黑龍江省2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試卷（含解析）

2024級高一學年上學期期中考試數(shù)學考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：必修第一冊第一章至第四章4.3對數(shù).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．3．若，，則的值是（

）A．3 B． C．2 D．4．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

5．若不等式對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．若“，”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對任意，都有成立，則（

）A．4 B．2 C． D．0二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知，則下列不等式中，一定成立的是（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．的最小值為911．已知函數(shù)的定義域為，，且當時，，則（

）A．B．當時，C．若對任意的，都有，則實數(shù)的取值范圍是D．若，則有8個互不相等的實數(shù)根三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．命題“”的否定是.13．已知函數(shù)（且）的圖像過定點，正實數(shù)，滿足，則的最小值為.14．已知函數(shù)，若時，方程的解分別為，，方程的解分別為，（），則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.(1)求的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.16．已知集合或，.(1)當時，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.17．已知函數(shù).(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)設，若對任意的，，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．某企業(yè)投資生產(chǎn)一批新型機器，其中年固定成本為200萬元，每生產(chǎn)臺，需另投入生產(chǎn)成本萬元，且，當生產(chǎn)5臺時需另投入生產(chǎn)成本75萬元.若每臺設備售價70萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的這批機器能全部銷售完.(1)求的值；(2)求該企業(yè)投資生產(chǎn)這批新型機器的年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（臺）的函數(shù)關系式（利潤銷售額成本）；(3)這批新型機器年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.19．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”.(1)函數(shù)；；中，哪個函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”？并說明理由；(2)已知函數(shù).①函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，求的值；②當時，函數(shù)是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，求的值.

答案1．D解析：依題意，，所以.故選：D2．A解析：由題知，解得，所以定義域為.故選：A.3．C解析：由，得，又，所以.故選：C4．B解析：由題知函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除C，D，令，得，排除A，故B正確.故選：B5．C解析：當時，對有，不滿足條件；當時，對任意均有，滿足條件；當時，對有，不滿足條件.所以的取值范圍是.故選：C.6．B解析：若“，”為真命題，則，又函數(shù)的圖像開口向上，對稱軸為，所以時，，所以.故選：B7．A解析：由題知，解得.故選：A.8．D解析：解：因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以.又對任意，都有成立，令，得，即，所以，則，所以，則，故，所以.故選：D9．AB解析：因為，所以，所以，A正確；因為，所以，，所以，即，B正確；取，，此時，C錯誤；取，，，此時，，，D錯誤.故選：AB10．ACD解析：對于A，由題知，的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，故A正確；對于B，C，D，令，則當時，，當且僅當時取最小值2，易證當時，為增函數(shù)，當時，為減函數(shù)，又函數(shù)為增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最小值為，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，最小值為9，故B錯誤，C，D正確，故選：ACD.11．AC解析：函數(shù)的定義域為R，滿足，即，所以，故A正確；當x∈0,2時，則，故B錯誤；將函數(shù)y=fx在上的圖象每次向右平移再將縱坐標伸長為原來的2倍即可得函數(shù)在0,2，2,4，……上的圖象，同理將函數(shù)y=fx在上的圖象每次向左平移再將縱坐標縮短為原來的倍即可得函數(shù)在，……上的圖象，作出函數(shù)y=fx因為當時，，所以當，，則，則，令，即，解得，，又因為對任意的，都有，結(jié)合圖象可得，C正確；因為，易知在，上單調(diào)遞減，作出函數(shù)y=fx和y=g所以有有7個互不相等的實數(shù)根，故D錯誤.故選：AC.12．解析：因為全稱命題的否定為特稱命題，故命題“”的否定為：“”.

故答案為：.13．12解析：函數(shù)的圖像過定點，所以，，即，所以，當且僅當，時等號成立.故答案為：1214．解析：由，得或，所以，，所以.由，或，所以，，所以，所以.令，易知在上單調(diào)遞增；所以當時，所以，即的最小值為.故答案為：15．(1)3(2)解析：（1）因為為冪函數(shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞增，所以解得.（2）由（1）知函數(shù)，為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，由，得，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.16．(1)或(2)解析：（1）當時，或，所以或.（2）由“”是“”的充分不必要條件可得是的真子集，令，解得或，當時，，所以集合或，因為是的真子集，所以等號不同時取得，解得，所以；當時，集合，滿足是的真子集；當時，，所以集合或，因為是真子集，所以，等號不同時取得，解得，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍為.17．(1)證明見解析(2)解析：（1）證明：設，則，因為，所以，，，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，，則問題轉(zhuǎn)化為，當時，恒成立又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為18．(1)1(2)(3)年產(chǎn)量為22臺時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是500萬元解析：（1）將，代入，得，解得.（2）由題意得，，.當時，由（1）知，，則；當時，.則，所以年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（臺）的函數(shù)關系式為：.（3）由（2）得當時，，所以當時，；當時，，，當且僅當，即時等號成立，所以當時，.又，故時，利潤最大，最大利潤是500萬元.綜上所述，年產(chǎn)量為22臺時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤是500萬元.19．(1)和是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”，理由見解析(2)①；②解析：（1）因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，所以，故是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”；因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以，故不是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”；因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，所以，故是在區(qū)間上的“美好函數(shù)”.（2）①有題知.因為，所以.令，則，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，，所以有；當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時，，所以有綜上所述，；②由題可知，函數(shù).因為，所以.令，則，.可