三角形綜合的壓軸題訓(xùn)練（解析版）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)選擇、填空壓軸真題匯編

專題06三角形綜合的壓軸真題訓(xùn)練

一.全等三角形的判定與性質(zhì)

1.（2022?淄博）如圖，在△ZBC中，點(diǎn)。在ZC邊上，過△28。的

內(nèi)心/作〃，8。于點(diǎn)E.若5。=10,CD=4,則BE的長為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解答】解：如圖，連接4,BI,CI,DI,過點(diǎn)/作/7UZC于點(diǎn)T.

,1是AABD的內(nèi)心，

.../BAI=NCAI,

,:AB=AC,AI=AI,

：.ABA償ACAI(SAS),

：」B=IC,

VZITD=ZIED=9O°,ZIDT=AIDE,DI=DI,

：.AIDT^AIDE(AAS),

:.DE=DT,IT=IE,

?：/BEI=/CTI=90°,

:瓜△BEWRtACTI(HL),

：.BE=CT,

設(shè)BE=CT=x,

?:DE=DT,

10-x=x-4,

，x=7,

：.BE=7.

故選：B.

2.（2022?湘西州）如圖，在RtZXZBC中，ZA=90°,/為8c的中點(diǎn)，H為

48上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作CG〃45,交的延長線于點(diǎn)G,若ZC=8,AB=6,

則四邊形NCG〃周長的最小值是（）

A.24B.22C.20D.18

【答案】B

【解答】'JCG//AB,

：.4B=/MCG,

:河是BC的中點(diǎn)，

：.BM=CM,

在△血組和△CMG中，

'/B=/MCG

<BM=CM，

kZBMH=ZCMG

AABMH^ACMG(ASA),

：.HM=GM,BH=CG,

?：AB=6,ZC=8,

四邊形ACGH的周長=/C+CG+ZH+GH=/B+/C+GH=14+GH,

當(dāng)G笈最小時(shí)，即MHLAB時(shí)四邊形NCGX的周長有最小值，

VZA=90°,MHLAB,

C.GH//AC,

...四邊形ZCG8為矩形，

:.GH=8,

???四邊形NCGA的周長最小值為14+8=22,

故選：B.

3.（2022?南充）如圖，正方形48co邊長為1,點(diǎn)E在邊48上（不與Z,B

重合），將△ZQE沿直線折疊，點(diǎn)Z落在點(diǎn)小處，連接45,將45繞

點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到山臺(tái)，連接小Z，4C,Z2c.給出下列四個(gè)結(jié)論?A

ABA^ACBA2；（2）ZADE+ZAlCB=45°；③點(diǎn)尸是直線上動(dòng)點(diǎn)，則

CP+小產(chǎn)的最小值為我；④當(dāng)NZDE=30°時(shí)，△為5￡的面積為主退其

-6

［答案］①②⑶

【解答】解：..?四邊形Z8CO是正方形，

：.BA=BC,ZABC=90°,

VZArBA2=ZABC=90°,

：.ZABAi=ZCBA2,

'：BAI^BA2,

：.AABA^ACBA2(&4S),故①正確,

過點(diǎn)。作Q7UC41于點(diǎn)T,

\'CD=DAi，

：.ZCDT=ZAiDT,

■:NADE=NAQE,ZJDC=90°,

：.ZADE+ZCDT=45°,

,：ZCDT+ZDCT=90°,ZDCT+ZBCAi=90°,

：.NCDT=NBCAi，

：.ZADE+ZBCA^AS0,故②正確.

連接PZ,AC.

'：A,4關(guān)于。E對(duì)稱，

：.PA^PAX,

：.PAi+PC=PA+PC?AC=心

.?.尸出+尸。的最小值為泥，故③正確，

過點(diǎn)4作AiHLAB于點(diǎn)H,

VZADE=30°,

AE=A1E=AD,tan30°=立,

_3

：.EB=AB-AE=\-叵

3

,.,N4EB=60°,

9

/.A\H=A\Esin60°=V3_XV3_=1?

322_

ASAcDd=-X（1-近）xl=3WL,故④錯(cuò)誤.

AEBAi23212

故答案為：①②③.

4.（2022?朝陽）等邊三角形4BC中，。是邊8c上的一點(diǎn)，BD=2CD,以幺。

為邊作等邊三角形ZQE,連接CE.若CE=2,則等邊三角形48C的邊長

為.

