遼寧省普通高中2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含答案）

遼寧省普通高中2024-2025學(xué)年度上學(xué)期11月期中調(diào)研試題(1)

高二數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無

效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知0,6為兩條直線，a,廣為兩個(gè)平面，且滿足aua,bu^,aC/3=l,a//l,貝『，。與b異

面”是“直線人與/相交”的()

A.充分而不必要條件B,必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)空間中線、面關(guān)系結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】當(dāng)“。與小異面”，若直線b與/不相交，由于仇/u4，則步//,

又a〃/,貝ija//,這與。和b異面相矛盾，故直線b與/相交，

故“。與b異面”是“直線b與I相交”的充分條件；

當(dāng)直線b與/相交”，若口與6不異面，則a與6平行或相交，

若。與6平行，又。〃/,則〃"，這與直線6和/相交相矛盾；

若口與6相交，設(shè)0口6=2,則Nea且Ze夕，得皿,

即/為直線%/的公共點(diǎn)，這與。〃/相矛盾；

綜上所述：。與小異面，即“。與小異面，，是“直線6與/相交，，的必要條件；

所以“。與6異面，，是，，直線6與/相交，，的充分必要條件.

故選：c.

2.若方程左-1"3表示雙曲線，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是（）

A.k〈lB.1〈左<3

C.左〉3D.k<l或k>3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征，列式求解.

22

%y1

-----------1-----------二1

【詳解】若方程左一1左一3表示雙曲線，

則（"1）（后-3）<0,得1（人<3.

故選：B

3,兩平行直線加x—3y—2=0與4x_6y_7=0之間的距離為（）

V13叵3舊5岳

A26B.13c.26D.26

【答案】C

【解析】

【分析】先由兩直線平行求出加=2,再代入兩平行直線間距離公式求解即可；

m-3-2

———w—

【詳解】由題意知4-6—7,所以加=2,

7

則4x-6y-7=0化為2A3^5=0,

-2+7廠

工23V13

d-—「---------

所以兩平行直線2》一3^-2=0與4x—6y—7=°之間的距離為收+（—3丫26.

故選：C.

22

—%?—y=1

4.設(shè)N5是橢圓/b-（a>b>°）的長(zhǎng)軸，若把一百等分，過每個(gè)分點(diǎn)作N8的垂線，交橢圓

的上半部分于尸卜尸2、…、尸99，B為橢圓的左焦點(diǎn),則由出+1耳引+——什…+14％4的

值是（)

A.98aB.99aC100。D101。

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的定義，寫出超引+16修=2。，可求出|丹4卜|百片|…|片片"的和，又根據(jù)關(guān)于

縱軸成對(duì)稱分布，得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為尸2,由橢圓的定義知西冷+1名引=2。（，=1,2,…，99）,

99

Z（IEEI+EED=2"99=198a

i=l.

由題意知4,Q,…，49關(guān)于歹軸成對(duì)稱分布，

99199

EQ片引）=32（出引+/耳i）=99?

i=l2I.

又?.?|片4+|片為=2。，

故所求的值為101a.

故選：D.

5.已知A為直線2》+八4=°上的動(dòng)點(diǎn)，8為圓（x+iy+V=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。（1,0）,則

1111的最小值為（）

A.4亞B.3Mc.2遙D,至）

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)°即°）乃國(guó)必），不妨令忸C=2|即，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，則要使

2畫+四最小,即可期+即）最小，求出附+囪的最小值即可得解.

【詳解】設(shè)，不妨令忸,1=22必，

則VCV-IJ+J?=27（XI-XO）2+y",

整理得36+1）+3%=-4x0+4石+8X]X0+4

又3Gl+1）2+3療=3,所以4片-4%-8石%-1=0,

則(2xo+1)(2%-4M-1)=0,解得"2,

所以存在定點(diǎn)45'°1使得的=2|即，

要使21四+忸C最小，即2（四+1即）最小，

則A,B,。三點(diǎn)共線，且ZM垂直于直線2'+^一4二°時(shí)取得最小值，如圖所示，

2x［-J+0-4

由221Asi+|8。|鉆曰一#*2x—r———=24

所以?II?的最小值為山+1

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)。（%,。）—（再,%）,令忸q=2即，將所求轉(zhuǎn)化為求朋+|即的最小值,

是解決本題的關(guān)鍵.

