三角形（二）重難點(diǎn)-2024-2025學(xué)年初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期中重難點(diǎn)復(fù)習(xí)攻略

第11章三角形（2）——重難點(diǎn)

內(nèi)容范圍：11.3-11.3

?重難點(diǎn)知識(shí)導(dǎo)航

多邊形與平行

線、角平分線、

折蠡綜合

?重難點(diǎn)知識(shí)剖析

區(qū)由點(diǎn)占1

知識(shí)點(diǎn)一：多邊形的對(duì)角線

1.多邊形的對(duì)角線

（1）定義：連接多邊形兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的一，叫做多邊形的對(duì)角線；

（2）數(shù)量：過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線有一條，多邊形對(duì)角線有一條；

2.多邊形分割為三角形

（1）過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線，把多邊形分割為一個(gè)三角形；

（2）在多邊形內(nèi)部確定一點(diǎn)，連接頂點(diǎn)和這個(gè)點(diǎn)，把多邊形分割為一個(gè)三角形;

?戶匚也聞過(guò)、什

人么典例精講

例1.

1.多邊形的對(duì)角線共有20條，則下列方程可以求出多邊形邊數(shù)的是（）

A.〃(〃-2)=20B.〃(〃-2)=40C.3)=20D.〃(力-3)=40

例2.

2.若一個(gè)多邊形的邊數(shù)是這個(gè)多邊形從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的對(duì)角線條數(shù)的2倍，則這個(gè)多邊形

是_邊形.

變式1.

3.從多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2023個(gè)三角形，則這個(gè)

多邊形的邊數(shù)為（）

A.2022B.2023C.2024D.2025

變式2.

4.過(guò)”邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)出10條對(duì)角線，將它分成相個(gè)小三角形，則〃？+”的值

是.

知識(shí)點(diǎn)二：多邊形的內(nèi)角和外角

1.多邊形的內(nèi)角和與外角和

多邊形的內(nèi)角和多邊形的外角和

(n-2)x180°360°

2.正多邊形的每個(gè)內(nèi)角和外角

正多邊形的每個(gè)內(nèi)角度數(shù)正多邊形的每個(gè)外角的度數(shù)

5—2)x180。360。

nn

3.多邊形多（少）加一個(gè)角

條件解題技巧

多加一個(gè)角后為機(jī)。會(huì)+2,去尾法，保留整數(shù)

1OU

少加一個(gè)角后為機(jī)°去+2,進(jìn)一法，保留整數(shù)

180

4.復(fù)雜圖形的內(nèi)角和

利用外角模型、8字模型、飛鏢模型等，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為三角形和多邊形，利用三角形和

多邊形求內(nèi)角和.

例L

5.如圖，ZA+/3+NC+/O+NE+/F+NG+/”的度數(shù)為()

A.90°B.180°C.270°D.360°

例2.

6.如圖，在七邊形ABCDEFG中，AB,ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。.若與Nl,Z2,N3,Z4

相鄰的四個(gè)外角的和為230。，則NBOD的度數(shù)為.

變式1.

7.創(chuàng)客小組的同學(xué)給機(jī)器人設(shè)定了如圖的程序，機(jī)器人從點(diǎn)。出發(fā)，沿直線前進(jìn)3米后左

轉(zhuǎn)18。，再沿直線前進(jìn)3米，又向左轉(zhuǎn)18°……照這樣走下去，機(jī)器人第一次回到出發(fā)地。點(diǎn)

時(shí)，一共走的路程是（）

0-"

A.18米B.54米C.60米D.90米

變式2.

