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第17講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

（10類核心考點精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第7題,5分求含正弦（型）函數(shù)的值域和最值由正弦（型）函數(shù)的周期性求值

求正弦（型）函數(shù)的最小正周期求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心求含

2023年天津卷，第6題,5分

COSX的函數(shù)的最小正周期求COSX（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心

求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性，求含sinx（型）函數(shù)的值域和最值，求正弦（型）

2022年天津卷，第9題,5分

函數(shù)的最小正周期，描述正（余）弦型函數(shù)圖象的變換過程

2020年天津卷，第8題,5分結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質(zhì)

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，能夠利用圖像解決三角函數(shù)的定義域與值域問題

2.能掌握三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助三角函數(shù)圖像，解決平移與伸縮變換問題

4.會解三角函數(shù)解析式，會根據(jù)三角函數(shù)的圖像特征解決三角函數(shù)含參問題

【命題預測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般考查三角函數(shù)圖像特征與三角函數(shù)的周期性與對稱

性問題。

?考點梳理?

1

考點一、三角函數(shù)的定義域

考點二、三角函數(shù)的值域與最值問題

考點三、三角函數(shù)的值域與最值求參數(shù)

1五.點法作圖考點四、三角函數(shù)的周期性

知識點一.三角函數(shù)的圖像2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(考點五、三角函數(shù)的單調(diào)性

3.常用結(jié)論考點六、函數(shù)的奇偶性與對稱性

考點七、三角函數(shù)比較大小

考點八、由圖像確定三角函數(shù)的解析式

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.用五點法畫做正弦型函數(shù)的圖像

2函.數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換

；考點九、三角函數(shù)的平移與伸縮變換

3兩.種變換的區(qū)別

、知識點二.三角函數(shù)的平移與伸縮變換1考點十、三角函數(shù)的平移與伸縮變換求參

4..兩種變換的注意點

5.簡諧運動的有關概念與規(guī)律

知識講解

知識點一.三角函數(shù)的圖像

1.五點法作圖

用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖:

1

(1)在正弦函數(shù)y=sinx,x￡[0,2%]的圖象中，五個關鍵點是：(0,，(71,0),，(2兀，0).

e[0,2利的圖象中，五個關鍵點是：(0,1),1?

(2)在余弦函數(shù)y=cosx,x°］，(兀，—1)，,(2兀，1).

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosx

另1人要

圖象rpkp

IIX^k7l+=

定義域RR

k12J-k"}

值域R

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

最大值L當且僅當x=2k;i+〉，k￡Z最大值1,當且僅當后

2

函數(shù)的最2k?r,kGZ時取得:最

時取得；最小值一1,當且僅當X=2k7l無最大值和最小值

值小值一1,當且僅當無

一匹，kez時取得

22k兀一兀，kGZ時取得

增區(qū)間：「2k7T一2k7t+：］(k2Z)；減增區(qū)間：[21＜兀一兀，2kTr](k

單調(diào)性GZ)；減區(qū)間：「2k7t,2k兀增區(qū)間(女兀一匹，k7i+%(k￡Z)

22

區(qū)間：［2k7i+.,2kji+(k￡Z)

+2(kGZ)

周期周期為2k兀，k，0,kez,最小正周期周期為2k兀，k和，k￡Z,周期為km?0,k￡Z,最小

性為互最小正周期為空正周期為匹

2

HM,kez院旬,k"

對稱中心(km0),k￡Z

對稱性

對稱軸x=k7t+>,k￡Zx=k兀，k￡Z無對稱軸

2

零點k兀，k￡Zk?i+匹，k￡Zk?i,k￡Z

2

3.常用結(jié)論

（1）函數(shù)y=sinx與y=cosx的對稱軸分別是經(jīng)過其圖象的最高點或最低點且垂直于x軸的直線.

（2）正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中

心與對稱軸之間的距離是1個周期.正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是半個周期.

4

（3）三角函數(shù)中奇函數(shù)一*般可化為丫=人5畝（0*或丫=人1211（1?的形式，偶函數(shù)一般可化為丫=人（：0$0?+6

的形式.

（kit——k7i+西

（4）對于y=tanx不能認為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個開區(qū)間I2,24kGZ）內(nèi)為增函數(shù).

