河北省保定市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省保定市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)直線的的傾斜角為，且，直線的斜率，所以，故選：A2.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則等于（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】依題意，.故選：D3.直線與圓交于兩點，則的面積為（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】如圖，由圓配方得，，知圓心為,半徑為，過點作于,由到直線的距離為,則,故的面積為.故選：B.4.從2，3，5，7，11這5個素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù)，其積為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】從2，3，5，7，11這5個素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有種選法，其積為偶數(shù)，即兩個數(shù)中有一個為2，共有4種選法，所以概率為.故選：A.5.記為等比數(shù)列的前項和，若，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則由，，得，解得，故，故選：B6.阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積，當我們垂直地縮小一個圓時，得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的面積為，兩個焦點分別為，，直線與橢圓交于，兩點，若四邊形的周長為12，則橢圓的短半軸長為（A.4 B.3 C.2 D.6【答案】C【解析】依題意，，由橢圓對稱性，得線段互相平分于原點，則四邊形為平行四邊形，由橢圓的定義得，解得，所以橢圓短半軸長.故選：C7.從甲袋中隨機摸出1個球是紅球概率是，從乙袋中隨機摸出1個球是紅球的概率是，從兩袋中有放回的各摸兩次球且每次摸出一個球，則是（）A.4個球不都是紅球的概率 B.4個球都是紅球的概率C.4個球中恰有3個紅球的概率 D.4個球中恰有1個紅球的概率【答案】C【解析】4個球都是紅球的概率為，故B錯誤；4個球不都是紅球的概率為，故A錯誤；4個球中恰有3個紅球的概率為，故C正確；4個球中恰有1個紅球的概率，故D錯誤.故選：C.8.如圖,邊長為2的正方形沿對角線折疊,使,則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】取中點，連接，則，而平面，于是平面，，，又，則，解得，，而，則，，所以三棱錐的體積為.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若，為對立事件，則B.若，為互斥事件，則C.若，則，相互獨立D.對于任意事件，，有【答案】AB【解析】若，為對立事件，則，故A正確；若，為互斥事件，則，故B正確；若，則事件，事件不一定相互獨立，概率相等與事件獨立沒有關(guān)系，故C錯誤；若事件，，相互獨立，則，故D錯誤.故選：AB10.已知向量，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.向量與向量的夾角為B.C.向量在向量上的投影向量為D.向量與向量，共面【答案】ABD【解析】因為，所以，可得，則向量與向量的夾角為，故A正確；因為，所以，即B正確；根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為，所以C錯誤；由向量，，，可知，向量與向量，共面，所以D正確.故選：ABD11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點為雙曲線右支上一點，且，若與一條漸近線平行，則（）A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線方程為C.的面積為D.直線與圓相切【答案】ACD【解析】不妨設(shè)直線平行于雙曲線的漸近線，從而可得是線段的垂直平分線，且直線的方程為，設(shè)直線與直線相交于點，聯(lián)立方程組，解得，即，又F1-c,0，結(jié)合中點坐標公式，可得代入雙曲線，可得，整理得，，對于A，雙曲線的離心率，故A正確；對于B，雙曲線的漸近線，故B錯誤；對于C，的面積，故C正確；對于D，圓心到直線的距離，故直線與圓相切，故D正確.故選：ACD12.已知數(shù)列中，，，數(shù)列中，，則（）A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.數(shù)列的前5項和為C.數(shù)列為等比數(shù)列 D.數(shù)列為等差數(shù)列【答案】ABD【解析】對于A，因為，兩邊同除以得，所以，則為等差數(shù)列，公差為0，首項為，故A正確;對于D，由A知，所以，所以為等差數(shù)列，D正確;對于C，由B知，所以所以正確;對于C，由D知所以不為常數(shù)，故數(shù)列不為等比數(shù)列，C錯;故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知焦點在軸上的橢圓的離心率為，則的值為____________.