8.請(qǐng)根據(jù)對(duì)話回答問(wèn)題：

----------------什么?不可—!你有，

這個(gè)凸多邊影的你情把一個(gè)外角作

內(nèi)曲和2022。.內(nèi)角加在,起

⑴小明為什么說(shuō)這個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和不可能是2022。？

⑵小敏求的是幾邊形的內(nèi)角和？

這點(diǎn)身

知識(shí)點(diǎn)三：平面鑲嵌

1.平面鑲嵌的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：在每個(gè)公共頂點(diǎn)處，各角的和是一要求不重疊，無(wú)縫隙;

2.平面鑲嵌

條件符合條件的多邊形

用一種任意多

全等三角形，全等四邊形，

邊形鑲嵌

用同一種正多

正三角形，正方形，正六邊形

邊形鑲嵌

用兩種正多邊(4,8,8)(3,12,12)(3,3,6,6)(3,3,3,3,6)(3,3,3,4,

形鑲嵌4)(5,5,10)

用三種正多邊(3,4,4,6)(4,6,12)(3,3,4,12)(3,10,15)(3,9,18)(3,

形鑲嵌8,24)(3,7,42)(*4,5,20)

例1.

9.下列圖形中，單獨(dú)選用不能進(jìn)行平面鑲嵌的是（）

A.正三角形B.正方形C.正六邊形D.正十邊形

例2.

10.如圖所示，足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的，黑皮可看作正五邊形，白皮可

看作正六邊形，則白皮塊，黑皮塊.

變式1.

11.在下列正多邊形組合中，不能鋪滿地面的是（）

A.正八邊形和正方形B.正五邊形和正八邊形

C.正六邊形和正三角形D.正三角形和正方形

變式2.

12.【問(wèn)題再現(xiàn)】

現(xiàn)實(shí)生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至服裝面料設(shè)計(jì)中隨處可見(jiàn).在七年級(jí)課題學(xué)習(xí)“平

面圖形的鑲嵌”中，對(duì)于單種多邊形的鑲嵌，主要研究三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問(wèn)

題.今天我們把正多邊形的鑲嵌作為研究問(wèn)題的切入點(diǎn)，提出其中的幾個(gè)問(wèn)題,共同來(lái)探究.

我們知道，可以單獨(dú)用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面.比如用正方形鑲嵌平面，可

以發(fā)現(xiàn)在一個(gè)頂點(diǎn)。周圍圍繞著4個(gè)正方形的內(nèi)角.

試想:如果用正六邊形來(lái)鑲嵌平面，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍應(yīng)該圍繞著個(gè)正六邊形的內(nèi)角.

【問(wèn)題提出】

如果我們要同時(shí)用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可設(shè)計(jì)出幾種不同的組合方案?

【問(wèn)題解決】

猜想1:是否可以同時(shí)用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？

分析：我們可以將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決.從平面圖形的鑲嵌中可以發(fā)現(xiàn)，解決問(wèn)題

的關(guān)鍵在于分析能同時(shí)用于完整鑲嵌平面的兩種正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn).具體地說(shuō)，就是在鑲

嵌平面時(shí)，一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞的各個(gè)正多邊形的內(nèi)角恰好拼成一個(gè)周角.

驗(yàn)證1：在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一個(gè)點(diǎn)有X個(gè)正方形和y個(gè)正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)

周角.根據(jù)題意可得方程：90x+(8~2^X18°-y=360,整理得2x+3y=8.我們可以找到唯

O

(%=]

一一組適合方程的正整數(shù)解為.

結(jié)論1：鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著1個(gè)正方形和2個(gè)正八邊形的內(nèi)角可以拼成一

個(gè)周角，所以同時(shí)用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以進(jìn)行平面鑲嵌.

猜想2：是否可以同時(shí)用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌？若能，請(qǐng)按

照上述方法進(jìn)行驗(yàn)證，并寫(xiě)出所有可能的方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

驗(yàn)證2：；

結(jié)論2：；

上面，我們探究了同時(shí)用兩種不同的正多邊形組合鑲嵌平面的部分情況，僅僅得到了一部分

組合方案，相信同學(xué)們用同樣的方法，一定會(huì)找到其他可能的組合方案.