知識點二.三角函數(shù)的平移與伸縮變換

1.用五點法畫y=/sin（。尤+夕）（/>0，。>0，x^R）一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點

.__9兀―02兀一0

X

絲2co~~coco2cocoCD

匹3兀

cox+(p0712兀

22

y=Asm(a)x

0A0-A0

+。)

2.函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=/sin（0x+p）（/>O，O>0）的圖象的兩種途徑

f—、

步

畫出產(chǎn)sin%的圖象卜驟X畫出產(chǎn)sin%的圖象）

LU

向左（右）平移卬個單位長度橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

步

得到產(chǎn)sinQ+卬）的圖象/驟■*［得到尸sin儂4的圖象）

原來的白倍_2_/

橫坐標變?yōu)椤猏向左（右）平移1鼾個單位長度

步

得到尸sin?%+卬）的圖象卜驟｛得到尸sin0%+卬）的圖象）

、3，

縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍z---、縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍

步

得到y(tǒng)=4sin3%+卬）的圖象》驟心導到y(tǒng)=4sin?%+卬）的圖象）

、4，

3.兩種變換的區(qū)別

CD先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是闡個單位長度；②先周期變換（伸縮變換）再相位變換,

平移的量是回?>0）個單位長度.

3

（2）變換的注意點

3

無論哪種變換，每一個變換總是針對自變量X而言的，即圖象變換要看“自變量X”發(fā)生多大變化，而不是看

角“3x+<p”的變化.

4.兩種變換的注意點

（1）函數(shù)y=Asin（o）x+（p）+k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”.

（2）由y=sincox到y(tǒng)=sin（tox+（p）（a）>0,（p>0）的變換：向左平移必個單位長度而非（p個單位長度.

.3

（3）函數(shù)〉=然皿5+0）的對稱軸由（后GZ）確定；對稱中心由OX+9=E（后GZ）確定其橫坐標.

5.簡諧運動的有關概念與規(guī)律

（1）相關概念

y=/sin((wx+9)振幅周期頻率相位初相

(4>0,<w>0),

1=包

x>0A7"==CDX~\-(p

coT2兀9

（2）函數(shù)丁=/sin（s+9）+左圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減

（3）由y=sintax到歹=$111伍比+夕）（①>0，夕>0）的變換：向左平移幺個單位長度而非夕個單位長度.

co

考點一、三角函數(shù)的定義域

典例引領

1.(2024?浙江金華?模擬預測)若集合力={%卜后[+2)>()},B={x|ln(x+^)<0},則/八8二()

A.AB.BC.0D.A\JB

【答案】B

【分析】借助三角函數(shù)的性質(zhì)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可計算出集合人B,即可得解.

【詳解】由sin(%+.)>0,可得2MlV%+，V2Ml+n(/cEZ),

即A={%|2/CIT—^<%<2fcir+-y(kGZ)j,

由In(%+*)<0，可得0<%+qV1,

即3=—汴％<1—訃可得

故/r\B=B.

故選：B.

2.(2022高三上?河南?專題練習)函數(shù)f(x)=E"：)的定義域為()

smx-vx—1

A.(l,=)U(p4)B.(l,n)U(n,4)C.[l,^)U(p4]D.[1,TT)U(TT,4]

4

【答案】B

【分析】由對數(shù)的真數(shù)大于零，二次根式的被開方數(shù)非負和分式的分母不為零，列不等式組可求得結(jié)果.

x-1>0

【詳解】要使/（%）有意義，需滿足4一%>0,

、sinxH0

解得1V%V4且％H71.

所以定義域為（l,n）u5,4）.

故選：B.

即時檢測

I____________________

1.（22-23高三?全國?對口高考）函數(shù)y=*矣的定義域是（）

Ig（sinx）

A.[—4,4]B.卜4,5）11（5,4]

C.[—4,-71）U（0,兀）D.[—4,—兀）U（0,.）U&兀）

【答案】D

【分析】列出使函數(shù)有意義的不等式組求解即可.

2

y——2fl6-x>0（-4<x<4

【詳解】y=岑三有意義滿足《sinx>0，即兀+2E,（kwz）,

18（Sinx）（Ig（sinx）0[、W+2而

解得無€[-4,-兀）U（0,，）U&兀），

故選：D

2.（20-21高三上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習）函數(shù)y=ln（3-2%-必）+V2sin%-1的定義域是（）

A?["）B.（一1用C.（一3用D.監(jiān)朗

【答案】A

【分析】由對數(shù)真數(shù)大于零和根式被開方數(shù)大于或等于零得不等式組，解不等式，取交集，得到函數(shù)的定

義域.

