江蘇省南通市海門市2025屆高三第二次調研測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市海門市2025屆高三第二次調研測試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A＝，則A∩B的元素個數(shù)是A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】聯(lián)立，解得即和的圖象有3個交點，，，∴集合有3個元素，故選B.2.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)且在上遞減 B.是奇函數(shù)且在上遞增C.是偶函數(shù)且在上遞減 D.是偶函數(shù)且在上遞增【答案】D【解析】∵，∴，定義域為，，∴是偶函數(shù)，當時，，在0,+∞上是單調增函數(shù).故選：D.3.若，是兩個不同的平面，直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，，由面面垂直的判定定理可知，，充分性成立，，，則或，必要性不成立，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.過的直線交圓O：于.M，N兩點，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故為的中點，，由垂徑定理得.故選：C5.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，即，，兩邊平方得，即，解得.故選：B6.若正數(shù)，，滿足（為自然對數(shù)底數(shù)），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，顯然在上單調遞增，又，，為正數(shù)，所以，即，所以，令，則在上單調遞增，又，即，所以，綜上可得.故選：D7.橢圓C：的上頂點為A，左、右焦點為、，若上任一點P到直線的距離與到x軸的距離之和為b，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，，直線的方程為，即，直線的方程為，即，設，，則到直線的方程為，則，解得，故，故.故選：B8.若函數(shù)滿足，且的圖象關于點對稱，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為的圖象關于點對稱，所以，，又，所以，則，故B錯誤；由，所以，所以，又，所以，則，故D正確；由于只有，無法得知、的值，故A、C錯誤.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，互為共軛復數(shù)，則 D.，，【答案】BCD【解析】對于A：若，則，故A錯誤；對于B：設，因為，所以，則，故B正確；對于C：設，因為，互為共軛復數(shù)，則，所以，，即，故C正確；對于D：設，則，，所以，即，，，故D正確.故選：BCD10.若把曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線，則（）A. B.在上單調遞減C.圖象關于對稱 D.與有2個交點【答案】AC【解析】把曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變得到，再把向左平移個單位長度得到，又，所以，故A正確；當時，，因為在上不單調，所以在上不單調，故B錯誤；因為，所以圖象關于對稱，故C正確；令，解得，所以在上單調遞增，且，令，解得，所以在上單調遞減，且，因為函數(shù)在定義域上單調遞增，當時，令，解得，在同一平面直角坐標系中畫出與的圖象如下所示：由圖可知與有且僅有一個交點，故D錯誤.故選：AC11.在平面直角坐標系中，到定點，距離之積等于的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線，，為該曲線的兩個焦點.已知曲線C：是一條伯努利雙紐線，點是曲線C上一點，則（）A. B.C.當時， D.C上存在兩個點A，B，使得【答案】AC【解析】對A：對伯努利雙紐線，令，則，即，解得x=0或，故點在該曲線上，根據(jù)雙紐線定義可得：，故可得，則，或（無解，舍去），故，又，故，故A正確；對B：對伯努利雙紐線，令，則，即，也即，該方程無解，，故B錯誤；對C：在△中，不妨設，由A可知，；由據(jù)雙紐線定義可得：；則由余弦定理可得：，即，，故可得：（舍），或，即當時，，故C正確；對D：對方程，令x=0，則，解得，故斜率存在，設為，則直線對應方程為；聯(lián)立與可得：，即，因為異于，故，則，則，解得，同理；若，則，由范圍可知，顯然不成立，故D錯誤；故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設等比數(shù)列的前項和為，若，則________.