江蘇省南通市如皋市十四校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（二）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如皋市十四校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（二）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.某運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中共射擊次，射擊成績（單位：環(huán)）如下：，，，，，10．則下列說法正確的是（）A.成績的極差為 B.成績的第50百分位數(shù)等于成績的平均數(shù)C.成績的中位數(shù)為和 D.若增加一個(gè)成績，則成績的方差不變【答案】B【解析】A．，極差為，故錯(cuò)誤，不符合題意；B．第50百分位數(shù)，平均數(shù)，故正確，符合題意；C．成績的中位數(shù)為，故錯(cuò)誤，不符合題意；D．若增加一個(gè)成績，則成績的方差會(huì)變小，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．2.已知集合，若，則實(shí)數(shù)取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，.由得，，∴或，∴，解得.故選：A.3.拋擲質(zhì)地均勻的骰子兩次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n．設(shè)平面向量，則向量不能作為平面內(nèi)的一組基底的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】且不能作為基底，則，即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；兩次投擲得到點(diǎn)數(shù)的總可能性為種，所以所求的概率.故選：A．4.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故選：C．5.已知x，y為正實(shí)數(shù)，則可成為“”的充要條件的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，已知x，y為正實(shí)數(shù)，若，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得：，令，，令，解得：，則Fx在0,1若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，已知x，y為正實(shí)數(shù)，若，取，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，令，則，即在定義域上遞增，故，反之也有成立，滿足要求，故D正確.故選：D.6.位于如皋市定慧寺內(nèi)的觀音塔，是一座仿明清古塔建筑，具有七層、八角彩繪的外觀．觀音塔除去塔尖部分可近似視為一個(gè)正四棱臺(tái)，現(xiàn)有一個(gè)除去塔尖的觀音塔模型，塔底寬20cm，塔頂寬10cm，側(cè)面面積為，據(jù)此計(jì)算該觀音塔模型體積為（）．A.31500 B.30000 C.10500 D.10000【答案】C【解析】每個(gè)側(cè)面面積，側(cè)面的高，則側(cè)棱長，正四棱臺(tái)的高，故選：C．7.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在拋物線上，定點(diǎn)．圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】由題意知圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合為F0,1，拋物線的準(zhǔn)線為，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，由，則為中點(diǎn)，故，，又圓的半徑為，則可得，又，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值為，則可得，故選：D．8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的數(shù)，都有且．若實(shí)數(shù)m，n滿足，則的最小值為（）A. B. C.20 D.19【答案】B【解析】，令，和原式比較，，都有在上單調(diào)遞增，，.故選：B．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）9.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，對(duì)于，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，對(duì)于，由，得，不符合題意.C選項(xiàng)，由，得，且，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，對(duì)于，由，得，不符合題意.故選：AC10.隨機(jī)事件A，B滿足，則下列說法正確的是（）A.事件與互斥 B.事件A與相互獨(dú)立 C. D.【答案】ABC【解析】因?yàn)榕c一定互斥，所以A對(duì)；獨(dú)立，B對(duì)．對(duì)．錯(cuò)，故選：ABC.11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在軸上方），連接．現(xiàn)將平面沿軸向上折疊，使得面面，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，B.當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為C.三棱錐的體積最大值為D.當(dāng)折疊后的周長為時(shí)，直線的斜率為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，當(dāng)傾斜角為時(shí)，方程為此時(shí)位于橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，，又平面平面平面正確．對(duì)于B，當(dāng)傾斜角為時(shí)，為等邊三角形，邊長為2，外接圓半徑假設(shè),則所以外接圓半徑，三棱錐外接球半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為B正確．對(duì)于C，設(shè)直線AB方程為,聯(lián)立得，，所以，平面面，錯(cuò)．對(duì)于D，如圖建系，翻折前原先，翻折后，，由①②，聯(lián)立①②正確，故選：ABD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）12.