考研學習筆記 同濟大學數(shù)學系《高等數(shù)學》（第7版）（下冊）筆記和課后習題（含考研真題）詳解

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(-a,—b,c).(3)點(a,b,c)關于坐標原點的對稱點是(-a,-b,-c).9.自點三分別作各坐標面和各坐標軸的垂線，寫出各垂足的坐標.坐標為；P?D為點Po關于xOy面的垂線，垂足D坐標為(xo,yo,0);P?E為點Po關于yOz面的垂線，垂足E坐標為為點看關于x軸的垂線，垂足A的坐標為(xo,0,0);底為點P?關于y軸的垂線，解：如圖8-2-4所示，過且平行于z軸的直線1上的點的坐標，其特點是，它們的橫坐12.求點M(4,-3,5)到各坐標軸的距離.13.在yOz面上，求與三點A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距離的解：所求點在yOz面上，不妨設為P(0,y,z),點P與三點A,B,C等距離，知由一知即解上述方程組，得y=1,z=-2.故所求點坐標為(0,1,-2).形.15.設已知兩點和,計算向量一的模、方向余(3)由~故向量垂直于x軸和y軸，即與z軸18.一向量的終點在點B(2,-1,7),它在x軸、y軸和z軸上的投影依次為4,-4和故x=-2,y=3,z=0,因此A點坐標為(-2,3,0).a在x軸上的投影為13,在y軸上的分向量為7j.習題8-2數(shù)量積向量積混合積解：已知,故垂直的單位向量.由知4.設質量為100kg的物體從點M1(3,1,8)沿直線移動到點M?(1,4,2),計算重力所作的功(坐標系長度單位為m,重力方向為z軸負方向).W=F·M?M?=(0,0,-980)·(-2,35.在杠桿上支點O的一側與點O的距離為F的點「處，有一與F成角的力「作用著；在O的另一側與點O的距離為「的點F處，有一與=成角「的力「作用著(圖8-2-6).問1,三符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡?解：如圖8-2-6所示，已知有固定轉軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零，又由對力矩即 7.設,問與有怎樣的關系，能使得==與z軸垂直?λa+μb=A(3,5,-2)+μ(2,1,4)=(3λ+2μ,即故l,因此當時能使==.與z軸垂直.即可.由9.已知向量和,計算：故而由行列式的性質知故12.試用向量證明不等式其中為任意實數(shù).并指出等號成立的條件.證：設向量從而當與成比例，即時，上述等式成立.習題8-3平面及其方程解：所求平面與已知平面-平行.因此所求平面的法向量可取為T,設所求平面為2.求過點且與連接坐標原點及點一的線段一垂直的平面方程.解：.所求平面與垂直，可取,設所求平面方程為將點1代入上式，得D=-121.故所求平面方程為解：由,得,即為所求平面方程.4.指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：(7)6x+5y-z=0.解：(1)～(7)的平面分別如圖8-2-8(a)~(g)所示.(2)3y-1=0表示過點且與y軸垂直的平面.(3)2x-3y-6=0表示與z軸平行的平面.(4)=表示過z軸的平面.(5)y+z=1表示平行于x軸的平面.(6)x-2z=0表示過y軸的平面.5.求平面2x-2y+z+5=0與各坐標面的夾角的余弦.6.一平面過點(1,0,-1)且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0),試求這7.求三平面的交點.解得，x=1,y=-1,z=3.故所求交點為(1,-1,3).(1)平行于xOz面且經(jīng)過點(2,-5,3);(2)通過z軸和點(-3,1,-2);(3)平行于x軸且經(jīng)過兩點(4,0,-2)和(5,1,7).解：(1)所求平面平行于xOz面，故設所求平面方程為By+D=0.將點(2,-5,3)代入，得-5B+D=0,即D=5B.因此，所求平面方程為By+5B=0,即y+5=0.(2)所求平面過z軸，故設所求平面方程為Ax+By=0.將點(-3,1,-2)代入，得(3)所求平面平行于x軸，故設所求平面方程為By+Cz+D=0.將點(4,0,-2)及(5,1,7)分別代入方程得-2C+D=0及B+7C+D=0.解得即9.求點(1,2,1)到平面x+2y+2z-10=0的距離.習題8-4空間直線及其方程1.