［答案］3或S回

—13―

【解答】解：如圖，E點(diǎn)在/。的右邊，

AADE與LABC都是等邊三角形，

：.AC=AB,AE=AD,ZDAE=ZBAC=6Q°,

/DAE-NCAD=ABAC-/CAD,

即NG4E=ZBAD.

在ACAE和△54D中，

，AC=AB

<ZCAE=ZBAD，

kAE=AD

.'.△CAE/ABAD(SAS),

：.CE=BD=2,

,:BD=2CD,

：.CD=1,

：.BC=BD+CD=2+1=3,

等邊三角形ABC的邊長為3,

如圖，E點(diǎn)在/。的左邊，

同上，4BAE二ACAD(SAS),

：.BE=CD,ZABE=ZACD=60°,

ZEBD=120°,

過點(diǎn)E作斯，BC交CS的延長線于點(diǎn)R則NE8R=60°,

：.EF=^-BE=^-CD,BF=1￡E=1.CD,

2222

CF=BF+BD+CD=1-CD,

2

在RtZSEFC中，CE=2,

.?.￡尸+。產(chǎn)=田=4,

；?哼CD「+gcD）2=4,

.??。。=囚亙或CD=-漢亙（舍去），

1313

:.BC=6^一,

13_

二等邊三角形ABC的邊長為&,項(xiàng),

_13

故答案為：3或◎垣.

13

5.（2022?日照）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x°v中，點(diǎn)幺的坐標(biāo)為（0,4）,P

是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段尸Z繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段尸尸，連接OR

則線段。廠長的最小值是—.

【答案】2

【解答】解：方法一：???將線段尸Z繞點(diǎn)尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段尸F(xiàn)

ZAPF=60°,PF=PA,

...△4PF是等邊三角形，

：.AP=AF,

如圖，當(dāng)點(diǎn)為在x軸上時(shí)，△尸i4Fi為等邊三角形，

則尸1幺=尸1為=/為，N4P/i=60°,

'：AOLPXFX,

：.PVO=FXO,N/OPi=90°,

.,./尸/。=30°,且2。=4,

由勾股定理得：尸1。=為。=生反，

_3

?.PXA=PR=4%-訴,

3

二點(diǎn)為的坐標(biāo)為（生巨，0）,

3

如圖，當(dāng)點(diǎn)尸2在了軸上時(shí)，

...△尸2力后為等邊三角形，AOLP^O,

：.AO=F2O=4,

...點(diǎn)巳的坐標(biāo)為（0,-4）,

OFn4I—

,-*tanZOFF=—^-=-77=-=V3，

X2OF14V3

3

：.ZOFXF2=60°,

...點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)所形成的圖象是一條直線，

.?.當(dāng)。尸，尸1尸2時(shí)，線段。廠最短，

設(shè)直線FIF2的解析式為y=Ax+A，

則F^k+b?

[b=-4

解得（kS,

lb=-4

直線FIF2的解析式為j=V3x-4,

'：AO=F2O=4,AOLPIFX，

—幺尸1=竺③，

3

在RtZ\0E/2中，

設(shè)點(diǎn)。到為凡的距離為人則

lxOF1xOF=1XFFXA,

22212

二1X4'百乂4=1X圖3x

2323

解得〃=2,

即線段。F的最小值為2；

方法二：如圖，在第二象限作等邊三角形Z05,連接AP、AF,

過點(diǎn)5作5P軸于點(diǎn)P,

y

,：將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF,

：.ZAPF=60°,PF=PA,

...△4P尸是等邊三角形，

：.AP=AF,ZPAF=60°,

是等邊三角形，

：.AB^AO=OB=4,ZBAO=60°,

ZBAP=6Q°+ZOAP=ZOAF,

在和△O4F中,

，AB=A0

<ZBAP=Z0AF-

LAP=AF

三△CUE(SAS),

：.BP=OF,

?尸是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，

.?.當(dāng)APLx軸時(shí)，BP最小,即點(diǎn)尸與點(diǎn)P重合時(shí)50=5P最小,

VZBOP'=30°,ZBP'(9=90°,

：.BP'=1(95=1X4=2,

22

...OE的最小值為2,

故答案為2.