6.在四棱錐P—48co中，尸4,平面/8。。,/8,80,二面角尸一⑺—N的大小為

45°,AD+CD=2t若點(diǎn)P,A,B,C,D均在球0的表面上，則球0的表面積最小值為（）

8768V3

----71-71---兀

A.3兀B,27C.3D,2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)易得NC是四邊形4sC。外接圓的直徑，尸C中點(diǎn)為P-/BCD外接球球心，令

ND=x且°<x<2,求得外接球半徑關(guān)于x的表達(dá)式，求其最小值，即可求表面積最小值.

［詳解］由題設(shè)，A,B,C,°在一個(gè)圓上，故NNOC+N4BC=180°,又AB上BC,

所以NZQC=90°,即NDJ_CZ）,故NC是四邊形4SC。外接圓的直徑，

p

由尸/，平面4SC￡>,BC,CD,ZCu平面45C￡）,則尸PA1CD,PALAC,

由=PA,48u平面尸48,則5cL平面尸4g,P8u平面尸48,則8cLp8,

由'/0"=/,PA,4Du平面尸40,則CO,平面尸40,P4u平面尸40,則CD,PZ,

故△PBC,APCD,△尸CN都是以尸C為斜邊的直角三角形，故尸C中點(diǎn)為P-4BCD外接球球心,

且/尸。4為二面角尸一CD—N的平面角，故/尸￡%=45。，

因?yàn)镹PZ%=45°,AD+CD=2t

令A(yù)D=%且0<x<2,則尸/=x,CD=2-x,

故NC=^AD2+CD2=J2x2-4x+4,

R=-=-yjPA2+AC2=-■V3x2-4x+4kx--）2+-

所以外接球半徑2222V33,

_V6.ZA/6.28

XY——R=4兀x（）=—71

當(dāng)3時(shí)，，n3,此時(shí)球°的表面積的最小值為33.

故選：C

7.已知曲線°：（丁+力=9（/一/）是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線0的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

B.曲線°經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

c.若直線了=區(qū)與曲線c只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為（一叫―1]

D,曲線°上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過3

【答案】D

【解析】

【分析】將（一北―歹）代入方程，可判斷A；結(jié)合方程，求解整點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷B；聯(lián)立方程組，結(jié)合其解

唯一求出人的范圍，判斷C；結(jié)合方程以及距離公式可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,結(jié)合曲線=96-力，將Sr）代入，

方程不變，即曲線0的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,令了=°,則G）=9",解得》=±3,

/<2/0、2-11+J153

令工=±1,貝+9=9。7),解得'—一2—<

,、2,、2-17+V369c

令》=±2,則G+力=9（4—力，解得'2,

故曲線C經(jīng)過的整點(diǎn)只能是3，。），B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,直線片.與曲線g（xf）=9&-廠）必有公共點(diǎn)（0,0）,

2222

（X+V）=9（X-/）

因此若直線片.與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則口=依只有一個(gè)解（°,°）,

即/（1+公）=9/（1-F）只有一個(gè)解為》=0,即XW0時(shí)，/（1+尸）=9/（1—左2）無解，

故1-/V0,即實(shí)數(shù)上的取值范圍為（一C°'T]UL+C0）,C錯(cuò)誤,

,,9（x2-/）

對(duì)于D,由Gy）=（X7）,可得X+y,y=0時(shí)取等號(hào)，

則曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為"=產(chǎn)不<3,即都不超過3,D正確，

故選：D

8.已知平面上兩定點(diǎn)A、B,則所有滿足戶同“〉0且八1）的點(diǎn)尸的軌跡是一個(gè)圓心在4B上,

半徑為1一分的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.己知棱長(zhǎng)為3的

正方體”88-48c2表面上動(dòng)點(diǎn)尸滿足網(wǎng)=2閥，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）

4兀/T-4兀V3TI

-----FA/3兀---1----

A.2兀B.3C.32D.

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)阿氏圓性質(zhì)求出阿氏圓圓心O位置及半徑，P在空間內(nèi)軌跡為以。為球心的球，球與面

"CD,48與4,8℃田1交線為圓弧，求出截面圓的半徑及圓心角，求出在截面內(nèi)的圓弧的長(zhǎng)度即可.

