廣東省陽江市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末測試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省陽江市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故選：B2.已知，，，則的最小值為（）A. B.1 C.0 D.【答案】B【解析】由題設(shè)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為1.故選：B3.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（）A.9 B.3 C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，所以，則，所以故選：A4.若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)實(shí)根小于1，另一個(gè)實(shí)根大于2，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)，根據(jù)已知結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，作圖則有，解得.故選：C.5.已知，則＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】故選：D6.已知向量，，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，，，.故選：A7.某圓錐的母線長為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形，過該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當(dāng)截面面積最大時(shí)，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）A.4 B.2 C. D.【答案】D【解析】設(shè)該圓錐的頂點(diǎn)為S，底面圓心為O，AB為底面圓的直徑，連接SO，由圓錐的母線長為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形可知圓錐的高，底面圓半徑為，設(shè)C為圓錐底面圓周上一點(diǎn)，連接BC，OC，則，所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，即最大時(shí)，即的夾角為90°時(shí)，的面積最大，此時(shí)的面積為8，且，取中點(diǎn)，連接，則，在直角中，可得，所以的面積為，設(shè)圓錐底面圓的圓心O到截面SBC的距離為h，則由可得，即，解得，所以圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為．故選：D．8.已知是表面積為的球表面上的四點(diǎn)，球心為的內(nèi)心，且到平面的距離之比為，則四面體的體積為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】由題意可知：球心既是的內(nèi)心，也是的外心，則為等邊三角形，設(shè)球的半徑為，則，解得，由正弦定理可得，即的邊長為，分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x相等，由對(duì)稱可知：點(diǎn)在底面的投影在直線上，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸所在直線，為y軸所在直線，過作底面的垂線為z軸所在直線，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，不妨設(shè)平面的法向量依次為，且，則O到平面的距離依次為，可得，整理得，因?yàn)?，設(shè)，，則，則，解得，則，解得，則，即點(diǎn)到底面的距離為，所以四面體的體積為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說法中正確的有（）A.若，則面積的最大值為B.若，則面積的最大值為C.若角的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)，且，則面積的最大值為3D.若為的中點(diǎn)，且，則面積的最大值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由余弦定理可得，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即面積的最大值為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，則，，在和中，分別運(yùn)用正弦定理，得和.因?yàn)?，所以，即，所以，由余弦定理可得，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為3，所以C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，解得，則，所以，所以當(dāng)即時(shí)，，D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.是上的奇函數(shù)B.當(dāng)時(shí)，的解集為C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減D.當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】對(duì)于A，首先的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其次，即是上的奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以或，解得或，即當(dāng)時(shí)，的解集為，故B正確；對(duì)于C，不妨取，此時(shí)，對(duì)，有，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，令，此時(shí)，而，當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，即值域?yàn)?故選：ABD.11.已知函數(shù)，則下列正確的有（）A.函數(shù)在上為增函數(shù) B.存在，使得C.函數(shù)的值域?yàn)?D.方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】ABD【解析】A.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，若，則，即，其中，所以方程存在實(shí)數(shù)根，故B正確；C.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí)，當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在和單調(diào)遞減，此時(shí)或，所以函數(shù)的值域是，故C錯(cuò)誤；D.由以上求值域的過程可知，和時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，如圖畫出和，當(dāng)?shù)膱D象，兩函數(shù)圖象在區(qū)間只有1個(gè)交點(diǎn)，所以方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.故選：ABD12.正方體棱長為4，動(dòng)點(diǎn)、分別滿足，其中，且，；在上，點(diǎn)在平面內(nèi)，則（）A.對(duì)于任意的，且，都有平面平面B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積不為定值C.若直線到平面的距離為，則直線與直線所成角正弦值最小為．