【詳解】由題知，儼12刀一：2乙?

（2sinx-1>0

由3—2%—/>0,解得—3<x<1

由2sin%—1>0解得，-+2/CTT<%<—+2kmkEZ

66

f-3V%<1,

當k=0時，由）兀5兀，解得g<X<1.

當k=1時，區(qū)間（一3,1）和（等，等）無交集；

當卜=一1時，區(qū)間（一3,1）和（一早,—看）無交集；

5

故選：A.

3.（2022高三?全國?專題練習）函數(shù)/（久）=lg7+￡的定義域為（）

A.（0,3）B.（x]x<3且％力胃

C.（°，5）UG，3）D.{x|x<0或%>3}

【答案】C

【分析】由對數(shù)式的真數(shù)大于0,分式的分母不為0,聯(lián)立不等式組求解.

—>0用f0<x<3

【詳解】解:由X信0]+kmkEZ9

cosxH0

?.?°<x<3且工咤

二函數(shù)/（%）=1gW+熹的定義域為（嗚）Ug,3）.

故選：C.

4.（2024高三?全國?專題練習）函數(shù)y=^二二的定義域為

sinx—cosx

【答案】{%|%W3+々兀，攵2}

【詳解】

由sinxWcosx,得tanxrl,即x嚀+k兀，k￡Z,

所以函數(shù)丫=.sm%一的定義域為｛%|%Wg+/C7T,/cez].

smx—cosx4

Jcosx-3的定義域為

5.（2020高三?全國?專題練習）函數(shù)y=ln（sin%）+

【答案】[x\2kn<x2kn,keZ]

fsinx>0

【分析】首先根據(jù)題意得到「小丫>工，再解不等式組即可.

sinx>0(2knV%<兀+2kn

【詳解】由題知:cosx>!?所以j—1+2fc7r<%<|+2kn(feez).

解得：2/C7T<%2/CTT,(/C6Z).

所以函數(shù)的定義域為{久|2々兀<x<^+2knfkezj

故答案為：{%|2/C7TVx工^+2舊r,kwz}

【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義域，同時考查了對數(shù)函數(shù)的定義域，屬于簡單題.

考點二、三角函數(shù)的值域與最值問題

典例引領

1.（2024高三?全國?專題練習）若x,y滿足^+y2=l,則我％+y的最大值為

6

【答案】3

【分析】利用三角換元求解二元變量的最值即可.

【詳解】設x=2cos0,y=sin。，66[0,2TI),

因此戊久+y=2V2cos0+sin。=3sin(0+<p),其中tan(p=f

3sin(8+w)e[—3,3],所以當8+=]+2k兀時，&x+y取到最大值3.

故答案為：3.

2.(2024?江蘇?模擬預測)在梯形2BCD中，ABHCD.DA=DB=DC=1,則該梯形周長的最大值為.

【答案】v

【分析】設NB4D=a,ae(0,習，在△力BD和△BCD中，分類利用余弦定理求出4B,BC,再根據(jù)三角函數(shù)

的性質(zhì)求出力B+BC的最大值即可得解.

【詳解】設NBAD=a,ae(0,習，

則=a,Z.ADB=兀一2a,

在aZBD中，由余弦定理得ZB?=DA2+DB2-2DA?DBcos乙ADB

=2—2cos(7i—2a)=2+2cos2a=4cos2a,

所以=2cosa,

在aBCD中，由余弦定理得=DC2+DB2-2DC?DBcos乙BDC

=2—2cosa=4sin2-,

2

所以BC=2si吟

則力B+BC=2cosa+2sin-=-4sin2-+2sin-+2,

222

因為aE(0弓),所以所以sin￡€(0,亨)，

則當sin],時，ZB+BC取得最大值1

所以梯形ZBCO周長的最大值為：+2=

44

故答案為：V.

【點睛】方法點睛：解三角形的基本策略:

(1)利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”；

(2)利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”.

7

求三角形有關代數(shù)式的取值范圍也是一種常見的類型，主要方法有兩類：

(1)找到邊與邊之間的關系，利用基本不等式來求解；

(2)利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.