斗

【詳解】圖①

°3°)泮徑為廠，

在平面中，圖①中以8為原點(diǎn)以為x軸建系如圖，設(shè)阿氏圓圓心

■■■\PA\=2|冏,/廣2,.」=]2?凈=j義3=2

\AM\

J；~f=2=2

設(shè)圓。與交于此由阿氏圓性質(zhì)知〔4碼，

???|BM|=2-\BO|=2-a,.[AM|=2||=4-2a；

二.4—2cl+2—a-6—3a—3,a=1,/.0(1,0)

P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心半徑為2的球，

若P在四邊形4s44內(nèi)部時(shí)如圖②，截面圓與月8,8片分別交于7,R,所以尸在四邊形4s與4內(nèi)的軌

跡為贏,

Rc

NV1——

1R__R-?、

A>

A。J

圖②

,一兀2

???RO=2,忸。=1,在RLRBO中NROB=600,■-MR-2x^--一兀

3,

2

所以，當(dāng)尸在面“BAM內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為5”,

2

—JC

同理，當(dāng)尸在面48co內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為3

當(dāng)尸在面8℃固時(shí),如圖③所示，

面8CG5],平面8CG耳截球所得小圓是以8為圓心，以3尸為半徑的圓，截面圓與⑶與'8C分

別交于A,Q,且BP=V0P1—OB2=V4—1=V3,

所以p在正方形BCC^內(nèi)的軌跡為RQ,

前U儲(chǔ)

所以22.

22G4G

—兀+―7TH-------71=-71H---------兀

綜上：尸的軌跡長(zhǎng)度為33232.

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求球與平面公共點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度時(shí)先求出平面截球所得圓面的半徑，當(dāng)截面為完整的圓時(shí)

可直接求圓周長(zhǎng)，當(dāng)截面只是圓的一部分時(shí)先求圓心角的大小再計(jì)算弧長(zhǎng).

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法命題正確的是（）

A.已知N=（01，1）,在=（0,0,T）,則萬(wàn)在B上的投影向量為I2，2>

B.若直線/的方向向量為e=（l'0'3）,平面a的法向量為〃I2，0｝；則

OP=—OA+mOB—nOC（n,mGR）

C.已知三棱錐O—/5C,點(diǎn)尸為平面45。上的一點(diǎn)，且2，則

1

m-n=—

2

D.若向量/=底+切+后，（x,y,z都是不共線的非零向量）則稱P在基底后”*｝下的坐標(biāo)為

(m，〃，k),若夕在單位正交基底｛扇3?下的坐標(biāo)為(123),則夕在基底｛萬(wàn)一以萬(wàn)+B?下的坐標(biāo)為

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算判斷A,應(yīng)用向量共線判斷B,判斷四點(diǎn)共面判斷C,根據(jù)基底運(yùn)算判斷

D.

【詳解】對(duì)于A,由于@=(0』/)，3=(0,則7在B的投影向量為

胃5=RfFiW°T）=（（W）

故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)橹本€/的方向向量為e平面a的法向量為〃I"'ll,所以。歷=—2+2=°,

所以〃/a或/ua,B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,因?yàn)镻為平面N2C上的一點(diǎn)，所以尸，4瓦。四點(diǎn)共面,

OP=—OA+mOB~nOC(n,meR)

則由空間向量共面定理以及2可得,

--rru—ri—Lm-n=—

2，所以2,C正確；

對(duì)于D：萬(wàn)在單位正交基底｛用3^｝下的坐標(biāo)為(123),即夕=0+23+3J

所以夕在基底I/下滿足：

x(a-B)+y(a+B)+z己=(x+y)a+(y—x)b+z己=a+2b+3c

x=__V=—

故x+y=l,y—x=2,z=3,可得一2,.2,z=3,

則萬(wàn)在基底但一瓦萬(wàn)+瓦己｝下的坐標(biāo)為I55人故D正確.

故選：CD.

22

xy_]/〉06〉0)兀

10.已知.，月是雙曲線氏/b-a'’的左、右焦點(diǎn)，過片作傾斜角為％的直線分別交

y軸、雙曲線右支于點(diǎn)/、點(diǎn)尸，且=W氏L下列判斷正確的是（）

n

A.123B.E的離心率等于2G

1----c

C.雙曲線漸近線的方程為^=土岳D.△尸片片的內(nèi)切圓半徑是I3>

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件可得出尸K'x軸，可判斷A項(xiàng)；根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造

2=/?

