實(shí)數(shù) 知識(shí)歸納與題型突破（二十一類題型清單） （原卷版）-2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)（北師版）

第二章實(shí)數(shù)知識(shí)歸納與題型突破（二十一類題型清單）

01思維導(dǎo)圖

題型十一整數(shù)部分、小數(shù)部分問(wèn)題

題型一實(shí)數(shù)的概念與分類

題型十二實(shí)數(shù)的大小比較

題型二平方根與算術(shù)平方根

題型十三實(shí)數(shù)與數(shù)軸

題型三平方根立方根解方程問(wèn)題

題型十四無(wú)理數(shù)的估算

題型四算術(shù)平方根的非負(fù)性

題型十五程序框圖

題型五立方根

實(shí)數(shù)

題型六立方根的性質(zhì)及應(yīng)用

題型十七二次根式的概念、有意義的條件、求值

題型七平方根與立方根綜合問(wèn)題

題型十八二次根式的化簡(jiǎn)

題型八算術(shù)平方根、立方根的實(shí)際應(yīng)用

題型十九最簡(jiǎn)二次根式等有關(guān)概念

題型九小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)問(wèn)題

題型二十二次根式的運(yùn)算

題型十用計(jì)算器開方

酬二十一二次根式的應(yīng)用

02知識(shí)速記

一、平方根和立方根

平方根立方根

項(xiàng)目

被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實(shí)數(shù)

符號(hào)表示±-j~a\[a

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且互為一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；

相反數(shù)；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；

性質(zhì)

零的平方根為零；零的立方根是零；

負(fù)數(shù)沒有平方根；

(八)2=a(a>0)(V^")3=a

重要結(jié)論^=\a\=[a(a-0)二a

[-a(a<0)V-ci--\[a

二、無(wú)理數(shù)與實(shí)數(shù)

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).

1.實(shí)數(shù)的分類

'正有理數(shù)'

有理數(shù)零有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)＜負(fù)有理數(shù),

‘正無(wú)理數(shù)'

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

負(fù)無(wú)理數(shù)

要點(diǎn)：(1)所有的實(shí)數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù).其中有限小數(shù)和無(wú)限

循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).

(2)無(wú)理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如山，次等；

②有特殊意義的數(shù)，如“；

③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…

(3)凡能寫成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)，并且無(wú)理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.

2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)--對(duì)應(yīng)

數(shù)軸上的任何一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，反之任何一個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng).

4.實(shí)數(shù)的運(yùn)算

數(shù)。的相反數(shù)是一。；一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0.

有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序：先乘方、開方、再乘除,

最后算加減.同級(jí)運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里.

5.實(shí)數(shù)的大小的比較

有理數(shù)大小的比較法則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

法則L實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;

法則2.正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小；

法則3.兩個(gè)數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.

三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)

1.二次根式

形如五僅20)的式子叫做二次根式，如而血，面等式子，都叫做二次根式.

要點(diǎn)：二次根式正有意義的條件是。20,即只有被開方數(shù)。20時(shí)，式子正才是二次根式，正才有意

義.

2.二次根式的性質(zhì)(1).JJ>o(u/2：0);(2)(瓜?=白320);(3)|“a(a>0)

-a(a<0)

3.最簡(jiǎn)二次根式

(1)被開方數(shù)是整數(shù)或整式；

(2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.

滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.如15,肩,3日，必方等都是最簡(jiǎn)二次根式.

要點(diǎn)：最簡(jiǎn)二次根式有兩個(gè)要求：(1)被開方數(shù)不含分母(2)被開方數(shù)中每個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

4.同類二次根式

幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫同類二次根式.

要點(diǎn)：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.

四、二次根式的運(yùn)算

1.乘除法

(1)乘除法法則：

類型法則逆用法則

___積的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：

二次根式的乘法4ax=4ab(a>0,>0)r—廠八，八、

7ab=x7b(a>0,6>0)

商的算術(shù)平方根化簡(jiǎn)公式：

要點(diǎn)：

(1)當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘(或相除)的法則，如

a4b-cy[d=ac4bd-

(2)被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)(在分母上時(shí)只能為正數(shù)).如，(-4)><(-9)要口乂".

2.加減法

將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同

類二次根式.

要點(diǎn)：二次根式相加減時(shí)，要先將各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再找出同類二次根式，最后合并

同類二次根式.如行+3行-5后=(1+3-5)應(yīng)=-行.