【問(wèn)題拓廣】

請(qǐng)你仿照上面的研究方式，探索出同時(shí)用三種不同的正多邊形組合進(jìn)行平面鑲嵌的方案：

①;②(直接寫(xiě)出兩種方案).

「才

知識(shí)點(diǎn)四：多邊形與平行線、角平分線、折疊綜合

1.常見(jiàn)模型

名稱圖形關(guān)系

多邊形與平行線N2—Nl=36。

多邊形與平行線ZL+N2=36。

多邊形與外角平分線Z￡=180°-1(ZA+ZZ))

E

N

多邊形與內(nèi)外角平分線一ZA^=1(ZC+ZD)-90°

BE

多邊形與內(nèi)角平分線上ZO=1(ZA+ZD)

多邊形與折疊N1+N2=360°-2(ZC+ND)

DE4

?，俁典例精講

例1.

13.四邊形ABC。中，"4D的平分線與邊BC交于點(diǎn)E；NADC的平分線交直線AE于點(diǎn)

O.

(1)若點(diǎn)。在四邊形ABC。的內(nèi)部.

①如圖1,若AD〃BC,4=50。,NC=70。，則NDOE=.

②如圖2,試探索4、/C、NDOE之間的數(shù)量關(guān)系，并將你的探索過(guò)程寫(xiě)下來(lái).

(2)如圖3,若點(diǎn)。在四邊形ABC。的外部，請(qǐng)?zhí)骄?、/C、NDQE之間的數(shù)量關(guān)系,

并說(shuō)明理由.

例2.

14.幾何圖形千變?nèi)f化，但是不同的圖形之間往往存在聯(lián)系，下面讓我們一起來(lái)探索：

①②③④

(1)下列有A、B兩題，請(qǐng)你選擇其中一個(gè)進(jìn)行證明(若兩題都證明，按題A給分).

A.如圖①，N1和N2是二ABC的兩個(gè)外角，求證4+/2=180。+/4；

B.如圖②。、E是,ABC邊AB、AC上的點(diǎn)，將乙ADE沿0E翻折至；.陽(yáng)￡,若點(diǎn)尸在..ABC

內(nèi)部，Z1+Z2=2ZA.我選擇一作答

⑵如圖③，BE、CE分別平分四邊形ABC。的外角NCBM、ZBCN.已知NA=100。，

ZD=120°,求NE的度數(shù)；

(3)如圖④，已知五邊形ABCDE,延長(zhǎng)AE至尸，延長(zhǎng)BC至G,連接CE,點(diǎn)尸、2分別在

邊DE、CD上，將.小。沿尸。翻折至，DP。，若NDEF=L/CEF,ZDCG=-ZECG,

33

ZA=m°,ZB=〃。.請(qǐng)你直接寫(xiě)出4+N2的度數(shù)(用含加、”的代數(shù)式表示)

G)變式訓(xùn)練

變式1.

15.探究與發(fā)現(xiàn)：

(1)探究一：三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的角之間的關(guān)系？

已知：如圖1,在△ADC中，DP、C尸分別平分/WC和NACD,試探究—P與ZA的數(shù)

量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)探究二：四邊形的兩個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的角之間的關(guān)系？

已知：如圖2,在四邊形ABCZ)中,。尸、CP分別平分^ADC和NBCD，試探究/尸與NA+

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(3)探究三：六邊形的四個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的角之間的關(guān)系？

已知：如圖3,在六邊形A8C。跖中，DP、C尸分別平分NEOC和/BCD,請(qǐng)求出—P與

NA++NE+NF的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖2圖3

變式2.

16.基礎(chǔ)鞏固

圖I圖2圖3

(1)如圖1,在VABC中，/ABC的平分線與—ACB的外角的平分線交于點(diǎn)P.

①當(dāng)—A與NABC滿足的關(guān)系時(shí)，PC〃AB；

②當(dāng)NA=70。時(shí)，求一尸的度數(shù).