求過點(4,-1,3)且平行于直線的直線方程.解：所求直線與已知直線平行，故所求直線的方向向量,直線方程即為2.求過兩點的直線方程.解：取所求直線的方向向量因此所求直線方程為3.用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線解：根據(jù)題意可知已知直線的方向向量取x=0,代入直線方程得這樣就得到直線經(jīng)過的一點參數(shù)方程為因此直線的對稱式方程為4.求過點(2,0,-3)且與直線垂直的平面方程.5.求直線與直線的夾角的余弦因此，兩直線的夾角的余弦6.證明直線由——知兩直線互相平行.7.求過點(0,2,4)且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行的直線方程.8.求過點(3,1,-2)且通過直線的平面方程.將點(3,1,-2)代入上式得因此所求平面方程為即解：已知直線的方向向量解：已知直線的方向向量,平面的法向量n=(1,-1,-1).設直線與平面的夾角為φ,則9.求直線與平面一的夾角.即φ=0.知φ=0,將直線上的點A(2,-2,3)代入平面方程，方程成立，即點A在平面上.故直線在平面上.11.求過點(1,2,1)而與兩直線取則過點(1,2,1),以n為法向量的平面方程為即12.求點(-1,2,0)在平面x+2y-z+1=0上的投影.(-1,2,0)與平面x+2y-z+1=0垂直的直線為在直線上取點(1,-2,0),這樣，直線的方程可表示成參數(shù)方程形式14.設M?是直線L外一點，M是直線L上任意一點，且直線的方向向量為s,試證：點到直線L的距離證：如圖829所示，點-E到直線L的距離為d.由向量積的幾何意義知示以-莊，s為鄰邊的平行四邊形的面積.而表示以一為邊長的該平行四邊形的高，即為點Mo到直線L的距離.于是圖8-2-9解：作過已知直線的平面束，在該平面束中找出與已知平面垂直的平面，該平面與已知平面的交線即為所求.代入平面束方程，得因此所求投影直線的方程為16.畫出下列各平面所圍成的立體的圖形：解(1)如圖8-2-10(a)所示；(2)如圖8-2-10(b)所示.習題8-5曲面及其方程1.一球面過原點及A(4,0,0),B(1,3,0)和C(0,0,-4)三點，求球面的方程及球心的坐標和半徑.解：設所求球面的方程為聯(lián)立式(8-2-3)(8-2-4)得a=2,聯(lián)立(8-2-3)(8-2-6)得c=-2,將a=2代入(8-2-4)(8-2-5)并聯(lián)立得b=1,故R=3.因此所求球面方程為其中球心坐標為(2,1,-2),半徑為3.2.建立以點(1,3,-2)為球心，且通過坐標原點的球面方程.解：設以點(1,3,-2)為球心，R為半徑的球面方程為所以此方程表示以(1,-2,-1)為球心，以F為半徑的球面.4.求與坐標原點O及點(2,3,4)的距離之比為1:2的點的全體所組成的曲面的方程，解：設動點坐標為(x,y,z),根據(jù)題意有它表示以為球心，以為半徑的球面.即即即即解：(1)如圖8-2-11(a)所示；(2)如圖8-2-11(b)所示；(3)如圖8-2-11(c)所示；(4)如圖8-2-11(d)所示；(5)如圖8-2-11(e)所示.9.指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別表示什么圖形：(3)一面平行的平面.(2)y=x+1在平面解析幾何中表示斜率為1,y軸截距也為1的一條直線，在空間解析幾何中表示平行于z軸的平面.(3)在平面解析幾何中表示圓心在原點，半徑為2的圓，在空間解析幾何中表示母線平行于z軸，準線為的圓柱面.或表示xOz面上雙曲線=繞x軸旋轉一周而生成的旋轉曲面.解：(1)如圖8-2-12(a)所示；12.畫出下列各曲面所圍立體的圖形：(1)(在第一卦限內(nèi));-(在第一卦限內(nèi)).解：(1)如圖8-2-13所示；(2)如圖8-2-14所示.解：(1)如圖8-2-15(a)所示；(2)如圖8-2-15(b)所示；(3)如圖8-2-15(c)所示.線.4.求球面與平面x+z=1的交線在xOy面上的投影的方程.即影的方程.由由得故該螺旋線在yOz面上的投影曲線的直角坐標方程7.求上半球與圓柱體的公共部分在xOy面和xOz面上的投影.解：如圖8-2-16所示.所求立體在xOy面上的投影即為,而由所圍成的區(qū)域.8.求旋轉拋物面一在三坐標面上的投影.如圖8-2-17所示.聯(lián)立得一口.故旋轉拋物區(qū)域.同理，聯(lián)立得一.