03題型歸納

題型一實(shí)數(shù)的概念與分類

例題

11a1

1.在下列各數(shù)：3.1415926、—、近、—>癇中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)()

7111

A.2B.3C.4D.5

鞏固訓(xùn)練

2.在實(shí)數(shù)-后,0.31,-工,-l,必，而N,凱麗,0.1010010001…，（每隔一個(gè)1增加一個(gè)0）中，無(wú)理數(shù)有

37

（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

3.下列說(shuō)法正確的是（）

A.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和一定是無(wú)理數(shù)B.無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)

C.實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示D.分?jǐn)?shù)可能是無(wú)理數(shù)

4.把下列各數(shù)填人相應(yīng)的集合內(nèi)：

-%,工3.1,±0.8080080008...（相鄰兩個(gè)8之間0的個(gè)數(shù)逐步甲1）,-,72,^8,--,736,^25,74-1

3942

整數(shù)集合｛…｝

負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛...）

有理數(shù)集合｛...）

無(wú)理數(shù)集合｛...）

題型二平方根與算術(shù)平方根

例題

5.下列說(shuō)法正確的是（）

A.-8的立方根是±2B.（-4）2的算術(shù)平方根是一4

C.J話的平方根是±4D.0的平方根與算術(shù)平方根都是0

鞏固訓(xùn)練

6.下列計(jì)算正確的是（）

A.（V3）2=3B.±VT=1C.V16=+4D.1（-3）2=—3

7.一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別為4僅-2與-1則這個(gè)正數(shù)為（）

A.1B.2

8.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.一是0.25的一個(gè)平方根B.正數(shù)。的兩個(gè)平方根的和為0

93

C.2的平方根是D.當(dāng)x*0時(shí)，有平方根

164

9.J話的算術(shù)平方根等于（）

A.4B.±4C.2D.±2

題型三平方根、立方根的解方程問(wèn)題

例題

10.解方程:

（1）（X-1）2=V36

⑵（XT「27

鞏固訓(xùn)練

11.求出下列x的值.

（1）4--49=0；

（2）27（x+l）3=-64.

題型四算術(shù)平方根的非負(fù)性

例題

12.已知.、6為實(shí)數(shù)，且百。+。-2|=0,則2a-36的值為（）

9

A.-12B.-5C.—D.13

10

鞏固訓(xùn)練

13.已知X，y為實(shí)數(shù)，且JT^+3（v+2）2=0,貝！Jx-y的值為（）

A.3B.-3C.1D.-1

14.已知|2。+6］與國(guó)-互為相反數(shù).

⑴求。、6的值.

⑵求24-36的平方根.

15.已知一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為。，面積為S,則（）

A.S=&B.S的平方根是。

C.。是S的算術(shù)平方根D.a=+4s

題型五立方根

例題

16.對(duì)于舛說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.表示-8的立方根B.結(jié)果等于-2C.與一酶的結(jié)果相等D.沒有意義

鞏固訓(xùn)練

17.下列說(shuō)法正確的是（）

A.任意實(shí)數(shù)都有平方根B.任意實(shí)數(shù)都有立方根

C.任意實(shí)數(shù)都有平方根和立方根D.正數(shù)的平方根和立方根都只有一個(gè)

18.后7=—?

20.已知h-a=-2,則〃■的值是（

A.±2B.2C.±3D.3

題型六立方根的性質(zhì)及應(yīng)用

例題

21.若哄+在7=0,則x和y的關(guān)系是（）

A.x=y=0B.x和y互為相反數(shù)C.不能確定D.x和y相等

鞏固訓(xùn)練

22.已知也一2x與朗3x-7互為相反數(shù),則工=

23.2°-1的平方根為±3,3“-6+1的立方根為2,則#2a+26+1的值為（）

A.-3B.3C.±3D.不確定

題型七平方根與立方根綜合問(wèn)題

例題

24.若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與它的立方根相同，則這個(gè)數(shù)是（）

A.1B.0或1C.0D.非負(fù)數(shù)

鞏固訓(xùn)練

25.已知2。一1的平方根是±3,6-1的立方根是2,貝！|。=,b=,的算術(shù)平方根是.

26.如果/="口即花為°+36的算術(shù)平方根，si"-%二/為1-"的立方根，則4+2的平方根為

題型八算術(shù)平方根、立方根的實(shí)際應(yīng)用

例題

27.依次連結(jié)2x2方格四條邊的中點(diǎn)得到一個(gè)陰影正方形，設(shè)每一方格的邊長(zhǎng)為1,陰影正方形的邊長(zhǎng)是

)

A.2B.V2C.V3D.2.5

鞏固訓(xùn)練

28.如圖在長(zhǎng)方形/BCD內(nèi)，兩個(gè)小正方形的面積分別為1和2,則圖中陰影部分的面積為（）

12

A.1B.1C.V2D.V2-1

29.已知一個(gè)正方體的體積是lOOOcn?,現(xiàn)在要在它的8個(gè)角上分別截去1個(gè)大小相同的小正方體，截去后

余下部分的體積為936cm3,則截去的每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)是cm.

