某些三角函數(shù)，如sin60°、cos20°.

重點(diǎn)考點(diǎn)二數(shù)軸'相反數(shù)、絕對值'倒數(shù)

習(xí)夯實(shí)目礎(chǔ)卻濱崎以

相關(guān)概念概念補(bǔ)充與拓展

數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)具有一一對應(yīng)的關(guān)系.

將兩個(gè)數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示

的數(shù)大.

數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、在數(shù)軸上距原點(diǎn)n個(gè)單位長度的點(diǎn)有2個(gè).

單位長度的直線叫做數(shù)軸中點(diǎn)公式：數(shù)軸上有兩點(diǎn)A、B分別表示的數(shù)為x,y,若C是A、

數(shù)軸.B兩點(diǎn)的中點(diǎn)，C所表示的數(shù)為c,則有：2c=x+y.

數(shù)軸兩點(diǎn)距離=數(shù)軸上右側(cè)的點(diǎn)所表示的數(shù)-左側(cè)的點(diǎn)表示的數(shù)

（簡稱大數(shù)-小數(shù)）.

若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0（反之亦成立）.

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的的距離相等且

位于原點(diǎn)的兩側(cè).

只有符號不同的兩個(gè)正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0.相反數(shù)

相反數(shù)數(shù)稱為互為相反數(shù).是本身的數(shù)是0.

(a+b)的相反數(shù)是-(a+b),(a-b)的相反數(shù)是-(a-b)或b-a.

多重符號化簡口訣：數(shù)負(fù)號個(gè)數(shù)，奇負(fù)偶正.

兩個(gè)正數(shù)比較，絕對值大數(shù)越大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小.

正數(shù)的絕對值是它本身；0絕對值是0；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)

若a=a（或a-a=0）,則a20,若a=-a（或a+a=0）,則aWO.

在數(shù)軸上表示數(shù)a的若a二b或a二-b,則a=b(反之亦成立).

絕對值點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做若a+b=0,則a=0且b=0(a、b可以是多項(xiàng)式).

a的絕對值，記為|a|.幾何意義補(bǔ)充：1x|=|x-O],數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離

X-1,數(shù)軸上表示X的點(diǎn)與表示1的點(diǎn)之間的距離

x+2,數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示-2的點(diǎn)之間的距離

0沒有倒數(shù).

1除以一個(gè)不等于零

若a、b互為倒數(shù)，則ab=l

倒數(shù)的實(shí)數(shù)所得的商，叫

互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)必定同號(同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)).

做這個(gè)數(shù)的倒數(shù).

倒數(shù)是本身的只有1和T.

n個(gè)相同的因數(shù)a相負(fù)數(shù)的奇次塞是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)

乘記作a",其中a為正數(shù)的任何次幕都是正數(shù).

乘方

底數(shù)，n為指數(shù)，

規(guī)定：a°=l（aWO）

乘方的結(jié)果叫做鬲.

廉I腐顓易錯(cuò)把握細(xì)節(jié)

1.0的相反數(shù)是0,0的絕對值是0.絕對值最小的數(shù)是0.最小的自然數(shù)是0.0是最小的非負(fù)數(shù).

2.任何一個(gè)數(shù)都有且只有一個(gè)相反數(shù).任何一個(gè)數(shù)的絕對值總是正數(shù)或0(或非負(fù)數(shù)).

3.到已知點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)有兩個(gè)，注意分類討論.此外，運(yùn)用數(shù)軸可以將絕對值化為幾何問題，代數(shù)式

|x-a|的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與a所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，代數(shù)式|x+a|的幾何意義是數(shù)軸上x

所對應(yīng)的點(diǎn)與一a所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，不可將兩者混淆.