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則______．【答案】【解析】由，得，即，則，所以.13.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的長度l（單位：cm）服從正態(tài)分布，按長度l分為5級(jí)：為一級(jí)，為二級(jí)，為三級(jí)，為四級(jí)，為廢品．將一級(jí)與二級(jí)產(chǎn)品稱為優(yōu)品．對(duì)該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽查，每次抽取1個(gè)，則抽到優(yōu)品的概率______（精確到0.1）．若抽出的是優(yōu)品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查直到抽到優(yōu)品，則抽查次數(shù)不超過兩次的概率為______．附：，【答案】0.20.36【解析】由，所以，優(yōu)品滿足，所以（第一空）；抽查次數(shù)不超過兩次的概率為（第二空）.14.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且的平行線OQ與的角平分線交于，則橢圓的離心率為______．【答案】【解析】設(shè)的角平分線交軸于點(diǎn)，延長OQ與交于，則為中點(diǎn)，，∵，∴，∵，∴，，即，又，在中，由余弦定理得，即，，即橢圓的離心率.四、解答題（本大題共5小題，共計(jì)77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)在邊上且，．（1）求證：；（2）若，求的最大值．解：（1）方法一：，，因?yàn)橹?，，所以上式，又因?yàn)?，所以，由正弦定理：得，所以．方法二：因?yàn)椋烧嘞叶ɡ砜傻?，整理得，所?（2）方法一：因?yàn)?，即，又，所以，所以BD為的角平分線，設(shè)，則，所以，所以，所以，又在中，由余弦定理得，即，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故．方法二：設(shè)，在中，①，在中，②，由①②得，，下同法一.方法三：設(shè)，因?yàn)?，所以，兩邊同時(shí)平方得，即，所以，所以，下同法一．16.為調(diào)查某地區(qū)學(xué)生在高中學(xué)習(xí)中錯(cuò)題訂正整理情況與考試成績的關(guān)系．首先對(duì)該地區(qū)所有高中學(xué)生錯(cuò)題訂正整理情況進(jìn)行分值評(píng)價(jià)，給出得分；再組織考試．從這些學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生的錯(cuò)題訂正整理情況得分和對(duì)應(yīng)的考試成績作為樣本，得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個(gè)樣本錯(cuò)題訂正整理情況得分和對(duì)應(yīng)的考試成績，計(jì)算得．（1）求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01），并推斷考試成績和錯(cuò)題訂正整理情況得分的相關(guān)程度；（2）已知20個(gè)樣本中有8個(gè)樣本的考試成績低于樣本平均數(shù)．利用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有高中學(xué)生中隨機(jī)抽取4個(gè)學(xué)生的錯(cuò)題訂正整理情況得分和對(duì)應(yīng)的考試成績，記抽到考試成績低于的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．附：相關(guān)系數(shù)．解：（1），接近考試成績和錯(cuò)題訂正整理情況得分高度相關(guān)．（2）考試成績低于樣本平均數(shù)的概率記為，則x01234p17.在三棱錐中，是邊長為的正三角形，，分別為線段AD，CD的中點(diǎn)，，平面平面．（1）求證：；（2）若與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．（1）證明：取BD中點(diǎn)，連接，為正三角形，，為BD中點(diǎn)，，面，面面，面面平面，又面，，面，所以面，又面（2）解：方法一：由（1）可知面，以為原點(diǎn)，邊上的高為軸，邊所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，設(shè)，則，記平面的一個(gè)法向量為，令，則，為平面的一個(gè)法向量，，與平面所成角余弦值為正弦值為．，或，又．設(shè)面的一個(gè)法向量為n1，取，則，∴為平面的一個(gè)法向量，設(shè)面的一個(gè)法向量為，，取，為平面的一個(gè)法向量，由圖可知二面角的平面為銳角，二面角的余弦值為．方法二：由（1）面過作，則，以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)所以，設(shè)平面的法向量為，令得，，所以為平面的一個(gè)法向量，與平面所成角余弦值為，與平面所成角正弦值為．，或又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄吭O(shè)平面的法向量為，令得，，∴為平面的一個(gè)法向量，，下同法一方法三：由（1）可知面，平面，，又，，平面，所以面，平面，面面，與平面所成角為，設(shè)，，又為AD的中點(diǎn)，在中，，或，又．過作交BD于，過作于，連接，為二面角的平面角．因?yàn)椋裕蓤D可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為．18.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且．（1）求函數(shù)在點(diǎn)處切線方程；（2）若對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）求導(dǎo)得，令，則，，即：．（2）方法一，，①當(dāng)時(shí)，左邊右邊，不等式顯然成立．②當(dāng)時(shí)，令當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減③當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．綜上：的取值范圍為．法二，令，，令，所以恒成立，在上遞增．①若，即對(duì)在單調(diào)遞減，，與矛盾，無解，舍去．②若，即，在上遞增.故．③若即：時(shí)，使得，，即：即：，故綜上．19.已知雙曲線過點(diǎn)，其漸近線方程為．圓過點(diǎn)、，與軸交于、．記直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：直線和直線的斜率之積為定值；（3）判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由．（1）解：由題意可得，所