人教版八年級數(shù)學上冊《第十五章分式》單元測試卷及答案

第第頁彌封線內(nèi)不要答題彌封線內(nèi)不要答題第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁人教版八年級數(shù)學上冊《第十五章分式》單元測試卷及答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________考點一分式的概念及其運算1．（2024浙江寧波·期末）要使分式有意義，x的取值應滿足（

）A． B．C．或 D．且2．（2024浙江臺州·期末）下列分式變形從左到右一定成立的是（）A． B． C． D．3．（2024浙江嘉興·期末）如果把分式中的和都擴大到原來的3倍，那么分式的值（

）A．擴大到原來的3倍 B．不變C．縮小到原來的 D．擴大到原來的9倍4．（2024浙江溫州·期末）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．5．（2024浙江金華·期末）進入秋季以來，全國流感高發(fā)，其中就有甲流．已知甲流病毒的直徑約為米，用科學記數(shù)法表示米米，則為（

）A． B． C．6 D．76．（2024浙江紹興·期末）若正整數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．60 B．70 C．80 D．907．（2024浙江臺州·期末）．8．（2024浙江溫州·期末）若分式的值為0，則的值為．9．（2024浙江紹興·期末）不改變分式的值，把它的分子和分母中的各項系數(shù)都化成整數(shù)，則得到的結(jié)果為．10．（2024浙江寧波蛟川書院·期末）已知是互不相等的實數(shù)，是任意實數(shù)，化簡：．11．（2024浙江紹興·期末）若正數(shù)a，b，c滿足abc1，，則．12．（2024浙江嘉興·期末）已知，，，則．13．（2024浙江寧波·期末）已知，求的值．14．（2024浙江溫州·期末）先化簡，再求值：，其中．15．（2024浙江嘉興·期末）先化簡：，再從，0，2中選擇一個恰當?shù)臄?shù)作為的值代入求值．16．（2024浙江臺州·期末）先化簡，再求值：，請你從中選取適當?shù)臄?shù)代入求值．17．（2024浙江寧波·期末）先閱讀下列解題過程，再回答問題：計算：．解：原式①②③④(1)以上解答有錯誤，錯誤步驟的序號是_______；(2)請你給出正確的解答．18．（2024浙江嘉興·期末）規(guī)定一種新的運算“”，其中，為正整數(shù)．其運算規(guī)則如下：①；②（其中為常數(shù)）．(1)計算：_______，______（其中為常數(shù)）；(2)（其中，均不為0）．①求，，的值；②化簡并計算：．考點二分式方程19．（2024浙江寧波·期末）已知分式（m，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）x的取值－42a0分式的值無意義01bA． B． C． D．20．（2024浙江寧波·期末）若分式方程有增根，則k的值為（

）A． B．1 C．2 D．321．（2024浙江寧波·期末）“綠水青山就是金山銀山”．某地為美化環(huán)境，計劃種植樹木1200棵．在種植完400棵后，由于志愿者的加入，實際每天種植的棵樹比原計劃增加了，結(jié)果比原計劃提前4天完成任務．設原計劃每天植樹x棵，則所列方程正確的是（

）A． B．C． D．22．（2024浙江寧波·期末）暑假期間，小明一家計劃自駕去離寧波遠的某風景區(qū)游玩．途中……設原計劃以每小時的速度開往該景區(qū)，可得方程，根據(jù)此情景，題中“……”表示的缺失條件應為（

）A．實際每小時比原計劃快，結(jié)果提前1小時到達B．實際每小時比原計劃慢，結(jié)果提前1小時到達C．實際每小時比原計劃快，結(jié)果延遲1小時到達D．實際每小時比原計劃慢，結(jié)果延遲1小時到達23．（2024浙江寧波蛟川書院·期末）已知為正整數(shù)，且整除，則（

）A．所有的和為14.5 B．所有的和為15.5 C．可能4組取值 D．可能5組取值24．（2024浙江紹興·期末）若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)的和為（