知識(shí)運(yùn)用

(2)如圖2,在四邊形中，NA+ZD>NABC+/Ba>,NABC的平分線與/3CD的外

角的平分線交于點(diǎn)P,求—A、"與一尸之間的數(shù)量關(guān)系.

拓廣探索

(3)如圖3,在五邊形ABCDE中，ZABC+NBCD>180。,NABC的平分線所在的直線與

/BCD的外角平分線所在的直線交于點(diǎn)P,若"=20。，求NA+ND+NE的度數(shù).

參考答案:

1.D

【分析】先由“邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（〃-3）條對(duì)角線，再根據(jù)〃邊形對(duì)角線的總條數(shù)

為業(yè)二9=20,即可求出結(jié)果.

2

【詳解】解：設(shè)多邊形邊數(shù)為〃，

從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（“-3）條對(duì)角線，

再根據(jù)“邊形對(duì)角線的總條數(shù)為也9,

2

即gi=2o,

2

〃（〃-3）=40,

故答案選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的對(duì)角線公式，根據(jù)多邊形對(duì)角線公式列等式是解答本題的關(guān)鍵.

2.六

【分析】設(shè)此多邊形有〃條邊，則從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線有5-3）條，根據(jù)“一個(gè)多邊形的

邊數(shù)恰好是從一個(gè)頂點(diǎn)引出的對(duì)角線條數(shù)的2倍”列出方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)此多邊形有〃條邊，由題意，

得了=2（"-3）,

解得n=6,

，這個(gè)多邊形是六邊形.

故答案為：六.

【點(diǎn)睛】此題考查多邊形的對(duì)角線；解題關(guān)鍵在于理解題意找出等量關(guān)系列出方程.

3.C

【分析】本題考查了多邊形的對(duì)角線，多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各個(gè)

頂點(diǎn)得到的三角形個(gè)數(shù)=多邊形的邊數(shù)-1.可根據(jù)多邊形的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）出發(fā)，連接各

個(gè)頂點(diǎn)得到的三角形個(gè)數(shù)與多邊形的邊數(shù)的關(guān)系求解.

【詳解】解：從多邊形一條邊上的一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)）處出發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2023個(gè)三

角形，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為2023+1=2024.

故選：C.

4.24

【分析】本題考查多邊形的對(duì)角線問(wèn)題,根據(jù)過(guò)〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以畫(huà)出（"-3）條對(duì)角線,

分成（“-2）個(gè)三角形，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：由題意，得：n-3=W,n-2=m,

n=13,m=ll,

m+n=24；

故答案為：24.

5.D

【分析】題目主要考查三角形外角的性質(zhì)及多邊形的外角和，根據(jù)題意，利用三角形外角得

出=/A+/B,12=/C+ND,N3=NE+NF,14=NX+NG,然后利用多邊形外角

和求解即可.

【詳解】解：如圖所示：

=ZB,Z2=ZC+ZD,=+=ZH+ZG,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+NH+NG=N1+N2+N3+Z4,

?；/l+/2+N3+/4=360。，

2+/8+4+/￡)+/石+//+/8+/6=360°,

故選：D.

6.50°##50度

【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和問(wèn)題，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和等于（力-2）480。是解題

的關(guān)鍵.根據(jù)題意計(jì)算/I,N2,Z3,N4的度數(shù)之和，再計(jì)算五邊形的內(nèi)角和，即可求

解.

【詳解】解：Zl,N2,Z3,N4的外角和等于230。，

Zl+Z2+Z3+Z4=180x4-230°=490°,

五邊形OEFGA的內(nèi)角和為180。x（5-2）=540。,

ZBOD=540°-(Zl+Z2+Z3+Z4)=540°-500°=50°.

故答案為：50°.

7.C

【分析】本題考查了多邊形的外角和定理的應(yīng)用.由題意可知機(jī)器人所走的路線為一個(gè)正多

邊形，根據(jù)多邊形的外角和，即可求出答案.

