人教版高中數(shù)學(xué)必修二同步學(xué)習(xí)講義：空間直角坐標(biāo)系（含答案）

圓與方程

空間直角坐標(biāo)系

4.3.1空間直角坐標(biāo)系

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解空間直角坐標(biāo)系的建系方式2掌握空間中任意一點(diǎn)的表示方法.3.能在空

間直角坐標(biāo)系中求出點(diǎn)的坐標(biāo).

ET問題導(dǎo)學(xué)

知識(shí)點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系

思考1在數(shù)軸上，一個(gè)實(shí)數(shù)就能確定一個(gè)點(diǎn)的位置.在平面直角坐標(biāo)系中，需要一對(duì)有序

實(shí)數(shù)才能確定一個(gè)點(diǎn)的位置.為了確定空間中任意一點(diǎn)的位置，需要幾個(gè)實(shí)數(shù)？

答案三個(gè).

思考2空間直角坐標(biāo)系需要幾個(gè)坐標(biāo)軸，它們之間什么關(guān)系？

答案空間直角坐標(biāo)系需要三個(gè)坐標(biāo)軸，它們之間兩兩相互垂直.

梳理(1)空間直角坐標(biāo)系及相關(guān)概念

①空間直角坐標(biāo)系：從空間某一定點(diǎn)引三條兩兩垂直，

且有相同單位長度的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸,這時(shí)我們說建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

②相關(guān)概念：點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn),x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸,通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫

做坐標(biāo)平面，分別稱為xOv平面、vOz平面、zOx平面.

(2)右手直角坐標(biāo)系

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向無軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指

向交^的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

(3)空間一點(diǎn)的坐標(biāo)

空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)M在此

空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作直(x,y,z),其中工叫做點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)，上叫做點(diǎn)M的縱坐

標(biāo)，2叫做點(diǎn)〃的豎坐標(biāo).

2題型探究

類型一確定空間中點(diǎn)的坐標(biāo)

例1已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為5^2,側(cè)棱長為13,建立的空間直角坐標(biāo)系如

圖，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解因?yàn)閨尸。|=、|「西2—|。砰=1169—25=12,

所以各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P(0,0,12),

A警,-半。),B呼,斗,0),

G平,半。),心乎’-嗜

引申探究

i.若本例中的正四棱錐建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為尸(0,0,12),A(5,0,0),8(0,5,0),C(—5,0,0),D(0,-5,0).

2,若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F尸一ABC。的底面邊長為4,側(cè)棱長為10”，試建立適當(dāng)

的空間直角坐標(biāo)系，寫出各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

解因?yàn)檎睦忮F產(chǎn)一A8C。的底面邊長為4,側(cè)棱長為10,所以正四棱錐的高為2平，以

正四棱錐的底面中心為原點(diǎn)，平行于BC,A8所在的直線分別為x軸、y軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系，則正四棱錐各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4(2,-2,0),B(2,2,0),C(—2,2,0),0(-

2,-2,0),P(0,0,2^23).

反思與感悟(1)建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循的兩個(gè)原則

①讓盡可能多的點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面上.

②充分利用幾何圖形的對(duì)稱性.

(2)求某點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法

作垂直平面xOy,垂足,求的橫坐標(biāo)工,縱坐標(biāo)以即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x,縱坐

標(biāo)y,再求M點(diǎn)在z軸上射影的豎坐標(biāo)z,即為M點(diǎn)的豎坐標(biāo)z,于是得到M點(diǎn)坐標(biāo)(%,y,

z).

(3)坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

平面上的點(diǎn)的豎坐標(biāo)為0,即(x,y,0).

yOz平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,即(0,y,z).

xOz平面上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0,即(x,0,z).

(4)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

元軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0,即(xQ0).

y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)都為0,即(0,y0).

z軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為0,即(0,0,z).

跟蹤訓(xùn)練1在棱長為1的正方體ABC。一A/1GO1中，E、/分別是。1。、BD的中點(diǎn)，G

在棱CD上，S.\CG\^CD\,H為GG的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出E、歹、G、X的

坐標(biāo).

解建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

點(diǎn)E在z軸上，它的橫坐標(biāo)X、縱坐標(biāo)y均為0,而E為。A的中點(diǎn)，故E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,3.

