江蘇省揚州市2024屆高三上學期期末檢測考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚州市2024屆高三上學期期末檢測考試數(shù)學試題一?單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求）1.已知集合，則中元素個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】方程，表示圓心為，半徑為，則圓心到直線：的距離為，得直線與圓相切，只有一個交點，則中元素的個數(shù)為1.故選：B2.若復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由，對應點為在第一象限.故選：A3.已知平面向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知平面向量，故在上的投影向量為，故選：B4.計算機在進行數(shù)的計算處理時，通常使用的是二進制.一個十進制數(shù)可以表示成二進制數(shù)，則，其中，當時，.例如，則十進制數(shù)2024表示成二進制數(shù)為.那么，二進制數(shù)表示成十進制數(shù)為（）A.1023 B.1024 C.2047 D.2048【答案】C【解析】由題設，.故選：C5.若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，而，則，所以，即，由，則，即，綜上，.故選：D6.已知函數(shù)的導數(shù)為，對任意實數(shù)，都有，且，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得，令，結(jié)合，則，所以在R上遞減，故，則原不等式解集為.故選：A7.已知，則（）A.0 B. C. D.1【答案】A【解析】已知，則，，，，則，，則.故選：A.8.在平面直角坐標系中，已知圓，若正方形的一邊為圓的一條弦，則的最大值為（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】令且，，要使最大有，如下圖示，在中，所以，當且僅當時，所以的最大值為.故選：C二?多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.已知函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則的圖象可能是（）A. B.C D.【答案】BC【解析】由已知得，若為偶函數(shù)，則恒成立，所以恒成立，故，則，所以時有，顯然C對，D錯；若為奇函數(shù)，則恒成立，所以恒成立，故，則，所以時有，顯然B對，A錯；故選：BC10.將兩組數(shù)據(jù)合并成一組數(shù)據(jù)后（可以有重復的數(shù)據(jù)），下列特征數(shù)一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的該種特征數(shù)之間（可以取等）的有（）.A.平均數(shù) B.極差 C.標準差 D.中位數(shù)【答案】AD【解析】平均數(shù)是所有數(shù)據(jù)總和除以數(shù)據(jù)個數(shù)，所以合并后的數(shù)據(jù)平均數(shù)一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)之間，例如：2，4，平均數(shù)為3，4，6，平均數(shù)為5，合并后平均數(shù)為4，故A正確；極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，所以合并后的數(shù)據(jù)極差不一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的極差，例如：，2，8，這組數(shù)據(jù)極差為9；1，3，9，這組數(shù)據(jù)極差為8，而合并后的極差為10，故B錯誤；標準差是一組數(shù)據(jù)的離散程度，所以合并后的數(shù)據(jù)標準差不一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的標準差，例如：2，4，標準差為1，4，6，標準差為1，而合并后標準差為，故C錯誤；中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置的數(shù)，所以合并后的數(shù)據(jù)中位數(shù)一定介于合并前兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，例如：，2，8，這組數(shù)據(jù)中位數(shù)為2；1，3，9，這組數(shù)據(jù)中位數(shù)為3，合并后中位數(shù)為2.5，故D正確.故選：AD.11.已知，若，且是的必要條件，則可能為（）A.的最小正周期為B.是圖象的一條對稱軸C.在上單調(diào)遞增D.在上沒有零點【答案】AC【解析】A：為的最小正周期為，則，此時是的必要條件，符合；B：為是圖象的一條對稱軸，則，所以且，則，此時不是的必要條件，不符合；C：為在上單調(diào)遞增，則有遞增，所以，即，此時是的必要條件，符合；D：為在上沒有零點，則有沒有零點，所以且，則或，此時不是的必要條件，不符合；故選：AC12.棱長為2的正方體中，下列選項中正確的有（）A.過的平面截此正方體所得的截面為四邊形B.過的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為C.四棱錐與四棱錐的公共部分為八面體D.四棱錐與四棱錐的公共部分體積為【答案】ABD【解析】連接與線段上任意一點，過作交于，所以過平面截此正方體所得的截面為四邊形，A對；由上分析及正方體結(jié)構(gòu)特征易知：四邊形為平行四邊形，若為各線段上的中點時，四邊形為菱形，此時截面最小面積為；根據(jù)正方體的對稱性，從中點向或運動時，四邊形面積都是由小變大，當與重合時，截面最大面積為；綜上，過的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為，B對；令交于，交于，交于，顯然是各交線的中點，若是中點，連接，所以四棱錐與四棱錐的公共部分為六面體，C錯；其體積，D對.故選：ABD三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若展開式中的常數(shù)項為120，則實數(shù)的值為__________.【答案】【解析】由二項式展開式的通項為，令，可得，代入可得，解得.故答案為：.14.