。技巧點(diǎn)撥方法歸納

1.數(shù)軸上的動點(diǎn)問題

解決動點(diǎn)問題首先要做到仔細(xì)理解題意，弄清運(yùn)動的整個(gè)過程和圖形的變化，然后再根據(jù)運(yùn)動過程展

開分類討論畫出圖形，最后針對不同情況尋找等量關(guān)系列方程求解.而對于建立在數(shù)軸上的動點(diǎn)問題來說，

由于數(shù)軸本身的特點(diǎn)，這類問題常有兩種不同的解題思路.一種是根據(jù)“形”的關(guān)系來分析尋找等量關(guān)系，

也就是利用各線段之間的數(shù)量關(guān)系列方程求解；另一種是從“數(shù)”的方面尋找等量關(guān)系，就是利用各點(diǎn)在

數(shù)軸上表示的數(shù)之間存在的內(nèi)在關(guān)系列方程.因此解決數(shù)軸上的動點(diǎn)問題要明確以下幾個(gè)問題：

1.找出動點(diǎn)的基準(zhǔn)坐標(biāo)，即運(yùn)動的起始坐標(biāo)；

2.算出動點(diǎn)運(yùn)動后的坐標(biāo)：

向右運(yùn)動：運(yùn)動后的坐標(biāo)=基準(zhǔn)坐標(biāo)+運(yùn)動路程；

向左運(yùn)動：運(yùn)動后的坐標(biāo)=基準(zhǔn)坐標(biāo)-運(yùn)動路程；

3.表示線段長度：線段右端點(diǎn)表示的數(shù)-線段左端點(diǎn)表示的數(shù)；

4.列方程：根據(jù)運(yùn)動的關(guān)系或題目中的條件，列出方程，未知數(shù)通常是運(yùn)動時(shí)間t、速度v或所求坐標(biāo)；

5.求解

2.利用零點(diǎn)分段法化簡絕對值

零點(diǎn):使得絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式為0的未知數(shù)的值，稱為絕對值的零點(diǎn)

利用零點(diǎn)分段法去絕對值符號的方法：

1.化簡含絕對值的式子，關(guān)鍵是去絕對值符號，先根據(jù)所給的條件，確定絕對值符號內(nèi)的數(shù)的正負(fù)（即a>0,

a<0,還是a=0）如果已知條件沒有給出其正負(fù)，應(yīng)該進(jìn)行分類討論.

2.分類討論時(shí)先假設(shè)每個(gè)絕對值符號內(nèi)的數(shù)（或式子）等于0,得到相應(yīng)的未知數(shù)的值；再把這些值表示在數(shù)

軸上，對應(yīng)的點(diǎn)（零點(diǎn)）將數(shù)軸分成了若干段，在每一小段上，絕對值內(nèi)代數(shù)式的符號都是能夠判定的；最后

依次在每一段上化簡原式，這種方法被稱為零點(diǎn)分段法

零點(diǎn)分段法的具體步驟：1.找零點(diǎn)2分區(qū)間；3.定正負(fù);4.去符號.

重點(diǎn)考點(diǎn)三科學(xué)記數(shù)法與近似數(shù)（高頻考點(diǎn)）

￡1?夯實(shí)目礎(chǔ)知i只精誼

相關(guān)概念概念補(bǔ)充與拓展

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時(shí)，確定a,n的值是關(guān)鍵

科學(xué)記數(shù)

Xl（r的形式，其中14|a|當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時(shí)，寫成aX10"的形式，其中l(wèi)W|a|<

法

<10,n為整數(shù).10,n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1

當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時(shí)，寫成aXl（r的形式，其中iw|a1<

10,n等于原數(shù)左邊第一個(gè)非零的數(shù)字前的所有零的個(gè)數(shù)（包

括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.

小技巧：1萬=10,1億=1萬*1萬=1（）8

近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程近似數(shù)小數(shù)點(diǎn)后的末位數(shù)是0的，不能去掉0

度通常用精確度來表示，近一個(gè)近似數(shù)從左邊第一位非。的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有

近似數(shù)似數(shù)一般由四舍五入取得，的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字

四舍五入到哪一位，就說這一個(gè)近似數(shù)有幾個(gè)有效數(shù)字，就稱這個(gè)近似數(shù)保留幾個(gè)有效數(shù)

個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.字

?ft窿顓易錯(cuò)把握細(xì)節(jié)

1.含有萬、億等單位的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)，要先還原成原數(shù)，再用科學(xué)記數(shù)法表示，最后按要求取

近似值.

2.科學(xué)記數(shù)法的表示的數(shù)ax1。11還成成原數(shù)時(shí)，n>0時(shí)，小數(shù)點(diǎn)就向右移動n位得到原數(shù)；

n<0時(shí)，小數(shù)點(diǎn)則向左移動|n|位得到原數(shù).

3.對于較大的數(shù)取近似數(shù)時(shí)，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來表示.例如：356000（精確到萬位）的結(jié)果是3.6X

105.