過F作尸MU。、FN±DC,由平面幾何知識(shí)，得|FM=3，I網(wǎng)=g，故尸點(diǎn)坐標(biāo)為有1

0).

33

點(diǎn)G在y軸上，其橫坐標(biāo)X、豎坐標(biāo)z均為0,又|GD|=a，故G點(diǎn)坐標(biāo)為(0,不。)?

7

過H作HKLCG于K,由于〃為GG的中點(diǎn)，故K為CG的中點(diǎn)，故點(diǎn)”的坐標(biāo)為(0,市

O

2)-

類型二已知點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置

例2在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，作出點(diǎn)尸(5,4,6).

角軍方法——

第一步：從原點(diǎn)出發(fā)沿X軸正方向移動(dòng)5個(gè)單位.第二步：沿與y軸平行的方向向右移動(dòng)4

個(gè)單位.第三步：沿與Z軸平行的方向向上移動(dòng)6個(gè)單位(如圖所示)，即得點(diǎn)P.

戶(5,4,6)

<

6

方法二以O(shè)為頂點(diǎn)構(gòu)造長方體，使這個(gè)長方體在點(diǎn)。處的三條棱分別在尤軸，y軸，Z軸

的正半軸上，且棱長分別為5,4,6,則長方體與頂點(diǎn)。相對(duì)的頂點(diǎn)即為所求點(diǎn)P.

反思與感悟已知點(diǎn)P的坐標(biāo)確定其位置的方法

(1)利用平移點(diǎn)的方法，將原點(diǎn)按坐標(biāo)軸方向三次平移得點(diǎn)P.

(2)構(gòu)造適合條件的長方體，通過和原點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)確定點(diǎn)P的位置.

(3)通過作三個(gè)分別與坐標(biāo)軸垂直的平面，由平面的交點(diǎn)確定點(diǎn)P.

跟蹤訓(xùn)練2點(diǎn)(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的()

A.y軸上B.xOy平面上

C.尤Oz平面上D.yOz平面上

答案C

解析：點(diǎn)(2,0,3)的縱坐標(biāo)為0,.?.此點(diǎn)是xO?平面上的點(diǎn)，故選C.

類型三空間中點(diǎn)的對(duì)稱問題

命題角度1關(guān)于點(diǎn)和線的對(duì)稱問題

例3(1)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(—2,1,4)關(guān)于點(diǎn)〃(2,—1,—4)對(duì)稱的點(diǎn)尸3的坐標(biāo)是()

A.(0,0,0)B.(2,-1,-4)

C.(6,-3,-12)D.(-2,3,12)

(2)已知點(diǎn)A(—3,l,-4),則點(diǎn)A關(guān)于無軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(—3,—1,4)B.(—3,—1,—4)

C.(3,1,4)D.(3,-1,-4)

答案(1)C(2)A

解析(1)根據(jù)題意知，M為線段的中點(diǎn)，設(shè)尸3任，y,z),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得x=2X2

一(—2)=6,y—2X(—1)—1=—3,z—2X(—4)—4——12,；.尸3(6,—3,—12).故選C.

(2):,在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南?/p>

反數(shù)，又點(diǎn)4(-3,1,—4),.,.點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(一3,—1,4).故選A.

反思與感悟(1)利用線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式可解決關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題.

(2)解決關(guān)于線對(duì)稱問題的關(guān)鍵是關(guān)于“誰”對(duì)稱，“誰”不變，如本例(2)中點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)

稱，則對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱、豎坐標(biāo)都變?yōu)槠湎喾磾?shù).

跟蹤訓(xùn)練3在空間直角坐標(biāo)系中，尸(2,3,4),2(-2,3.-4)兩點(diǎn)的位置關(guān)于對(duì)稱.

答案y軸

命題角度2關(guān)于平面對(duì)稱

例4在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(l,3,—5)關(guān)于平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(—1,3,-5)B.(1,—3,5)

C.(1,3,5)D.(-1,-3,5)

答案C

解析.?,兩點(diǎn)關(guān)于平面xOy對(duì)稱，則橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)相同，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，，點(diǎn)P(l,3,

—5)關(guān)于平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,3,5).故選C.

反思與感悟本題易錯(cuò)點(diǎn)是把關(guān)于平面對(duì)稱與關(guān)于線對(duì)稱搞混，破解此類題關(guān)鍵是關(guān)于

“誰”對(duì)稱，“誰”不變，如本題，點(diǎn)尸關(guān)于平面xOy對(duì)稱，則對(duì)稱點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)不變，

豎坐標(biāo)變?yōu)槠湎喾磾?shù).