【詳解】解：由題意可知機(jī)器人所走的路線為一個(gè)正多邊形，

該正多邊形的邊數(shù)為：360。+18。=20,

,他需要走20次才會(huì)回到原來(lái)的起點(diǎn)，

即一共走了20x3=60(米).

故選：C.

8.(1)見(jiàn)解析

⑵十三邊形的內(nèi)角和

【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，熟練掌握多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式是解題的關(guān)

鍵.

(1)根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可；

(2)設(shè)小敏求的是〃邊形得內(nèi)角和，這個(gè)外角為廿，根據(jù)公式列出不等式組即可得到答案.

【詳解】(1)解："("上3)邊形的內(nèi)角和為(〃-2)x180。，

故多邊形的內(nèi)角和一定是180。的正整數(shù)倍，

2022+180=11…42,

故這個(gè)凸多邊形的內(nèi)角和不可能是2022。；

(2)解:設(shè)小敏求的是“邊形得內(nèi)角和，這個(gè)外角為無(wú)。，

由題意得：5-2)x180°=2022°-公，

.”=2382—180〃，

0vx<180,

f2382-180n>0

?12382—180〃<180'

22

/.12-<n<13-,

99

Q”為正整數(shù),

71=13.

答：小敏求的是十三邊形的內(nèi)角和.

9.D

【分析】本題主要查了幾何圖形鑲嵌成平面.

根據(jù)“圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角.360。為正多邊形一個(gè)

內(nèi)角的整數(shù)倍才能單獨(dú)鑲嵌“，即可作出判斷

【詳解】解：A、正三角形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為180。+3=60。，是360。的約數(shù)，能鑲嵌平面，

不符合題意；

B、正方形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為90。，是360。的約數(shù)，能鑲嵌平面，不符合題意；

C、正六邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為二一2：x180。=120。,是360。的約數(shù)，能鑲嵌平面，不符合

O

題意；

D、正十邊形的一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為（1°-j2°：=144。,不是360。的約數(shù)，不能鑲嵌平面，符

合題意.

故選：D.

10.2012

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，即找出黑邊與白邊條數(shù)的比例關(guān)系并列出方程成

為解題的關(guān)鍵.

由一塊白皮（六邊形）中，有三邊與黑皮（五邊形）相連，因此白皮邊數(shù)是黑皮邊數(shù)的2

倍，設(shè)出未知數(shù)列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)足球上黑皮有尤塊，則白皮為（32-x）塊，五邊形的邊數(shù)共有5尤條，六邊形

邊數(shù)有6（32-x）條.

由圖形關(guān)系可得，每個(gè)正六邊形白皮的周圍有3個(gè)黑皮邊，則白皮的邊數(shù)為黑皮的2倍，

可得方程：2x5x=6（32-x）,解得：x=12,

32-x=32-12=20（塊），

所以白皮20塊，黑皮12塊.

故答案為：20,12.

11.B

【分析】本題考查了平面密鋪的知識(shí)，幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點(diǎn)拼在一起的

多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角.

正多邊形的組合能否鋪滿地面，關(guān)鍵是看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和能否為360。.若能，

則說(shuō)明能鋪滿；反之，則說(shuō)明不能鋪滿.

【詳解】解：A、正方形的每個(gè)內(nèi)角是90。，正八邊形的每個(gè)內(nèi)角是135。，由于

900+2xl35°=360°,故能鋪滿，不符合題意；

B、正五邊形和正八邊形內(nèi)角分別為108。、135。，顯然不能構(gòu)成360。的周角，故不能鋪滿,

符合題意；

C、正六邊形和正三角形內(nèi)角分別為120。、60°,由于60°x4+120°=360°,故能鋪滿,不符

合題意；

D、正三角形、正方形內(nèi)角分別為60。、90°,由于60。><3+90。*2=360。，故能鋪滿，不符

合題意.