2212—72

齊次方程可求解離心率，故可判斷B項(xiàng)；結(jié)合。一=礦+”,得到。,即可求得漸近線方程，可判

斷C項(xiàng)；利用三角形等面積法得到內(nèi)切圓半徑廠的表達(dá)式與c有關(guān)，可判斷D項(xiàng)正確.

【詳解】如圖所示，

/網(wǎng)。\F2x

因?yàn)镸O分別是尸片，甲^2的中點(diǎn)，所以△耳遙中，PF2//MOt所以尸K,x軸,

NF、PF,=-

A選項(xiàng)中，因?yàn)橹本€尸片的傾斜角為不，所以3,故A正確；

DI72V3DI7473

PF2=----cPF、=--c

B選項(xiàng)中，直角△尸片片中，3=2c,3,3,

2J3

，=G

PFX—PF2=2a=----ce

所以~3,得：a,故B不正確；

2=血

2

C選項(xiàng)中，由，即c?=3a2,即/+b=3片，即。，

y=±--x=±V2x

所以雙曲線的漸近線方程為：。,故C正確；

D選項(xiàng)中，△尸片片的周長(zhǎng)為?+23〉，設(shè)內(nèi)切圓為廠，根據(jù)三角形的等面積法，有

（2+2月卜=2。氈c1=J5,

Vr3,得:<J,故D正確

故選：ACD.

兀

11.在直三棱柱NBC―44G中，A4=AB=BC=2,ZABC5，屈是4B的中點(diǎn)，N是4cl的中

點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段及N上，點(diǎn)。是線段CW上靠近〃的三等分點(diǎn)，R是線段/G的中點(diǎn)，若PR〃面

BiCM，則（）.

PR//BQ

XB.P為Q/Y的中點(diǎn)

2

三棱錐尸的體積為------兀

c.3D.三棱錐尸-N5C的外接球表面積為81

【答案】ACD

【解析】

【分析】由線面平行的判定定理得線線平行，從而判斷A,并利用平面幾何知識(shí)證明判斷B,證明三棱錐

P—BKM的體積等于三棱錐8-耳。睡的體積，由體積公式計(jì)算體積后判斷c,確定三棱錐尸-48C的

外接球球心。在沖上（如圖），求出球半徑后得球表面積判斷D.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)AB,連接3Q并延長(zhǎng)交C4于亂連接WS,

由平面幾何知識(shí)可得：S是a的中點(diǎn)，且N,R,S三點(diǎn)共線，。是△4gC重心，

因?yàn)橐馈嬗眉?，尸Ru平面用NS巴平面印VSBn平面片CN=4Q,所以網(wǎng)〃相，

作SK//4Q交印V于長(zhǎng)，由直棱柱性質(zhì)有4N〃8S,因此即釐是平行四邊形，

BK=SQ=-BS=-BN

X33Y,

又由平面幾何知識(shí)知火是NS中點(diǎn)，因此尸是NK中點(diǎn)，

NP=—NK=—x—B,N=—B,N\r

從而2233即尸為R“d上靠近N的三等分點(diǎn)，所以A正確，B錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)C,B'PBQ因此男0°8是平行四邊形，所以AP與用°互相平分，從而尸與8點(diǎn)

到平面83的距離相等，三棱錐尸一片。河的體積等于三棱錐3-g。”的體積,

VVXX2X1X2

B-B.CM=BX-BCM=??=?

而323所以C正確;

對(duì)于選項(xiàng)D,:“BC的外心是s,由雞〃0G得NS1平面ABC,

/.三棱錐p-4BC的外接球球心一定在直線NS上,

設(shè)三棱錐尸一NBC的外接球球心為°半徑為R,0S=h,

火2=0/2="2+s02=偵j+%2=2+〃2

則I7

22

2222+（2-/z）=^--4h+h

R=OP=NP+ON=bJ

C,238，275n2c25187

2+7/2=----4/z+h2h=—R=2H------=-----

9,解得：9,8181

球表面積為81,所以D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓G：/+/=16與圓/+/+丘+了+機(jī)—16=°交于43兩點(diǎn)，當(dāng)左變化時(shí)，

14sl的最小值為4G,則加=.

【答案】±2

【解析】

【分析】先求兩個(gè)圓的公共弦所在直線方程，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，結(jié)合不等式性質(zhì)求最值,

進(jìn)而可得答案.

