廣東省八校2025屆高三上學(xué)期第四次聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省八校2025屆高三上學(xué)期第四次聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由知，又，，所以，故選：B.2.在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，由，得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以所求的最小值為.故選：B3.已知正項(xiàng)遞增等比數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若，，則（）A.121 B.364 C.728 D.1093【答案】B【解析】在正項(xiàng)遞增等比數(shù)列中，所以，又，所以或（舍去），設(shè)數(shù)列的公比為，則，所以，所以.故選：B.4.英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓設(shè)計(jì)了高爾頓釘板來研究隨機(jī)現(xiàn)象.如圖是一個(gè)高爾頓釘板的設(shè)計(jì)圖，每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆釘子恰好位于下一層兩顆打子的正中間，小球每次下落，將隨機(jī)的向兩邊等概率的下落.數(shù)學(xué)課堂上，老師向?qū)W生們介紹了高爾頓釘板放學(xué)后，愛動(dòng)腦的小明設(shè)計(jì)了一個(gè)不一樣的“高爾頓釘板”，它使小球在從釘板上一層的兩顆釘子之間落下后砸到下一層的釘子上時(shí)，向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.當(dāng)有大量的小球依次滾下時(shí)，最終都落入釘板下面的5個(gè)不同位置.若一個(gè)小球從正上方落下，經(jīng)過5層釘板最終落到4號(hào)位置的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】向左下落的概率為向右下落的概率的2倍.所以向左下落的概率為，向右下落的概率為，則下落的過程中向左一次，向右三次才能最終落到4號(hào)位置，故此時(shí)概率為：.故選：A5.函數(shù)圖象的一條對稱軸為直線，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，，，其中，，由函數(shù)圖象的一條對稱軸為直線，即有，即，又，故，故.故選：C.6.已知點(diǎn)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓B上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的角平分線的對稱點(diǎn)N也在橢圓B上，若，則橢圓B的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】點(diǎn)關(guān)于的角平分線的對稱點(diǎn)N必在上，因此共線，，，設(shè)，則，，，又，∴，中，由余弦定理得：，∴，化簡得，∴，，中，，由余弦定理得，解得，故選：B．7.已知函數(shù)定義域?yàn)椋?，，，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由條件得，，，在上遞增.由得，則或．故選：B．8.在△中，為的角平分線（在線段上），，當(dāng)取最小值時(shí)，（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，，則，則在中由余弦定理可得，即，所以，由角平分線定理可得，所以.又，故，化簡得①，而在△中由余弦定理，代入①得.又因?yàn)椋?，所以，?所以，所以，令或（舍去），所以當(dāng)時(shí)，f'x<0，則當(dāng)時(shí)，f'x>0，則所以時(shí)，取得最小值，即取得最小值.所以取得最小值時(shí)，.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知是關(guān)于的方程的兩根，則（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】關(guān)于的二次方程．當(dāng)時(shí)，，所以，，但不一定成立．當(dāng)時(shí)，，是方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，仍成立，此時(shí)，故A正確，B錯(cuò)誤．若，方程的兩根為，所以互為共軛復(fù)數(shù)，C正確．若，由于，所以，D正確．故選：ACD10.如圖，圓錐的底面直徑和母線長均為，其軸截面為，為底面半圓弧上一點(diǎn)，且，，，則（）A.存在，使得B.當(dāng)時(shí)，存在，使得平面C.當(dāng)，時(shí)，四面體的體積為D當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】對于A，，則與不可能垂直，若，則面，則，則面矛盾，A錯(cuò)．對于B，取中點(diǎn)，則，過作交于點(diǎn)，此時(shí)為中點(diǎn)，則面平面，∴平面，對．對于D，如圖建系，，，，，，，，∴，∴，D對．對于C,時(shí)，，時(shí)，到平面的距離是到平面距離的.，其中表示到平面的距離，是到平面距離，，C對，故選：BCD．11.已知圓和圓的交點(diǎn)為，則（）A.公共弦所在直線的方程為B.線段的中垂線方程為C.公共弦的長為D.為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則到直線距離的最大值為【答案】AB【解析】對于A，因?yàn)閳A和圓，圓心距，且,兩圓相交，將兩式作差可得公共弦AB所在直線的方程為，即，故選項(xiàng)A正確；對于B，因?yàn)閳A的圓心為，，則線段AB中垂線的斜率為，即線段AB中垂線方程為，整理可得，故選項(xiàng)B正確；對于C，圓心到直線的距離為，又圓的半徑r=1，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心到直線的距離為，又圓的半徑r=1，所以點(diǎn)到直線AB距離的最大值為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，，則的最小值為___.