4.用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時(shí)，只看乘號前面的數(shù)字.例如：4.0X10”的有效數(shù)字是4,0.

重點(diǎn)考點(diǎn)四實(shí)數(shù)比較大小

回夯實(shí)目礎(chǔ)Hli只嶂/

實(shí)數(shù)比較大小的6種基礎(chǔ)方法：

1.數(shù)軸比較法：將兩個(gè)數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.

2.類別比較法：正數(shù)大于零；負(fù)數(shù)小于零；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.

3.作差比較法：若a,b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，則

①a-b>O<=>a>b；②a-b=O<=>a=b；③a-b〈O<=>a<b

4.平方比較法：①對任意正實(shí)數(shù)a,b,若￡>b2aa>b

②對任意負(fù)實(shí)數(shù)a,b,若a^b2ga〈b

5.倒數(shù)比較法：若l/a>l/b,ab>0,則a<b

6.作商比較法:6任意實(shí)數(shù)a,b,a/b=lOa=b

2）任意正實(shí)數(shù)a,b,a/b>l<=>a>b,a/b<l<=>a>b

3）任意負(fù)實(shí)數(shù)a,b,a/b>l<=>a<b,a/b<l<=>a>b

?技巧點(diǎn)撥方法歸納

L取近似值法：通過估算，將無理數(shù)取近似值，即可比較出這兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.這里需要我們記住三個(gè)常用

的近似值：V2?l.414,J3心1.732,J5-2.236

2.添加根號法：如果兩個(gè)數(shù)都是正數(shù)，且一個(gè)帶根號.一個(gè)不帶根號時(shí)，可以將不帶根號寫成帶根號的形式

根據(jù)“兩個(gè)正無理數(shù)，被開方數(shù)大的那個(gè)數(shù)大”，即可與另一個(gè)含根號的數(shù)比較大小.

3.放縮法：將一個(gè)實(shí)數(shù)取比它大的整數(shù)，而另一個(gè)實(shí)數(shù)取比它小的整數(shù)，通過這兩個(gè)整數(shù)的大小即可比較

兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.（例如：比較了3和2.5大小.："3〈2,2〈2.5/.V3<2.5）

重點(diǎn)考點(diǎn)五平方根'算術(shù)平方根、立方根

m夯實(shí)目礎(chǔ)卻浪精沮

相關(guān)概

概念補(bǔ)充與拓展

念

如果一個(gè)正數(shù)X的平方等于a,即x'a,那

算術(shù)平正數(shù)只有一個(gè)算術(shù)平方根，且恒為正；。的算術(shù)平

么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.記為V

方根方根為0；負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根

a,a叫做被開方數(shù).

平方根如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù).

做a的平方根或二次方根，即如果x'a,那

0的算術(shù)平方根為0;負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根.

么x叫做a的平方根.

正數(shù)只有一個(gè)正的立方根；0的立方根是0;負(fù)數(shù)

如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,即x'a,那么x

立方根只有一個(gè)負(fù)的立方根.

叫做a的立方根或二次方根

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根互為相反數(shù)

常見實(shí)數(shù)的平方根與立方根:

1八22八23八24八25八26八27八28八29八210八2

149162536496481100

AA

常見數(shù)的11212八213八214八215216八217八218八219八220八2

平方

121144169196225256289324361400

25八230八235八240八2

62590012251600

常見數(shù)的1八32八33八34八35八36八37八38八39八310八3

立方

1827641252163435127291000

實(shí)數(shù)的非負(fù)性及性質(zhì)：

1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù).

2.非負(fù)數(shù)有三種形式：①任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的絕對值是非負(fù)數(shù)，即|a|20；

②任何一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方是非負(fù)數(shù)，即a?》。；

③任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即

3.非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì)：①非負(fù)數(shù)有最小值零；②非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù)；

③幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0

?ft裔顓易錯(cuò)把握細(xì)節(jié)

1.一個(gè)正數(shù)a的算數(shù)平方根用符號表示為Ja,一個(gè)非負(fù)數(shù)a的平方根用符號表示為土Ja；一個(gè)數(shù)a的立

方根用符號表示為3Ja

2.0的算術(shù)平方根、平方根和立方根都是0;平方根等于其自身的有0和1;立方根等于其自身的有一1、

0和1.

3.有時(shí)候題目會故意沒有把Ja去根號，這時(shí)候就要注意千萬不要把Ja的平方根當(dāng)作a的平方根，要先

把Ja去根號，再求平方根.

