江蘇省南京市2024-2025學年高二上學期11月期中學情調研測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市2024-2025學年高二上學期11月期中學情調研測試數(shù)學試題注意事項：1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分．3.答題前，務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上．1.下列四組數(shù)據(jù)中，方差最小的是（）A.5，5，5，5，5，5，5，5 B.4，4，4，5，5，5，6，6C.3，3，4，4，5，6，6，7 D.2，2，2，2，2，5，8，8【答案】A【解析】設個數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，則方差為，方差反應一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立.對于A，這組數(shù)據(jù)都相等，沒有波動，故方差為；對于B，這組數(shù)據(jù)分布比較均勻，波動較小，故方差較小但大于；對于C，這組數(shù)據(jù)分布比較均勻，波動較小，故方差較小但大于；對于D，這組數(shù)據(jù)波動較大，故方差較大；故選：A.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,故選：D.3.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線化為點斜式得，，所以直線的斜率為，所以傾斜角為，故選：B.4.兩條漸近線互相垂直的雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設雙曲線的標準方程為，則漸近線的方程為，由兩條漸近線互相垂直，即，即，又雙曲線的離心率為，故選：B5.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，所以，解得，故選:C.6.底面直徑與高相等的圓柱的體積為，則該圓柱的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設圓柱的底面直徑與高為，則圓柱的體積為，解得，則外接球的直徑為，即圓柱的外接球的半徑為，則圓柱的外接球的表面積為，故選：B.7.已知點，若圓上任意一點都滿足，則實數(shù)（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】設，因為，所以，則，整理得，，所以，故選:C.8.拋物線的準線為l，M為上的動點，則點到與到直線的距離之和的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，拋物線的焦點為,根據(jù)拋物線的定義可知，點到的距離等于,所以點到與到直線的距離之和即為與到直線的距離之和，由圖可知，與到直線的距離之和的最小值為焦點到直線的距離，所以即為所求，故選:D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上．全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有錯選的得0分.9.分別拋擲兩枚質地均勻的硬幣，記“第一枚硬幣正面朝上”為事件，“第二枚硬幣反面朝上”為事件，則（）A. B.C.和是互斥事件 D.和是相互獨立事件【答案】AD【解析】由題，樣本空間為{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，{（正，正），（正，反）}，{（正，反），（反，反）}，所以，A正確；{（正，反）}，所以，則B錯誤，因為，所以和不是互斥事件，C錯誤，因為,所以，所以和是相互獨立事件，D正確.故選:AD.10.在矩形ABCD中，.若，則（）A.B.C.以CE為直徑的圓與直線BF相切D.直線AE與BF的交點在矩形ABCD的外接圓上【答案】BCD【解析】如圖，以為坐標原點，方向為軸，建立平面直角坐標系，則,對A，,所以不平行，A錯誤；對B，,,所以，B正確；對C，的中點為，因為，所以的直線方程為，化為一般式，則點到直線的距離為，又因為,所以,所以以CE為直徑的圓與直線BF相切，C正確；對D，因為,所以的直線方程為，聯(lián)立，解得，所以直線AE與BF的交點為，矩形ABCD的外接圓是以2,1為圓心，為半徑的圓，因為點到2,1的距離為，所以直線AE與BF的交點在矩形ABCD的外接圓上，D正確；故選:BCD.11.已知橢圓，直線與交于A，B兩點，點為上異于A，B的動點，則（）A.當時， B.C.存在點，使得 D.【答案】ABCD【解析】設，則,所以，因為點在橢圓上，所以，所以，則，時，，代入，解得，此時，A正確；因為為的中點，所以,所以，因為點在橢圓上，所以，所以，所以，因為點在橢圓上，所以，所以，B正確；因為，,所以,所以，所以當時，，因為點為上異于A，B的動點，所以存在點或時，使得，C正確；以下證明，若，則，,所以所以，因為，所以，設，則，D正確；故選：ABCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.12.若直線與垂直，則實數(shù)______.【答案】【解析】由直線與垂直，則，解得，故答案為：.13.已知，則______.【答案】【解析】因為，所以，又因，所以，所以，故答案為：.14.歷史上最早系統(tǒng)研究圓錐曲線的是古希臘學者梅納庫莫斯，大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡地研究了圓錐曲線，他的研究涉及圓錐曲線的光學性質,其中一條是：如圖（1）,從右焦點發(fā)出的光線交雙曲線右支于點，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過左焦點．已知圖（2）中，雙曲線的中心在坐標原點，左、右焦點分別為，直線平分，過點作的垂線，垂足為，且.則當反射光線經過點時，______.【答案】9【解析】延長交于點，因為直線平分，所以，所以，所以，由角平分線可知，為的中點，又因為為的中點，則由中位線的性質可得，，所以，所以.故答案為：9.四、解答題：本大題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）若，求的面積.解：（1）因為，邊化角可得，，即，又因為，且，所以，因為，所以.（2）由余弦定理，，所以，即，所以，所以的面積為.16.已知點在拋物線上，直線經過點，且在軸上的截距為.（1）求的值和直線的方程；（2）記與的另一個交點為，求經過，，三點的圓的方程.解：（1）因為點在拋物線上，所以，解得，所以；因為直線在軸上的截距為，所以設，又因為直線經過點，所以，解得，所以直線的方程為.（2）設，聯(lián)立，消去可得，，解得，，則，所以，設經過，，三點的圓的方程為，則有，解得，，所以圓方程為.17.在四面體PABC中，M，N分別為PC，BC的中點.（1）證明:平面；（2）若平面,四面體PABC的體積為2,且,求MN與平面PAC所成角的正弦值.解：（1）在中，是的中點，所以,又因為平面,平面,所以平面.（2）因為，所以，因為平面，且四面體PABC的體積為2，所以，即，所以,所以,過點作的垂線，垂足為，連接，則有，因為平面平面，所以,又因為平面，所以平面，所以MN與平面PAC所成角，因為平面，所以，在中，由等面積法可知，，所以,則,,所以即為MN與平面PAC所成角的正弦值.18.已知圓，圓，過點作圓的切線，切線的長為2．（1）求圓的方程；（2）直線經過點，且與圓交于A，B兩點，，①求的方程和的值；②若動圓與圓外切，且與圓內切，求動圓圓心到點距離的最小值.解：（1）過點作圓的切線，設切點為,連接，因為,所以,所以圓.（2）顯然,直線的斜率存在，設直線的方程為，設圓心到直線的距離為，所以，解得，又因為，整理得，，解得或，所以的方程為或；在中，,所以.設動圓的半徑為，則由題意可得，,所以，所以動點的軌跡是以為焦點的雙曲線的右半支，則有，所以雙曲線方程為，設動點，則有，所以，所以，由二次函數(shù)的性質可知，當時，有最小值，最小值為，所以，此時.19.已知橢圓的右頂點為，上頂點為，離心率為.（1）求的方程；（2）直線平行于直線AB，且與交于M，N兩點，①P，Q是直線AB上的兩點，滿足四邊形MNPQ為矩形，且該矩形的面積等于，求的方程；②當直線AM，BN斜率存在時，分別將其記為，證明