湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.孝感市某高中有學(xué)生1200人，其中高一年級有學(xué)生400人，高二年級有學(xué)生600人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取120人進(jìn)行問卷調(diào)查，則被抽到的高二年級學(xué)生人數(shù)比高一年級學(xué)生人數(shù)多（）A.20 B.30 C.40 D.50【答案】A【解析】抽樣比等于，于是，高一被抽到的學(xué)生人數(shù)為，高二被抽到的學(xué)生人數(shù)為，所以高二年級學(xué)生人數(shù)比高一年級學(xué)生人數(shù)多.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)滿足：，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.-2 C.2 D.【答案】C【解析】因為，所以，所以所以虛部為2.故選:C.3.已知，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在上的投影向量為.故選：B.4.已知圓錐的側(cè)面積為，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的底面圓半徑為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面圓半徑為，母線長為，則，解得，由圓錐的側(cè)面積為，得，即，所以.故選：A.5.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)小于4的點(diǎn)”，“第二枚出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”，則與的關(guān)系為（）A.互斥 B.互為對立 C.相互獨(dú)立 D.相等【答案】C【解析】對于該試驗，第一枚骰子與第二枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)互不影響，故與相互獨(dú)立.故選：C.6.在三棱錐中，三個側(cè)面與底面所成的角均相等，頂點(diǎn)在內(nèi)的射影為，則是的（）A.垂心 B.重心 C.內(nèi)心 D.外心【答案】C【解析】若三個側(cè)面與底面所成的角相等，則分別作三個側(cè)面三角形的斜高，由三垂線定理，得，，，則、、分別是三側(cè)面與底面所成角的平面角，，，，，，是的內(nèi)心．故選：C．7.如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱，底面是正方形，，且，則向量的模長為（）A. B.34 C.52 D.【答案】D【解析】,故,故，故，故選：D.8.已知單位向量滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，兩邊取平方得，即，又為單位向量，所以，即，解得或，因為，所以，即.因為，所以，當(dāng)時等號成立，所以的最小值為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.關(guān)于非零向量，下列命題中正確的是（）A.若，則. B.若，則.C.若，則. D.若，則.【答案】BD【解析】對于A，不能得到的方向，故A錯誤，對于B，若，則，B正確，對于C，向量不能比較大小，故C錯誤，對于D，若，則，D正確，故選：BD.10.如圖，正方體的棱長為1，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則下列選項中正確的是（）A.最小值為.B.平面平面.C.若是的中點(diǎn)，則二面角的余弦值為.D.若，則直線與所成角的余弦值為.【答案】ABC【解析】對A：如圖連接，，因為是正方體，所以平面，平面，所以.又點(diǎn)在線段上，所以為直角三角形，所以（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時取“”）.故A正確；對B：因為是正方體，所以平面，又平面，所以：平面平面，故B正確；對C：當(dāng)為線段中點(diǎn)時，因為，，所以即為二面角的平面角.在中，，，，所以，所以.故C正確；對D：如圖：因為，在上取點(diǎn)，使，連接，，則,所以即為異面直線與所成的角.中，，，.由余弦定理可得：，故D錯誤.故選：ABC.11.在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時，收到1的概率為收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.下列說法正確的是（）A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1概率為D.當(dāng)時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【解析】對于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，A正確；對于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個事件的積，它們相互獨(dú)立，所以所求概率為，B正確；對于C，三次傳輸，發(fā)送1，則譯碼為1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為，C錯誤；對于D，由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率，單次傳輸發(fā)送0，則譯碼為0的概率，而，因此，即，D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第______象限.【答案】四【解析】因為是純虛數(shù)，且，所以.所以，對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.13.三棱錐中，平面，則該三棱錐的外接球體積等于______.【答案】【解析】如圖：將三棱錐補(bǔ)成長方體，則三棱錐的外接球和長方體的外接球是一致的.設(shè)長方體外接球半徑為，則：，所以所以三棱錐的外接球體積為：.14.在中，，則中最小角的余弦值為_______.【答案】【解析】因為是直角三角形，且為斜邊，而，，由得，即，即，所以，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，分別是和的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.解：（1）取中點(diǎn)，連接.因為是的中點(diǎn)，所以，且.由直棱柱知，，而是的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形是平行四邊形.所以.又為中點(diǎn)，，又三棱柱為直三棱柱，所以平面，平面，，又，平面，所以：平面，故平面.（2），由（1）知，平面.所以且.16.已知.（1）若，求實(shí)數(shù)k的值；（2）求與的夾角的余弦值.解：（1）由題意知，，又，所以，由，得，即,又，所以，解得.（2）,,設(shè)與的夾角為，則,所以與的夾角的余弦值為.17.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）若，求角的大小；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.解：（1）因為，由正弦定理得：,又，所以,所以，得,所以，則或（舍），.（2）由題意及（1）得，在中，，由正弦定理得，，為銳角三角形，,解得：，的取值范圍為.18.如圖，在四棱錐中，平面為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）如圖：取的中點(diǎn)，連接，則，且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.（2）因為平面平面，所以，由題設(shè)易知為直角梯形，且，則，，所以，即，因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）如圖：取的中點(diǎn)，連接，則，由（2）知平面，則平面，所以為直線與平面所成的角.因為，所以.所以.即直線與平面所成角的正弦值為.19.A校和B校是孝感市兩所著名的高中，為了相互學(xué)習(xí)和交流，現(xiàn)隨機(jī)抽取2000名A校學(xué)生和2000名B校學(xué)生參加一場知識問答競賽，得到的競賽成績?nèi)课挥趨^(qū)間中，現(xiàn)分別對兩校學(xué)生的成績作統(tǒng)計分析：對A校學(xué)生的成績經(jīng)分析后發(fā)現(xiàn)，可將其分成組距為10，組數(shù)為6，作頻率分布直方圖，且頻率分布直方圖中的滿足函數(shù)關(guān)系（n為組數(shù)序號，）；關(guān)于B校學(xué)生成績的頻率分布直方圖如下圖所示（縱軸為），假定每組組內(nèi)數(shù)據(jù)都是均勻分布的.（1）求的值；（2）若B校準(zhǔn)備給前100名的學(xué)生獎勵，應(yīng)該獎勵多少分以上的學(xué)生？（3）現(xiàn)在設(shè)置一個標(biāo)準(zhǔn)來判定某一學(xué)生是屬于A校還是B校，將成績小于的學(xué)生判為B校，大于的學(xué)生判為A校，將A校學(xué)生誤判為B校學(xué)