跟蹤訓(xùn)練4點(diǎn)(1,a,6)關(guān)于平面xOy及x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(1,2,c)和(d,—2,一

3),則a,b,c,d的值分別是.

答案2,3,—3,1

當(dāng)堂訓(xùn)練

1.點(diǎn)P(a,b,c)到坐標(biāo)平面xOy的距離是()

A.-^a2+Z?2B.\a\

C.\b\D.|c|

答案D

解析點(diǎn)尸在尤Oy平面的射影的坐標(biāo)是P'(a,b,0),所以|PP'|=|c|.

2.以棱長為1的正方體ABCO—AbBiGd的棱AB,AD,所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則正方形A413/的對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為()

X

A.(0,(2J0，2)

C.g，0)D.43,2)

答案B

解析由題圖得A(0,0,0),Bi(lQl),

所以對(duì)角線的交點(diǎn)即為ABi的中點(diǎn)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0,1).

3.如圖所示，點(diǎn)P在無軸的正半軸上，且|。尸'|=2,點(diǎn)尸在尤Oz平面內(nèi)，且垂直于無軸,

1Ppi=1,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)是.

答案(2,0,1)

4.點(diǎn)尸(1,1,1)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)尸1的坐標(biāo)為；點(diǎn)尸1關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)尸2的坐標(biāo)

為.

答案(1,1,-1)(―1,-1,1)

解析點(diǎn)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)Pi的坐標(biāo)為(1,1,一1),點(diǎn)Pi關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)P2

的坐標(biāo)為(一1,-1,1).

5.如圖，正四棱柱ABC。一底面為正方形的直棱柱)中，|AAi|=2|45|=4,點(diǎn)E在

CCi上且|GE|=3|EC|.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出點(diǎn)8,C,E,4的坐標(biāo).

Dt_______Ci

解以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線D4,DC,為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系Dxyz.

依題設(shè)知，5(2,2,0),C(0,2,0),￡(0,2,1),4(2,0,4).

L規(guī)律與方法--------------------------------1

1.空間中確定點(diǎn)M的坐標(biāo)的三種方法

(1)過點(diǎn)M作MA/i垂直于平面xOy,垂足為Mi,求出Mi的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，再由射線MiM

的指向和線段的長度確定豎坐標(biāo).

(2)構(gòu)造以為體對(duì)角線的長方體，由長方體的三個(gè)棱長結(jié)合點(diǎn)M的位置，可以確定點(diǎn)M

的坐標(biāo).

(3)若題中所給的圖形中存在垂直于坐標(biāo)軸的平面，或點(diǎn)M在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上，則利用這

一條件，再作軸的垂線即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo).

2.求空間對(duì)稱點(diǎn)的規(guī)律方法

(1)空間的對(duì)稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱問題，要掌握對(duì)稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能

準(zhǔn)確求解.

(2)對(duì)稱點(diǎn)的問題常常采用“關(guān)于誰對(duì)稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論.

課時(shí)作業(yè)

一、選擇題

1.如圖所示，正方體ABC。-的棱長為1,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是()

A.(1,0,0)B.(1,0,1)C.(1,1,1)D.(1,1,0)

答案C

解析點(diǎn)S到三個(gè)坐標(biāo)平面的距離都為1,易知其坐標(biāo)為(1,1,1),故選C.

2.在空間直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)尸(1,正，小),過點(diǎn)P作平面yOz的垂線PQ,則垂足Q

的坐標(biāo)為()

A.(0,6，0)B.(0,y[2,小)

C.(1,0,小)D.(1,&0)

答案B

3.在空間直角坐標(biāo)系中，P(2,3,4)、0(—2,-3,-4)兩點(diǎn)的位置關(guān)系是()

A.關(guān)于x軸對(duì)稱

B.關(guān)于yOz平面對(duì)稱

C.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

D.以上都不對(duì)

答案C

解析當(dāng)三個(gè)坐標(biāo)均相反時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

4.若點(diǎn)P(—4,—2,3)關(guān)于xOy平面及y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(a,b,c),(e,f,d),則

c與e的和為()

A.7B.-7C.-1D.1

答案D

解析：點(diǎn)P(—4,—2,3)關(guān)于xOy平面及y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-4,—2,—3),(4,

—2,—3),

.*.c=-3,e=4,則c+e=l.