D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，則，又，所以，所以對(duì)于任意的，且，都有平面平面，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，，所以，又，點(diǎn)到平面的距離為又，又因?yàn)榈拿娣e為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，,則因?yàn)橹本€到平面的距離為，所以平面，，設(shè)面為，則，令，則，所以所以，即，又，則，解得或，若，所以，，又，設(shè)直線與直線所成角為，所以當(dāng)最大時(shí)，最小，令，，在單調(diào)遞增，所以，，最大值為，所以最小為，所以直線與直線所成角正弦值最小為；若，所以，，根據(jù)對(duì)稱性可得最小為，故C正確；對(duì)于D，設(shè)因?yàn)?，所以，，，所以，整理得，即所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)以為球心，半徑為2的球面上一點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，最小為，當(dāng)時(shí)，最大為所以的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則的值為______.【答案】【解析】依題意，.故答案為：14.已知點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且有最小值，則常數(shù)的一個(gè)取值為_________．【答案】1（不唯一）【解析】設(shè)，分別繪制函數(shù)的大致圖像如下圖：其中有最小值，，沒有最小值，是它的漸近線，點(diǎn)在上，，，如上圖，當(dāng)時(shí)，不存在最小值，；故答案為：（不唯一）.15.三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球O上，點(diǎn)A在平面的射影是線段的中點(diǎn)，，則平面被球O截得的截面面積為______．【答案】【解析】設(shè)球O的半徑為，則，解得，因?yàn)辄c(diǎn)A在平面的射影是線段的中點(diǎn)，即⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，由三線合一可知，，因?yàn)?，所以為等邊三角形，故，，且球心O在平面上投影為的中心，即，過點(diǎn)O作⊥平面于點(diǎn)，連接，故，則與平行，故，由勾股定理得，平面被球O截得的截面為圓，半徑為2，故面積為.故答案為：16.在四面體中，，，，且，，異面直線，所成的角為，則該四面體外接球的表面積為______.【答案】或【解析】依題意，將四面體放到長方體中，則在長方體的后側(cè)面所在的平面內(nèi)，因?yàn)楫惷嬷本€，所成的角為，，所以可得或，所以應(yīng)為圖中或，如下圖所示：由對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)在軸負(fù)方向時(shí)，解法與或位置相同；可設(shè)的中點(diǎn)為，四面體外接球的球心為，球的半徑為，由題意可知，球心在過點(diǎn)且垂直于平面的垂線上，且滿足，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，，設(shè)，又，由，所以，或，解得或,所以或，即可知四面體外接球的表面積為或.故答案為：或四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，且，，．求：（1）a的值；（2）和的面積．解：（1）因?yàn)?，，，所以，由余弦定理得：，解得．?（2）由，則，由正弦定理得，又，得，．故，的面積為.18.某高校承辦了奧運(yùn)會(huì)的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a、b的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績的第60百分位數(shù)（精確到0.1）.解：（1）由題意，因?yàn)榈谌?、四、五組的頻率之和為，可得，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以.（2）由前兩個(gè)分組頻率之和為，前三個(gè)分組頻率之和為0.75，所以第60百分位數(shù)在第三組，設(shè)第60百分位數(shù)為x，則，解得，故第60百分位數(shù)為．19.如圖，在所有棱長都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝，∠B1BC＝．（1）證明：A1C1⊥B1C；（2）求直線BC與平面ABB1A1所成角的大?。猓海?）連接AB1，在△ABB1中，∠ABB1＝，AB＝BB1＝1，所以AB1＝，在△BCB1中，∠B1BC＝，BC＝BB1＝1，所以B1C＝1，所以在△ACB1中，AB1＝，B1C＝1，AC＝1，所以AB12＝AC2＋B1C2，所以AC⊥B1C．又因?yàn)樵谌庵鵄BC－A1B1C1中，1，所以A1C1⊥B1C．（2）方法1連接AB1，A1B，交于點(diǎn)O，連接BC1，連接CO．在邊長都為1的正方形A1ABB1中，O是AB1的中點(diǎn)，又因?yàn)锽1C＝AC＝1，所以CO⊥AB1．因?yàn)樗倪呅蜝1BCC1邊長都為1，所以B1C⊥BC1．由(1)知B1C⊥A1C1．又因?yàn)锳1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1平面A1BC1，所以B1C⊥平面A1BC1．因?yàn)锳1B平面A1BC1，所以B1C⊥A1B．因?yàn)樵谶呴L都為1的四邊形A1ABB1中，A1B⊥AB1．又因?yàn)锳B1∩B1C＝B1，AB1，B1C平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C．因?yàn)镃O平面AB1C，所以CO⊥A1B．又因?yàn)锳1B∩AB1＝O，A1B，AB1平面A1ABB1，所以CO⊥平面A1ABB1，所以∠CBO即為直線BC與平面ABB1A1所成的角．在邊長都為1的四邊形A1ABB1中，∠ABB1＝，所以BO＝．因?yàn)锽C＝1，所以，所以∠CBO＝，所以直線BC與平面ABB1A1所成角的大小為．方法2取AB1中點(diǎn)O，連接BO，CO．在△ACB1中，AC＝B1C＝1，所以CO⊥AB1，在邊長都為1的正方形A1ABB1中，BO＝，A1B＝．又因?yàn)锳C2＋B1C2＝A1B2，所以△ACB1為直角三角形，所以CO＝．在△ACB1中，CO2＋BO2＝BC2，所以CO⊥BO．又因?yàn)锳B1∩BO＝O，AB1，BO平面A1ABB1，所以CO⊥平面A1ABB1，所以∠CBO即為直線BC與平面ABB1A1所成的角．在邊長都為1的四邊形A1ABB1中，∠ABB1＝，所以BO＝．因?yàn)锽C＝1，所以，所以∠CBO＝，所以直線BC與平面ABB1A1所成角的大小為．20.已知直線，直線，設(shè)直線與的交點(diǎn)為A，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.（1）經(jīng)過點(diǎn)P且與直線垂直的直線方程；（2）求以為直徑的圓的方程.解：（1）易知的斜率為，故所求直線斜率是直線過點(diǎn)，故直線方程為方程為（2）聯(lián)立方程組解得故，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得中點(diǎn)坐標(biāo)為由兩點(diǎn)間距離公式得，故所求圓方程為21.已知直線和圓．（1）求與直線垂直且經(jīng)過圓心的直線的方程；（2）求與直線平行且與圓相切的直線的方程．解：（1）設(shè)與直線垂直的直線的方程為．圓可化為，圓心為，因?yàn)橹本€經(jīng)過圓心，所以，即，故所求直線的方程為．（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為．因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以或10，故所求直線的方程為或．