【答案】【解析】當時，.當時，對于等比數(shù)列（因為）.當時，.已知，將，，的值代入可得：.因為（等比數(shù)列首項不為），等式兩邊同時除以得.展開式子得，即，解得或.因為等比數(shù)列公比，所以.所以.故答案為：.13.已知向量，向量在上的投影向量的坐標為，則________.【答案】【解析】因為，則，則向量在上的投影向量為，又向量在上的投影向量的坐標為，所以，即.故答案為：14.如圖，在直角梯形中，，，E是中點，且，設，將沿折起向C點旋轉（旋轉過程中A點記為，且與C不重合），則與平面所成角的大小為________，點C到平面的距離的最大值是________.【答案】；【解析】①如圖1，在梯形中，連接.由題意，則四邊形是平行四邊形，又，且，則四邊形是正方形.則，如圖2，可知，又平面，且平面，且，所以平面.由題意知，則四邊形為平行四邊形，所以，則平面，即與平面所成角的大小為；②如圖2，在平面中過點作，垂足為，延長交于.設點到平面的距離為，則，當且僅當平面時，取最大值.又平面，也即平面平面時等號取到.由題意，將沿折起向C點旋轉，下面分析當旋轉至何處時，等號取到.若平面，由平面，則，又，，平面，平面，所以平面，平面，則平面平面.故當旋轉至滿足平面平面（即二面角為直二面角）時，點C到平面的距離能取到最大值，最大值即為.在直角梯形中，，則，，所以.在中，.故點C到平面的距離的最大值是.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，，求的周長.解：（1）由得，，即，故，因為，所以，即，因為B∈0,π，所以，故，因為，所以；（2），由正弦定理得，因為，所以，由（1）知，，由余弦定理得，解得，故，所以，所以的周長為.16.如圖，在三棱錐中，為正三角形，E是的中點，.（1）求證：；（2）若，，二面角的大小為，求三棱錐的體積.解：（1）為正三角形，為中點，故⊥，因為，，，所以≌，故，又為中點，故⊥，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以；（2）由（1）知，⊥，⊥，故為二面角的平面角，即，因為，，所以，由勾股定理得，過點作⊥于點，由（1）知，⊥平面，而平面，所以⊥，因為平面，，所以⊥平面，其中，即三棱錐的高為，由勾股定理得，故，三棱錐體積為.17.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（1）求函數(shù)的極值；（2）若，，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為，所以，依題意，即，所以，定義域為0,+∞，則，所以當時f'x>0，當時f所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極小值，無極大值；（2）因為，恒成立，因為當時，，所以，所以對恒成立，令，則當時，恒成立，因為，設gx當Δ=1-4m2≤0m>0，即時即hx在上單調遞減，所以，符合題意；當Δ=1-4m2>0m>0，即，所以，由零點存在性定理可知存在使得gx0=0又二次函數(shù)gx=-mx則當時gx>0，即h所以hx在上單調遞增，即存在，使得，這與當時，恒成立矛盾，故舍去；綜上可得．18.已知雙曲線的一條漸近線為，焦距為8.（1）求的方程；（2）過點作直線，分別與曲線交于點A，B和點D，E.①若，求直線的方程；②過點A，D作直線的垂線，垂足分別為M，N，設直線與直線交于點T，Q為曲線上任一點，求證：.解：（1）雙曲線的漸近線為，依題意可得，解得，所以曲線；（2）①當直線的斜率為時，即直線的方程為，此時不滿足，故舍去；當直線的斜率不為時，設直線的方程為，Ax1,y1，B由，消去整理得，所以且Δ=36m2+363m所以，，因為，所以，所以，則，即，解得，所以，所以直線的方程為或；②因為垂直直線，所以，所以直線的方程為，結合雙曲線的對稱性，令，可得，因為，，所以，所以，即直線過點，同理可得直線過點，即，設，所以，因為，所以當時取得最小值，最小值為，所以.19.若數(shù)列滿足：對任意的，總存在i，，使得，，則稱是“S—數(shù)列”.（1）判斷數(shù)列和數(shù)列是否為“S—數(shù)列”，并說明理由；（2）求證：公差為d的等差數(shù)列是“S—數(shù)列”的充要條件為；（3）已知是單調遞增的“S—數(shù)列”，，，求使的n的最大值.解：（1）設數(shù)列，所以，，所以不是“S—數(shù)列”；當時，，所以，所以是“S—數(shù)列”.