即電榨(

1.(2020?山東?高考真題)小明同學用"五點法”作某個正弦型函數(shù)y=4sin(3x+(p~)(A>0,a)>0,\<p\<］

在一個周期內(nèi)的圖象時，列表如下：

n71n77157r

X

~612312~6

n37T

a)xcp0n2n

2T

Asin?1

030-30

+0)

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求:

(1)實數(shù)43,w的值;

(2)該函數(shù)在區(qū)間［半，手］上的最大值和最小值.

【答案】⑴4=3,3=2,(p=~(2)最大值是3,最小值是—|.

【分析】(1)利用三角函數(shù)五點作圖法求解43,a的值即可.

(2)首先根據(jù)⑴知：丫=35也(2%+*根據(jù)題意得到日32%+上?，從而得到函數(shù)的最值.

【詳解】(1)由表可知Vmax=3,則4=3,

因為T=:―(―］)=",T=",所以§=兀，解得3=2,即y=3sin(2%+R),

因為函數(shù)圖象過點心3),則3=3sin(2x向+>),即sin(?+?)=1,

所以1+cp=2kli+―9kE.Z,解得g=2/CTT+—,kRZ,

又因為191VM所以0=看

(2)由(1)可知y=3sin卜工+§.

因為彳公工彳,所以工工2尤+薩7

因此，當2久+.手時，即％=,時，y=—|,

當2無+”乎寸，即％=等時，y=3.

所以該函數(shù)在區(qū)間［牛，,］上的最大值是3,最小值是-/

2.(2021?浙江?高考真題)設函數(shù)/(%)=sinx+cosx(xGR).

(1)求函數(shù)y=［/(%+］］的最小正周期；

8

(2)求函數(shù)y=/(x)f(%—習在[。,才上的最大值.

【答案】(1)兀；(2)1+今

【分析】(1)由題意結(jié)合三角恒等變換可得y=1-sin2x,再由三角函數(shù)最小正周期公式即可得解；

(2)由三角恒等變換可得y=sin(2x-：)+苧，再由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解.

【詳解】(1)由輔助角公式得/(%)=sin%+cos%=A/^sin(x+^)，

則y=[/(%+1)]2=[V2sin(x+Y)]2=2sin2(%+*)=1—cos(2x+y)=1—sin2x,

所以該函數(shù)的最小正周期丁=y=7T；

(2)由題意，y=/(%)/(%-3)=V2sin(x+-V2sinx=2sin(%+^)sinx

V2V2

=2sinx?(—sinx+—cosx)=V2sinzx+v2sinxcosx

/7Tl-cos2x.V2.V2.V2.V2.兀、魚

=V2---------------sinzQx=——sinzQx------coszQxH-----=sin(2x——)H-----,

22222、4，2

由％6[0微]可得[-py]，

所以當2x-.患此=卻寸，函數(shù)取最大值1+當

考點三、三角函數(shù)的值域與最值求參數(shù)

5典例引領

1.(21-22高三上,遼寧大連?階段練習)已知y=f(久)是奇函數(shù)，當x<0時，/(%)=cosx+sinx+a,且/住)=

V3,則實數(shù)a的值為.

【答案】-1-y

【分析】根據(jù)題意，得到f(-])=-(/)=-百，結(jié)合函數(shù)f(久)的解析式，代入即可求解.

【詳解】因為y=/(x)是奇函數(shù)，且/(9=遮，可得/(―蕓=-//)=—遙

又因為當久<0時，/(x)=cosx+sinx+a,

可得/(-g)=cos(-])+sin(-j)+a=1-y+a=-V3,

解得a=—|■―日，即實數(shù)a的值為—I—日.

故答案為：—1--y.

2.(2024?山東濟寧?三模)已知函數(shù)/(%)=(Bsinx+cos%)cos%-：，若/(%)在區(qū)間[一：,河上的值域為[一

24

今1],則實數(shù)根的取值范圍是()

A.[涓)B.[蓊]口仁^D.臉蜘

9

【答案】D

【分析】利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)八式），再借助正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即得.

【詳解】依題意，函數(shù)/'（x）=gsinxcos尤+COS2JC—J='sin2c+：cos2x=sin（2無+：）,

2226

當工€[一：,河時，2%+G[-p2m+^],顯然sin（一2）=sin￡=—'s嗚=1,

且正弦函數(shù)y=sin久在已口上單調(diào)遞減，由/（%）在區(qū)間[-9詞上的值域為[-￡1],

得牌2爪+三?，解得三

263612

所以實數(shù)小的取值范圍是[￡=].