故旋轉拋物面在xOz面上的投影為由及z=4所圍成的區(qū)域.總習題八 (2)設數(shù)不全為0,使,則a,b,c三個向量是【答案】共面查看答案【答案】3查看答案【解析】,故□從而λ=3.【答案】36查看答案(1)設直線L的方程為,則L的參數(shù)方程為();(2)下列結論中，錯誤的是().3.在y軸上求與點A(1,-3,7)和點B(5,7,-5)等距離的點.得y=2.故所求點為M(0,2,0).4.已知△ABC的頂點為A(3,2,-1),B(5,-4,7)C所引中線的長度.解：設AB中點的坐標為(xo,yo,zo),由從而頂點C所引中線的長度5.設△ABC的三邊三邊中點依次為D,E,F,試用向量證：如圖8-2-18所示，證：如圖8-2-18所示，D,E,F分別為BC,CA,AB的中點，因此故6.試用向量證明三角形兩邊中點的連線平行于第三邊，且其長度等于第三邊長度的一半.知即三角形兩邊中點的連線平行于第三邊，且長度等于第三邊長度的一半.經(jīng)整理得z=1.8.設,求向量a+b與a-b的夾角.故9.設,求由 兩式相減得即,代入式(8-2-7)得從而從而所以10.設最小?并求出此最小值.令得z=-4.達到最小值.面積.和和12.設13.設,證明三向量a,b,c知一,故三個向量a,b,c共面.即14.已知動點M(x,y,z)到xOy平面的距離與點M到點(1,-1,2)的距離相等，求點M的軌跡的方程.15.指出下列旋轉曲面的一條母線和旋轉軸：解(1)母線為旋轉軸為z軸.(2)母線為,旋轉軸為y軸.(3)母線為,旋轉軸為z軸.(4)母線,旋轉軸為x軸.解：設所求平面方程為平面過點A(3,0,0),B(0,0,1),故a=3,c=1.這樣平面方程為即故所求平面為17.設一平面垂直于平面z=0,并通過從點(1,-1,1)到直線的垂線，求此平面的方程.聯(lián)立,得垂足所求平面垂直于平面z=0,設平面方程為平面過點(1,-1,1)及垂足由此解得B=2D,A=D.因此所求平面方程為,即18.求過點(-1,0,4),且平行于平面“,又與直線相交的直線的方程.解：設所求直線方程為解：設所求直線方程為相交，故有即所求直線平行于平面…又所求直線與直線聯(lián)立式(8-2-9)(8-2-10)式可得19.已知點A(1,0,0)及點B(0,2,1),試在z軸上求一點C,使△ABC的面積最解：所求點位于z軸，設其坐標為C(0,0,z),由向量的幾何意義知而故設,則由一得.因20.求曲線在三個坐標面上的投影曲線的方程.程.方程.21.求錐面與柱面|==所圍立體在三個坐標面上的投影.(如圖8-2-20所示).而該立體在zOx面上的投影為(如圖8-2-20所平面z=0平面z=0及及旋轉拋物面(1)拋物柱面2y2=x,及x+y=1;及x+y=1;(2)拋物柱面(3)圓錐面平面z=0平面z=0及x=1.(4)旋轉拋物面解：(1)如圖8-2-21(a)所示；(4)如圖8-2-21(d)所示.點(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距離d=.[數(shù)一2006研]【答案】巨查看答案第九章多元函數(shù)微分法及其應用9.1復習筆記一、基本概念1.平面點集(1)定義坐標平面上具有某種性質P的點的集合，稱為平面點集，記作E={(x,y)|(x,y)具有(2)分類①開集如果點集E的點都是E的內(nèi)點，則稱E為開集.②閉集如果點集E的邊界屬于E,則稱E為閉集.③連通集如果點集E內(nèi)任何兩點，都可用折線聯(lián)結起來，且該折線上的點都屬于E,則稱E為連通集.④區(qū)域(開區(qū)域)連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.⑤閉區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起所構成的點集稱為閉區(qū)域.⑥有界集對于平面點集E,如果存在某一正數(shù)r,使得=中0是坐標原點，則稱E為有界集.⑦無界集如果一個集合不是有界集，就稱這個集合為無界集.設Po(xo,yo)是xOy平面上的一個點，δ是某一正數(shù).與點Po(xo,yo)距離小于δ的點P(x,y)的全體，稱為點Po的δ鄰域，記作U(Po,δ),即3.點和點集間的關系(1)內(nèi)點如果存在點P的某個鄰域U(P),使得U(P)E,則稱P為E的內(nèi)點.(2)外點如果存在點P的某個鄰域U(P),使得U(P)NE=,則稱P為E的外點.(3)邊界點如果點P的任一鄰域內(nèi)既含有屬于E的點，又含有不屬于E的點，則稱P為E的邊界點.