某圓臺的上下底面半徑分別為1和2，若它的外接球表面積為，則該圓臺的高為__________.【答案】【解析】若外接球半徑，則，可得，由圓臺軸截面外接圓為外接球最大截面圓，如下圖于，所以，則該圓臺的高.故答案為：15.已知橢圓的右焦點為是的中點，若橢圓上到點的距離最小的點有且僅有一個，則橢圓的離心率的取值范圍為__________.【答案】【解析】因為橢圓的右焦點，而是的中點，則因為橢圓C上到點的距離最小的點有且僅有一個，又無論該點是在軸上方還是下方，由于橢圓的對稱性都會有2個最小點，而左右頂點中，右頂點更靠近點，所以右頂點到的距離最小，設是橢圓上的點，，，對于，其開口向上，對稱軸為，定義域為，要使在處取得最小值，則在上單調(diào)遞減，所以，即，則，又，所以.故答案為：.16.有一個郵件過濾系統(tǒng)，它可以根據(jù)郵件的內(nèi)容和發(fā)件人等信息，判斷郵件是不是垃圾郵件，并將其標記為垃圾郵件或正常郵件.對這個系統(tǒng)的測試具有以下結(jié)果：每封郵件被標記為垃圾郵件的概率為，被標記為垃圾郵件的有的概率是正常郵件，被標記為正常郵件的有的概率是垃圾郵件，則垃圾郵件被該系統(tǒng)成功過濾（即垃圾郵件被標記為垃圾郵件）的概率為__________.【答案】【解析】記“正常郵件”，“標記為正常郵件”，則，，，所以，，故，所以.故答案為：四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟）17.在中，角所對的邊分別為.（1）求：（2）若，求的面積.解：（1）在中，由正弦定理得，又，所以，又，所以，所以，，所以，故，所以.（2）法一：在中，由余弦定理得，又，所以，解得，所以.法二：由（1）知，又，解得.在中，由正弦定理得，所以，所以.18.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.證明：（1）因為，所以，又，所以，故各項均不為0，所以是常數(shù)，則數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)列.解：（2）由（1）知，①，法一：因為，所以，又，所以，故各項均不為0，所以是常數(shù)，則數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以②，①+②得：，所以.法二：因為，所以，所以，所以時，，所以，又時，上式也成立，所以.19.如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的菱形，平面平面分別為的中點，且.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.證明：（1）方法一：連結(jié).因為為等邊三角形，是的中點，所以.又面面，面面面，所以面.因為面，所以.在Rt中，所以，在中，所以，即，則.又，所以，又面，所以面，又面，所以，方法二：連結(jié)因為為等邊三角形，是的中點，所以.又面面，面面面，所以面.如圖，在平面內(nèi)作，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設，則.因為，所以①，因為，所以②，由①②，解得：（舍負）.所以，因為為的中點，所以，所以，所以，所以.解：（2）由（1）知，平面，又平面，所以，又，以為原點，所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則.因為為的中點，所以，由（1）知，又，面，所以面，所以為平面的一個法向量.設為平面的一個法向量，則，因為，所以取，則，則為平面一個法向量.所以，由圖知二面角的平面角為鈍角，余弦值為.20.某保險公司有一款保險產(chǎn)品，該產(chǎn)品今年保費為200元/人，賠付金額為5萬元/人.假設該保險產(chǎn)品的客戶為10000名，每人被賠付的概率均為，記10000名客戶中獲得賠償?shù)娜藬?shù)為.（1）求，并計算該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤的期望；（2）二項分布是離散型的，而正態(tài)分布是連續(xù)型的，它們是不同的概率分布，但是，隨著二項分布的試驗次數(shù)的增加，二項分布折線圖與正態(tài)分布曲線幾乎一致，所以當試驗次數(shù)較大時，可以利用正態(tài)分布處理二項分布的相關(guān)概率計算問題，我們知道若，則，當較大且較小時，我們?yōu)榱撕喕嬎?，常用的值估算的?請根據(jù)上述信息，求：①該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤為50~100萬元的概率；②該公司今年這一款保險產(chǎn)品虧損的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則.解：（1）由題可知，則，記該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤為變量，則，所以萬元.（2）因為，當較大且較小時，，則.由于較大，，其中，若該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤，則，；若該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤，則，.答：（1），該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤的期望為75萬元；（2）①該公司今年這一款保險產(chǎn)品利潤為萬元的概率為0.683；②虧損的概率為0.0015.21.已知雙曲線的離心率為，且左焦點到漸近線的距離為.過作直線分別交雙曲線于和，且線段的中點分別為，.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若直線斜率的乘積為，試探究：是否存在定圓，使得直線被圓截得的弦長恒為4？若存在，請求出圓的標準方程；若不存在，請說明理由.解：（1）因為雙曲線的漸近線方程為，左焦點，所以，則，又，所以，得，故雙曲線的標準方程為.（2）由題設知，設，則，得，，所以，又是的中點，所以，則，同理，法一：若，即，即，即，又，則，此時，此時，由圖形的對稱性，猜測直線過軸上一定點.下面，驗證一般性：，，則，所以三點共線.綜上，直線過定點所以存在定圓，使得直線被圓截得的弦長恒為4.法二：若，則，又，所以，所以直線的方程為，即，即，即，所以直線過定點.若，即，即，即，又，則，此時，此時也過.故直線過定點.所以存在定圓，使得直線被圓截得的弦長恒為4.22.已知函數(shù)的最小值為.（1）求實數(shù)的值；（2）若有兩個不同的實數(shù)根，求證：.解：（