人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn)清單 專(zhuān)題04 圓（14個(gè)考點(diǎn)梳理+20種題型解讀+6種方法解讀）

專(zhuān)題04圓（14個(gè)考點(diǎn)梳理+20種題型解讀+6種方法解讀）【清單01】圓的有關(guān)概念1.圓的定義圓的定義[動(dòng)態(tài)]:如圖，在一個(gè)平面內(nèi)線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓，其中，點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.圓的定義[靜態(tài)]:圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，其中，定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑.2.弦與直徑弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.3.弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧.弧用符號(hào)“”表示，以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作：“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如右圖中的劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧，如右圖中的.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.4.同圓、等圓、同心圓同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.等圓：能夠完全重合的圓叫做等圓.同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓【清單02】圓心角與圓周角圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.兩個(gè)特征：①頂點(diǎn)在圓心；②角的兩邊是半徑，二者缺一不可．圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.兩個(gè)特征：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可．【清單03】垂徑定理定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.【清單04】圓周角定理及推論圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.（即：圓周角=12圈周角定理運(yùn)用需滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:1)圓心角和圓周角在同圓或等圓中;2)它們對(duì)著同一條弧或者所對(duì)的弧是等弧.【清單05】圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)定理圓內(nèi)接四邊形：如果四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形.這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).如圖，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.如圖，∠1=∠2【清單06】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓共有三種位置關(guān)系，分別是點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外，如下表所示：已知⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，【清單07】三角形的外接圓與外心三角形外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形的外心：三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn).三角形的外心的性質(zhì)：三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，等于外接圓半徑.【清單08】直線與圓的位置關(guān)系直線和圓共有三種位置關(guān)系，分別是相離，相切，相交，如下表所示：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d【清單09】切線的性質(zhì)定理與切線的判定定理切線的定義：線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這條直線叫圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.（實(shí)際上過(guò)切點(diǎn)的半徑也可理解為過(guò)切點(diǎn)的直徑或經(jīng)過(guò)切點(diǎn)與圓心的直線）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.【清單10】切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．【清單11】三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.【注意】一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，而一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形.三角形的內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分性的交點(diǎn).三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：內(nèi)心到三角形各邊的距離相等.【清單12】正多邊形與圓中心一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.中心角正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.邊心距正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.【清單13】弧長(zhǎng)與扇形面積公式弧長(zhǎng)公式：(n為圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑).扇形的面積公式：(n為圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑)=(l是n°為圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)).【清單14】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖及圓錐的側(cè)面積母線：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.圓錐側(cè)面積公式：（其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式：（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的底面半徑r，高h(yuǎn)，母線長(zhǎng)l之間可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，所以滿(mǎn)足r2【考點(diǎn)題型一】圓的基本概念辨析1．（22-23九年級(jí)上·河北邯鄲·期末）下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（

