（寒假）人教A版高二數(shù)學寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測+課后練習 第07講 圓錐曲線中的定點、定直線問題（原卷版）

第頁第07講圓錐曲線中的定點、定直線問題考點一、橢圓中的定點、定直線問題【例1】已知橢圓的離心率是，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于兩點，直線與軸的交點分別為，證明：線段的中點為定點．【變式1】已知橢圓右焦點分別為，是上一點，點與關(guān)于原點對稱，的面積為.(1)求的標準方程；(2)直線，且交于點，，直線與交于點.證明：①直線與的斜率乘積為定值；②點在定直線上.【變式2】已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個公共點．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知結(jié)論：若點為橢圓上一點，則橢圓在該點處的切線方程為．若橢圓的短軸長小于4，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，求證：直線過定點．考點二、雙曲線中的定點、定直線問題【例1】已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.考點三、拋物線中的定點、定直線問題【例1】過拋物線內(nèi)部一點作任意兩條直線，如圖所示，連接延長交于點，當為焦點并且時，四邊形面積的最小值為32

(1)求拋物線的方程；(2)若點，證明在定直線上運動，并求出定直線方程.【變式1】設(shè)拋物線：（）的焦點為，點的坐標為.已知點是拋物線上的動點，的最小值為4.(1)求拋物線的方程：(2)若直線與交于另一點，經(jīng)過點和點的直線與交于另一點，證明：直線過定點.【能力提升】1.已知雙曲線：（，）的離心率為，右頂點到漸近線的距離等于.(1)求雙曲線的方程.(2)點，在上，且，直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.2.已知點，在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩個不同的點（異于），過作軸的垂線分別交直線于點，當是中點時，證明．直線過定點.3.已知橢圓的左?右頂點分別為點，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.4.已知拋物線E：（p>0），過點的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點．當l1的斜率為時，(1)求E的標準方程：(2)設(shè)G為直線AD與BC的交點，證明：點G必在定直線上．圓錐曲線中的定點、定直線問題課后練習1.已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．2.已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．3.已知點為雙曲線上一點，的左焦點到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)不過點的直線與雙曲線交于兩點，若直線PA，PB的斜率和為1，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.4.已知拋物線，過點的兩條直線、分別交于、兩點和、兩點．當?shù)男甭蕿闀r，．(1)求的標準方程；(2)設(shè)為直線與的交點，證明：點在定直線上．圓錐曲線中的定點、定直線問題隨堂檢測1.已知拋物線：過點．(1)求拋物線的方程；(2)，是拋物線上的兩個動點，直線的斜率與直線的斜率之和為4，證明：直線恒過定點．2.已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.3.已知和是橢圓的左、右頂點，直線與橢圓相交于M，N兩點，直線不經(jīng)過坐標原點，且不與坐標軸平行，直線與直線的斜率之積為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線OM與橢圓的另外一個交點為，直線與直線相交于點，直線PO與直線相交于點，證明：點在一條定直線上，并求出該定直線的方程．4.已知橢圓：的短軸長為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．5.已知雙曲線的一條漸近線方程為，焦點到漸