）A．10 B．15 C．18 D．2325．（2024浙江溫州·期末）閱讀下列解題過程，回答所提出的問題：題目：解分式方程：解：方程兩邊同時乘以（第1步）得：（第2步）去括號得：（第3步）解得：（第4步）所以原分式方程的解是：（第5步）(1)上述計算過程中，哪一步是錯誤的？請寫出錯誤步驟的序號：；(2)訂正錯誤，并寫出正確的解題過程．26．（2024浙江臺州·期末）2023年臺州馬拉松比賽于12月3日舉行，各位跑友齊聚山海水城、和合圣地，以跑者之勢再現(xiàn)力量之美．小明參與“半程馬拉松”（約）項目，前以平均速度完成，之后身體競技狀態(tài)提升，以的平均速度完成剩下賽程，最終比原計劃提前到達目的地．求小明前的平均速度．27．（2024浙江紹興·期末）某超市有甲、乙兩種糖果，已知甲種糖果的進價為18元/千克，乙種糖果的進價為6元/千克，1千克甲種糖果的售價比1千克乙種糖果的售價高20元．若顧客花150元購買的甲種糖果的千克數(shù)與花50元購買的乙種糖果的千克數(shù)相同．(1)求甲、乙兩種糖果的售價；(2)為了促銷，超市對甲種糖果進行9折銷售．某顧客同時購買甲種糖果和乙種糖果若干千克，超市共獲毛利80元．則共有幾種購買方案．28．（2024浙江嘉興·期末）已知，兩地相距150千米，甲、乙兩車分別從，兩地同時出發(fā)，相向而行，其終點分別為，兩地．兩車均先以每小時千米的速度行駛，再以每小時千米的速度行駛，且甲車以兩種速度行駛的路程相等，乙車以兩種速度行駛的時間相等．(1)若，且甲車行駛的總時間為小時，求和的值；(2)若，且乙車行駛的總時間為2小時．①求和的值；②求兩車相遇時，離地多少千米．29．（2024浙江寧波·期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務．獎品購買方案設計素材1某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價是筆記本的倍，用108元購買鋼筆的數(shù)量比用60元購買筆記本的數(shù)量多2件．素材2某學?；ㄙM540元購買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎品頒發(fā)給“優(yōu)秀學生”，購買的鋼筆數(shù)量比筆記本少15支．素材3學?；ㄙM540元后，文具店贈送m張兌換券（如圖）用于商品兌換．兌換后，筆記本數(shù)量與鋼筆相同．問題解決任務一【探求商品單價】請運用適當方法，求出鋼筆與筆記本的單價．任務二【探究購買方案】在不使用兌換券的情況下，求購買的鋼筆和筆記本數(shù)量．任務三【確定兌換方式】運用數(shù)學知識，確定兌換方案．30．（2024浙江嘉興·期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務素材1某中學701班自制一款組合式的木質(zhì)收納架．如圖所示，已知單個收納架由2個橫桿和5個豎桿組成，橫桿長為60厘米，豎桿長為32厘米．素材2可提供的制作原料是每根長為160厘米的木條．考慮到所制作的收納架的牢固性，規(guī)定單根桿件的用料不能拼接而成．解決問題任務（一）擬定裁切方案一根160厘米長的木條有以下裁剪方法．（余料作廢）方法①：當只裁剪32厘米的豎桿時，最多可裁剪_________根；方法②：當先裁剪下1根60厘米長的橫桿時，余下部分最多能裁剪32厘米長的豎桿_________根；方法③：當先裁剪下2根60厘米長的橫桿時，余下部分最多能裁剪32厘米長的豎桿_________根．任務（二）核算材料費用班委會計劃在教室墻壁上安裝5個收納架，若用任務（一）中的方法②和方法③進行裁剪，則裁剪多少根160厘米長的木條，才能剛好得到所需要的用料？任務（三）評價安裝工效同學們在安裝過程中發(fā)現(xiàn)：單位時間內(nèi)可以安裝根豎桿或根橫桿．任務（二）中的5個收納架安裝完畢時，發(fā)現(xiàn)安裝豎桿所需的時間與安裝橫桿所需的時間相同，求的值．