二.勾股定理

6.（2022?內(nèi)江）勾股定理被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代

數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱

之為“趙爽弦圖”.圖②由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼

接而成.記圖中正方形45cD、正方形EFGH、正方形〃心7的面積分別為

&、S2,S3.若正方形的邊長為4,則用+S2+S3=

【答案】48

【解答】解：設(shè)八個(gè)全等的直角三角形的長直角邊為。，短直角邊是心則：

S1=(。+。)2,$2=42=16,&=(a-b)2,

且：a2+b1=EF2=16,

5I+5,2+5,3=Ca+b)2+16+(a-b)2=2(a2+b2)+16

=2X16+16

=48.

故答案為：48.

7.(2022?常州)如圖，在RtZXZBC中，ZC=90°,AC=9,BC=12.在RtA

中，ZF=90°,DF=3,EF=4.用一條始終繃直的彈性染色線連接

CF,RtADEF從起始位置(點(diǎn)。與點(diǎn)5重合)平移至終止位置(點(diǎn)E與點(diǎn)Z

重合)，且斜邊始終在線段48上，則RtA4BC的外部被染色的區(qū)域面

積是.

B(D)F

【答案】21

【解答】解：如圖，連接CF交48于點(diǎn)連接CF'交48于點(diǎn)N,過點(diǎn)尸

作EG,48于點(diǎn)區(qū)過點(diǎn)/作歹于點(diǎn)連接EF',則四邊形EG7/P

是矩形，RtaZBC的外部被染色的區(qū)域是梯形〃FF'N.

在RtaQEE中，DF=3,EF=4,

：?DE=VDF2+EF2=VS2+42=5，

在RtZXZBC中，AC=9,BC=12,

AB=VAC2+BC2=792+122=15，

工?DF?EF=工?DE?GF,

22

"G=絲，

5

BG=VBF2-FG2=/2-（昌2=2,

V0D

:.GE=BE-BG=曲,AH=GE=曲,

55

:.F‘H=FG=9,

5

:.FP=GH=AB-BG-AH=15-5=10,

,CBF//AC,

?BM-BF-1

AHAC3

:.BM=LAB=^-,

44

同法可證ZN=LB=匹，

44

:.MN=15-型=生，

442

.?.白△ZBC的外部被染色的區(qū)域的面積=2x（10+15）X絲=21,

225

故答案為：21.

8.（2022?武漢）如圖，在RtZXZBC中，ZACB=90°,AOBC,分別以△ZBC

的三邊為邊向外作三個(gè)正方形4BHL,ACDE,BCFG,連接。足過點(diǎn)C作

48的垂線CJ,垂足為J,分別交ORLH于點(diǎn)J,K.若C7=5,CJ=4,則

四邊形47Az的面積是.

【答案】80

【解答】解：過點(diǎn)D作DMLCI,交CI的延長線于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作FNLCI

：△ABC為直角三角形，四邊形ZCQE,8CFG為正方形，過點(diǎn)C作48的垂

線C/,CJ=4,

：.AC=CD,ZACD=9Q°,ZAJC=ZCMD=90°,ZCAJ+ZACJ=90°,

BC=CF,/BCF=90°,/CNF=/BJC=90°,/FCN+/CFN=90°,

AZACJ+ZDCM=90°,ZFCN+ZBCJ=90°,

ZCAJ=ZDCM,ZBCJ=ZCFN,

：.AACJ^^CDM(AAS),ABC厘ACFN(AAS),

：.AJ=CM,DM=CJ=4,BJ=CN,NF=CJ=4,

：.DM=NF,

：.ADMI^AFNI(AAS),

：.DI=FI,MI=NI,

VZDCF=90°,

，DI=FI=CI=5,

在Rt△。必中，由勾股定理可得：

MI=VDI2-DM2=VB2-42=3，

:?NI=MI=3,

：.AJ=CM=CI+MI=5+3=8,BJ=CN=CI-NI=5-3=2,

AB=AJ+BJ=8+2=10,

???四邊形48aL為正方形，

:?AL=AB=10,

?.?四邊形47KL為矩形，

四邊形的面積為：4L?47=10X8=80,

故答案為：80.