題型九算術(shù)平方根、立方根小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)問(wèn)題

例題

30.如果蚯與721.333,^237-2.872,那么如23700?.

鞏固訓(xùn)練

31.已知=貝!1#0.007+W7000的值是()

A.0.1aB.aC.1.1aD.10.1。

32.已知JO.158720.3984,71.587q1.26040.1587a0.5414,^/1.587。1.166聰明的同學(xué)你能不用計(jì)算器得出

（1）715.87?.（2）40.001587。

題型十用計(jì)算器開方

例題

Hmn則計(jì)

33.利用教材中的計(jì)算器依次按鍵如下:

算器顯示的結(jié)果與下列各數(shù)中最接近的一個(gè)是（）

A.0.5B.0.6C.0.8D.0.9

鞏固訓(xùn)練

34.在使用。F570型號(hào)的計(jì)算器時(shí)，小明輸入一個(gè)數(shù)據(jù)后,按照以下步驟操作，依次按照從第一步到第三

步循環(huán)按鍵：

輸入x-—I2ndFI[x^~|

第一步第二步第三步

若一開始輸入的數(shù)據(jù)為5,那么第2022步之后，顯示的結(jié)果是（）

11

A.5B.-C.—D.25

525

11

A.8B.4C.-D.-

84

題型十一整數(shù)部分、小數(shù)部分問(wèn)題

例題

36.若回的整數(shù)部分為加，則的算術(shù)平方根的值最接近整數(shù)（）

A.2B.3C.4D.5

鞏固訓(xùn)練

37.已知4+而的小數(shù)部分是。，4-而的小數(shù)部分是6,則（4+6廣3=.

38.已知正數(shù)x的兩個(gè)不等的平方根分別是2.-14和。+2,6+1的立方根為-3；c是行的整數(shù)部分，若

a+^c=m+n,其中加為整數(shù)，0<?<1,則（〃+3）（6-〃?）=.

39.在學(xué)習(xí)《實(shí)數(shù)》內(nèi)容時(shí)，我們通過(guò)“逐步逼近”的方法可以計(jì)算出行的近似值，得出1.4<后<1.5.利

用“逐步逼近”法，請(qǐng)回答問(wèn)題：

（1）而介于連續(xù)的兩個(gè)整數(shù)。和b,S.a<b,那么。=_,6=_；

⑵如果指的小數(shù)部分為。，后的整數(shù)部分為6,求a+6-石的值；

（3）已知：10+6=x+y,其中x是整數(shù)，且0<><1,求>7的值.

題型十二實(shí)數(shù)的大小比較

例題

40.在實(shí)數(shù)1,0,-6，-0中，最小的是.

鞏固訓(xùn)練

41.比較大?。骸⒖冢ㄌ顚憽啊怠被蚧?/p>

2V4

42.比較大?。航?-（選填“>”，“<”或“=”）

3—3

題型十三實(shí)數(shù)與數(shù)軸

例題

43.如圖，實(shí)數(shù)一行+1在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能是（）

-2-101234

A.4點(diǎn)B.2點(diǎn)C.C點(diǎn)D.D點(diǎn)

鞏固訓(xùn)練

44.下列說(shuō)法正確的是（）

A.有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)

B.血是一個(gè)近似值，不是準(zhǔn)確值

C.兩個(gè)整數(shù)相除，如果永遠(yuǎn)都除不盡，那么結(jié)果一定是一個(gè)無(wú)理數(shù)

D.任意一個(gè)無(wú)理數(shù)的絕對(duì)值都是正數(shù)

45.觀察下圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1.

（1）圖中陰影部分（正方形）的面積是,邊長(zhǎng)是；

（2）作圖：在數(shù)軸上作出邊長(zhǎng)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸（要求保留作圖痕跡）；

?1??1?1???1A

-5-4-3-2-1012345

（3）在（2）題的數(shù)軸上表示1的點(diǎn)記為點(diǎn)N也在這條數(shù)軸上且肱V=直接寫出點(diǎn)N表示的數(shù).