(4)聚點如果對任意給定的δ>0,點P的去心鄰域=總有E中的點，則稱P是E的聚點.4.多元函數(shù)(1)多元函數(shù)的定義設D是R"的一個非空子集，稱映射f:D→R為定義在D上的n元函數(shù)，記作或(2)多元函數(shù)的極限設二元函數(shù)f(P)=f(x,y)的定義域為D,Po(xo,yo)設函數(shù)f(x,y)的定義域為D,Po(xo,yo)是D的聚點.如果函數(shù)f(x,y)在點Po(xo,yo)不連續(xù)，則稱Po(xo,yo)為函數(shù)f(x,y)的間斷點.,使得b.介值定理c.一致連續(xù)性定理1.偏導數(shù)的定義設函數(shù)z=f(x,y)在點(xo,yo)的某一鄰域內(nèi)有定義，當y固定在yo而x在xo處有增存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(xo,yo)處對x的偏導數(shù)，記作函數(shù)z=f(x,y)在點(xo,yo)處對y的偏導數(shù)定義為2.偏導函數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x,y)處對x的偏導數(shù)都存在，則該偏導數(shù)是x,同理，函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的偏導函數(shù)，記作3.高階偏導數(shù)設函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導數(shù)內(nèi)f(x,y),fy(x,y)都是x,y的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導數(shù).按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數(shù)其中第二、三兩個偏導數(shù)稱為混合偏導數(shù).同樣可得三階、四階……以及n階偏導數(shù).二階4.定理如果函數(shù)u=φ(x,y)在點(x,y)具有對x及對y的偏導數(shù)，函數(shù)v=ψ( 設數(shù)集同，則稱映射為一元向量值函數(shù)，通常記為==1,其中數(shù)(1)若空間曲線T的參數(shù)方程為(2)若空間曲線T的方程為(3)若空間曲線T的方程為3.曲面的切平面與法線(1)隱式形式的曲面方程F(x,y,z)=0(2)曲面方程z=f(x,y)已知M(xo,yo,zo)是曲面上一點，(3)方向余弦1.方向導數(shù)2.梯度(1)當θ=0,即方向e?與梯度=相同時，函數(shù)f(x,y)增加最快.函(2)當θ=π,即方向e與梯度向相反時，函數(shù)f(x,y)減少最快，函(3)當一E,即方向e?與梯度的方向正交時，函數(shù)的變化率(1)必要條件(2)充分條件 在二處是否取得極值的條件如下：3.條件極值由該方程組解出x、y及λ,可得點(x,y)就是函數(shù)f(x,y)在附加條件其中其中表示2.推論若函數(shù)f(x,y)的偏導數(shù)fx(x,y),fy(x,y)在某一區(qū)域內(nèi)都恒等于零，則函數(shù)f(x,y)在該區(qū)域內(nèi)為一常數(shù).要確保選取a、b,使得f(t)=at+b在to,tiy?,….,yn相差很小，就是要使偏差都很小.由于任何實數(shù)的平方都是正數(shù)或零，考慮選取常數(shù)a與b,使最小來保證每個偏差的絕對值都很小.這種根據(jù)偏差的平方和為最小的條件來選擇常數(shù)a與b的方法稱為最小二乘法.這種確定常數(shù)a與b的方法是通常所采用的.通過建立方程組來求解該問題.習題9-1多元函數(shù)的基本概念1.判定下列平面點集中哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集?并分別指出它們的聚點所成的點集(稱為導集)和邊界.解：(1)集合是開集，無界集；導集為R2,邊界為{(x,y)|x=0或y=0}.2.已知函數(shù),試求f(tx,ty).3.試證函數(shù)F(x,y)=lnx.Iny滿足關系式4.已知函數(shù)證：(1)當(x,y)沿直線y=kx趨于(0,0)時，計算極限，得(2)依次取(x,y)→(0,0)8.函數(shù)在何處是間斷的?