三.等腰直角三角形（共2小題）

9.（2022?宜賓）如圖，△ZBC和都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE

=90°,點(diǎn)。是8c邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8、。重合），￡>￡與ZC交于點(diǎn)R

連結(jié)CE.下列結(jié)論：①BD=CE；（2）ZDAC=ZCED；③若BD=2CD,則

器=告④在△48C內(nèi)存在唯-點(diǎn)P,使得尸Z+P5+PC的值最小，若點(diǎn)。

在幺尸的延長線上，且幺尸的長為2,則CE=2+愿.其中含所有正確結(jié)論的

選項(xiàng)是（）

A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④

【答案】B

【解答】解：如圖1中，

圖I

?；/BAC=/DAE=90°,

,ZBAD=ZCAE,

?：AB=AC,AD=AE,

:.△BADmACAE(SAS),

:.BD=EC,NADB=/AEC,故①正確，

VZADB+ZADC=180°,

AZAEC+ZADC=180°,

AZDAE+ZDCE=18Q°,

AZDAE=ZDCE=90°,

取DE的中點(diǎn)。，連接。4,OA,OC,貝I]。4=。。=。后=。。,

：.A,D,C,E四點(diǎn)共圓，

AZDAC=ZCED,故②正確，

設(shè)CZ)=加，則BD=CE=2m.DE~y[^)m,OA—^-in,

2

過點(diǎn)C作C/_LDE于點(diǎn)J,

：tanNCDF=&L=d=2,

_DJCD

：.CJ=2匹m,

5

'：AOLDE,CJLDE,

：.AO//CJ,

275

-r—ni

?CF-CJ-54故③正確.

AFAO-55

~2~m

如圖2中，將△5PC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM,連接PN,

：.BP=BN,PC=NM,/PBN=60°,

ZXAPN是等邊三角形，

：.BP=PN,

：.PA+PB+PC=AP+PN+MN,

當(dāng)點(diǎn)/，點(diǎn)尸，點(diǎn)N,點(diǎn)河共線時(shí)，尸/+尸8+尸。值最小，此時(shí)N4PB=N

4PC=/BPC=12Q°,PB=PC,AD1BC,

：.ZBPD=ZCPD=60°,

設(shè)尸D=則3。=/。=向/,

??2+/=1,

:.CE=BD=Mt=3+g,故④錯(cuò)誤.

故選：B.

10.（2022?綿陽）如圖，四邊形Z8CD中，ZADC=90°,ACLBC,/ABC=

45°,AC與BD交于點(diǎn)、E,若AB=2屈,CD=2,則的面積

為—.

【答案】60

7

【解答】解：過點(diǎn)。作QEL/C于點(diǎn)R

'：AC±BC,ZABC=45°,

:.AC=BC=J^4B=2芯,

2

VZADC=90°,CD=2,

/.^Z）=^AC2_CD2=4,

..11

?S^ACD革AC.DF=qAD.CD'

:?DF=^[^）,

?'?^F=VAD2-DF2=-p/5，

'：DF//BC,

...ADEFs^BEC,

..屈3,即EF支&

EC_BC|^_EF2正

5

:.EF=分，5,

35

?**^=-yV5,

?*?SAABE=1杷政卷X苧花x加吟.

故答案為：也.

7

11.（2022?安徽）已知點(diǎn)。是邊長為6的等邊△48C的中心，點(diǎn)尸在△48C

外，△48C,LPAB,APBC,APG4的面積分別記為S。，&，S2,S3.若S1+S2+S3

=2So，則線段。尸長的最小值是（）

A.3aB.5ac.373D.V?

222

【答案】B

【解答】解：如圖，不妨假設(shè)點(diǎn)尸在28的左側(cè)，

,*,SAPAB+S”BC=SAPBC^S&PAC，

.?.$+So=82+83,

V5I+52+53=250,

...Si+S+So=2so，

?.?△48C是等邊三角形，邊長為6,

.?.So=?X62=9禽，

4

:.S產(chǎn)返,

2

過點(diǎn)尸作48的平行線尸拉，連接C。延長C。交48于點(diǎn)R,交尸何于點(diǎn)

T.

,：4PAB的面積是定值，

點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線PM,

?.?。是△48C的中心，

CT±AB,CTLPM,

，工?AB?RT=9。3,CR=3禽，OR=?,

22

:.RT=3'回,

2_

/.OT=OR+TR=5遮,

2

,JOP^OT,

???。產(chǎn)的最小值為回應(yīng)，

2_

當(dāng)點(diǎn)尸在②區(qū)域時(shí)，同法可得。尸的最小值為嚶，

如圖，當(dāng)點(diǎn)尸在①③⑤區(qū)域時(shí)，。尸的最小值為色應(yīng)，當(dāng)點(diǎn)尸在②④⑥區(qū)

