江蘇省南通市如東縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如東縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】由已知，共2個(gè)元素，因此其子集有4個(gè)．故選：C．2.若直線：與直線：平行，則直線與之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橹本€和直線平行，所以，解得，所以直線：，直線：，直線與之間的距離為.故選：B.3.已知在等比數(shù)列中，，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A.36 B.54 C.64 D.108【答案】B【解析】由題意，解得，所以.故選：B.4.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因?yàn)檎襟w的邊長(zhǎng)為4，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，所以，，即，設(shè)，所以，，即，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，故選：D.5.對(duì)任意，均有成立，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知對(duì)任意，均有成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，由冪函數(shù)的性質(zhì)知其為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，則，即，故C正確.故選：C.6.為進(jìn)一步在全縣掀起全民健身熱潮，如東縣于年月日在如東小洋口旅游度假區(qū)舉辦大運(yùn)河自行車(chē)系列賽．已知本次比賽設(shè)有個(gè)服務(wù)點(diǎn)，現(xiàn)將名志愿者分配到個(gè)服務(wù)點(diǎn)，要求每位志愿者都要到一個(gè)服務(wù)點(diǎn)服務(wù)，每個(gè)服務(wù)點(diǎn)都要安排志愿者，且最后一個(gè)服務(wù)點(diǎn)至少安排名志愿者，共有（）種不同分配方式．A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析：先在人中選出人，安排在最后一個(gè)服務(wù)點(diǎn)，則有種安排方法；將剩下的人安排到其他個(gè)服務(wù)點(diǎn)，則有種安排方法，故共有種安排方法.故選：B7.已知數(shù)列滿(mǎn)足，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，此時(shí)為偶數(shù)，則，所以，即，所以，即，即.故選：B.8.設(shè)拋物線焦點(diǎn)是,直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且,線段的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最小值為（）A. B. C.3 D.【答案】C【解析】設(shè)，，過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，如下所示：則，，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，根據(jù)梯形中位線定理可得，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)?，所以在中，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，（顯然存在），所以，則的最小值為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知對(duì)任意的，，下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】數(shù)列中，對(duì)任意的，，，，AC正確；由，知的值無(wú)法確定，則通項(xiàng)也無(wú)法確定，BD錯(cuò)誤.故選：AC10.已知名同學(xué)排成一排，下列說(shuō)法正確的是（）A.甲不站兩端，共有種排法B.甲、乙必須相鄰，共有種排法C.甲、乙不相鄰，共有種排法D.甲不排左端，乙不排右端，共有種排法【答案】AD【解析】A選項(xiàng)：甲不站兩端，甲有種，剩余6人全排，共有種排法，正確；B選項(xiàng)：甲、乙必須相鄰，甲、乙捆綁有種，作為整體和剩余5人全排，共有種排法，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：甲、乙不相鄰，先排其他5人有種，再把甲、乙插入6個(gè)空中，共有種排法，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：甲不排左端，乙不排右端，用7人全排減去甲在左端的和乙在右端的，再加上甲在左端同時(shí)乙在右端的，共有種排法，正確.故選：AD.11.在空間直角坐標(biāo)系中，，則（）A.B.點(diǎn)B到平面的距離是2C.異面直線與所成角的余弦值D.點(diǎn)O到直線的距離是【答案】BD【解析】因?yàn)椋?，A錯(cuò)誤．在空間直角坐標(biāo)系中，結(jié)合A與C兩點(diǎn)坐標(biāo)可知y軸與平面垂直，所以為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)B到平面的距離是，B正確．因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，C錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)O到直線的距離是．D正確．故選：BD.12.已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說(shuō)法正確的是（）A.離心率的取值范圍為 B.當(dāng)時(shí)，的最大值為C.存在點(diǎn)，使得 D.的最小值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，得，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)：，當(dāng)在軸下方時(shí)，且，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，由，得，，所以得，所以最大值，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)：設(shè)，若，即：，則得，即點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，又由A項(xiàng)知，得，又因?yàn)?，得，所以得，所以該圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上．13.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,若，則abc=____.【答案】【解析】由平行六面體ABCD-A1B1C1D1（如下圖），可得，又，所以解得，所以．