題型十四無(wú)理數(shù)的估算

例題

46.估計(jì)2幾-2的值應(yīng)在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

鞏固訓(xùn)練

47.已知.<石<6,a,6是連續(xù)的正整數(shù)，則6的值為（）

A.4B.5C.6D.7

48.加、"是連續(xù)的兩個(gè)整數(shù)，若機(jī)則機(jī)+〃的值為.

49.下面是小李同學(xué)探索加的近似數(shù)的過(guò)程：

??,面積為107的正方形邊長(zhǎng)是灰而，且10<&57<11,

???設(shè)萬(wàn)=io+x,其中o<x<i,畫出如圖示意圖,

???圖中S正方形-102+2X10X+X2,s正方形=107.

.?■102+2X10X+X2=107,

當(dāng)/較小時(shí)，省略一,^20^+100^107,得到X。0.35,EPVH)7?10.35.

⑴V7Z的整數(shù)部分是:

（2）仿照上述方法，探究舊的近似值.（畫出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫出求解過(guò)程，精確到0.1）

（3）結(jié)合上述具體實(shí)例，己知非負(fù)整數(shù)a、b、m，若a<J￡<a+l,且機(jī)=/+人請(qǐng)估算而u.（用

a、6的代數(shù)式表示）

題型十五程序框圖

例題

50.在信息技術(shù)課上，好學(xué)的小明制作了一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)刈幻<20）的運(yùn)算程序如圖所示，若輸出的y值為亞

時(shí)，則輸入的實(shí)數(shù)x可取的負(fù)整數(shù)值是.

/輸入zJP計(jì)算2小乖算數(shù)平方根卜/輸出y/

鞏固訓(xùn)練

51.如圖，有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，流程如下圖所示，當(dāng)輸入x的值為64時(shí)，則輸出y的值是.

52.如圖是一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器示意圖:

⑴當(dāng)輸入的x為36時(shí)，輸出的V的值是；

(2)若輸入x值后，始終輸不出y的值，則滿足題意的x值是；

(3)若輸出的了>2,則x的最小整數(shù)值是.

題型十六材料信息題

例題

53.觀察上表中的數(shù)據(jù)信息：則下列結(jié)論：①J2.2801=1.51；@723409-^23104=1；③只有3個(gè)正整

數(shù)。滿足ISZvGvlSJ;?V231-1.51<0.其中正確的是.(填寫序號(hào))

a1515.115.215.315.4

a2225228.01231.04234.09237.16

鞏固訓(xùn)練

54.對(duì)于任何實(shí)數(shù)°,我們規(guī)定：用符號(hào)表示不超過(guò)。的最大整數(shù)，例如：回=2,[6]=1,

[-2.5]=-3.現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作:

第1次第2次第3次

72A[772]=8>[㈤=2?[應(yīng)]=1'

這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?.類似地，只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是.

題型十七二次根式的概念、有意義的條件、求值

例題

55.下列式子屬于二次根式的是()

A.V7B.yC.V3D.ypj

鞏固訓(xùn)練

56.若代數(shù)式工在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，貝口的取值范圍是.

57.已知2)Ja-2,則。的取值范圍是.

58.已知”是正整數(shù)，病工是整數(shù)，則”的最小值為.

59.已知x、y為實(shí)數(shù)，且y=G?-57+4,則x、y的值分別為(

A.9、4B.2、3C.4、9D.3、4

題型十八二次根式的化簡(jiǎn)

例題

60.化簡(jiǎn)：,（1一可=

鞏固訓(xùn)練

61.若刈<0,則曲化簡(jiǎn)后的結(jié)果是（）

A.x-JyB.Xy/-yC.-xy/^yD.-Xyfy

62.實(shí)數(shù)相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖，則化簡(jiǎn)，（加—2）2+-7）2的結(jié)果為（

-10123m4

A.2m-9B.-5C.5D.9-2m

63.如果J（無(wú)一3『=3-x,那么x的取值范圍是（）

A.x<3B.x<3C.x>3D.x>3

題型十九最簡(jiǎn)二次根式等有關(guān)概念

例題

64.下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.B.y/9C-V1TD.V12

鞏固訓(xùn)練

65.下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.VL5KB.J12a-126C.y/x2-y2D.

66.下列各組二次根式中，能合并的是（）

A.0和血B.痘和麻C.血和風(fēng)D.石和而

67.若最簡(jiǎn)二次根式工業(yè)行與匹式是同類二次根式，則三

68.如果最簡(jiǎn)二次根式J2x+1和j4x-3能合并,則x的值為（)

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A.—