_2

域時(shí)，最小值為述

_2

??573<773

22

12.（2022?溫州）如圖，在RtZUBC中，ZACB=90°,以其三邊為邊向外作

正方形，連結(jié)CF,作GMLCF于點(diǎn)于點(diǎn)/ZKLBJ于點(diǎn)K,

交CF于點(diǎn)心若正方形48G尸與正方形JKLW的面積之比為5,CE=^W

+&,則S的長為（）

2

【答案】C

【解答】解：設(shè)CE交48于點(diǎn)尸，過。作CNL4B于點(diǎn)N,如圖:

E

H

設(shè)正方形JKLAf邊長為m,

...正方形陷“面積為機(jī)2,

?正方形48GE與正方形歐的面積之比為5,

正方形ABGF的面積為5m2,

AF—AB=\[sm，

由已知可得NAFL=90°-ZMFG^ZMGF,ZALF=90°=/FMG,AF=

GF,

：.AAFL^/\FGM（AAS）,

:.AL=FM,

設(shè)4L=EW=x,則EL=EWWL=x+%,

在RXA4FL中，AL2+FL2=AF^,

.,.x2+（x+m）2=（V5m）2,

解得x=機(jī)或x--2m（舍去），

.'.AL~FM=m,FL—Im,

tanZAFL=￡=-^L=旦=_L,

AFFL2m2

■AP=1

??—■=.,

V5m2

：.AP=^m,

2________________

"P=4AP2+AF2=｛（警■）?+（/血尸獷BP=AB-AP=^m-

y[5m

=■，

2

：.AP=BP,即尸為48中點(diǎn)，

VZACB=90°,

:.CP=AP=BP=娓粗,

2

■:/CPN=/APF,ZCNP=90°=/FAP,

:.△CPNS^FPA,

?CP-CN-PNan2-CN-PN

FPAFAP5V5m45m

2mI-

:.CN=m,PN=.^m,

2

：.AN=AP+PN=辰+Ln,

2

tanZBAC=^.=CN-m_2

ACAN而+1標(biāo)‘

2111

AAEC和ABCH是等腰直角三角形,

:.△AECs^BCH,

.?.區(qū)=里

'ACCE"

vc^=Vio+V2-

?,2=CH

*V5+1V10W2

:.CH=2近,

故選：C.

13.（2022?湖州）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的

頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).如圖，在6X6的正方形網(wǎng)格圖形48co中，M,N分別是

AB,8C上的格點(diǎn)，BM=4,BN=2.若點(diǎn)尸是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連結(jié)

PW,PN,則所有滿足NMW=45°的中，邊PN的長的最大值是（）

BNC

A.472B.6C.2'./10D.3A/5

【答案】C

【解答】解：如圖所示：

\'BM=NC=4,BN=CP=2,且N8=NC=90°,

:ABMN/4CNP(SAS),

：.MN=NP,ZBMN=ZCNP,

VZBMN+ZBNM=90°,

AZBNM+ZCNP=9Q°,

"MNP=90°,

I.ANMP為等腰直角三角形，

根據(jù)題意得到點(diǎn)尸的軌跡為圓弧，當(dāng)"P為直徑時(shí)最長，

在RiABMN和RtANCP中，

222

根據(jù)勾股定理得：MN=NP=^/2+4=V5;

則PM=(7MN2+PN2=2VlO-

故選：C.

14.（2022?蘇州）如圖，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)8是x軸正半軸上的一點(diǎn),

將線段Z5繞點(diǎn)Z按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段ZC.若點(diǎn)。的坐標(biāo)為

（m,3）,則機(jī)的值為（）

【答案】C

【解答】解：過。作軸于點(diǎn)。，軸于點(diǎn)E,如圖:

,.,CD，x軸，CE,歹軸，ZD0E=9Q°,

...四邊形EODC是矩形，

?.?將線段幺3繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段ZC,

：.AB=AC,/B4c=60°,

...△4BC是等邊三角形，

'.AB=AC=BC,

'：A(0,2),C(m,3),

.".CE—m=OD,CD—3,04=2,

：.AE=OE-OA=CD-OA=1,

'-AC=7AE2-K；E2=Vm2+1=BC=AB,

在RtASCZ)中，8D=VBC2-CD2=V(7m2+l)2-32=Vm2-8，

在Rt^N。8中，OB=VAB2-0A2=V(7m2+1)2-22=Vm2-3'

VOB+BD=OD=m,

?'?Vm2-3+Vm2-8=m>

化簡(jiǎn)變形得：3m4-22m2-25=0,

解得憶=6巧或憶=-（舍去）,

_33

?m=5?

3

故選：C.