解：由題意，函數(shù)的定義域為,曲線y2-2x=0上各點均為D的聚點，因為函數(shù)在這些點處沒有定義，所以曲線y2-2x=0上各點均為函數(shù)的間斷點.證：因為要使,只要,所以,取δ=2ε,則當時，就有成立，所以10.設F(x,y)=f(x),f(x)在xo處連續(xù)，證明：對任意yo∈R,F(x,y)在處連續(xù).時，有一所以，當P(x,y)∈U習題9-2偏導數(shù)1.求下列函數(shù)的偏導數(shù)：3.設,求證5.曲線在點(2,4,5)處的切線對于x軸的傾角是多少?解：設z=f(x,y).按偏導數(shù)的幾何意義，fx(2,4)就是曲線在點(2,4,5)處的切及所以9.驗證：所以(2)因為即習題9-3全微分1.求下列函數(shù)的全微分：所以(2)因為所以(3)因為所以(4)因為所以2.求函數(shù)z=ln(1+x2+y2)當x=1,y=2時的全微分.3.求函數(shù)當x=2,y=1,△x=0.1,△y=-0.2時的全增量和全微分.4.求函數(shù)一E=當x=1,y=1,Ax=0.15,△y=0.1時的全微分.(1)f(x,y)在點一連續(xù)；,則下列四個選項中正確的是().計算計算,取x=1,y=2,△x=0.02,△y=-0.03,可得計算一=的近似值(取x=2,y=1,△x=-0.03,△y=0.05,可得8.已知邊長為x=6m與y=8m的矩形，如果x邊增加5cm而y邊減少10cm,問這個矩形則當x=6,y=8,△x=0.05,△y=-0.1所以這個矩形的對角線的長減少大約5cm.9.設有一無蓋圓柱形容器，容器的壁與底的厚度均為0.1cm,內(nèi)高為20cm,內(nèi)半容器外殼體積的近似值.解：圓柱體的體積公式為V=πR2H,由題意，圓柱形容器的外殼體積就是圓柱體體積V的當R=4,H=20,△R=△H=0.1時10.設有直角三角形，測得其兩直角邊的長分別為(7±0.1)cm和(24±0.1)cm.試求利用上述兩值來計算斜邊長度時的絕對誤差.解：設兩直角邊長度分別為x和y,利用勾股定理，得斜邊長度為11.測得一塊三角形土地的兩邊邊長分別為(63±0.1)m和(78±0.1)m,這兩邊的夾角為12.利用全微分證明：兩數(shù)之和的絕對誤差等于它們各自的絕對誤差之和.數(shù)及除數(shù)的相對誤差之和.則之和.習題9-4多元復合函數(shù)的求導法則8.求下列函數(shù)的一階偏導數(shù)(其中f具有一階連續(xù)偏導數(shù)):(3)u=f(x,xy,xyz).解：(1)將中間變量依次編為1,2號，則(2)令,則u=f(s,t),則(3)將中間變量x,xy,xyz依次編為1,2,3號，則9.9.設z=xy+xF(u),而為可導函數(shù)，證明：故等式成立.10.設,其中f(u)為可導函數(shù)，驗證故解：(1)令s=xy,t=y,則z=f(s,t),s和t是中間變量.將s,t依次編為1,2號，則間變量的x和y的函數(shù).故(2)令s=x,并將s,t依次編為1,2號，則間變量的x和y的函數(shù).故(3)令s=xy2,t=x2y,并將s,(4)令u=sinx,v=cosy,,并將u,v,w依次編為1,2,3號，則13.設u=f(x,y)的所有二階偏導數(shù)連續(xù)，而證明所以所以習題9-5隱函數(shù)的求導公式當當Fy≠0時，有當Fy≠0時，有3.設解法一：設則于是當Fz≠0時，有解法二：在所給方程兩端分別對x求偏導數(shù)，并注意z=z(x,y),得同理，方程兩端分別對y求偏導數(shù)，得時，解得4.設,求三及二.6.設x=x(y,z),y=y(x,z),有求9.設一求于是當F?≠0時，有10.求由下列方程組所確定的函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)：(2)設求(4)設解：(1)分別在兩個方程兩端對x求導，得(2)所給方程組確定兩個一元隱函數(shù)：x=x(z)和y=y(z),將所給方程的兩端分別對z求導并移項，得(3)此方程組可以確定兩個二元隱函數(shù)：u=u(x,y),v=v(x,y分別在方程兩端對x求偏導數(shù)，得當(4)此方程組確定的兩個二元隱函數(shù)u=u(x,y),v=v(x,y)是已知函數(shù)的反函數(shù)，11.設y=f(x,t),而t=t(x,y)是由方程F(x,y,t)=0所確定的函數(shù)，其中f,F都具有一階連續(xù)偏導數(shù).試證明當解法二：分別在y=f(x,t)由式(9-2-2),得將F?