5.設(shè)yGR,則點(diǎn)尸(1,y,2)的集合為()

A.垂直于xOz平面的一條直線

B.平行于xOz平面的一條直線

C.垂直于y軸的一個(gè)平面

D.平行于y軸的一個(gè)平面

答案A

解析點(diǎn)尸(1,y,2)的集合為橫、豎坐標(biāo)不變，而縱坐標(biāo)變化的點(diǎn)的集合，由空間直角坐標(biāo)的

意義知，點(diǎn)P(l,y,2)的集合為垂直于xOz平面的一條直線，故選A.

6.如圖，在正方體ABC。一A'B'CD'中，棱長為1,IBPeglB。'則尸點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A?？I)

嗚?D停y3)

答案D

解析連接8。，點(diǎn)尸在x“y平面的射影落在8。上,

'：\BP\=^BD'|,：.Px=Py=^,Pz=1,

.(221、

故Rj,3-3)-

二、填空題

7.在空間直角坐標(biāo)系中，自點(diǎn)P(—4,—2,3)引了軸的垂線，則垂足的坐標(biāo)為.

答案(一4,0,0)

解析過空間任意一點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足均為(a,0,0)的形式，其中。為點(diǎn)P在x軸上的

分量，所以垂足的坐標(biāo)為(一4,0,0).

8.已知平行四邊形A8CD的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,-3,—5),8(—1,3,2),對(duì)角線的

交點(diǎn)是E(4,-1,7),則C,。的坐標(biāo)分別為.

答案(6,1,19),(9,-5,12)

解析由題意知，E為AC與8。的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得C(6,l,19),0(9,-5,12).

9.已知點(diǎn)4,2,3)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為4,4關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)為4關(guān)于z

軸的對(duì)稱點(diǎn)為4，則線段AA3的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

答案(-4,0,0)

解析由題意知4(4,—2,—3),則Ai關(guān)于太02平面的對(duì)稱點(diǎn)人2的坐標(biāo)為(4,2,—3),則

人2關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)As的坐標(biāo)為(一4,—2,—3).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得Af(—4,0,0).

10.如圖所示的是棱長為3a的正方體OA8C—O'A'B'C'，點(diǎn)朋'在夕C上，且|C'M\

=2\MB'I，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

答案(2a,3a,3a)

解析：|C'M=2|MB'I，

2

：.\C'M=］由'c\=2a,

：.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2a,3a,3a).

11.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。孫z中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2),(2,2,0),

(1,2,1),(2,2,2),給出編號(hào)為①②③④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為

、.(填序號(hào))

答案④②

解析由三視圖可知，該幾何體的正視圖是一個(gè)直角三角形(三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,0,2),

(0,2,0),(0,2,2))且內(nèi)有一虛線(一頂點(diǎn)與另一直角邊中點(diǎn)的連線)，故正視圖是④；俯視圖即在

底面的射影是一個(gè)斜三角形，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯視圖是②.

三、解答題

12.如圖，在長方體ABCD—AiBCid中，|42|=4,|AD|=3,|A4i|=5,N為棱CG的中點(diǎn)，

分別以AB,AD,A4i所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

(1)求點(diǎn)A,B,C,D,Ai，Bi，Ci，Oi的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)N的坐標(biāo).

解(1)由題意知，A(0,0,0).

由于點(diǎn)2在x軸的正半軸上，且AB=4,

所以2(4,0,0).

同理可得0(030),41(0,0,5).

由于點(diǎn)C在坐標(biāo)平面尤Oy內(nèi)，ILBC1.AB,CD1AD,

所以C(4,3,0).

同理可得81(4,0,5),01(0,3,5).

與點(diǎn)C的坐標(biāo)相比，點(diǎn)C1的坐標(biāo)只有豎坐標(biāo)與點(diǎn)C不同，且CC1=A41=5,所以Cl(4,3,5).

⑵由⑴知,C(4,3,0),G(4,3,5),

則CC1的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,3,|).

13.如圖，在長方體ABCD—AiBiCiDi中,\AD\=\AAi\=2,\AB\=4,DEA.AC,垂足為E,

求點(diǎn)E的坐標(biāo).

解如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以D4,DC,。口所在