三.等腰直角三角形（共1小題）

15.（2022?成都）如圖，在△48C中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)8和C

為圓心，以大于aBC的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N；②作直線“N

交邊48于點(diǎn)E.若NC=5,BE=4,NB=45°,則48的長為.

【解答】解：設(shè)MN交BC于D,連接EC,如圖:

由作圖可知：“N是線段8C的垂直平分線,

:.BE=CE=4,

：./ECB=/B=45°,

ZAEC=ZECB+Z5=90°,

在RtAACE中，

^=VAC2-CE2=V52-42=3,

：.AB=AE+BE=3+4=7,

故答案為：7.

四.等邊三角形的性質(zhì)（共2小題）

16.（2022?張家界）如圖，點(diǎn)。是等邊三角形45c內(nèi)一點(diǎn)，OA=2,（95=1,

（9C=V3-則AZ08與△BOC的面積之和為（）

A.近B.近C.3痘D.V3

424

【答案】C

【解答】解：將△Z08繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CD瓦連接OD,

A

:?OB=BD,ZOBD=60°,CD=OA=2,

二?△B。。是等邊三角形，

.\OD=OB=1,

：。。2+。。=12+（百）2=4,CD2=22=4,

：.OD2+OC2=CD2,

：.ZDOC=90°,

：?A&OB與△BOC的面積之和為S&BCD=SABOD+SACOD=?X12+

■|xix后亨，

故選：c.

17.（2022?鄂州）如圖，在邊長為6的等邊△N5C中，D、E分別為邊8C、AC

上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)尸，若BD=CE=2,則△ZAP的周長

為.

【答案】文

【解答】解：???△NBC是等邊三角形，

：.AB=BC,ZABD=ZC=60°,

在△48。和△BCE中，

fAB=BC

<ZABD=ZC

tBD=CE

:AABD經(jīng)ABCE(SAS),

/./BAD=/CBE,

：.NAPE=NABP+NBAD=/ABP+NCBE=ZABD=6Q°,

AZAPB=120°,

在CB上取一點(diǎn)F使CF=CE=2,則BF=BC-CF=4,

AZC=60°,

...△C￡E是等邊三角形，

/.ZBFE=120°,

即ZAPB=ZBFE,

：.AAPBsABFE,

?APBF=4=?

BP-EF2

設(shè)BP=x,則4P=2x,

作BHLAD延長線于H,

：.ZPBH=3Q°,

：.PH=2L,BH=?Y，

22

AH=AP+PH=2x+—=Ax,

22

在R&BH中，AH2+BH2=AB2,

即（lx）2+（叵）2=62,

22

解得x=——（舍去），

77

:.AP=1^2-,BP=§R_,

77__

...AABP的周長為-5+2尸+8尸=6+-12'巨+一627=6+」8'同=42+18行,

_7777

故答案為：42+18救.

7

五.含30度角的直角三角形（共1小題）

18.（2022?十堰）【閱讀材料】如圖①，四邊形Z8CD中，28=/。，ZB+Z

￡>=180°,點(diǎn)￡,尸分別在8C,CD±,若/BAD=2/EAF,則所=

BE+DF.

【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形

ABCD.已知CQ=C5=100M,Z￡>=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,

道路ZD,Z3上分別有景點(diǎn)N,且。河=10。7〃，BN=5Q(?-1)m,若

在M,N之間修一條直路，則路線M-N的長比路線的長少m

（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：向心1.7）.

【答案】370

【解答】解：解法一：如圖，延長。C,48交于點(diǎn)G,過點(diǎn)N作于

VZD=6Q°,ZABC=120°,Z5CD=150°,

：.Z^=360°-60°-120°-150°=30°,

：.ZG=90°,

：.AD=2DG,

及△CGB中，NBCG=180°-150°=30°,

.?.BG=LSC=50,CG=50如,

2

.,.DG=a）+CG=100+50?,

：.AD=2DG=20Q+X0073?NG=?）G=150+100百，

VZ）M=100,

：.AM=AD-200+10073-100=100+100%，

V5G=50,BN=50（V3-1），

：.AN=AG-BG-BN=150+100e-50-50（百-1）=150+50百,

□△MVH中，VZA=30°,

：.NH=XAN=15+2543,AH=y[3NH=7573+75,

由勾股定理得：MN=VNH2+MH2=V（75+2573）2+（25V3+25）2=50（近

+1）,

：.AM+AN-MN=-100+100V3+150+50V3-50（北+1）=200+100a=370

（m）.

答：路線M