【詳解】一+丁=16與—+/+丘+〉+機(jī)—16=°相減，

可得兩圓的公共弦所在線的方程為：kx+y+m,

由圓G：-+<=16可得G(o,o),圓的半徑為％

\m\

圓心G到N2直線的距離為6+公，

?陽(yáng)=2^6一4,因?yàn)?+左2之1,

J16——>V16-m2

所以Y1+左，左二°時(shí)等號(hào)成立，

又因?yàn)镠目的最小值為46，

所以2416一機(jī)2=4百，解得加=±2.

故答案為：±2.

13.如圖，已知四邊形/2CD是菱形，4B=AD=4,點(diǎn)E為的中點(diǎn)，把△NQE沿?！暾燮?，使點(diǎn)

/到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且平面PDE，平面8CDE,則異面直線與BC所成角的余弦值為.

3

【答案】4##0.75

【解析】

【分析】2%或其補(bǔ)角就是異面直線PD與Be所成的角，在△0D4中結(jié)合已知條件得出相關(guān)線段的長(zhǎng)

度，由余弦定理可得答案.

【詳解】因?yàn)锽C〃幺D,故NPD4或其補(bǔ)角就是異面直線p。與8c所成的角，

連接尸/,易知尸。=幺。=4,PE=AE=2,

因?yàn)槠矫?0EC平面5cz>￡=￡>￡,菱形48cZ）中，AB=BD,

即△480是正三角形，E為力B中點(diǎn)，則"￡,￡）￡,所以WDE,又BELDE,

所以NPE8即為平面PDE與平面BCDE所成的二面角的平面角，

因?yàn)槠矫鍼DE1平面BCDE,

所以NPE5=90。，ZPEA=9Q\所以尸EJ.ZE,

所以PA=VPE2+AE2=2^/2,在APD4中,

PD?—pA2_42+42—（2亞）_3

cos/PDA=

由余弦定理得2PDAD2x4x44,

3

所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為Z.

3

c：『T=i（…）

14.傾斜角為銳角的直線/經(jīng)過雙曲線3機(jī)-m的左焦點(diǎn)4,分別交雙曲線的兩條漸近線

于48兩點(diǎn)，若線段48的垂直平分線經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)月，則直線/的斜率為.

立L出

【答案】7##7

【解析】

X1+x2必+必、_1

【分析】設(shè)“（』乂）''（/%）,2'2'，依題意，利用點(diǎn)差法推出°MAB3,結(jié)合圖

kow="A：

形得到NM°K=2NM。,即得1一七，與前式聯(lián)立消去左?！?，計(jì)算即得.

設(shè)2（再%）,8（%2%）

J=0①

<

心上玉，正巧反-,=0②

則22，且I3

（國(guó)十一2）（石一馬）

(%-%)(%+%)

①-②可得3

%一％2J

+-2

X]-x2再3kK=1

整理得，2，即?！?（*）,

如圖，在孔的此中，1。河《耳口=1叫貝一公2”。

故t-2加。=?即“康

與」，七」，k=也

將此式代入（*）得，1一心3解得"5'依題意，*>0,則""-

V7

故答案為：7

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖所示，三棱柱"C—44G中，側(cè)棱n4垂直于底面，AB=5tN4=NC=3,5C=4,點(diǎn)

分別為'民℃的中點(diǎn).

(1)求證：BCX.PD.

(2)求點(diǎn)C到平面08G的距離

【答案】(1)證明見解析；

12匹

(2)41.

【解析】

【分析】(1)利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即得.

(2)連接40,交"G于點(diǎn)E,連接過點(diǎn)C作CP,BE于尸，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推證

W平面8C/,再借助直角三角形求出《下即可.

【小問1詳解】

由45=5,4。=3,5。=4,得AB?=AC?+BC?,則N/C5=90°,即BC±AC,

由24,平面48C,5Cu平面48C,則么同,臺(tái)。，

而幺4nze=Z,44],ZCu平面NCC/1,于是8cJ_平面工℃4,連接^G,

又NGu平面'C,貝"BC"G,由點(diǎn)P，D分別為AB,QB的中點(diǎn)，得ACJ/PD,

所以BCC2

【小問2詳解】

連接40，交/q于點(diǎn)E，連接BE,過點(diǎn)C作W8E,尸為垂足,

530

由N4=NC=3,側(cè)棱力4垂直于底面，得CE'"G且2,

又C5-G,CBC\CE=CtC民CEu平面C8E,則平面CBE,

又CFu平面CBE,則CN_LZG,又CF工BE,BEC\ACX=E,5E,NC]u平面45。，

因此CF1平面BC.A,即CF為點(diǎn)c到平面PBCi的距離，

由5C,平面NCG4,CEu平面NCG4,得BCLCE,^^2)2,

43夜

『BCCE’義〒12741

BE-V82-41

所以點(diǎn)C到平面PBCi的距離2

16.已知圓°：/+「=4.