故選：B.

12.試想：3；

fx=2[x=4

驗(yàn)證2：可以找到適合方程的正整數(shù)解為c或，；結(jié)論2：鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂

U=21y=l

點(diǎn)周圍圍繞著2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，或者在一個(gè)頂點(diǎn)周圍

圍繞著4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角，所以同時(shí)用正三角形和正六

邊形兩種正多邊形組合可以進(jìn)行平面鑲嵌；

【問(wèn)題拓廣】①正三角形、正方形、正六邊形；②正方形、正六邊形、正十二邊形；（答案

不唯一）

【分析】本題主要考查正多邊形，看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和能否為360。是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)常用的正多邊形內(nèi)角進(jìn)行解答即可.

試想：根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為120。即可得到答案；

問(wèn)題解決：列出方程找出合適的正整數(shù)解即可得到答案；

問(wèn)題拓廣：根據(jù)上述方法進(jìn)行擴(kuò)展即可；

【詳解】解：試想：根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為120。，

360。+120。=3,

故在一個(gè)頂點(diǎn)周圍應(yīng)該圍繞著3個(gè)正六邊形的內(nèi)角；

問(wèn)題解決：驗(yàn)證2：在鑲嵌平面時(shí)，設(shè)圍繞某一點(diǎn)有x個(gè)正三角形和y個(gè)正六邊形的內(nèi)角可

以拼成一個(gè)周角，

根據(jù)題意，得：60x+120y=360,

整理得無(wú)+2y=6,

(尤=2]尤=4

可以找到適合方程的正整數(shù)解為c或,；

[y=2[y=l

結(jié)論2：鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著2個(gè)正三角形和2個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成

一個(gè)周角，或者在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著4個(gè)正三角形和1個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周

角，所以同時(shí)用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合可以進(jìn)行平面鑲嵌；

問(wèn)題拓廣：①猜想3：是否可以同時(shí)存在用正三角形，正方形和正六邊形三種正多邊形組合

進(jìn)行平面鑲嵌；

驗(yàn)證3：設(shè)圍繞某一點(diǎn)有。個(gè)正三角形，6個(gè)正方形和c個(gè)正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)周

角，

依題意，得：60。+906+120c=360

整理得：2a+36+4c=12

Cl—\

可以找到唯一一組方程的正整數(shù)解為匕=2,

c=l

結(jié)論3：鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著1個(gè)正三角形，2個(gè)正方形和1個(gè)正六邊形的內(nèi)

角可以拼成一個(gè)周角；

②猜想3：是否可以同時(shí)存在用，正方形，正六邊形和正十二邊形三種正多邊形組合進(jìn)行平

面鑲嵌；

驗(yàn)證3：設(shè)圍繞某一點(diǎn)有機(jī)個(gè)正方形，〃個(gè)正六邊形和z個(gè)正十二邊形的內(nèi)角可以拼成一個(gè)

周角，

依題意，得：90m+120/2+150z=360

整理得：3:w+4〃+5z=12,

m=l

可以找到唯一一組方程的正整數(shù)解為1=1,

z=1

結(jié)論3：鑲嵌平面時(shí)，在一個(gè)頂點(diǎn)周圍圍繞著1個(gè)正方形，1個(gè)正六邊形和1個(gè)正十二邊形的

內(nèi)角可以拼成一個(gè)周角；

13.(1)120°；(2)ZDOE=180°--ZB--ZC；(3)ZDOE=-ZB+-ZC

2222

【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可求/BAE,NCDO,再根據(jù)三角形外

角的性質(zhì)可求NAEC,再根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360?？汕驨OOE的度數(shù)；

②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可得NOOE和NBA。、/AOC的關(guān)系，再根據(jù)

四邊形內(nèi)角和等于360?？汕驨B、NC、NDOE之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）根據(jù)四邊形和三角形的內(nèi)角和得到/BAD+ZADC=360°-ZB-ZC,