參考答案1．【答案】D【分析】由題意得，即可得到答案．【詳解】解：依題意得：，故且．故此題答案為D．2．【答案】D【分析】此題考查了分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進行計算即可解答．【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；B、，故本選項不符合題意；C、當時，，故本選項不符合題意；D、，故本選項符合題意；故此題答案為D．3．【答案】B【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．【詳解】把x和y都擴大3倍后，，約分后仍為原式，分式值不變．故此題答案為B．4．【答案】C【分析】先將分式化成同分母，再計算分式的減法，最后化簡分式即可．【詳解】原式故此題答案為C5．【答案】B【分析】此題考查用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)，絕對值小于1的正數(shù)用科學記數(shù)法表示，一般形式為，其中，等于原數(shù)中第一個非零數(shù)字前面所有0的個數(shù)，根據(jù)的確定方法即可得出答案．【詳解】解：，，故此題答案為：B．6．【答案】C【分析】把用含的代數(shù)式表示，并分離其整數(shù)部分（簡稱分離整系數(shù)法）．再結(jié)合整除的知識，即可求出的最大值．【詳解】解：，，，為正整數(shù)，當時，有最大值，最大值為，故此題答案為C．7．【答案】【分析】根據(jù)，進行計算即可．【詳解】解：；故此題答案為：．8．【答案】1【分析】根據(jù)分式的值為0的條件為：分子為0，分母不等于0計算即可得出答案．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，，解得：9．【答案】【分析】根據(jù)分式的相關(guān)性質(zhì)，利用分子和分母同時乘除不為0的數(shù)，即可求解.【詳解】解：.10．【答案】1【分析】此題考查了分式的化簡求值．先計算前兩項的和，再求解即可．【詳解】解：，故此題答案為：1．11．【答案】【分析】計算，然后整體代入求解即可；或者把已知條件組成方程組，解方程組求出，，代入計算即可．【詳解】解：解法一：因為所以，解得．故此題答案為：．解法二：由，得，因此，．由此可得，．所以故此題答案為：．【關(guān)鍵點撥】此題考查了分式的運算，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則進行計算，注意運用整體思想求解．12．【答案】33【分析】設，根據(jù)已知三個等式可得出，，，三式相加求出，從而求出，，，即可求出，，代入，求出，最后代入求解即可．【詳解】解：設，∵，∴，∴，即①，同理②，③，①+②+③，得，∴，∴，，∴，，∴，，∵，∴，解得，∴13．【答案】【分析】由可得，再整體代入計算即可【詳解】解：∵，∴，即，原式14．【答案】，【分析】根據(jù)題意先計算括號內(nèi)的再計算乘可，后代入數(shù)值即可得到本題答案．【詳解】解：，，，，，當時，．15．【答案】，0【分析】先通分計算減法，然后進行乘法運算，可得化簡結(jié)果，根據(jù)分式有意義的條件，確定恰當?shù)牡闹担詈蟠登蠼饧纯桑驹斀狻拷猓?，∵，∴，∴當時，原式．16．【答案】，【分析】此題考查分式的化簡求值，先根據(jù)分式的混合運算法則進行計算，再代入一個使分式有意義的的值，進行求值即可．掌握分式的混合運算法則，正確的計算，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，∵，∴，∴當時，原式17．【答案】(1)③(2)正確解法見解析，【分析】（1）分式的加減運算不能去分母，從而可得錯誤步驟的序號是③；（2）先通分化為同分母分式，再計算即可．【詳解】（1）解：解答有錯誤，錯誤步驟的序號是③；（2）正確解法為：．18．【答案】(1)，(2)①，，；②3【分析】（1）由題意知，，，求解作答即可；（2）①由題意知，，，，則原式整理得，，即，，，，求解作答即可；②由①可知，，整理得，根據(jù)，求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，，故答案為：，；（2）①解：由題意知，，，，∴，整理得，，∴，，，，解得，，，∴，，；②解：由①可知，，整理得，∴，∴的值為3．19．【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件分別確定和的值，然后確定出分式，最后根據(jù)時，原分式值為1，通過解分式方程確定，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵時，原分式無意義，∴，解得：，B選項正確，不符合題意；∴此分式為，∵當時，原分式值為0，∴，解得：，A選項正確，不符合題意；由上分析，原分式為，當時，原分式值為，D選項正確，不符合題意；當時，解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，C選項錯誤，符合題意；故此題答案為C．20．【答案】D【分析】先解出分式方程，再根據(jù)分式方程有增根，則最簡公分母為0可列出關(guān)于k的方程，解之即可．【詳解】解：去分母得，解得：∵分式方程有增根，∴解得故此題答案為D．21．【答案】B【分析】根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】解：設原計劃每天植樹x棵，根據(jù)等量關(guān)系即可得到，故此題答案為B．22．