）A．經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)M B．以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑C．以長(zhǎng)為半徑 D．以點(diǎn)O為圓心2．（22-23九年級(jí)上·河北石家莊·期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．長(zhǎng)度相等的弧是等弧 B．直徑是圓中最長(zhǎng)的弦C．弧是半圓 D．三點(diǎn)確定一個(gè)圓3．（23-24九年級(jí)上·廣西防城港·期末）下列判斷正確的是（）A．弦心距相等則弦也相等B．不與直徑垂直的弦，不可能被該直徑平分C．在兩個(gè)圓中，若有兩條弦相等，則這兩條弦所對(duì)的弧一定相等D．弦的垂直平分線必定經(jīng)過(guò)圓心4．（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．長(zhǎng)度相等的弧是等弧 B．在同圓或等圓中，弦相等則所對(duì)的弧相等C．優(yōu)弧一定比劣弧長(zhǎng) D．在同圓或等圓中，圓心角相等則所對(duì)的弦相等【考點(diǎn)題型二】利用垂徑定理求解常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：1）有弦無(wú)垂徑時(shí)，可過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長(zhǎng)度；2）有弦中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.5．（22-23九年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為E，連接，若，則弦的長(zhǎng)為．6．（23-24九年級(jí)上·福建龍巖·期末）《夢(mèng)溪筆談》是我國(guó)古代科技著作，其中它記錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是的弦，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在上，于點(diǎn)N．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)l的近似值計(jì)算公式：．當(dāng)，時(shí)，l的值為．7．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為的經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．8．（22-23九年級(jí)上·北京密云·期末）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，垂足為D．(1)求證：；(2)已知的半徑為5，，求長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型三】利用垂徑定理解決實(shí)際問(wèn)題9．（24-25九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）簡(jiǎn)車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，如圖，點(diǎn)P表示簡(jiǎn)車(chē)的一個(gè)盛水桶，如圖2．當(dāng)簡(jiǎn)車(chē)工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦長(zhǎng)為，簡(jiǎn)車(chē)工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為．則圓的半徑為．10．（24-25九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑，水面寬，某天下雨后，水面寬度變?yōu)?，則此時(shí)排水管水面上升了．11．（2024·江蘇南京·一模）圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用．如圖，某園林中圓弧形門(mén)洞的頂端到地面的高度為，地面入口的寬度為，門(mén)枕的高度為，則該圓弧所在圓的半徑為m．12．（23-24九年級(jí)下·上海寶山·期中）為傳承海派文化，社區(qū)準(zhǔn)備舉辦滬劇愛(ài)好者觀摩演出活動(dòng)．把某場(chǎng)館的一個(gè)正方形區(qū)域改造成一個(gè)由矩形和半圓形組成的活動(dòng)場(chǎng)地（如圖），矩形是觀眾觀演區(qū)，陰影部分是舞臺(tái)，是半圓O的直徑，弦與平行．已知長(zhǎng)8米，舞臺(tái)區(qū)域最大深度為2米，如果每平方米最多可以坐3名觀眾，那么觀演區(qū)可容納名觀眾．【考點(diǎn)題型四】利用弧，弦，圓心角關(guān)系求解/證明13．（24-25九年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的度數(shù)為．14．（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，在中，是的直徑，是上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值是．15．（24-25九年級(jí)上·遼寧盤(pán)錦·期中）如圖，在中，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)(1)求證：．(2)若，，求四邊形的面積．16．（24-25九年級(jí)上·江西九江·期中）追本溯源題（1）來(lái)自課本中的習(xí)題，請(qǐng)你完成解答，提煉方法并解答題（2）．(1)如圖1，，比較與的長(zhǎng)度，并證明你的結(jié)論．方法應(yīng)用(2)如圖2，，是的兩條弦，點(diǎn)，分別在，上，連接，，且，是的中點(diǎn)．①求證：．②若圓心到的距離為3，的半徑是6，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型五】判斷三角形外接圓圓心位置17．（24-25九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，在坐標(biāo)系中，、、．(1)經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)這個(gè)圓的半徑為：_______；(3)直接判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系．點(diǎn)在________．（填“內(nèi)”、“外”、“上”）18．（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為小正方形的格點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺作圖（保留痕跡，描出必要的格點(diǎn)）．(1)在圖1中作出的外心D；(2)圖2中D是的中點(diǎn)，作出邊上的點(diǎn)F（不與點(diǎn)B重合），使得．【考點(diǎn)題型六】求特殊三角形外接圓的半徑19．（22-23八年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）（1）如圖，已知，用尺規(guī)作圖畫(huà)出的外接圓（不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡）；（2）若是直角三角形，且，，則的外接圓的半徑為_(kāi)_____．20．（21-22九年級(jí)下·湖北武漢·自主招生）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，以這兩個(gè)根作為等腰的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)，這樣的等腰三角形有且僅有一個(gè)．(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)m取最大值時(shí)，求該等腰三角形外接圓半徑．21．