ZEAD+ZADO=18Q°-ZDOE,根據(jù)角平分線的定義得到/氏4。=2/胡，ZADC=2ZADO,

于是得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）①,：ADHBC

：.ZB+ZBAD=1SO,ZC+ZADC=180

又：/8=50。，ZC=70°

A130°,ZADC=110°

:AE、￡)0分別平分NBA。、ZADC

：.ZBAE=65°,ZODC=55°

：.ZAEC=115°

：.ZDOE=360°-115o-70o-55o=120°

故答案為：120。

@ZDOE=1SQ)--ZB--ZC,理由如下：

22—

AE平分"W

ZDAE=-ZBAD

2

。。平分一ADC

ZADO=-ADC

2

111

/.ZZME+ZADO=-ZBAD+-ADC=-(ZBAD+AADC)

222V7

ZB+ZC+/BAD+ZADC=360°

/.ZBAD+ZADC=360°-ZB-ZC

:.ZDAE+ZADO=-(360°-ZB-ZC}=180°--ZB--ZC

2''22

ZAOD=180°-(ZZ)AE+ZADO)=|zB+|zC

ZDOE80°-ZAOD=180°-^ZB-^ZC

22

即/DOE=180°-1zB-|zC

(2)ZDOE=-ZB+-ZC,理由如下：

22

-AE平分/BAD

ZDAE=-ZBAD

2

平分/ADC

ZADO=-ADC

2

:.ZDAE+ZADO=-ZBAD+-ADC

22

=1(ZBAD+ZA￡>C)

ZB+ZC+ABAD+ZADC=360°

ZBAD+ZADC=360°-ZB-ZC

:.ZDAE+ZADO=1(360°-ZB-ZC)

=180°--ZB--ZC

22

ZAOD=180°-(ZZME+ZADO)

=-ZB+-ZC

22

即：ZDOE^-ZB+-ZC.

22

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角與外角平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，關(guān)鍵是熟練掌握四邊

形內(nèi)角和等于360。，這是解題的重點(diǎn).

14.⑴見(jiàn)解析

(2)70°

44

(3)360o-jm°--77°

【分析】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，多邊形的外角和定理，折疊的性質(zhì)；

(1)選擇A,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，即可得證;選擇8,由翻折性質(zhì)得：ZADE=ZFDE,

ZAED=ZFED,進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)證明

ZADF+ZAEF=360°-(Z1+Z2),即可得證；

（2）延長(zhǎng)54,CD交于點(diǎn)K,根據(jù)折疊的性質(zhì)以及角平分線的定義得出

ZEBC+NECB=+ZNCB）=110°,即可求解；

（3）由（2）可知：NEAB+NCBA=NCEF+NECG,設(shè),ZDEF=a,ZDCG=/3,根據(jù)

3a+3/3=m°+n°,得出a+尸=；（加。+〃。），由（1）3可知：Z1+Z2=2ZD,即可求解.

【詳解】（1）證明：選擇A,證明如下：

ZABC=18O°-Z1,ZACB=180°-Z2,ZA+ZABC+ZACB=180°,

.■.ZA+18O°-Z1+18O°-Z2=18O°,

.?.Zl+Z2=180°+ZA；

選擇2,證明如下：

由翻折性質(zhì)得：ZADE=NFDE,ZAED=ZFED,

:.ZADF^2ZADE,ZAEF=2ZAED,

ZADF+ZAEF=2（ZADE+ZAED）,

ZADF+AAEF=\^°-AA,

ZADF+ZAEF=2（180°-ZA）=360°-2ZA,

X-ZADF=180°-Zl,ZAEF=180°-Z2,

ZADF+ZAEF=360°-（Z1+Z2）,

360°-（Zl+Z2）=360°-2ZA,

BPZ1+Z2=2ZA；

故答案為：A或3.