612

故選：D

即時檢測

{_______________

1.（2023?四川自貢?一模）函數(shù)/（久）=a—Ktan2%在xe[-，可的最大值為7,最小值為3,則ab為（）

A.—B.-C.-D.—

123612

【答案】B

【分析】首先根據(jù)區(qū)間的定義以及/（無）的有界性確定b的范圍，然后再利用正切函數(shù)的單調(diào)性得到/Q）的單

調(diào)性，再代入相應端點值及對應的最值得到相應的方程，解出a,b即可.

【詳解】[冶,2b],

根據(jù)函數(shù)f（x）在％e[-2H的最大值為7,最小值為3,

所以26即根據(jù)正切函數(shù)g（x）=tanx在（-為單調(diào)增函數(shù)，

則/（%）=a-V3tan2x,在卜，b]上單調(diào)減函數(shù),

二f（一小=a+3=7=>a=4,二f（b）=4—V3tan2b=3,

則tan2b=鼻；2be（-需），二2b=pb=%

3\oZ/o1Z

ab=4x—=

123

故選：B.

2.（2024?河北石家莊?二模）已知函數(shù)y=虛汕0—：）在區(qū)間[0,團,[0,￡1+；]上的值域均為[—1,句，則實數(shù)

a的取值范圍是.

【答案】律用

【分析】當xe[0,a]時，X-音[—,a—）當xe[0,a+：]時，x——a],在結(jié)合正弦函數(shù)圖像可

兀、兀

d----2-

4

得到5/,求出a即可.

a^T

10

【詳解】當％E［O,a］時，》一：E［—a—（］,當％E［O,a+j］時，］—

因為函數(shù)y=&sin（%-：）在區(qū)間［0,可,［0,a+?］上的值域均為［-1,b］,

而V^sin（-：）——1,V2sin^-=—1,所以b=V2.

又因為讓sin（一5）=-l,V2siny=-1,

兀、兀

a-—

所以"J，解得牛WaW也即實數(shù)a的取值范圍是巾，河

a~A

故答案為：片,爭.

L44J

3.（2023?四川成都?模擬預測）當x無，時時，函數(shù)/'（尤）=cos（3x+§的值域是卜1,一斗則的取值范

圍是（）

A-［=.?］B.《房

C檔用D.售用

【答案】D

【分析】解法一：畫出函數(shù)的圖象，由x的范圍求出3x+：的范圍，根據(jù)“X）的值域可得答案；

解法二：由x的范圍求出3x+：的范圍，根據(jù)y=cosx的圖象性質(zhì)和f（x）的值域可得答案.

【詳解】解法一：由題意，畫出函數(shù)的圖象，由可知?++g

L6J633

因為/G）=cosy?苧且/停）=C0S1T=_1，

要使/0）的值域是卜L一等，只要日wmW青

即旌島濟

解法二:由題"可知當W3x+JW3巾+?

L6J633

由y=cosx的圖象性質(zhì)知，要使汽x）的值域是卜1,一日］,

則7iW3m+：wg,解之得me仔，弱.

3bL7loj

故選：D.

11

4.（2024?山東?模擬預測）若函數(shù)fO）=cos（x-0）+sin（無+§的最大值為2,則常數(shù)0的一個取值

為.

【答案】答案不唯一，滿足9=?+2而水€2即可）

66

【分析】利用和（差）角公式化簡，再判斷sinp+gRO,利用輔助角公式化簡，再結(jié)合函數(shù)的最大值，求

出0.

【詳解】因為/(%)=cos(x-0)+sin(x+3

兀71

=cosxcos(p+sinxsintp+sinxcos—+cosxsin—

coscp+y)cosx+(^sin(p+0sinx,

若sin0+T=O,則cos0=±j,所以/(久)=0或f(x)=V^cos%,顯然不滿足f(%)的最大值為2,

所以sing+萬H0,

則/(%)=J(sin(p+；)+(cos。+sin(%+8),(其中tan。=吧&■),

依題意可得(sing+g)+(cosg+苧)=4,

即sin@+75cos0=2,所以sin(0+5)=1,

所以W+乙=W+2/c7i,kGZ,解得0=￥+2Mi,fcGZ.