（22-23九年級(jí)上·廣東廣州·期末）老師給小明出了一道題，小明感到有困難，請(qǐng)你幫助小明解決這個(gè)問(wèn)題，題目是這樣的：一個(gè)三角形兩邊長(zhǎng)分別是3和4，第三邊長(zhǎng)是的一個(gè)實(shí)數(shù)根，請(qǐng)結(jié)合作圖求這個(gè)三角形的外接圓面積．【考點(diǎn)題型七】利用圓周角定理求解22．（24-25九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，、是的弦，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)P，已知，，則的度數(shù)是．23．（24-25九年級(jí)上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）如圖，內(nèi)接于，，，于點(diǎn)．若的半徑為，則CD的長(zhǎng)為．24．（24-25九年級(jí)上·廣西南寧·期中）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上，點(diǎn)A，B的讀數(shù)分別為，，則的度數(shù)是．25．（24-25九年級(jí)上·山東濰坊·期中）如圖，是的直徑，A，B，C是上的三點(diǎn)，，點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，若的半徑為2，則的最小值為．【考點(diǎn)題型八】利用圓周角定理推論求解26．（24-25九年級(jí)上·山東濱州·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，的平分線交于點(diǎn)D．若，求的長(zhǎng)．27．（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·期中）（1）如圖1，是的直徑，點(diǎn)C在圓上，若，求的半徑；（2）如圖2，是的直徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，，若，，求的半徑；（3）如圖3，點(diǎn)在上，，若，求的半徑．28．（22-23九年級(jí)上·廣西河池·期末）已知四邊形內(nèi)接于，．(1)如圖1，連接，若的半徑為6，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，連接，若，，對(duì)角線平分，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型九】已知圓內(nèi)接四邊形求角度解題方法：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理為證明兩角相等或互補(bǔ)提供了依據(jù).在求角的度數(shù)時(shí)往往綜合運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及其推論等知識(shí)建立所求角與已知條件的聯(lián)系.29．（24-25九年級(jí)上·云南玉溪·期中）點(diǎn)A、B、C都在上，如果，那么的度數(shù)是．30．（24-25九年級(jí)上·山東德州·期中）如圖，是半圓的直徑，為圓心，是半圓上的點(diǎn)，是上的點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為．31．（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）在中，弦所對(duì)的圓心角是，則弦所對(duì)的圓周角為．32．（24-25九年級(jí)上·河南開(kāi)封·期中）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，，若點(diǎn)A0,3，則圓的直徑長(zhǎng)為．【考點(diǎn)題型十】利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑解題方法：根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑比較大小，從而得到位置關(guān)系.設(shè)半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d1）若d＜r，則點(diǎn)P在圓內(nèi)；2）若d=r，則點(diǎn)P在圓上；3）若d＞r，則點(diǎn)P在圓外.33．（21-22九年級(jí)上·陜西安康·期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，以A為圓心，r為半徑作，若點(diǎn)B，D，C均在外，求r的取值范圍．34．（21-22九年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)．(1)若以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑作⊙O，且點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以點(diǎn)B為圓心，以r為半徑作⊙B，且點(diǎn)O，A，C中有兩個(gè)點(diǎn)在⊙B內(nèi)，有一個(gè)點(diǎn)在⊙B外，求r的取值范圍．【考點(diǎn)題型十一】利用直線和圓的位置關(guān)系求解35．（24-25九年級(jí)上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，r為半徑作．

(1)當(dāng)r滿(mǎn)足什么條件時(shí)，與的邊有2個(gè)公共點(diǎn)？(2)當(dāng)r滿(mǎn)足什么條件時(shí)，與的邊有3個(gè)公共點(diǎn)？(3)當(dāng)r滿(mǎn)足什么條件時(shí)，與的邊有4個(gè)公共點(diǎn)？36．（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知：中，，以點(diǎn)C為圓心，作半徑為的圓.問(wèn)：(1)當(dāng)R為何值時(shí)，和直線相離？(2)當(dāng)R為何值時(shí)，和直線相切？(3)當(dāng)R為何值時(shí)，和直線相交？【考點(diǎn)題型十二】切線的性質(zhì)與判定綜合37．（24-25九年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）如圖，以點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為直徑作圓，在上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，連接，，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：CD是的切線(2)若，，則的長(zhǎng)38．（24-25九年級(jí)上·山東日照·期中）如圖，是的直徑，是的切線，，在圓上取一點(diǎn)C，使得，延長(zhǎng)、，交點(diǎn)為D．(1)求證：與相切；(2)若，求的半徑．39．（2023·山東淄博·二模）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，交于，交于，．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，，求的長(zhǎng)．40．（23-24九年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）如圖，在中，，以為直徑的與AB邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【考點(diǎn)題型十三】應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求解41．（24-25九年級(jí)上·四川廣元·期中）如圖所示，的半徑是4，、分別與相切于點(diǎn)A、點(diǎn)B，若與之間的夾角．(1)若點(diǎn)C是圓周上的一動(dòng)點(diǎn)，的大小為定值嗎？若是定值，請(qǐng)求出它的度數(shù)．(2)求的周長(zhǎng)．42．（24-25九年級(jí)上·江蘇連云港·期中）如圖，是半圓的直徑，和是它的兩條切線，切點(diǎn)分別為，平分．