乘式(9-2-1)兩端，并以式(9-2-3)代入，得即故當三=時，有習題9-6多元函數(shù)微分學的幾何應用,證明：2.下列各題中，r=f(t)是空間中的質點M在時刻t的位置，求質點M在時刻to的速度向量和加速度向量，以及在任意時刻t的速率.解：(1)速度向量(2)速度向量速率(3)速度向量相應的點處的切線及法平面方程.,于是所求切線方程為即即即5.求曲線y2=2mx,z2=m-x在點三=處的切線及法平面方程.即6.求曲線在點(1,1,1)處的切線及法平面方程.解：解法一：為了求在所給方程兩端分別對x求導，得即于是在點(1,1,1)處的切線方程為即法平面方程為即解法二：所求曲線的切線，也就是曲面x2+y2+z2-3x=0在點(1,1,1)處的切平面與平面2x-3y+5z=4的交線，利用曲面的切平面方程得所求切線為即這切線的方向向量為(16,9,-1),于是所求法平面方程為即7.求出曲線x=t,y=t2,z=t3上的點，使在該點的切線平行于平面x+2y+z=4.解：因為,設所求點對應的參數(shù)為to,于是曲線在該點處的切向量可取為.已知平面的法向量為n=(1,2,1),由切線與平面平行，得T·n=0,即一,解得to=-1和于是所求點為(-1,8.求曲面e2-z+xy=3在點(2,1,0)處的切平面及法線方程.曲面在點(2,1,0)處的切平面方程為即曲面在點(2,1,0)處的法線方程為9.求曲面在點==處的切平面及法線方程.解：令,則曲面在點(x,y,z)處的一個法向量在點—=處的一個法向量為,故曲面在該點處的切平面方程為即法線方程為10.求橢球面的切平面方程.10.求橢球面的切平面方程.解：設則曲面在點(x,y,z)處的一個法向量上平行于平面x-y+2z=0已知平面的法向量為(1,-1,2),由已知平面與所求切平面平行，得代入橢球面方程得解得則所以切點為即11.求旋轉橢球面上點(-1,-2,3)處的切平面與xOy面的夾角的余弦.曲面在點(-1,-2,3)處的法向量為記n?與n?的夾角為γ,則所求的余弦值為12.試證曲面截距之和等于a.證：設,則曲面在點(x,y,z)處的一個法即證：(1)其中用到了向量值函數(shù)的極限的四則運算法則.其中用到了向量值函數(shù)極限的四則運算法則以及數(shù)量積與極限運算次序的交換.其中用到了向量值函數(shù)極限的四則運算法則以及向量積與極限運算次序的交換.習題9-7方向導數(shù)與梯度1.求函數(shù)一在點(1,2)處沿從點(1,2)到點的方向的方向導數(shù).又故2.求函數(shù)z=In(x+y)在拋物線y2=4x上點(1,2)處，沿著這拋物線在該點處偏向x方向導數(shù).故4.求函數(shù)方向的方向導數(shù).5.求函數(shù)u=xyz在點(5,1,2)處沿從點(5,1,2)到點(9,4,14)的方向的方向導又故故6.求函數(shù)上點(1,1,1)處，沿曲線在該點的切線正方向(對應于t增大的方向)的方向導數(shù).因為,所以曲線在點(1,1,1)處的切線的方向向量可取為故法線方向的方向導數(shù).處的外法線方向向量可取為1的方向余弦為gradf(1,1,1).9.設函數(shù)u(x,y,z),v(x,y,z)(其中c為常數(shù));10.求函數(shù)u=xy2z在點Po(1,-1,2)處變化最快的方向，并求沿這個方向的方向導數(shù).的方向增沿1.已知函數(shù)f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且D.根據(jù)所給條件無法判斷(0,0)是否為f(x,y)的極值點由于f(x,y)在(0,0)附近的值主要由xy決定，而xy在(0,0)附近符號不定，故點(0,0)不是f(x,y)的極值點.故點(0,0)不是f(x,y)的極值點.2.求函數(shù)的極值.求得駐點(2,-2).又由判定極值的充分條件知：在點(2,-2)處，函數(shù)取得極大值f(2,-2)=8.3.求函數(shù)的極值.又在點(0,0)處，,故在點(0,4)處，在點(3,2)處，故函數(shù)在點(3,2)處取得極大值，極大值為f(3,2)=36;在點(6,0)處，在點(6,4)處，故f(6,4)不是極值.4.求函數(shù)的極值.又令7.要造一個容積等于定數(shù)k的長方體無蓋水池，應如何選擇水池的尺寸，方可使它的表面A=ab+2ac+2bc(a>0,b>作拉格朗日函數(shù)L(a,b,c)=ab+2ac+2bc+λ(abc-k).由8.在平面xOy上求一點，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線的距離平方之和為最解：設所求點為(x,y),由9.