(1)直線4x—3y+a=°截圓。的弦長(zhǎng)為2逝，求。的值.

⑵記圓。與x、v軸的正半軸分別交于48兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)°滿足3=陽(yáng)°回，問：動(dòng)點(diǎn)°的軌跡與

圓。是否有兩個(gè)公共點(diǎn)？若有，求出公共弦長(zhǎng)；若沒有，說明理由.

【答案】(1)。=±5

8-

(2)有，公共弦長(zhǎng)為5

【解析】

【分析】(1)計(jì)算圓心°到直線4x—3.v+a=°距離為5,再根據(jù)弦長(zhǎng)公式計(jì)算得到答案.

⑵設(shè)。(xj),根據(jù)31=陽(yáng)泗得到(x+2)2+(y-4)2=16,計(jì)算圓心距得到兩圓相交，確定公共

弦方程，計(jì)算弦長(zhǎng)得到答案.

【小問1詳解】

.即+停N

圓心0到直線4x—3y+a=0距離為5,故I,JI)，解得。=±5；

【小問2詳解】

/(2.0),8(0,2),設(shè)0(”)，由|。h=啦|。到得(x-2)2+/=2.2+(了—2月，

化簡(jiǎn)得：,+>2+4x—8y+4=0,即(x+2)2+(y—4)2=16,

所以動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是以°,彳)為圓心，4為半徑的圓E,

圓心距?！?也+42=2后,4-2<26<2+4,兩圓相交，

所以兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，

由兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為x—2y+2=°,

磔：22H申

圓心(?°)到公共弦的距離為在+z?石，則公共弦長(zhǎng)為VwJ5.

17.如圖，四棱錐中，AB=PA=4,CD=CB=2,PD=273；ZABC=60°,平面

R48c平面尸CD=/,且///平面48CD,平面尸40平面4SC。.

(1)求四棱錐P—48c。的體積;

(2)設(shè)。為尸C上一點(diǎn)，若Q4=QB,求二面角。一/8-0的大小.

【答案】(1)6；(2)45°.

【解析】

【分析】(1)先由余弦定理依次求出“0,接著求出底面梯形4SC。的高進(jìn)而求出其面積S,再由己

知條件結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理求出W平面4SC3即可由錐體體積公式求出四棱錐的體積.

(2)由AD,ND結(jié)合(1)可以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一位，求出0尸，C4,

CB,設(shè)。0=比尸，進(jìn)而求出3和小，接著由3=08求出；I,從而解出°”和經(jīng),進(jìn)而可求出

\m'n\

平面尸NQ的法向量加，由尸0，平面4SCO得平面48CO的法向量為〃，再由H同計(jì)算結(jié)合圖形即

可得圖二面角Q-AB-C的大小.

【小問1詳解】

因?yàn)?〃平面NBC。，/u平面P48,平面尸48c平面4SCD=45,

所以,同理得〃/。。，所以4B//CD,

因?yàn)镹8=4,BC=CD=2,AABC=60°,所以NBCD=120。，

所以NDBC=ZBDC=30°且

BD=ylBC2+CD2-2BC-CDcosl200=722+22-2x2x2cosl20°=2G

AD=AB2+BD2-2ABBDcos3Q°=J42+(2百丫-2x4x2V3x—=2

所以〃加=30。且\VJ2

底面梯形ABCD的高為h=BDsinAABD=2Gxsin30°=6,

S=-x(2+4)xV3=3V3

所以底面梯形NBC。的面積2,

在△尸AD中，PA=4,AD=2,0。=2百，

所以尸/2=/。2+心2,所以尸40,

因?yàn)槠矫媸?0,平面4?。。，平面040c平面48cz)=4D,PDLAD,POu平面尸4D,

所以尸。，平面48C￡),

r=-5-PD=-x3V3x2V3=6

所以四棱錐P—/BCD的體積33

【小問2詳解】

因?yàn)锳D=2,BD=?6AB=4,所以=幺。2+8。2即

所以08,AD,￡＞尸兩兩垂直，可以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一平,

z」

以—4c

則。(0,0,0),出2,0,0),30，2百C(-l酒,0),P灼,

所以而=1,-百,26)G4=^,-V3,0)Cfi=(i,V3,0)

