福建省福州市福清市高中聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福州市福清市高中聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前、考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致、2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答.在試題卷上作答，答案無(wú)效.3.考試結(jié)束，考生必須將答題卡交回.第I卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線(xiàn)與直線(xiàn)間的距離為2，則（）A.或4 B.4 C.或6 D.或16【答案】D【解析】由題意可知，直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)間的距離為2，所以，解得或.故選：D.2.已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可得，故該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：C.3.已知，，，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】因?yàn)椋?，，．設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為d，則．故選：C.4.已知拋物線(xiàn)：的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿(mǎn)足這樣條件的的條數(shù)為（）A4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】由拋物線(xiàn)：的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，即與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程組，消元得，當(dāng)時(shí)，與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，得，此時(shí)，與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).所以過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)有三條與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).故選：B5.已知點(diǎn)，，H是直線(xiàn)：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則，解得，即，所以．故選：A.6.已知三棱錐，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的重心，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，連接,因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以,所以故選：A.7.已知，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則面積最大值為（）A.24 B.15 C.12 D.6【答案】C【解析】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，去分母，兩邊平方，，化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)和為焦點(diǎn)的橢圓，，當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，面積最大.故選：C8.在正方體中，點(diǎn)滿(mǎn)足，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則,所以設(shè)，則，因?yàn)椋?，即，解得所?設(shè)平面的法向量為，則,即，令，則，所以.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知方程表示曲線(xiàn)Γ，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則Γ是軸 B.若，則Γ是圓C.若，則Γ是橢圓 D.若Γ是雙曲線(xiàn)，則【答案】BC【解析】若，方程為，則Γ是軸，A錯(cuò)誤；若，方程為，則Γ是圓，B正確；若，則方程，其中，且，則Γ是橢圓，C正確；若Γ是雙曲線(xiàn)，則，得或，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知點(diǎn)，，直線(xiàn)：與線(xiàn)段有交點(diǎn)，則可以為（）A.6 B.2 C.1 D.-1【答案】ABC【解析】由直線(xiàn)：，可得，故過(guò)定點(diǎn)，斜率為，所以而的斜率不存在，結(jié)合圖形可知：，即.故選：ABC.11.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線(xiàn)的方程為B.當(dāng)最大時(shí)，C.當(dāng)最小時(shí)，D.圓上到直線(xiàn)的距離等于1的點(diǎn)只有1個(gè)【答案】ABC【解析】由點(diǎn)，，直線(xiàn)的方程為，即，A正確；點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離小于10，A選項(xiàng)正確；由，可得圓心，所以如圖：當(dāng)最大或最小時(shí)，此時(shí)與圓相切，且有圓心到的距離為，利用勾股定理可得：，故B、C選項(xiàng)正確;所以圓心到直線(xiàn)的距離，直線(xiàn)與圓相離，且所以點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離的最大值為，點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離的最小值為，圓上到直線(xiàn)AB的距離等于1的點(diǎn)有2個(gè),D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.12.如圖，圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為.點(diǎn)A，B，M是底面圓周上三個(gè)不同的點(diǎn)，且.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.三棱錐體積的最大值為B.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與所成角為45°C.存在點(diǎn)M，使得直線(xiàn)與所成角為30°D.當(dāng)直線(xiàn)與成60°角時(shí)，與所成角為60°【答案】BD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，如圖，要使三棱錐體積最大，則須使面積最大，因,取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)與底面圓交于點(diǎn)，此時(shí)面積最大，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，如圖，因平面,平面，則,因，,則平面，又平面,則,即三點(diǎn)共線(xiàn)，故直線(xiàn)與所成角即,顯然該角為45°，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，如圖，不妨分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,因點(diǎn)在底面圓上一動(dòng)點(diǎn)，故可設(shè)為且，則，設(shè)直線(xiàn)與所成角為，則，因，故，又因，故，故不存在點(diǎn)M，使得直線(xiàn)與所成角為30°，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由C項(xiàng)建系，可得：因直線(xiàn)與成60°，則，解得：，又設(shè)與所成角為，則，因，故，故D項(xiàng)正確.故選：BD.