【答案】8【解析】∵焦點在軸上，由橢圓方程可知：，∴，即.故答案為：814.如圖，在平行六面體中，是的中點，設(shè)，，.則____________.（用，，表示）【答案】【解析】由題意可知：.故答案為：.15.已知數(shù)列的前項和滿足：，數(shù)列的前項和滿足：，記，則數(shù)列的前10項和為____________.【答案】1033【解析】，故當時，，兩式作差得：，即，且，故，滿足，故.，故當時，，兩式作差得：，即為等比數(shù)列，且故，，則數(shù)列的前10項和為：.故答案為：103316.已知拋物線的焦點為，圓，圓心是拋物線上一點，直線，圓與線段相交于點，與直線交于，兩點，且，若，則拋物線方程為____________.【答案】【解析】如圖，過點作于點，則，由圖知①，由可得，②，又點在拋物線上，可得，，即③，把①式代入②式，，解得，，回代入①可得，，代入③式整理得，，解得，或（舍去），故拋物線方程為：.故答案：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在直角坐標系中，，，且圓是以為直徑的圓.（1）求圓的標準方程；（2）若直線與圓相切，求實數(shù)的值.解：（1）由已知，，則M1,1，半徑，所以圓的方程為；（2）由直線，即，又直線與圓相切，可得，解得.18.如圖，三棱柱中，，，，點為的中點，且.（1）求證：平面；（2）若為正三角形，求與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點，連接，因為，是中點，，因為，是中點，所以，又，平面，所以平面，又平面又，平面所以平面.（2）因為為正三角形，所以.過點作的延長線為軸，以為軸，過點作的平行線為軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得設(shè)與平面所成角為，.與平面所成角的正弦值為.19.某人購買某種教育基金，今年5月1日交了10萬元，年利率5%，以后每年5月1日續(xù)交2萬元，設(shè)從今年起每年5月1日的教育基金總額依次為，，，…….（1）寫出和，并求出與之間的遞推關(guān)系式；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式.解：（1），，，（2）是以50為首項，為公比的等比數(shù)列.，20.算盤是我國古代一項偉大的發(fā)明，是一類重要的計算工具，下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別表示個位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個位撥動一粒上珠，十位撥動一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個位，十位，百位分別隨機撥動一粒珠子至梁上，設(shè)事件“表示的三位數(shù)能被3整除”，“表示的三位數(shù)能被5整除”.（1）判斷事件，否相互獨立；（2）求事件，至少一個發(fā)生的概率.解：（1）由題意可得相應(yīng)組成的三位數(shù)字分別為111、115、151、155、511、515、551、555，基本事件總數(shù)為8個，能被3整除的數(shù)有111，555共2個，故事件包含的基本事件數(shù)為2，能被5整除的數(shù)有115，155，515，555共4個，故事件包含的基本事件數(shù)為4，所以包含的基本事件數(shù)為1.，，，則，事件與事件相互獨立；（2）法一：.所以事件，至少一個發(fā)生的概率為.法二：.所以事件，至少一個發(fā)生的概率為.21.如圖,平行六面體的所有棱長均為2,底面為正方形,，點為的中點，點為的中點，動點在平面內(nèi).（1）若中點為，求的面積；（2）若平面，求線段長度的最小值.解：（1）連接、、，，，同理，是正方形對角線AC中點，，且，，即，則，.（2）法一：取中點，連接，，，易得，故四邊形是平行四邊形，，又平面平面，平面，同理，平面平面，平面，且都在面內(nèi)，故平面平面，則點必在上，且當時，長度最小，，由等面積法得：，解得，故的最小長度為.法二：取為一組空間基底，則，，平面，，代入整理得，故，動點在平面內(nèi)，，，故，當且僅當時，有最小值為.法三：由第一問知，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，同理，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)點，，，即，故，當且僅當時，有最小值為.22.已知橢圓的左、右頂點為，，焦距為.為坐標原點，過點、的圓交直線于、兩點，直線、分別交橢圓于、.（1）求橢圓的方程；（2）記直線，的斜率分別為、，求的值；（3）證明：直線過定點，并求該定點坐標.解：（1）由已知得，，則，故橢圓的標準方程為；（2）法一：設(shè)，則圓的方程為：，圓過，代入圓的方程得，故；法二：設(shè)，圓半徑為r，則圓方程為：，圓過，，由題意可設(shè)，則；（3