將周長為2p的矩形繞它的一邊旋轉而構成一個圓柱體.問矩形的邊長各為多少時，才可解：設矩形的一邊長為x,則另一邊長為p-x,假設矩形繞長為p-x的一邊旋轉，則旋轉所成圓柱體的體積為令由故解得,代入,得故為時，其體積最大.令式(9-2-4)-(9-2-5),得故有λ=1或x=y.將x=y代入和x+y+z=1,得處取得.而,求該圓板的最熱點和最冷點.在點(x,y)的溫度是,求該圓板的最熱點和最冷點.最熱的點.令由式9-2-7得x=0或λ=-2.若λ=-2,代入式(9-2-8)(9-2-9),得代入約束條件若x=0,由式(9-2-8)(9-2-9)(9-2-10)解得λ=0,y=4,z=0;習題9-9二元函數(shù)的泰勒公式1.求函數(shù)在點(1,-2)的泰勒公式.函數(shù)為2次多項式，三階及三階以上的各偏導數(shù)均為零.又2.求函數(shù) 在點(0,0)的三階泰勒公式.又其中3.求函數(shù)f(x,y)=sinxsiny在點的二階泰勒公式.又其中解：先求函數(shù)在點(1,1)的三階泰勒公式.又又將以上各項代入三階泰勒公式.便得又將以上各項代入n階泰勒公式，便得其中習題9-10最小二乘法1.某種合金的含鉛量百分比(%)為p,其熔解溫度(℃)為θ,由實驗測得p與θ的數(shù)據(jù)如下表：試用最小二乘法建立θ與p之間的經(jīng)驗公式θ=ap+b.令試按最小二乘法建立a,b,c應滿足的三元一次方程組.整理，得a,b,c應滿足的三元一次方程組如下(1)f(x,y)在點(x,y)可微分是f(x,y)在該點連續(xù)的條廣(2)z=f(x,y)在點(x,y)的偏導數(shù)二和二存在是f(x,y)在該點 則有().B.曲面z=f(x,y)在點(0,0,f(0,0))的一個法向量為(3,-1,1)在點(0,0,f(0,0))在點(0,0,f(0,0))的一個切向量為(1,0,3)的一個切向量為(3,0,1)D.曲線的一個切向量為(3,0,1)在點(0,0)處的兩個偏導數(shù)存在，不一定可微分，故A不對.在點(0,0)處的兩個偏導數(shù)存在，不一定可微分，故A不對.導數(shù)，曲面在該點處有切平面，其法向量是(3,-1,-1),而不是(3,-1,1),故B也不對.3.求函數(shù)4.證明極限證：取兩條趨于(0,0)的路徑由于(x,y)分別沿ci,c?趨于(0,0)時f(x,y)的極限不相等，故不存在.當<時，則故6.求下列函數(shù)的一階和二階偏導數(shù)：又故8.設證明：f(x,y)在點(0,0)處連續(xù)且偏導數(shù)存在，但不可微分.故,即f(x,y)在點(0,0)處故,即f(x,y)在點(0,0)處9.設而x=φ(t),y=ψ(t)9.設而x=φ(t),y=ψ(t)11.設,其中f具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求12.設分別在的兩端對x求偏導數(shù)，得分別在的兩端對y求偏導數(shù)，得從而13.求螺旋線x=acosθ,y=asinθ,z=b0在點(a,0,0)處的切線及法平面方程.點(a,0,0)所對應的參數(shù)θ=0,故曲線在給定點的切向量T=(0,a,b)即法平面方程為a(y-0)+b(z-0)=0即14.在曲面z=xy上求一點，使這點處的法線垂直于平面x+3y+z+9=0,并寫出這法線的方程.解：設所求點為,曲面在該點處的一個法向量為,平面的法向量為(1,3,1).求得于是所求點為M(-3,-1,3),法線方,求函數(shù)f(x,y)=x2-xy+y2在點(1,1)沿方向1的方向導數(shù)，并分別確定角θ,使這導數(shù)有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于0.因為,所以：(1)當時，方向導數(shù)最大，其最大值為=;(2)當時，方向導數(shù)最小，其最小值為；(3)當16.求函數(shù)16.求函數(shù)二在橢球面上點一17.求平面和柱面的交線上與xOy平面距離最短的點.解：設交線上的點為M(x,y,z),它到xOy面上距離的平方為z2.問題就成為求函數(shù)z2下的最小值問題.作拉格朗日函數(shù)令問題本身可知，距離最短的點必定存在，因此Mo就是所求的點.18.在第一卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使該切平面與三坐標面所圍成的四面體的體積最小.