廣東省佛山市順德區(qū)普通高中2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（一）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市順德區(qū)普通高中2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（一）第I卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：B2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即，解得，所以，又，所以.故選：A.3.“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，由可得，由可得，所以由“，”推得出“”，故充分性成立；由“”推不出“，”，如，，滿足，但是，故必要性不成立；所以“，”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知單位向量，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.向量在向量上的投影向量為 D.【答案】D【解析】單位向量，滿足，則，所以，所以，又，所以，故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以向量在向量上的投影向量為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確.

故選：D.5.函數(shù)是（）A.偶函數(shù)，且最小值為－2 B.偶函數(shù)，且最大值為2C.周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 D.非周期函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】B【解析】定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以為偶函數(shù)，又，令，，，當(dāng)時(shí)，即，有最小值，最小值為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最大值，最大值為2，故A錯(cuò)誤，故B正確；因?yàn)?，所以為周期函?shù)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，令，，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，，令，，，在單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，在上先減后增，在上單調(diào)遞增；故C，D錯(cuò)誤，故選：B.6.印度數(shù)學(xué)家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴風(fēng)雨，他看到路邊寫有3025的一塊牌子被劈成了兩半，一半上寫著30，另一半上寫著25.這時(shí)，他發(fā)現(xiàn)，，即將劈成兩半的數(shù)加起來(lái)，再平方，正好是原來(lái)的數(shù)字.數(shù)學(xué)家將3025等符合上述規(guī)律的數(shù)字稱之為雷劈數(shù)（或卡普列加數(shù)）.則在下列數(shù)組：92，81，52，40，21，14中隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù)，其中恰有一個(gè)數(shù)是雷劈數(shù)的概率是（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】因?yàn)?，所以是雷劈?shù).其余的不是雷劈數(shù).記：“從6個(gè)數(shù)中隨機(jī)選擇兩個(gè)數(shù)，其中恰有一個(gè)數(shù)是雷劈數(shù)”為事件，則.故選：C.7.已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若，在上，函數(shù)單調(diào)遞增，所以；此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無(wú)最大值，所以；因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?，結(jié)合得.若，則的值域?yàn)?；若，在上，函?shù)單調(diào)遞減，所以（）；在上，函數(shù)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，無(wú)最大值，所以；所以函數(shù)的值域不可能為；若，則函數(shù)在上，函數(shù)單調(diào)遞減，所以（）；在上，函數(shù)單調(diào)遞增，，此時(shí)函數(shù)的值域不可能為.綜上可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?故選：D.8.記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，已知，若，則的最小值是（）A.999 B.1000 C.1001 D.1002【答案】C【解析】∵為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，，∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，又，∴，即，∴是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，且.由，得若，則，∴所以，正整數(shù)的最小值為1001.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組數(shù)據(jù)為：；乙組數(shù)據(jù)為：，若甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為，第百分位數(shù)為，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A.乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 B.乙組數(shù)據(jù)的極差為C.乙組數(shù)據(jù)第百分位數(shù)為 D.乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為【答案】ABC【解析】不妨設(shè)甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，則乙組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，因?yàn)榧捉M數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，極差為，第百分位數(shù)為，則，又，所以，所以乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A正確；乙組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；乙組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故C正確；乙組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.在三棱臺(tái)中，側(cè)面是等腰梯形且與底面垂直，，，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.三棱臺(tái)的體積為【答案】ABD【解析】如圖：對(duì)于A：在中，,，所以，即.由平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，，且∽，所?又三棱錐和高相同，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)槿馀_(tái)的高為1，所以三棱臺(tái)的體積為：，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)A：令，則；令，則.所以，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，兩邊求?dǎo)，得即；因數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，故成立，故B正確；對(duì)C：因?yàn)?，所以，未必?，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)椋?，則，故D正確.故選：ABD.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則=_____________．【答案】【解析】聯(lián)立，得，因此．13.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)且垂直于軸的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若為等邊三角形，則橢圓【答案】【解析】由題可得：，又為等邊三角形，由橢圓的對(duì)稱性可得：，又，計(jì)算可得：,，由橢圓定義可得：，整理得：，所以．14.現(xiàn)有甲、乙、丙等7位同學(xué)，各自寫了一封信，然后都投到同一個(gè)郵箱里.若甲、乙、丙3位同學(xué)分別從郵箱里隨機(jī)抽取一封信，則這3位同學(xué)抽到的都不是自己寫的信的不同取法種數(shù)是__________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】設(shè)甲、乙、丙位同學(xué)的信件分別為、、，若、、都沒(méi)有取到，則有種不同的取法；若、、取到一個(gè)，則有種不同的取法；若、、取到兩個(gè)，則有種不同的取法；若、、取到三個(gè)，則有種不同的取法；綜上可得一共有種不同的取法.四、解答題：本大題共5小題，滿分77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，.（1）求的面積；（2）若，求.解：（1）因?yàn)?，，由正弦定理可得，所以，所以；?）因?yàn)椋?，，所以，所以，則，由正弦定理可得，又，所以，顯然，所以，則，又，所以.16.如圖，四棱錐的底面是正方形，且，.四棱錐的體積為.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，又四棱錐的底面是正方形，所以，設(shè)到平面的距離為，則，所以，所以，即平面，又平面，所以平面平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，則，即，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,1，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，又平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，所以，，則，所以函數(shù)在處的切線方程為；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）因?yàn)椋赜幸粋€(gè)零點(diǎn)為，由（1）可得，當(dāng)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，當(dāng)時(shí)，則，，，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，（不妨令），且，，即，滿足；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在不存在零點(diǎn)，且一個(gè)零點(diǎn)為，則另一零點(diǎn)不可能大于，此時(shí)不滿足，故舍去；綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.密室逃脫是當(dāng)下非常流行的解壓放松游戲，現(xiàn)有含甲在內(nèi)的7名成員參加密室逃脫游戲，其中3名資深玩家，4名新手玩家，甲為新手玩家.（1）在某個(gè)游戲環(huán)節(jié)中，需隨機(jī)選擇兩名玩家進(jìn)行對(duì)抗，若是同級(jí)的玩家對(duì)抗，雙方獲勝的概率均為；若是資深玩家與新手玩家對(duì)抗，新手玩家獲勝的概率為，求在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率；（2）甲作為上一輪的獲勝者參加新一輪游戲：如圖，有兩間相連的密室，設(shè)兩間密室的編號(hào)分別為①和②.密室①有2個(gè)門，密室②有3個(gè)門（每個(gè)門都可以雙向開），甲在每個(gè)密室隨機(jī)選擇1個(gè)門出去，若走出密室則挑戰(zhàn)成功.若甲的初始位置為密室①，設(shè)其挑戰(zhàn)成功所出的密室號(hào)為，求的分布列.解：（1）7人中隨機(jī)選擇2人，共有種情況，其中含甲的情況有種，6種情況中，甲和資深玩家對(duì)抗的情況有3種，和同級(jí)的玩家對(duì)抗情況有3種，則甲和資深玩家對(duì)抗并獲勝的概率為，和同級(jí)的玩家對(duì)抗并獲勝的概率為，故在該游戲環(huán)節(jié)中，獲勝者為甲的概率為；（2）設(shè)為甲在密室①，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，為甲在密室②，且最終從密室①走出密室，挑戰(zhàn)成功的概率，考慮，需考慮甲直接從號(hào)門走出密室或者進(jìn)入密室②且最終從密室①走出密室，故①，考慮，則甲從號(hào)門進(jìn)行密室①，且從密室①走