故答案為．14.設(shè)雙曲線C:（）的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，是上一點(diǎn)，且.若的面積為，則雙曲線的方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】方法一：不妨設(shè)在雙曲線左支上，，則，∵，∴①，且②，又∵離心率為，∴③；解①②③得，則.∴雙曲線方程為.方法二:，又∵離心率為，∴，∴，則雙曲線方程為.故答案為：.15.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)，的“曼哈頓距離”為，已知?jiǎng)狱c(diǎn)N在圓上，定點(diǎn)，則M，N兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意，不妨設(shè)，則M，N兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)，即，綜上所述，M，N兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”的最大值為.故答案為：.16.侏羅紀(jì)蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)．如圖，是由無(wú)數(shù)個(gè)正方形環(huán)繞而成的，且每一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都恰好在它的外邊最近一個(gè)正方形的四條邊的三等分點(diǎn)上,設(shè)外圍第一個(gè)正方形的面積為,往里第二個(gè)正方形的面積為，……，往里第個(gè)正方形的面積為．則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____．已知滿(mǎn)足，則數(shù)列的最大項(xiàng)的值為_(kāi)_____．【答案】;【解析】設(shè)第個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，且每一個(gè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)都恰在它的外邊最近正方形四條邊的三等分點(diǎn)上，所以，，又，所以，即，同理可得，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以第個(gè)正方形面積為；因?yàn)闈M(mǎn)足，所以，又，所以，所以，所以，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為.故答案為：；四、解答題：本大題共6小題，共70分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，且數(shù)列是等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且數(shù)列滿(mǎn)足，，設(shè)數(shù)列的公差為，則，所以，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，可得，所以.18.如圖，在三棱柱中，平面平面，邊長(zhǎng)為4的正方形，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；解：（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫?，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面ABC；（2）因?yàn)?，，則，所以，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，的正方向分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可知二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.19.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為，點(diǎn)G是橢圓C的上頂點(diǎn)，直線與圓相切，且橢圓C的離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交E于M，N兩點(diǎn)，若，求直線l的方程．解：（1）由以及可得：①，因，，則即：，又因直線與圓相切，則，化簡(jiǎn)得：②，聯(lián)立①②，可解得：，所以橢圓E的方程為．（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l交E于，兩點(diǎn)，①當(dāng)直線軸，則，，所以不滿(mǎn)足題意；②當(dāng)直線l斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)得，；因?yàn)椋?，若，則，所以，代入；化簡(jiǎn)得，解得，所以直線l的方程為或．20.如圖，在三棱錐中，已知，，為的中點(diǎn)，平面，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，滿(mǎn)足.（1）求點(diǎn)到平面的距離;（2）求直線與平面所成角的余弦值.解：（1）連接，因?yàn)?，故；由面，面，故，故兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下所示空間直角坐標(biāo)系：則，，設(shè)，，，因?yàn)?，故可得，解得，故，設(shè)平面的法向量，因?yàn)楣剩?，則，故；故點(diǎn)到平面的距離=.（2）設(shè)平面的法向量，因?yàn)椋?，令，則，故；設(shè)直線與平面所成角為，因?yàn)?故，故.故直線與平面所成角的余弦值為.21.記數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記的前項(xiàng)和為.若對(duì)于且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，整理得，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿(mǎn)足，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.（2）由（1）得，，，兩式相減得，，又對(duì)于且恒成立，即，等價(jià)于對(duì)于且恒成立，令，則，則有，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則.22.已知雙曲線C：（，）的右頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與C的一條漸近線垂直，垂足為N，且．（1）求C的方程．（2）過(guò)點(diǎn)的直線交C于，兩點(diǎn)，直線AP，AQ分別交y軸于點(diǎn)G，H，試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得？若存在，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；