【答案】A【分析】先根據(jù)原計劃的速度為，可知是實際速度，再結(jié)合時間的差為1，可知答案．【詳解】由原計劃每小時的速度開往景區(qū)，可知是實際速度，再根據(jù)時間差為1，可知實際比原計劃提前了1小時．所以缺失的條件是“實際每小時比原計劃快，結(jié)果提前1小時到達”．故此題答案為A．23．【答案】B【分析】此題考查了整式的除法，數(shù)的整除．根據(jù)已知條件得到，為整數(shù)，表示出，分類討論確定出的取值組數(shù)，并求出和即可．【詳解】解：，為正整數(shù)，且整除，，為整數(shù)，整理得：，，∵為正整數(shù)，當時，此時；當時，此時；當時，此時，則所有的和為，只有3組取值．故此題答案為B．24．【答案】B【分析】根據(jù)分式方程的解為正數(shù)可得且，再根據(jù)不等式組的解集為可得，找出且中所有的整數(shù)即可求解．【詳解】解：∵分式方程的解為且，∵關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，且，且，∵不等式組整理得，∵關(guān)于y的不等式組的解集為，，且，∴符合條件的所有整數(shù)為，，，，，，，，∴它們的和為，故此題答案為B．25．【答案】(1)2(2)見解析【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，即可判斷哪一步是錯誤的，再寫出正確解題步驟即可．【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘以得：，∴第2步是錯誤的．故答案為：2（2）解：方程兩邊同時乘以得：，去括號得：，解得：，檢驗：時，，∴不是原分式方程的解，原分式方程無解．26．【答案】小明前的平均速度為．【分析】此題考查了分式方程的應用．根據(jù)題意列出分式方程計算即可求解．【詳解】解：由題意得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，答：小明前的平均速度為．27．【答案】(1)甲糖果的售價為30元，則乙糖果的售價為10元(2)2【分析】（1）設甲糖果的售價為x元，則乙糖果的售價為元，根據(jù)：“顧客花150元購買的甲種糖果的千克數(shù)與花50元購買的乙種糖果的千克數(shù)相同，”列分式方程求解即可；（2）設顧客購買甲糖果a千克，購買乙糖果b千克，根據(jù)題意列二元一次方程，再根據(jù)a、b均為正整數(shù)，求解即可．【詳解】（1）解：設甲糖果的售價為x元，則乙糖果的售價為元，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴（元），答：甲糖果的售價為30元，則乙糖果的售價為10元．（2）解：設顧客購買甲糖果a千克，購買乙糖果b千克，由題意得，，即，∵a、b均為正整數(shù)，∴或，答：共有2種購買方案．28．【答案】(1)，(2)①；②兩車相遇時，離地72千米．【分析】（1）由甲車以兩種速度行駛的路程相等，可得，再結(jié)合即可求出、的值；（2）①由已知可得，再由，可求、的值；②相遇時甲車行駛的時間為，乙離地的距離即為甲行駛的距離，（千米）．【詳解】（1）解：由已知甲車以兩種速度行駛的路程相等，甲車行駛的時間為，即甲車行駛的總時間為小時，，∵，，；經(jīng)檢驗：，是原分式方程的解（2）解：①乙車以兩種速度行駛的時間相等，且乙車行駛的總時間為2小時，，，∵，∴，②相遇時甲車行駛的時間為，乙離地的距離即為甲行駛的距離，（千米）．兩車相遇時，離地72千米．29．【答案】任務一：每支鋼筆9元，每本筆記本6元；任務二：購買鋼筆30支，筆記本45本；任務三：有3種方案，分別為：①3張兌換鋼筆，0張兌換筆記本；②5張兌換鋼筆，1張兌換筆記本；③7張兌換鋼筆，2張兌換筆記本【分析】任務一：解：設筆記本每本x元，則鋼筆每支1.5x元．由題意，列出方程，即可求解；任務二：解：設購買鋼筆a支，購買筆記本b本．由題意，列出方程組，即可求解；任務三：解：設其中y張用來兌換鋼筆，則張兌換筆記本．由題意，列出方程，即可求解．【詳解】解：設筆記本每本x元，則鋼筆每支1.5x元．由題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．（元）答：每支鋼筆9元，每本筆記本6元；任務二：解：設購買鋼筆a支，購買筆記本b本．由題意得：，解得：，答：購買鋼筆30支，筆記本45本；任務三：解：設其中y張用來兌換鋼筆，則張兌換筆記本．由題意得：，整理得：，∵，∴或或，∴有3種方案，分別為：①3張兌換鋼筆，0張兌換筆記本；②5張兌換鋼筆，1張兌換筆記本；③7張兌換鋼筆，2張兌換筆記本30．【答案】任務一：5，3，1；任務二：8根，1根；任務三：5【分析】任務一：根據(jù)圍欄材料不同裁剪方法，分別計算出需要的豎杠或橫杠；任務二:利用方法②與方法③列出方程組求解即可；任務三：利用在單位時間內(nèi)可以安裝m根豎杠或根橫杠，所用的時間相同，建立分式方程，求解即可．【詳解】任務一：方法①：(根)，當只裁剪32厘米長的豎杠時，最多可裁剪5根．方法②：，當先裁剪下1根60厘米長的橫杠時，余下部分最多能裁剪32厘米長的豎杠3根．方法③：，當先裁剪下2根60厘米長的橫杠時，余下部分最多能裁剪32厘米長的豎杠1根．任務二：設按方法②需裁剪x根160厘米長的木條，按方法③需裁剪y根160厘米長的木條，依據(jù)題意得，，解得，．答：按方法②需裁剪8根160厘米長的木條，按方法③需裁剪1根160厘米長的木條，才能剛好得到所需要的相應數(shù)量的用料．任務三：依據(jù)題意得，解得，，經(jīng)檢驗，是該方程的解．參考答案考點一分式的概念及其運算1．（2024浙江寧波·期末）要使分式有意義，x的取值應滿足（