第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與以為方向向量的直線(xiàn)平行，則的方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】由題意可知：直線(xiàn)的方向向量為，則直線(xiàn)的斜率，所以直線(xiàn)的方程為，即.故答案為：.14.圓與圓的公共弦長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】【解析】因?yàn)閳A與圓，兩圓方程相減得，因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，則到此直線(xiàn)距離為，所以?xún)蓤A相交，直線(xiàn)為兩圓的公共弦所在直線(xiàn)，則所求公共弦長(zhǎng)為．故答案為：．15.在正三棱柱中，，動(dòng)點(diǎn)P在棱上，則點(diǎn)P到平面的距離為_(kāi)_____.【答案】【解析】在正三棱柱中，若，平面，平面，所以平面，動(dòng)點(diǎn)P在棱上，所以P到平面的距離等于到平面的距離，由勾股定理可得，在等腰三角形中，底邊上的高長(zhǎng)為，所以等腰三角形的面積為，由正三棱錐性質(zhì)可得，，且平面平面，平面平面，所以到平面的距離為到的距離，設(shè)點(diǎn)B1到平面的距離為，，故答案為：16.已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn).若的左支上存在點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【解析】因?yàn)?，，所?又因?yàn)?，連接，可知，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，所以，即，所以，又，所以的離心率的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)，都在上.（1）求線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的方程；（2）求的標(biāo)準(zhǔn)方程解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)，，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)為因?yàn)橹本€(xiàn)的斜率為，所以垂直平分線(xiàn)的斜率不存在.所以垂直平分線(xiàn)的方程為；（2）解法一：因?yàn)殛P(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則可設(shè)的方程為，又因?yàn)辄c(diǎn)，在上，所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法二：因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為圓心，由，解得，故圓心.又因?yàn)?所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.18.已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的直徑為2，點(diǎn)，點(diǎn)是：上的動(dòng)點(diǎn)，記線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡為Γ.（1）求Γ的方程；（2）判斷Γ與的位置關(guān)系.解：（1）設(shè)，由題意知，則，又點(diǎn)在上，所以，所以Γ的方程為.（2）因?yàn)榈闹睆綖?，故圓心為，半徑.由（1）可知Γ的圓心，半徑.所以，又因?yàn)?，，，即，所以點(diǎn)N的軌跡與的位置關(guān)系是相交.19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，E，F(xiàn)分別為棱，中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若平面平面，且，求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.解：（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱，中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)椋?，，E為棱中點(diǎn)，所以.所以四邊形平行四邊形，故.因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)椋矫?，所以平面平面；?）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以平?因?yàn)椋云矫?，因?yàn)椋?以E為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.可得，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量，則所以取，則.則.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則.因?yàn)?，所?故直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為.20.在直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)Γ：上的點(diǎn)M與Γ的焦點(diǎn)F的距離為2，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為.（1）求Γ的方程：（2）直線(xiàn)：與Γ交于A，B兩點(diǎn)，求的面積.解：（1）因?yàn)椋鶕?jù)拋物線(xiàn)的定義知點(diǎn)到Γ的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2，因?yàn)辄c(diǎn)到軸的距離為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在Γ：上，所以，即，因?yàn)?，所以，所以Γ的方程為；?）由（1）可知Γ的焦點(diǎn)，：經(jīng)過(guò)Γ的焦點(diǎn)，由，得，設(shè)，，則，，所以，因此的面積.21.如圖1，在邊長(zhǎng)為4的正方形中，是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，將，分別沿，折疊，使B，D點(diǎn)重合于點(diǎn)P，如圖2所示.（1）證明：平面平面；（2）在四棱錐中，，求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）解法一：在正方形中，，.所以在四棱錐中，，.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，所以為二面角的平面角，因?yàn)樵谡叫沃?，，所以在四棱錐中，.所以，即二面角為直二面角，所以平面平面；解法二：在正方形中，M，N分別是，的中點(diǎn)，所以在四棱錐中，，.所以全等于，所以，即.又在正方形中，，所以在四棱錐中，.由于，平面，所以平面因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解法一：由（1）得，，，兩兩垂直.以P為原點(diǎn)，分別以，，所在直線(xiàn)為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，可得，，，設(shè)平面的法向量，則，所以，取，則，設(shè)平面的法向量，則，所以，取，則，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.解法二：依題，，，，所以平面，所以.設(shè)，可得.由，，得平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?過(guò)作垂直，垂足，以為原點(diǎn)，過(guò)作的平行線(xiàn)為x軸，，所在直線(xiàn)為y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系在直角中，，，，可得，，，，所以，，可得，，，設(shè)平面法向量，則，所以，取，則，取平面的一個(gè)法向量，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.22.設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線(xiàn)，相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為，動(dòng)點(diǎn)