【答案】##【解析】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，由，，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為．故答案為：.13.在數(shù)列中，，若對于任意的恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為______.【答案】【解析】由，得，又，故數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，則不等式可化為，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，即實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：.14.已知點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)．若以點(diǎn)P，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓與拋物線有公共點(diǎn)，則橢圓的離心率的最大值為______．【答案】【解析】由拋物線方程得，準(zhǔn)線方程為，又點(diǎn)，則，在拋物線上取點(diǎn)H，過H作HG垂直直線，交直線于點(diǎn)G，過P作PM垂直直線，交直線于點(diǎn)M，由橢圓和拋物線定義得，故橢圓離心率．故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.在中，內(nèi)角的對邊分別是，，．（1）求角；（2）若，求邊上的角平分線長；（3）若為銳角三角形，求邊上的中線的取值范圍．解：（1）在中，由正弦定理及，得，即，而，，解得，又，所以.（2）由及，余弦定理得，又，解得，由得，即，則，所以.（3）因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，則，由正弦定理得，即，為銳角三角形，，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即邊上的中線的取值范圍為．16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)（）處的切線記為．①求的方程；②設(shè)的交點(diǎn)構(gòu)成，試判斷的形狀（銳角、鈍角或直角三角形）并加以證明．（2）討論的極值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，①因?yàn)椋?，所以的方程?②為鈍角三角形，證明如下:由①知的方程為，又，，所以的方程為，即，又，，所以的方程為，即，由，得到，所以，由，得到，所以，由，得到，所以，得到，，則，注意到，所以，得到，又B∈0,π，所以，即為鈍角三角形.（2）因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，由，得到，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)是的極小值點(diǎn)，極小值為，無極大值，當(dāng)時(shí)，由，得到或，又，若，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，是的極大值點(diǎn)，極大值為，是的極小值點(diǎn)，極小值為，若，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，是的極大值點(diǎn)，極大值為，是的極小值點(diǎn)，極小值為.綜上，當(dāng)時(shí)，極小值為，無極大值，當(dāng)時(shí)，極大值為，極小值為.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在線段上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：為棱的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2），，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，又，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，為棱的中點(diǎn)，，（i），，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，，平面的一個(gè)法向量為，，根據(jù)圖形得二面角為鈍角，則二面角的余弦值為（ii）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是，設(shè)，，則，，由（2）知平面的一個(gè)法向量為，，點(diǎn)到平面的距離是,，，.18.已知橢圓的離心率為，其左頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，求的面積.解：（1）由已知橢圓左頂點(diǎn)為，到點(diǎn)的距離為，解得，又橢圓離心率，解得，所以橢圓方程為：；（2）如圖所示，設(shè)，，由于和為橢圓上兩點(diǎn)，兩式相減，得，整理得，設(shè)，由得為線段的中點(diǎn)，，，由在線段所在直線上，且坐標(biāo)為2,1，則有，即，所以，故，設(shè)直線，，聯(lián)立直線與橢圓方程，得，整理得，則，得且，且，，，點(diǎn)到直線的距離為，，且，記，，令，及得，所以在時(shí)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)直線方程為，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為，19.函數(shù).（1）時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，曲線上兩點(diǎn)、連線斜率記為，求證：.（3）盒子中有編號(hào)為的個(gè)小球（除編號(hào)外無區(qū)別），有放回的隨機(jī)抽取個(gè)小球，記抽取的個(gè)小球編號(hào)各不相同的概率為，求證：.解：（1）當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?,