設(shè)函=X而=(X,-房2房),

出+?-2而）/=而_函=1_%鳳?-2鳳）

因?yàn)?/="，所以(3—㈤2+3僅_1)2+1222=(1-2)2+3(1+2)2+12公

7,-百(I_73

2=1QB

(2'2QA

解得2,因此

QBLm

設(shè)m=(x,y,z)為平面PAQ的法向量，則〔勿工成，

QBm=-x+^^-y-y/3z=0

<

QA-m=-x-^-y-s[?>z=0

則122,

取k1,則x=5z=2,即加=(百/，2),

因?yàn)镻D_L平面48CZ),所以平面4SC。的法向量為“=(°，0」),

73x0+1x0+2x11

?-I\m-n\2_V2

"os.二尸而

7A/32+12+22xl2V2-2

設(shè)二面角。一48—。為'，則

所以由圖二面角Q-AB-C的大小為45°.

。:與+勺=1伍〉6>0）M

18.已知橢圓ab的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)在C上，且披,X軸，過點(diǎn)M且與

橢圓c有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線與x軸交于點(diǎn)P.

（1）求橢圓°的方程；

（2）點(diǎn)R是橢圓C上異于M的一點(diǎn)，且三角形的面積為24,求直線收？的方程;

(3)過點(diǎn)尸的直線交橢圓°于。，E兩點(diǎn)(。在E的左側(cè))，若N為線段EP的中點(diǎn)，直線NE交直線

披于點(diǎn)0,T為線段。尸的中點(diǎn)，求線段7。的最大值.

x2J2?

【答案】(1)98

8

V=—X

⑵3

(3)2

【解析】

【分析】(1)由題意列方程求出/=9,從=8,即可求得橢圓方程；

(2)利用聯(lián)立方程的方法求出點(diǎn)P為(9”)，繼而證明R關(guān)于0對(duì)稱，即可求得答案；

力%2=9+94—

⑶設(shè)0包'凹)，￡&/2),赤=2而可推出/%=一%,即而推出—54+4%=4,

j-0=—(x-5)

設(shè)直線監(jiān)的方程為％-5,即可推出軸，即可結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)得出答案.

【小問1詳解】

由題意知點(diǎn)I在c上，且九田,X軸，設(shè)橢圓焦距為2c,

則c=l,

一x2V2b-

C:—+—=l(a>Z)>0)J=±一

將x=c代入ab中，得a,

b^_8

則口3,結(jié)合=°2=i,

從而/=9,匕=8,

,橢圓C方程為98.

【小問2詳解】

由題意知過點(diǎn)M且與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率不為°,

22

土+匕=1

故設(shè)/:x=M.v+〃，與橢圓98聯(lián)立，

222

?（8m+9>\y+16mny+Sn-72=0一—心口―人--

得z<^^,由橢圓與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，

令A(yù)=0,即8掰2-〃2+9=0①，

318

又/:》=切+〃過I3人則3②，

m=-3

聯(lián)立①②可得1〃=9,則/:x=-3y+9,即得點(diǎn)P為（%。）.

18

SAC）PM~—x9x——12Q_r\A

設(shè)原點(diǎn)°（°，°）,由23,SMPR=24,

c—7c

故3MPR一乙3OPM,

從而R到1的距離為。至”距離的2倍，即R在/關(guān)于。對(duì)稱的直線上，

又尺在橢圓上，從而拉，尺關(guān)于。對(duì)稱，

8

y=—x

故直線四方程為3

【小問3詳解】

設(shè)E（x2,y2）DP=8PE,則（9一石，一%）=彳（》2一%%）

幾々=9+9%—%]

則[力2=-乂①，

"；+9療=72

又由〔86%1+9（4為y=72%,

8..+也.西也+9..%一儀=72

可得1+41—A1+41—A②，

結(jié)合①②可得，—5'+疝2=4,

又尸（9,0）,N（5,0）,E（x2,y2）

y_0=%（x—5）

則直線他的方程為馬-5,

M/'x軸，直線NE與MF交于Q,

_4%_[_

1yo=-------="

則&=L故5f,

八CI\TQ\=-\DF\<-（a+c）=2

故軸，從而??