326

故答案為：m(答案不唯一，滿足卬=?+2/￡兀水62即可)

66

5.（23-24高三上?廣東肇慶?階段練習）已知函數(shù)/⑺=3（＞+0）（0＞0）在區(qū)間［0聞上的值域為卜1百,

則8=

【答案】號

【分析】根據(jù)三角函數(shù)值域的知識求得口

【詳解】依題意，函數(shù)/（%）=cos（%+W）（夕＞0）在區(qū)間［0,卬］上的值域為卜1,闿,

由于04%工仍？￡%+0420

所以2卬=2兀一.=9,0=9，

oo1Z

此時若+若W華，當x+號=兀,％=看時/⑺取得最小值—1,符合題意,

1Z1Zo1Z1Z

所以0=詈

故答案為：告

考點四、三角函數(shù)的周期性

典例引領

12

1.（2024?上海?高考真題）下列函數(shù)/（%）的最小正周期是2兀的是（）

A.sinx+cos%B.sinxcosx

C.sin2%+cos2%D.sin2%—cos2%

【答案】A

【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】對A,sin%+cos%=V^sin（%+?）,周期T=2兀，故A正確；

對B,sinxcosx=|sin2x,周期丁二'=兀，故B錯誤；

對于選項C,sin2%+cos2%=l,是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤；

對于選項D,sin2%—cos2%=—cos2x,周期7='=兀，故D錯誤，

故選：A.

2.（2024?江蘇鹽城?一模）函數(shù)/（%）=sin（+cos：的最小正周期是（）

A.6兀B.371C.-D.-

32

【答案】A

【分析】化/（x）=?sinG+3，由正弦型函數(shù)的周期性即可求解.

【詳解】由題意，得/（久）=魚sinG+J,

所以/（X）的最小正周期率=6兀.

3

故選：A.

?即時檢測

1.（23-24高三下?陜西西安?階段練習）函數(shù)f（x）=恒把久一cos2M的最小正周期為（）

7T

A.-B.7iC.2兀D.4兀

2

【答案】A

【分析】根據(jù)二倍角公式化簡，利用周期公式計算，即可結(jié)合函數(shù)圖象的變換求解.

【詳解】/（%）=|sin2x—cos2x|=|cos2x|,

由于函數(shù)y=cos2x的最小正周期為兀，且為偶函數(shù)，

y=|cos2x|是將y=cos2尤在y下方的圖象沿著x軸翻折得到，故最小正周期為今

故選：A

2.（2024高三?全國?專題練習）下列函數(shù)中，最小正周期為無的奇函數(shù)是（）

A.y—sin[2x+B.y—cos（2x+

C.y-sin2x+cos2xD.y—sinx+cosx

【答案】B

13

【分析】利用誘導公式化簡，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B,利用輔助角公式化簡，再結(jié)合三角函數(shù)的

性質(zhì)判斷C、D.

【詳解】對于A：y=sin(2x+m=cos2x,可知其最小正周期為兀且為偶函數(shù)，故A錯誤；

對于B：y=cos(2x+=-sin2x,可知其最小正周期為無且為奇函數(shù)，故B正確；

對于C：y=sin2x+cos2x=V2sin(2x+最小正周期為兀的非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；

對于D：y=sinx+cosx=&sin(%+；),可知其最小正周期為2兀，且為非奇非偶函數(shù)，故D錯誤.

故選：B

3.(2024?湖北荊州?三模)函數(shù)f(x)=tan(2%+5)的最小正周期為()

A.itB.-C.-D.-

236

【答案】B

【分析】根據(jù)條件，利用三角函數(shù)的周期公式，即可求出結(jié)果

【詳解】由周期公式得7=巴=*

0)2

故選：B

4.(2023?廣東?一■模)已知函數(shù)/(久)=tan(=云x+0)(a>0)的最小正周期為2兀，貝ija=.

【答案】1

【分析】根據(jù)正切函數(shù)周期公式求解即可.

【詳解】依題意T=±=2兀，

西

整理得a2-2a+1=0,解得a=1.

故答案為：1.

5.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(ri)=2sin(￡+3+l(neN*),則/'(1)+f(2)+/(3)+…+

/(2025)=()

A.2025B.2025+V2

C.2026+V2D.2026企

【答案】B

【分析】由周期性可得f(l)+/(2)+f(3)+f(4)=4,即可利用周期求解.

