河南省南陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省南陽(yáng)市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.考生做題時(shí)將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無(wú)效.2.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清楚.4.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.5.保持卷面清潔，不折疊、不破損.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若，則（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】B【解析】由得，解得故選：B.2.點(diǎn)為兩條直線和的交點(diǎn),則點(diǎn)到直線：的距離最大為（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】由得，即，直線：，所以直線過(guò)定點(diǎn)，所以當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大，且最大值為.故選：B.3.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí)，這些人的近視率約為，現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令=“玩手機(jī)時(shí)間超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生”，=“玩手機(jī)時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生”，=“任意調(diào)查一人，此人近視”，，且互斥，，依題意有，解得從每天玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為.故選：C4.已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4，漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】依題意，由于雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且漸近線方程為，所以，所以，所以雙曲線的方程為.故選：D5.南陽(yáng)市博物院為國(guó)家二級(jí)博物館，是豫西南最大的地方綜合性博物館、文化新地標(biāo)，是展示南陽(yáng)悠久歷史和燦爛文化的重要窗口.南陽(yáng)市博物院每周一閉館（節(jié)假日除外）.某學(xué)校計(jì)劃于2024年3月4日（周一）——3月10日（周日）組織高一、高二、高三年級(jí)的同學(xué)去南陽(yáng)市博物院參觀研學(xué)，每天只能有一個(gè)年級(jí)參觀，其中高一年級(jí)需要連續(xù)兩天，高二、高三年級(jí)各需要一天，則不同的方案有（）A.20種 B.50種 C.60種 D.100種【答案】C【解析】因?yàn)椴┪镌好恐芤婚]館，所以高一年級(jí)可以從周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中選擇2日去參觀，共5種選擇，再?gòu)氖Ｏ碌乃奶炖锇才鸥叨?、高三年?jí)，有種安排方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，知不同的方案有種，故選：C.6.若橢圓和雙曲線的共同焦點(diǎn)為，，是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則的面積值為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】A【解析】不妨設(shè)為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，則由已知得，則，，，則，所以.故選：A.7.已知過(guò)點(diǎn)且法向量為的平面的方程為.若平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線是平面與的交線，設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，令，得，則直線的方向向量為，因?yàn)槠矫娴姆匠虨椋詾槠矫娴姆ㄏ蛄?，設(shè)直線與平面所成角為，則，得直線與平面所成角的正弦值為，故選：A8.在正方體中，點(diǎn)在底面所在的平面上運(yùn)動(dòng).下列說(shuō)法不正確的是（）A.若點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為一條直線B.若，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓C.若點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離比為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓D.若點(diǎn)到直線的距離與到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線【答案】C【解析】對(duì)于A，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，?dāng)點(diǎn)直線上時(shí)，此時(shí)平面，可得，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線，故A正確；對(duì)于B，連接，若，，所以，又因?yàn)?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡在平面是在平面內(nèi)，以為圓心，為半徑的圓，故B正確；對(duì)于C，在平面內(nèi)，設(shè)正方向?qū)蔷€的交點(diǎn)為，以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)Px,y因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，若點(diǎn)到直線的距離與到點(diǎn)的距離相等，根據(jù)拋物線定義，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為在平面的拋物線，故D正確.故選：C.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，則下列各點(diǎn)在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】，不共線，設(shè)為平面內(nèi)一點(diǎn)，則，，由于無(wú)解，所以不在平面內(nèi).，由，解得，所以在平面內(nèi).，由，解得，所以平面內(nèi).，由于，所以在平面內(nèi).故選：BCD10.下列說(shuō)法不正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)且在，軸上的截距相等的直線方程為B.過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線有兩條C.若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，則展開(kāi)式共有7項(xiàng)D.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則【答案】ABC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)且在，軸上的截距相等的直線方程包括截距為0時(shí)的直線和截距不為0時(shí)的直線，故A項(xiàng)不正確，符合題意；對(duì)于B項(xiàng)，因點(diǎn)在圓上，故過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線只有一條，故B項(xiàng)不正確，符合題意；對(duì)于C項(xiàng)，因二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，解得：，則展開(kāi)式有項(xiàng)，故C項(xiàng)不正確，符合題意；對(duì)于D項(xiàng)，因，，則，故.故D項(xiàng)正確,不符題意.故選：ABC.11.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳析九章算法》一書(shū)中.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.第2023行中從左往右第1011個(gè)數(shù)與第1012個(gè)數(shù)相等C.記第行的第個(gè)數(shù)為，則D.第20行中第12個(gè)數(shù)與第13個(gè)數(shù)之比為【答案】AB【解析】對(duì)于A：，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：第2023行中的數(shù)為的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，則從左往右第1011個(gè)數(shù)為，第1012個(gè)數(shù)為，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：第行的第個(gè)數(shù)為，則，C正確；對(duì)于D：第20行中的數(shù)為的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，則從左往右第12個(gè)數(shù)為，第13個(gè)數(shù)為，則，D正確.