江蘇省鹽城市四校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鹽城市四校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，又，所以.故選：C.2.若且，則的終邊所在象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因為，則的終邊在第三、四象限或軸負(fù)半軸上，因為，則的終邊在第一、三象限，因此，的終邊所在象限為第三象限.故選：C.3.已知，則“”是“且”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】，若，則的大小無法確定，不能得出且，故充分性不成立，若且，則，故必要性成立，“”是“且”的必要而不充分條件.故選：B.4.科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強度，若設(shè)I為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為.2021年6月22日下午甲市發(fā)生里氏3.1級地震，2020年9月2日乙市發(fā)生里氏4.3級地震，則乙市地震所散發(fā)出來的能量與甲市地震所散發(fā)出來的能量的比值為（）A.2 B.10 C.100 D.10000【答案】C【解析】設(shè)乙市地震所散發(fā)出來的能量為，甲市地震所散發(fā)出來的能量為，則，，兩式作差得，故，則.故選：C.5.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，由此排除AC選項；當(dāng)時，，排除B選項，所以D選項正確.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，，∴，，解得：，∴，∴解得：，∴.故選：A.7.已知，，，則的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，則只需比較的大小關(guān)系，，，而，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C.8.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由于是奇函數(shù)，，即，所以①，由②，可知，若，則②的解集為與是奇函數(shù)矛盾，所以由①得，其中，此時，②的解集滿足奇函數(shù)定義域的要求，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：A.二、多選題(本題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項中，至少有兩項符合題目要求，全部選對得5分，都分選對得2分，有選錯的得0分.)9.下列不等式中成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】對于A，當(dāng)時，，故A錯誤；對于B，因為，則，，所以，即，故B正確；對于C，取，滿足，但，故C錯誤；對于D，因為，所以，所以，即，故D正確；故選：BD.10.下列命題是真命題的有（）A.函數(shù)的值域為B.的定義域為C.函數(shù)的零點所在的區(qū)間是D.對于命題，使得，則，均有【答案】AC【解析】A選項，，令，則的開口向下，對稱軸為，所以當(dāng)時，取得最大值為；當(dāng)時，取得最小值為，所以的值域為，A選項正確；B選項，對于函數(shù)，由，得，解得，所以的定義域為，B選項錯誤；C選項，在上單調(diào)遞增，，所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是，C選項正確；D選項，命題，使得，其否定是，均有，D選項錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.函數(shù)在的值域為D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得函數(shù)為【答案】ACD【解析】由圖可知，又，所以，所以，又函數(shù)圖象最低點為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，所以，由A選項分析可知，但，從而函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故A選項正確；但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對稱，故B選項錯誤；當(dāng)時，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以函數(shù)在的值域為，故C選項正確；若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，則得到的新的函數(shù)解析式為，故D選項正確.故選：ACD.12.已知方程與的根分別為，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】AD選項，由題意得，，可變形為，又，令，則，又在上單調(diào)遞增，故，由可得，，A選項錯誤，D正確；B選項，由于，，結(jié)合在上單調(diào)遞增，由零點存在性定理得，B錯誤；C選項，由AD選項可知，，由B選項得，故，故，C正確.故選：CD.三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.)13.已知冪函數(shù)的圖象過點，則______．【答案】【解析】不妨設(shè)冪函數(shù)表達式為，由題意有，解得，所以冪函數(shù)表達式為，所以.故答案為：.14.已知，且，則______．【答案】【解析】由于，所以，而，所以，所以.故答案為：.15.數(shù)學(xué)中處處存在著美，機械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．【答案】【解析】由條件可知，弧長，等邊三角形的邊長，則以點A、B、C為圓心，圓弧所對的扇形面積為，中間等邊的面積，所以萊洛三角形的面積是.故答案為：.16.若方程有且僅有個實數(shù)根，則實數(shù)的值為____.【答案】【解析】方程有且僅有個實數(shù)根，函數(shù)與的圖象有且僅有個公共點，函數(shù)的開口向上，對稱軸為直線，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為，是函數(shù)的一條對稱軸，將代入有，由，得，解得或，當(dāng)時，兩個函數(shù)分別為，，如下圖所示，兩個函數(shù)圖象不止一個公共點，不符合題意，舍去，當(dāng)時，兩個函數(shù)分別為，，其中，所以兩個函數(shù)有唯一公共點，符合題意，綜上所述，的值為.故答案為：.四、解答題(本題共6小題，共70分，第17題10分，18-22題每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知集合，.（1）分別求，；（2）已知，若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由解得，所以，所以，.（2）由于，且不是空集，所以解得.18.化簡下面兩個題：（1）已知角終邊上一點，求的值；（2）已知，求的值.解：（1）角終邊上一點，所以，所以.（2）由得，所以.19.函數(shù)的最小正周期是，且當(dāng)時，取得最大值.（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍解：（1）的最小正周期為，所以，當(dāng)時，取得最大值，所以，且，所以，所以，由解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為：，.（2）若，則，所以在區(qū)間上，當(dāng)時，取得最小值為，依題意，存在，使得成立，所以.20.科技創(chuàng)新在經(jīng)濟發(fā)展中的作用日益凸顯.某科技公司為實現(xiàn)萬元的投資收益目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵研發(fā)人員的獎勵方案：當(dāng)投資收益達到萬元時，按投資收益進行獎勵，要求獎金(單位：萬元)隨投資收益(單位：萬元)的增加而增加，獎金總數(shù)不低于萬元，且獎金總數(shù)不超過投資收益的.（1）現(xiàn)有三個獎勵函數(shù)模型：①②③.試分析這三個函數(shù)模型是否符合公司要求.（2）根據(jù)中符合公司要求的函數(shù)模型，要使獎金達到萬元，公司的投資收益至少為多少萬元？解：（1）由題意，符合公司要求的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且對任意恒有且，①對于函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時不符合要求；②對于函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合要求；③對于函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，因為而所以當(dāng)時恒成立，因此為符合公司要求的函數(shù)模型.（2）由得所以所以公司的投資收益至少為萬元.21.己知函數(shù)，為實數(shù)．（1）當(dāng)時，求的值域；（2）設(shè)，若對任意的，總存在，使得成立，求m的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以的值域為.（2）對于函數(shù)，，所以在區(qū)間上的值域為，最小值為，對于函數(shù)，令，則的開口向上，對稱軸為，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，要使“對任意的，總存在，使得成立”，則，當(dāng)時，函數(shù)在處取得最小值，即，不符合題意，當(dāng)時，函數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，，要使“對任意的，總存在，使得成立”，則