）A． B．C．或 D．且【答案】D【分析】由題意得，即可得到答案．【詳解】解：依題意得：，故且．故此題答案為D．2．（2024浙江臺州·期末）下列分式變形從左到右一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了分式的基本性質(zhì)．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，進行計算即可解答．【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；B、，故本選項不符合題意；C、當時，，故本選項不符合題意；D、，故本選項符合題意；故此題答案為D．3．（2024浙江嘉興·期末）如果把分式中的和都擴大到原來的3倍，那么分式的值（

）A．擴大到原來的3倍 B．不變C．縮小到原來的 D．擴大到原來的9倍【答案】B【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．【詳解】把x和y都擴大3倍后，，約分后仍為原式，分式值不變．故此題答案為B．4．（2024浙江溫州·期末）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將分式化成同分母，再計算分式的減法，最后化簡分式即可．【詳解】原式故此題答案為C5．（2024浙江金華·期末）進入秋季以來，全國流感高發(fā)，其中就有甲流．已知甲流病毒的直徑約為米，用科學記數(shù)法表示米米，則為（

）A． B． C．6 D．7【答案】B【分析】此題考查用科學記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)，絕對值小于1的正數(shù)用科學記數(shù)法表示，一般形式為，其中，等于原數(shù)中第一個非零數(shù)字前面所有0的個數(shù)，根據(jù)的確定方法即可得出答案．【詳解】解：，，故此題答案為：B．6．（2024浙江紹興·期末）若正整數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．60 B．70 C．80 D．90【答案】C【分析】把用含的代數(shù)式表示，并分離其整數(shù)部分（簡稱分離整系數(shù)法）．再結(jié)合整除的知識，即可求出的最大值．【詳解】解：，，，為正整數(shù)，當時，有最大值，最大值為，故此題答案為C．7．（2024浙江臺州·期末）．【答案】【分析】根據(jù)，進行計算即可．【詳解】解：；故此題答案為：．8．（2024浙江溫州·期末）若分式的值為0，則的值為．【答案】1【分析】根據(jù)分式的值為0的條件為：分子為0，分母不等于0計算即可得出答案．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，，解得：9．（2024浙江紹興·期末）不改變分式的值，把它的分子和分母中的各項系數(shù)都化成整數(shù)，則得到的結(jié)果為．【答案】【分析】根據(jù)分式的相關(guān)性質(zhì)，利用分子和分母同時乘除不為0的數(shù)，即可求解.【詳解】解：.10．（2024浙江寧波蛟川書院·期末）已知是互不相等的實數(shù)，是任意實數(shù)，化簡：．【答案】1【分析】此題考查了分式的化簡求值．先計算前兩項的和，再求解即可．【詳解】解：，故此題答案為：1．11．（2024浙江紹興·期末）若正數(shù)a，b，c滿足abc1，，則．【答案】【分析】計算，然后整體代入求解即可；或者把已知條件組成方程組，解方程組求出，，代入計算即可．【詳解】解：解法一：因為所以，解得．故此題答案為：．解法二：由，得，因此，．由此可得，．所以故此題答案為：．【關(guān)鍵點撥】此題考查了分式的運算，解題關(guān)鍵是熟練運用分式運算法則進行計算，注意運用整體思想求解．12．（2024浙江嘉興·期末）已知，，，則．【答案】33【分析】設，根據(jù)已知三個等式可得出，，，三式相加求出，從而求出，，，即可求出，，代入，求出，最后代入求解即可．【詳解】解：設，∵，∴，∴，即①，同理②，③，①+②+③，得，∴，∴，，∴，，∴，，∵，∴，解得，∴13．（2024浙江寧波·期末）已知，求的值．【答案】【分析】由可得，再整體代入計算即可【詳解】解：∵，∴，即，原式14．