（2）延長(zhǎng)R4,CD交于點(diǎn)K,如圖③所示：

③

由（1）A可知：ZBAD+ZCDA=180°+ZK,ZMBC+ZNCB=180°+ZK,

則ZMBC+ZNCB=ABAD+NCDA

ZR4D=100°,ZCZM=120°,

:.ZMBC+ZNCB=100°+120°=220°,

BE、CE分別平分NCSA/、ZBCN,

ZEBC+ZECB=1(ZMBC+ZNCB)=110°,

ZE=180°-(ZEBC+ZECB)=70°；

(3)由(2)可知：AEAB+ZCBA=ZCEF+Z.ECG,

ZEAB^m°,ZCBA=n°,

NFEC+ZGCF=m°+,

設(shè)ZDEF=cz,ADCG=/3,

:.ZCEF=3a,2ECG=30,

:"DEC=2a,ADCE=2(3,

3a+3j3=m0+n°,

即a+〃=g(/n°+7i°),

NO=180。-(/DEC+NDCE),

2

.?./。=180°-2(￡+￡)=180°-](〃『+廢)，

44

由(1)B可知：Nl+N2=2ND=360°——m°-―n°.

33

15.(1)NP=90°+/A；(2)ZP=-(ZA+ZB+ZE+ZF)-180°；(3)ZP=-

22

(ZA+ZB+ZE+ZF)-180°.

【分析】(1)先根據(jù)角平分線的定義表示出NCDP和NDCP,然后再根據(jù)三角形內(nèi)角和為

180。即可得到NP和/A的數(shù)量關(guān)系；

(2)先根據(jù)角平分線的定義表示出/CDP和NDCP,根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360。，即可得到

ZBCD+ZADC=360°-(ZA+ZB),再結(jié)合三角形內(nèi)角和為180。，可得NP與NA+NB的

數(shù)量關(guān)系；

(3)先根據(jù)角平分線的定義表示出NCDP和/DCP,根據(jù)六邊形內(nèi)角和為720”，可得

ZBCD+ZADC=720°-(ZA+ZB+ZE+ZF)，再結(jié)合三角形內(nèi)角和為180。，可得NP與

ZA+ZB的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】解：(1)NP=9(T+；NA,理由如下：

VDP,CP分別平分NADC和NACD

.\ZCDP=-ZADC,ZDCP=-ZACD

22

ZA+ZADC+ZACD=180°

???ZADC+ZACD=180°-ZA

ZP+ZPDC+ZPCD=180°

AZP=180°-(ZPDC+ZPCD)=180°--(ZADC+ZACD)

2

.\ZP=180o--(180°-ZA)=90°+ZA；

2

(2)ZP=1(ZA+ZB)，理由如下：

VDP,CP分別平分NADC和NBCD

.\ZCDP=-ZADC,ZDCP=-ZBCD

22

ZA+ZB+ZADC+ZBCD=360°

ZBCD+ZADC=360°-(ZA+ZB)

ZP+ZPDC+ZPCD=180°

???ZP=180°-(ZPDC+ZPCD)

=180°--(ZADC+ZBCD)

2

=180°-1[360°-(ZA-ZB)]

=1(ZA+ZB)；

(3)ZP=-(ZA+ZB+ZE+ZF)-180°

2

理由如下：

VDP,CP分另I」平分NEDC和NBCD

.'.ZPDC=-ZEDC,ZDCP=-ZBCD

22

VZA+ZB+ZE+ZF+ZBCD+NEDO720。

AZBCD+ZEDC=720°-(ZA+ZB+ZE+ZF)

*/ZP+ZPDC+ZPCD=180°

.\ZP=180o-(ZPDC+ZPCD)

二180?！?ZEDC+ZBCD)

2

=180°-^-[720°-(ZA+ZB+ZE+ZF)]

=-(ZA+ZB+ZE+ZF)-180°.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