江蘇省蘇州市2024屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2024屆高三上學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量陽光指標(biāo)調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，所以，，，.故選：D.2.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】.故選：A3.2023年9月28日，滬寧沿江高速鐵路開通運(yùn)營，形成上海至南京間的第二條城際高速鐵路，滬寧沿江高速鐵路共設(shè)8座車站（如圖）.為體驗(yàn)高鐵速度，游覽各地風(fēng)光，甲乙兩人準(zhǔn)備同時從南京南站出發(fā)，甲隨機(jī)選擇金壇?武進(jìn)?江陰?張家港中的一站下車，乙隨機(jī)選擇金壇?武進(jìn)?江陰?張家港?常熟中的一站下車.已知兩人不在同一站下車，則甲比乙晚下車的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)金壇站?武進(jìn)站?江陰站?張家港占、常熟站用，甲、乙兩人用字符對表示下車的站，于是有以下情形：共有16種情形，其中甲比乙晚下車的情況是，共有6種情形，所以甲比乙晚下車的概率為，故選：D4.已知函數(shù)的最小正周期為，則在區(qū)間上的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】由題意，解得，所以，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C.5.在梯形中，，以下底所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成面圍成一個幾何體，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱與一個同底的圓錐的組合體，如圖所示：其中圓柱與圓錐的底面半徑都等于，圓柱的高等于，圓錐的高等于，底面圓的面積為，圓錐的體積為，圓柱的體積為，所以所得幾何體的體積為．故選：B.6.在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上的一點(diǎn)，是圓上的兩點(diǎn)，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，是圓上的兩點(diǎn)，可得圓心，半徑，根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)與圓的距離最短時，且過與圓相切時，此時取得最大值，此時，可得，所以，所以.故選：B.7.已知正實(shí)數(shù)滿足，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，所以令，所以問題等價于比較的圖象分別與的圖象三個交點(diǎn)橫坐標(biāo)的大小關(guān)系，而均過點(diǎn)，則由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，的圖象分別與的圖象三個交點(diǎn)橫坐標(biāo)如圖所示：則.故選：A.8.若是函數(shù)的一個零點(diǎn)，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】因?yàn)椋?，可得，，即，解得，由，可得，即，，因?yàn)椋?，解得?故選：A.二?多選題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知，則是“”的充分不必要條件有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于A，取，此時有，故A不符合題意；對于B，由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，故B符合題意；對于C，，故C不符合題意；對于D，，故D符合題意.故選：BD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，則（）A. B.C.線段的中點(diǎn)到軸的距離為6 D.【答案】BC【解析】由題意知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線與x軸交點(diǎn)為，故拋物線焦點(diǎn)為，故，A錯誤；聯(lián)立，整理得，，設(shè)，則，，由于直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，故，B正確；線段的中點(diǎn)到軸的距離為，C正確；由于，故不垂直，所以不垂直，D錯誤，故選：BC11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)的圖象為曲線，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，且分別是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.記點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，則（）A. B.C.為等差數(shù)列 D.【答案】BCD【解析】由圖知，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，把點(diǎn)代入中，可得：，因，解得：，則.由,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，把點(diǎn)代入中，可得：，因，解得：，于是，,故A項(xiàng)錯誤；又，,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，把點(diǎn)代入中，可得：，因，解得：，故B項(xiàng)正確；由上分析可知，當(dāng)時，由點(diǎn)代入中，可得：，即得：，即組成公差為4的等差數(shù)列，故C項(xiàng)正確；由上分析可知，，因，因，則，則，，于是，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.12.如圖，在長方體中，已知為棱的中點(diǎn)，為底面上（含邊界）的一動點(diǎn).記點(diǎn)軌跡的長度為，則下列說法正確的有（）A.若，則B.若平面，則C.若，則D.若到平面的距離為，則【答案】ACD【解析】對于A，設(shè)在上的射影為，所以面，又面，所以，則四點(diǎn)共面，又面，所以，又，面，所以面，又面，即，以為原點(diǎn)建系，由得，設(shè)，則，所以，解得，所以可得，且點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)且平行于的線段，故，故A正確；對于B，取的中點(diǎn)，所以，又，，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，而面，面，所以面，同理面，又因?yàn)槠矫?