（2024浙江溫州·期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】根據(jù)題意先計算括號內(nèi)的再計算乘可，后代入數(shù)值即可得到本題答案．【詳解】解：，，，，，當時，．15．（2024浙江嘉興·期末）先化簡：，再從，0，2中選擇一個恰當?shù)臄?shù)作為的值代入求值．【答案】，0【分析】先通分計算減法，然后進行乘法運算，可得化簡結(jié)果，根據(jù)分式有意義的條件，確定恰當?shù)牡闹?，最后代值求解即可．【詳解】解：，∵，∴，∴當時，原式．16．（2024浙江臺州·期末）先化簡，再求值：，請你從中選取適當?shù)臄?shù)代入求值．【答案】，【分析】此題考查分式的化簡求值，先根據(jù)分式的混合運算法則進行計算，再代入一個使分式有意義的的值，進行求值即可．掌握分式的混合運算法則，正確的計算，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，∵，∴，∴當時，原式17．（2024浙江寧波·期末）先閱讀下列解題過程，再回答問題：計算：．解：原式①②③④(1)以上解答有錯誤，錯誤步驟的序號是_______；(2)請你給出正確的解答．【答案】(1)③(2)正確解法見解析，【分析】（1）分式的加減運算不能去分母，從而可得錯誤步驟的序號是③；（2）先通分化為同分母分式，再計算即可．【詳解】（1）解：解答有錯誤，錯誤步驟的序號是③；（2）正確解法為：．18．（2024浙江嘉興·期末）規(guī)定一種新的運算“”，其中，為正整數(shù)．其運算規(guī)則如下：①；②（其中為常數(shù)）．(1)計算：_______，______（其中為常數(shù)）；(2)（其中，均不為0）．①求，，的值；②化簡并計算：．【答案】(1)，(2)①，，；②3【分析】（1）由題意知，，，求解作答即可；（2）①由題意知，，，，則原式整理得，，即，，，，求解作答即可；②由①可知，，整理得，根據(jù)，求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，，故答案為：，；（2）①解：由題意知，，，，∴，整理得，，∴，，，，解得，，，∴，，；②解：由①可知，，整理得，∴，∴的值為3．考點二分式方程19．（2024浙江寧波·期末）已知分式（m，n為常數(shù)）滿足表格中的信息，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）x的取值－42a0分式的值無意義01bA． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)已知條件分別確定和的值，然后確定出分式，最后根據(jù)時，原分式值為1，通過解分式方程確定，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵時，原分式無意義，∴，解得：，B選項正確，不符合題意；∴此分式為，∵當時，原分式值為0，∴，解得：，A選項正確，不符合題意；由上分析，原分式為，當時，原分式值為，D選項正確，不符合題意；當時，解得：，經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，C選項錯誤，符合題意；故此題答案為C．20．（2024浙江寧波·期末）若分式方程有增根，則k的值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】先解出分式方程，再根據(jù)分式方程有增根，則最簡公分母為0可列出關(guān)于k的方程，解之即可．【詳解】解：去分母得，解得：∵分式方程有增根，∴解得故此題答案為D．21．（2024浙江寧波·期末）“綠水青山就是金山銀山”．某地為美化環(huán)境，計劃種植樹木1200棵．在種植完400棵后，由于志愿者的加入，實際每天種植的棵樹比原計劃增加了，結(jié)果比原計劃提前4天完成任務．設原計劃每天植樹x棵，則所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】解：設原計劃每天植樹x棵，根據(jù)等量關(guān)系即可得到，故此題答案為B．22．（2024浙江寧波·期末）暑假期間，小明一家計劃自駕去離寧波遠的某風景區(qū)游玩．途中……設原計劃以每小時的速度開往該景區(qū)，可得方程，根據(jù)此情景，題中“……”表示的缺失條件應為（