故選：AB.12.已知拋物線：的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，過(guò)的直線交于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于弦的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最小值為2C.的面積為定值D.若在軸上，則為直角三角形【答案】ABD【解析】由橢圓方程可知，橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，則拋物線焦點(diǎn)為1,0，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為，拋物線的焦點(diǎn)弦中，通徑最短，通徑長(zhǎng)為，則，A選項(xiàng)正確；顯然直線AB的斜率為0時(shí)不合題意，則設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，，得，，所以，，則，因?yàn)榕c垂直，所以直線的斜率為，其方程為，聯(lián)立，解得，即，所以點(diǎn)M到直線AB的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，即選項(xiàng)B正確；的面積當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的面積最小值為4，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若在軸上，則，此時(shí)為通徑，設(shè)，，，AB=4，滿足，則為直角三角形，D選項(xiàng)正確.故選：ABD第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一）【解析】拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，即，，當(dāng)焦點(diǎn)在軸正半軸時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)焦點(diǎn)在軸正半軸時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：.14.已知，且，記隨機(jī)變量為，，中的最小值，則______.【答案】0.09【解析】，且，相當(dāng)于6個(gè)1之間的5個(gè)空中插入兩個(gè)擋板，故共有種情況，的可能取值為，其中時(shí)，只有三個(gè)數(shù)為，故，則，所以，.故答案為：15.南陽(yáng)素有“月季花城”的美譽(yù)，是“中國(guó)月季之鄉(xiāng)”和世界月季名城.某社區(qū)對(duì)一個(gè)街心公園進(jìn)行改造，在公園中央有一個(gè)正方形區(qū)域如圖示，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)對(duì)該區(qū)域種植月季，有5種不同的月季可供選擇，要求相鄰區(qū)域種植的月季不同.在所有的種植方案中隨機(jī)選擇一種方案，該方案恰好只用到四種月季的概率是______.【答案】【解析】對(duì)該區(qū)域種植月季，有種不同的月季可供選擇，當(dāng)只選擇種或種月季種植，不可能相鄰區(qū)域種植的月季不同；當(dāng)選擇種月季種植時(shí)，第一步：先種植①④⑤區(qū)域，有種種植方法；第二步：再種植②區(qū)域，必和④區(qū)域相同，只有種種植方法；第三步：種植③區(qū)域，必和①區(qū)域相同，只有種種植方法；故選擇3種月季種植時(shí)，有種種植方法；當(dāng)選擇種月季種植時(shí)，第一步：先種植①④⑤區(qū)域，用了種月季中的種，有種種植方法；第二步：再把還沒(méi)有用過(guò)的種月季選種植下去，有②③兩個(gè)區(qū)域可供種植，有種種植方法；第三步，種植最后一個(gè)區(qū)域，只有種種植方法，故選擇種月季種植時(shí)，有種種植方法；，當(dāng)選擇全部的種月季種植時(shí)，有種種植方法；所以該方案恰好只用到四種月季的概率是.故答案為：.16.已知橢圓：，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn).是上異于、的一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，且.若直線、的斜率之積為，則橢圓的離心率______.【答案】【解析】依題意，直線、的斜率存在，由于，則直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，即，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，設(shè)，則，，由兩式相減并化簡(jiǎn)得，由于直線、的斜率之積為，即，則，所以，所以橢圓的離心率.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.在下列所給的兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并加以解答.①與直線垂直；②一個(gè)方向向量為；問(wèn)題：已知直線過(guò)點(diǎn)，且______.（1）求直線的一般式方程；（2）若直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng).解：（1）若選①，因?yàn)橹本€的斜率為，直線與直線垂直，所以直線的斜率為.依題意，直線的方程為，即；若選②，因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率為，直線的方程為，即.（2）由（1）可得：直線的方程為.圓的圓心到直線的距離為：.又圓的半徑為，所以.18.一個(gè)袋子里放有除顏色外完全相同的2個(gè)白球、3個(gè)黑球.（1）采取放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)小球，求兩個(gè)小球顏色不同的概率；（2）采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)小球，求在第1次摸到的是黑球的條件下，第2次摸到的是黑球的概率.解：（1）設(shè)事件：用放回抽樣方式摸出兩個(gè)顏色不同的小球.因?yàn)椴扇》呕爻闃臃绞?，所以每次摸一個(gè)白球的概率為，每一次摸一個(gè)黑球的概率為，所以.即用放回抽樣方式摸出兩個(gè)顏色不同的小球的概率為.（2）設(shè)事件為第一次摸到黑球，事件第二次摸到黑球，所以，，所以在第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率為：.19.已知平行六面體底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,,.（1）求對(duì)角線的長(zhǎng)；（2）求直線與所成角的余弦值.解：（1）方法一：因?yàn)?，又底面是正方形，，，，所以，所以；方法二：如圖所示，以為原點(diǎn)，，分別為、軸正方向，過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，所以；（2）方法一：因?yàn)?，所以，又，設(shè)直線與所成角為，所以，即直線與所成角的余弦值為；方法二：與（1）中的方法二，以為原點(diǎn)，，分別為、軸正方向，過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，B1,0,0，，，，，設(shè)直線與所成角為，所以，即直線與所成角的余弦值為.20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于（異于點(diǎn)）兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，求證直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則，，，可得，即，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意可知：.若直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，Ax1,聯(lián)立方程，消去得，則，可得，，又因?yàn)?，，由題意可知：，則，整理得，則，又因?yàn)?，則，可得，整理得，即直線：過(guò)定點(diǎn)；若直線的斜率為0，則Ax1,y又因?yàn)椋?，由題意可知：，即且，解得，此時(shí)直線：，不合題意；綜上所述：直線過(guò)定點(diǎn).21.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到面的距離；（3）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）由題意，可以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，（1）顯然為平面的一個(gè)法向量，而.因?yàn)?，所?又平面，所以平面；（2）設(shè)n=x,y,z為面的一個(gè)法向量，又，則，不妨取，則，記點(diǎn)到面的距離為，則.即點(diǎn)到面的距離為；（3）顯然為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為面的一個(gè)法向量，則，不妨取，則.設(shè)平面與平面的夾角為，則.即平面與平面的夾角的余弦值為.22.某省年開(kāi)始將全面