【詳解】由f(?i)=2sin(￡+J+l(neN*)

得f(4k+m)=2sin(2kn+詈+；)+1=2sin(半+：)+1,(k,meN*),

所以/⑴+f⑵+f⑶+f(4)=2sing+^+2sin管+J+2sin管+￡)+2sin管+?+4=4,

所以/'(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=4x竿+2sin+J+1=2025+V2

故選：B.

14

考點五、三角函數(shù)的單調(diào)性

中典例引領

1.（2024?福建泉州?一模）已知函數(shù)f（x）的周期為兀，且在區(qū)間e,§內(nèi)單調(diào)遞增，則/（久）可能是（）

A./（%）=sin-B./（x）=cos[x—§

C./（%）=sin（2x—D./（%）=cos（^2x—0

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)周期排除AB,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷CD即可.

【詳解】因為函數(shù)f（x）的周期為無，

所以當3>0時，對正、余弦函數(shù)來說，w=v=-=2,故排除AB,

當久e（W）時，2%冶6（。,§，

因為y=sinx在（0,§上單調(diào)遞增，故C正確，D錯誤.

故選：C

2.（2024?全國?模擬預測）函數(shù)f（x）=—3coskx+》的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.[kit——,kit+—j,/cGZB.|/c7t+—,kji+—j,keZ

C.卜兀一工，k兀一同，keZD.[/ra—■，/CTI+11],keZ

【答案】D

【分析】整體法得到不等式，求出單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】/（x）=-3cos（2%+看），令2kn<2x+^<2k兀+n,keZ,

.■.kn-^<x<kn+^,keZ,

故函數(shù)fO）的單調(diào)遞增區(qū)間為[e—9E+用北ez.

故選：D.

即時校L

1.（2024高三?全國?專題練習）下列函數(shù)中，以兀為周期，且在區(qū)間弓，弓）上單調(diào)遞增的是（）

A.y—|sinx|B.y=cos2xC.y=—tanxD.y=sin|2x|

【答案】B

【分析】先判斷各函數(shù)的最小正周期，再確定各函數(shù)在區(qū)間6,當）上的單調(diào)性，即可選擇判斷.

【詳解】對于A,y=|sinx|的最小正周期為兀，在區(qū)間（；,,）上單調(diào)遞減，A不是；

15

對于B,y=cos2x的最小正周期為兀，在區(qū)間檢,年）上單調(diào)遞增，B是；

對于C,y=-tanx的最小正周期為兀，在區(qū)間仁，號）上單調(diào)遞減，C不是；

對于D,y=sin|2x|不是周期函數(shù)，在區(qū)間松，手）上單調(diào)遞減，D不是.

故選：B

2.（2024?全國.二模）己知函數(shù)7"（x）=cos（g—2%），久e[—日,耳，則函數(shù)fO）的單調(diào)遞減區(qū)間

為.

【答案】[-y--j]

[分析]利用整體代換法求出余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可.

【詳解】由題意知，f（x）=cos（y-2%）=COS（2x-y）,

由2kn<2x——<2kn+n,kGZ,得kn+三<x<kn+—,keZ,

336

令k=一1,得一看4工工一3令k=0,貝吟W%W稱,

3636

即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為口.

36

故答案為：[一書,—g]

Jo

3.（2024?四川成都?模擬預測）若函數(shù)/（久）=sin（3%）（3>0）在（0,：）上單調(diào)遞增，則3的取值范圍為（）

A.（0,|）B.（0,2）C.（0,1]D.（0,2]

【答案】D

【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】函數(shù)/'（%）=sin（3久）（3>0）在（0,：）上單調(diào)遞增，

當xe（0,時，MX6（0,:3）,則:3W%解得0<3W2,

故選：D

4.（2024?陜西安康?模擬預測）已知函數(shù)/（x）=sin（3x+￡）（3〉0）在《,兀）上單調(diào)遞減，則3的取值范圍是

（）

A.d，2]B,[|）1]C.（1曰D.[|,2]

【答案】B

【分析】由+三3+2E,求得單調(diào)遞減區(qū)間，進而可得小I2,求解即可.

262-（^+2fc7t）>7t

、33

【詳解】/（%）=Sin（3%+J（3>0）；

令1+2kn工cox+%W曰+2k兀,k.GZ則—售+2々兀）W%工—+2〉兀）,

所以/（%）在[，6+2kjtj+24兀）]是減函數(shù),