）A．實際每小時比原計劃快，結(jié)果提前1小時到達B．實際每小時比原計劃慢，結(jié)果提前1小時到達C．實際每小時比原計劃快，結(jié)果延遲1小時到達D．實際每小時比原計劃慢，結(jié)果延遲1小時到達【答案】A【分析】先根據(jù)原計劃的速度為，可知是實際速度，再結(jié)合時間的差為1，可知答案．【詳解】由原計劃每小時的速度開往景區(qū)，可知是實際速度，再根據(jù)時間差為1，可知實際比原計劃提前了1小時．所以缺失的條件是“實際每小時比原計劃快，結(jié)果提前1小時到達”．故此題答案為A．23．（2024浙江寧波蛟川書院·期末）已知為正整數(shù)，且整除，則（

）A．所有的和為14.5 B．所有的和為15.5 C．可能4組取值 D．可能5組取值【答案】B【分析】此題考查了整式的除法，數(shù)的整除．根據(jù)已知條件得到，為整數(shù)，表示出，分類討論確定出的取值組數(shù)，并求出和即可．【詳解】解：，為正整數(shù)，且整除，，為整數(shù)，整理得：，，∵為正整數(shù)，當時，此時；當時，此時；當時，此時，則所有的和為，只有3組取值．故此題答案為B．24．（2024浙江紹興·期末）若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)的和為（