(1)求證：是半圓的切線．(2)若，，求的長(zhǎng)．43．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．(1)圖1中三組相等的線段分別是，，；若，，則半徑長(zhǎng)為；(2)如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N．求證：是的切線．【考點(diǎn)題型十四】正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算44．（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·期中）如圖，將的圓周12等份，圓內(nèi)接矩形的面積為20，則圓內(nèi)接正六邊形面積為．45．（24-25九年級(jí)上·江蘇淮安·期中）如圖，在正五邊形中，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)N，則．46．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）一個(gè)半徑為5的圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)等于．47．（20-21九年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為48．（23-24九年級(jí)下·上海靜安·階段練習(xí)）對(duì)角線條數(shù)和自身邊數(shù)相同的正多邊形的中心角度數(shù)為．【考點(diǎn)題型十五】利用弧長(zhǎng)公式求解49．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）扇形的圓心角為，半徑為，則弧長(zhǎng)是．50．（23-24九年級(jí)上·天津?yàn)I海新·期末）扇形的弧長(zhǎng)為，弧所對(duì)的圓心角為，則此扇形的半徑為．51．（23-24九年級(jí)上·甘肅平?jīng)觥て谀┮阎刃蔚陌霃綖椋刃蔚幕￠L(zhǎng)為，則此扇形的圓心角是．【考點(diǎn)題型十六】利用扇形面積公式求解52．（23-24九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）已知一個(gè)扇形的圓心角為，其弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為．53．（20-21九年級(jí)上·北京大興·期末）若扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的面積為．54．（23-24九年級(jí)上·山東濰坊·期末）現(xiàn)在很多家庭都使用折疊型餐桌來(lái)節(jié)省空間，兩邊翻開(kāi)后成為圓形桌面（如圖①），餐桌兩邊和平行且相等，（如圖②），小華用皮尺量得米，米，那么桌面翻成圓桌后，桌子面積會(huì)增加平方米．【考點(diǎn)題型十七】求不規(guī)則的圖形面積55．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，在中，是的內(nèi)切圓，若，則圖中陰影部分的面積為．56．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，圍成的面積（圖中陰影部分面積）為．57．（23-24九年級(jí)上·重慶九龍坡·期末）如圖，在扇形中，，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，交弧于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)D，若，則陰影部分的面積為．58．（23-24九年級(jí)上·福建福州·期末）如圖，在扇形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，交點(diǎn)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，，則圖中陰影部分的面積為．【考點(diǎn)題型十八】利用圓錐的側(cè)面積公式求解59．（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·期末）圓錐底面圓半徑為，高為，則它側(cè)面展開(kāi)圖的面積是．60．（23-24九年級(jí)上·云南昭通·期末）用一個(gè)圓心角為，半徑為2的扇形圍城一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為．61．（22-23九年級(jí)上·山東威?！て谀┤裟骋粓A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為的半圓，則這個(gè)圓錐的高是cm．62．（23-24九年級(jí)上·云南德宏·期末）某圓錐形生日帽子的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，將該帽子沿母線剪開(kāi)，則其側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角為．【考點(diǎn)題型十九】圓錐的實(shí)際問(wèn)題63．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）湖南是全國(guó)13個(gè)糧食主產(chǎn)省之一，水稻播種面積、總產(chǎn)量均居全國(guó)第一．2024年3月19日，習(xí)近平總書(shū)記來(lái)到常德市鼎城區(qū)謝家鋪鎮(zhèn)港中坪村，走進(jìn)當(dāng)?shù)丶Z食生產(chǎn)萬(wàn)畝綜合示范片區(qū)，察看秧苗培育和春耕備耕進(jìn)展．如圖為某農(nóng)戶(hù)家的圓錐形糧倉(cāng)示意圖，已知其底面周長(zhǎng)為米，高度為米，則此糧倉(cāng)的側(cè)面積為．（結(jié)果保留）64．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖所示是一個(gè)側(cè)面積為的圓錐形冰淇淋外殼(不計(jì)厚度)，若其底面圓的半徑為，則它的母線長(zhǎng)為cm．65．（22-23九年級(jí)下·河北承德·階段練習(xí)）如圖漏斗，圓錐形內(nèi)壁的母線長(zhǎng)為，開(kāi)口直徑為．（1）因直管部分堵塞，漏斗內(nèi)灌滿(mǎn)了水，則水深；（2）若將貼在內(nèi)壁的濾紙（忽略漏斗管口處）展開(kāi)，則展開(kāi)濾紙的圓心角為．66．（21-22九年級(jí)上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖，是一個(gè)工件的三視圖，則此工件的全面積是cm2．【考點(diǎn)題型二十】圓錐側(cè)面上的最短路徑67．（22-23九年級(jí)·廣東廣州·自主招生）如圖所示，圓錐的母線長(zhǎng)，為母線的中點(diǎn)，為圓錐底面圓的直徑，兩條母線、形成的平面夾角．在圓錐的曲面上，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)是．

68．（22-23八年級(jí)上·重慶·期中）如圖1，一只螞蟻從圓錐底端點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)，將圓錐沿母線剪開(kāi)，其側(cè)面展開(kāi)圖如圖2所示，若，，則螞蟻爬行的最短距離是．

專(zhuān)題04圓（14個(gè)考點(diǎn)梳理+20種題型解讀+6種方法解讀）【清單01】圓的有關(guān)概念1.圓的定義圓的定義[動(dòng)態(tài)]:如圖，在一個(gè)平面內(nèi)線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓，其中，點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.圓的定義[靜態(tài)]:圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，其中，定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑.2.弦與直徑弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.