重點(diǎn)考點(diǎn)六實(shí)數(shù)的運(yùn)算（高頻考點(diǎn)）

眉^兗實(shí)目礎(chǔ)知識精沮

常見的實(shí)數(shù)運(yùn)算:

運(yùn)算法則特殊計(jì)算

乘方①(-a)n=ann為偶數(shù)①（T）x1n為偶數(shù)

②(-a)n=-ann為奇數(shù)②（T）n=Tn為奇數(shù)

零次籌a0=l(aWO)

負(fù)整數(shù)的指數(shù)a-n二（aKO,n為正整數(shù)）a-1-(aHO)

ana

罌

去括號①-(a-b)=-a+b或b-a

②+(a-b)=a-b

去絕對值符號①|(zhì)a-b=a~b,a>b

②|a-b=0,a=b

③|a-b二b-a,a<b

三角函數(shù)30°45°60°

j_V2V3

sina

2~2~~2~

cosaV3V2J_

~2~22

V3

tana1V3

3

實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算：

1.實(shí)數(shù)的加法法則：

1）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

2）異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時(shí)，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.

2.實(shí)數(shù)的減法法則：

減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).

3.實(shí)數(shù)的乘方法則：

1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；

2）任何數(shù)同0相乘，都得0.

4.實(shí)數(shù)的除法法則：

1）除以一個(gè)不為0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；

2）0除以任何不為0的數(shù)，都得0.

5.運(yùn)算順序：加和減屬于運(yùn)算中的第一級運(yùn)算，級別是最低的，通常放在最后面計(jì)算；乘和除屬于運(yùn)算中

的第二級運(yùn)算，級別中等，運(yùn)算順序高于加和減；而乘方和開方則屬于第三級運(yùn)算，級別較高，通常是最

優(yōu)先計(jì)算的（如果有括號，先算括號內(nèi)的；如果沒有括號，在同一級運(yùn)算中，要從左至右進(jìn)行運(yùn)算，無論

何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算）.

高^易錯(cuò)把握細(xì)節(jié)

1.有理數(shù)的運(yùn)算定律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律、加法交換律、乘法交換律、

乘法結(jié)合律、乘法分配律.

2.在實(shí)數(shù)混合運(yùn)算中不注意運(yùn)算順序?qū)е陆Y(jié)果錯(cuò)誤，所以要牢記運(yùn)算順序避免出錯(cuò)：

①先算乘方，再算乘除，最后算加減；

②有括號先算括號里面的，再算括號外面的；先算小括號，再算中括號，最后算大括號.

@技巧點(diǎn)撥方法歸綱

實(shí)數(shù)運(yùn)算的“兩個(gè)關(guān)鍵”：

1）明確運(yùn)算順序：要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里

面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算.

2）運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

題型精研?考向洞悉?

第一部分：?？伎键c(diǎn)講練

考點(diǎn)1：數(shù)軸

【例1】（2024?蘇州）用數(shù)軸上的點(diǎn)表示下列各數(shù)，其中與原點(diǎn)距離最近的是（）

A.-3B.1C.2D.3

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)I-3|=3,|1|=1,|2|=2,|3|=3,而3<2<1,可知1與原點(diǎn)距離最近.

【規(guī)范解答】解：一3|=3,111=1,|21=2,131=3,

而3<2<1,

.?.1與原點(diǎn)距離最近，

故選：B.

【考點(diǎn)評析】本題考查的是數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)的分布特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【變式1]（2024?灌云縣一模）點(diǎn)A在數(shù)軸上的位置如圖所示，將點(diǎn)A向左移動3個(gè)單位長度得到點(diǎn)3,

則點(diǎn)3表示的數(shù)是（）

A.4B.3C.-3D.-2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)平移規(guī)律：左減右加，直接求取即可得到答案.

【規(guī)范解答】解：由題意可得，

?.?點(diǎn)A向左移動3個(gè)單位長度得到點(diǎn)B,

.?.點(diǎn)3代表的數(shù)字是：1-3=-2,

故選：D.

【考點(diǎn)評析】本題主要考查數(shù)軸，掌握數(shù)軸上點(diǎn)平移規(guī)律：左減右加是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)2：相反數(shù)

【例2】（2024?鹽城）2024的相反數(shù)是（