）A．10 B．15 C．18 D．23【答案】B【分析】根據(jù)分式方程的解為正數(shù)可得且，再根據(jù)不等式組的解集為可得，找出且中所有的整數(shù)即可求解．【詳解】解：∵分式方程的解為且，∵關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，且，且，∵不等式組整理得，∵關(guān)于y的不等式組的解集為，，且，∴符合條件的所有整數(shù)為，，，，，，，，∴它們的和為，故此題答案為B．25．（2024浙江溫州·期末）閱讀下列解題過程，回答所提出的問題：題目：解分式方程：解：方程兩邊同時乘以（第1步）得：（第2步）去括號得：（第3步）解得：（第4步）所以原分式方程的解是：（第5步）(1)上述計算過程中，哪一步是錯誤的？請寫出錯誤步驟的序號：；(2)訂正錯誤，并寫出正確的解題過程．【答案】(1)2(2)見解析【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，即可判斷哪一步是錯誤的，再寫出正確解題步驟即可．【詳解】（1）解：方程兩邊同時乘以得：，∴第2步是錯誤的．故答案為：2（2）解：方程兩邊同時乘以得：，去括號得：，解得：，檢驗：時，，∴不是原分式方程的解，原分式方程無解．26．（2024浙江臺州·期末）2023年臺州馬拉松比賽于12月3日舉行，各位跑友齊聚山海水城、和合圣地，以跑者之勢再現(xiàn)力量之美．小明參與“半程馬拉松”（約）項目，前以平均速度完成，之后身體競技狀態(tài)提升，以的平均速度完成剩下賽程，最終比原計劃提前到達目的地．求小明前的平均速度．【答案】小明前的平均速度為．【分析】此題考查了分式方程的應用．根據(jù)題意列出分式方程計算即可求解．【詳解】解：由題意得，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，答：小明前的平均速度為．27．（2024浙江紹興·期末）某超市有甲、乙兩種糖果，已知甲種糖果的進價為18元/千克，乙種糖果的進價為6元/千克，1千克甲種糖果的售價比1千克乙種糖果的售價高20元．若顧客花150元購買的甲種糖果的千克數(shù)與花50元購買的乙種糖果的千克數(shù)相同．(1)求甲、乙兩種糖果的售價；(2)為了促銷，超市對甲種糖果進行9折銷售．某顧客同時購買甲種糖果和乙種糖果若干千克，超市共獲毛利80元．則共有幾種購買方案．【答案】(1)甲糖果的售價為30元，則乙糖果的售價為10元(2)2【分析】（1）設甲糖果的售價為x元，則乙糖果的售價為元，根據(jù)：“顧客花150元購買的甲種糖果的千克數(shù)與花50元購買的乙種糖果的千克數(shù)相同，”列分式方程求解即可；（2）設顧客購買甲糖果a千克，購買乙糖果b千克，根據(jù)題意列二元一次方程，再根據(jù)a、b均為正整數(shù)，求解即可．【詳解】（1）解：設甲糖果的售價為x元，則乙糖果的售價為元，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴（元），答：甲糖果的售價為30元，則乙糖果的售價為10元．（2）解：設顧客購買甲糖果a千克，購買乙糖果b千克，由題意得，，即，∵a、b均為正整數(shù)，∴或，答：共有2種購買方案．28．（2024浙江嘉興·期末）已知，兩地相距150千米，甲、乙兩車分別從，兩地同時出發(fā)，相向而行，其終點分別為，兩地．兩車均先以每小時千米的速度行駛，再以每小時千米的速度行駛，且甲車以兩種速度行駛的路程相等，乙車以兩種速度行駛的時間相等．(1)若，且甲車行駛的總時間為小時，求和的值；(2)若，且乙車行駛的總時間為2小時．①求和的值；②求兩車相遇時，離地多少千米．【答案】(1)，(2)①；②兩車相遇時，離地72千米．【分析】（1）由甲車以兩種速度行駛的路程相等，可得，再結(jié)合即可求出、的值；（2）①由已知可得，再由，可求、的值；②相遇時甲車行駛的時間為，乙離地的距離即為甲行駛的距離，（千米）．【詳解】（1）解：由已知甲車以兩種速度行駛的路程相等，甲車行駛的時間為，即甲車行駛的總時間為小時，，∵，，；經(jīng)檢驗：，是原分式方程的解（2）解：①乙車以兩種速度行駛的時間相等，且乙車行駛的總時間為2小時，，，∵，∴，②相遇時甲車行駛的時間為，乙離地的距離即為甲行駛的距離，（千米）．兩車相遇時，離地72千米．29．（2024浙江寧波·期末）根據(jù)以下素材，探索完成任務．獎品購買方案設計素材1某文具店銷售某種鋼筆與筆記本，已知鋼筆的單價是筆記本的倍，用108元購買鋼筆的數(shù)量比用60元購買筆記本的數(shù)量多2件．素材2某學校花費540元購買該文具店的鋼筆和筆記本作為獎品頒發(fā)給“優(yōu)秀學生”，購買的鋼筆數(shù)量比筆記本少15支．素材3學?；ㄙM540元后，文具店贈送m張兌換券（如圖）用于商品兌換．兌換后，筆記本數(shù)量與鋼筆相同．問題解決任務一【探