，所以平面面，又平面，所以，故B錯誤；對于C，設(shè)在上射影為，即面，又面，所以，易得，又，所以可得，即點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心1為半徑的半圓弧，所以，故C正確；對于D，以為原點(diǎn)建系，，設(shè)，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，解得或，即或，所以點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)的兩條直線或被矩形所截得的線段，如圖所示：顯然只有直線與矩形交于點(diǎn)，即點(diǎn)的軌跡為線段，所以可得，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題.13.棉花的纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo).在一批棉花中隨機(jī)抽測了20根棉花的纖維長度（單位：），按從小到大排序結(jié)果如下：，則估計這批棉花的第45百分位數(shù)為__________.【答案】61.5【解析】由題意，所以這批棉花的第45百分位數(shù)為從小到達(dá)排列的第9個數(shù)與第10個數(shù)的平均數(shù)，即.故答案為：61.5.14.已知，且，則__________.【答案】2【解析】由題意，為中的系數(shù).因?yàn)榈亩?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，所以的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為：，解得：.故答案為：15.已知單位向量的夾角為，向量，若，則__________.（寫出一個可能值）【答案】（或，答案不唯一）【解析】由題意，所以，所以只能取或.故答案為：（或，答案不唯一）.16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過的直線與的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為__________.【答案】【解析】設(shè)雙曲線焦距為，則，設(shè)，則，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線方程上，所以，即，因?yàn)椋?，兩邊同時除以，得，解得，所以，因?yàn)椋?故答案為：.四?解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.霹靂舞在2023年杭州舉辦的第19屆亞運(yùn)會中首次成為正式比賽項(xiàng)目.某學(xué)校為了解學(xué)生對霹靂舞的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，統(tǒng)計得到如下2×2列聯(lián)表：男生女生總計喜愛402060不喜愛202040總計6040100（1）請你根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷是否有90%的把握認(rèn)為“是否喜愛霹靂舞與性別有關(guān)”；（2）學(xué)校為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，提高學(xué)生綜合素質(zhì)，按分層抽樣從調(diào)查結(jié)果為“喜愛”的學(xué)生中選擇6人組建霹靂舞社團(tuán)，經(jīng)過訓(xùn)練后，再隨機(jī)選派2人參加市級比賽，設(shè)X為這2人中女生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）解：由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，所以有的把握認(rèn)為“是否喜愛霹靂舞與性別有關(guān)”.（2）解：由題意得，選擇的6人中，有男生4人，女生2人，所以的所有可能取值為，可得，所以隨機(jī)變量的分布列為012所以期望為.18.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求證：；（2）若點(diǎn)在邊上，且，求的面積.證明：（1）因?yàn)?，由正弦定理知，所以，所?，即，因?yàn)?，所以，所以解：?）在中，，在中，，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所?19.已知等差數(shù)列的公差為，且，設(shè)為的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.（1）若，且，求；（2）若數(shù)列也是公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）依題意，，，則，由，得，解得，而，所以.（2）由是公差為的等差數(shù)列，設(shè)，又，于是對任意恒成立，即對任意恒成立，則，又，解得，從而，，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，，所以.20.如圖，在多面體中，底面為平行四邊形，，矩形所在平面與底面垂直，為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面夾角余弦值為，求與平面所成角的正弦值.證明：（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)榈酌鏋槠叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?因?yàn)闉榫匦?，所以平面平面，所以平?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平?解：（2）因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平?分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，設(shè)平面的法向量為，則即，令，則，所以，解得，所以.設(shè)與平面所成的角為，則.所以與平面所成的角的正弦值為.21.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）證明：.解：（1）由可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?設(shè)，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減.當(dāng)時，，故，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故，單調(diào)遞減，所以有極大值，無極小值.證明：（2）要證，即證，即證.設(shè)，則，顯然在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以存在唯一的，使，即，所?當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)椋?，所以，即原不等式成?22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)（異于），記直線和直線的斜率分別為