求這切平面的切點，并求此最小體積.曲面在點M處的切平面方程為即在的條件下，求V的最小值，即求分母xyz的最大值.作拉格朗令從而19.某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售，售價分別為pi和p2,銷售量分別為qi和q2,需求函數(shù)分別為試問：廠家如何確定兩個市場的售價，能使其獲得的總利潤最大?最大總利潤為多少?解此方程組，得由問題的實際意義可知，廠家獲得總利潤最大的市場售價必定存在，時，廠家所獲得的總利潤最大，其最大總利潤為解此方程組得20.設有一小山，取它的底面所在的平面為xOy坐標面，其底部所占的閉區(qū)域為莊,小山的高度函數(shù)為(1)設l,問f(x,y)在該點沿平面上什么方向的方向導數(shù)最大?若記,試寫出一的表達式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳找一上山坡度最大的點作為攀巖的起點，也就是說，要在D的邊界線上找出(1)中的g(x,y)達到最大值的點.試確定攀巖起點的位置.(2)欲在D的邊界上求g(x,y)達到最大值的點，只需求式(9-2-14)+(9-2-15),得(x+y)(2-λ)=0解得y=-x或λ=2.若λ=2,則由式(9-2-14)得y=x,再由式(9-2-16)得若y=-x,則由式(9-2-16)得二2015研] 【答案】D查看答案將上式代,可以得到關于u,v的表達式，即因為所以2.設一E=在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，在D的內(nèi)部具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足A.的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的邊界上B.一的最大值點和最小值點必定都在區(qū)域D的內(nèi)部C.二的最大值點在區(qū)域D的內(nèi)部，最小值點在區(qū)域D的邊界上D.二的最小值點在區(qū)域D的內(nèi)部，最大值點在區(qū)域D的邊界上【答案】A查看答案3.曲面x2+cos(xy)+yz+x=0在點(0.1,-1)處的切平面方程為().[數(shù)一2013B.x+y+z=0F?(x,y.z)=2x-ysin(xy)+1=F(0.F,(x,y,z)=-xsin(xv)+z=F,(0.1故該曲面在點(0,1,-1)處的切面方程為x-(y-1)+(z+1)=0,即x-y+z=).[數(shù)二2013研]【解析】5.如果函數(shù)f(x,y)在點(0,0)處連續(xù)，則下列命題正確的是().[數(shù)一2012A.若極限存在，則f(x,y)在(0,0)處可微.B.若極限存在，則f(x,y)在(0,0)處可微.C.若f(x,y)在(0,0)處可微，則極限存在.D.若f(x,y)在(0,0)處可微，則極限存在.【解析】已知f(x,y)在點(0,0)處連續(xù).即f(x,y)在(0,0)處可微.6.設函數(shù)可微，且對任意-都有則使得成立的一個充分條件是().[數(shù)二2012研]則_.[數(shù)一2014研]【答案】查看答案故切平面方程為4.設是由方程確定的函數(shù)，則三三2014研]【答案】查看答案【解析】設,則【解析】由已知條件得，,所以計算得6.設函數(shù)一由方程一確定，則.[數(shù)三2013研]【答案】查看答案【解析】設一,則==.[數(shù)一2012研]【答案】{1,1,1}或i+j+k查看答案=二2012研]【答案】查看答案二滿足則三.[數(shù)三2012研]所以三在曲線C上的最大方向導數(shù).[數(shù)一2015研]梯度的模.一,一,一下的最大值，即為條件極值問題.下的最大值.令得到2.已知函數(shù)f(x,y)滿足求f(x,y)的極值.[數(shù)二2015研],從而令,計算得，駐點為—F=,則3.設函數(shù)：=具有二階連續(xù)導數(shù)，則滿足解：設u=e*cosy,則z=f(u)=f(e*cosy),則,,4.求函數(shù).[數(shù)一2013研]計算得,且一E,故為極小值點，極小值為二2013研]解：設B=為曲線上一點，距離,構造拉格朗日函數(shù)計算得時，由式(9-3-3)、(9-3-4)得它們到原點的距離都是1,故最小值為1,最大值為.求函數(shù)解：由題意知，得駐點(1,0)和(-1,0)