直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑.3.弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等弧?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧.弧用符號(hào)“”表示，以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作：“圓弧AB”或“弧AB”.半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如右圖中的劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧，如右圖中的.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.4.同圓、等圓、同心圓同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓.等圓：能夠完全重合的圓叫做等圓.同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓【清單02】圓心角與圓周角圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.兩個(gè)特征：①頂點(diǎn)在圓心；②角的兩邊是半徑，二者缺一不可．圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.兩個(gè)特征：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可．【清單03】垂徑定理定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.【清單04】圓周角定理及推論圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.（即：圓周角=12圈周角定理運(yùn)用需滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件:1)圓心角和圓周角在同圓或等圓中;2)它們對(duì)著同一條弧或者所對(duì)的弧是等弧.【清單05】圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)定理圓內(nèi)接四邊形：如果四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形.這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ).如圖，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角.如圖，∠1=∠2【清單06】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓共有三種位置關(guān)系，分別是點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓外，如下表所示：已知⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，【清單07】三角形的外接圓與外心三角形外接圓：經(jīng)過(guò)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形.三角形的外心：三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn).三角形的外心的性質(zhì)：三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，等于外接圓半徑.【清單08】直線與圓的位置關(guān)系直線和圓共有三種位置關(guān)系，分別是相離，相切，相交，如下表所示：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d【清單09】切線的性質(zhì)定理與切線的判定定理切線的定義：線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，這條直線叫圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.（實(shí)際上過(guò)切點(diǎn)的半徑也可理解為過(guò)切點(diǎn)的直徑或經(jīng)過(guò)切點(diǎn)與圓心的直線）切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.【清單10】切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．【清單11】三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.【注意】一個(gè)三角形有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，而一個(gè)圓有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形.三角形的內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形三條內(nèi)角平分性的交點(diǎn).三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：內(nèi)心到三角形各邊的距離相等.【清單12】正多邊形與圓中心一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心.半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.中心角正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角.邊心距正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.【清單13】弧長(zhǎng)與扇形面積公式弧長(zhǎng)公式：(n為圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑).扇形的面積公式：(n為圓心角的度數(shù)，R為圓的半徑)=(l是n°為圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)).【清單14】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖及圓錐的側(cè)面積母線：連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.圓錐側(cè)面積公式：（其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式：（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的底面半徑r，高h(yuǎn)，母線長(zhǎng)l之間可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，所以滿(mǎn)足r2【考點(diǎn)題型一】圓的基本概念辨析1．（22-23九年級(jí)上·河北邯鄲·期末）下列條件中，能確定一個(gè)圓的是（

）A．經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)M B．以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑C．以長(zhǎng)為半徑 D．以點(diǎn)O為圓心【答案】B【分析】確定一個(gè)圓有兩個(gè)重要因素，一是圓心，二是半徑，據(jù)此可以得到答案．【詳解】解：∵圓心確定，半徑確定后才可以確定圓，∴B選項(xiàng)正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，確定圓要首先確定圓的圓心，然后也要確定半徑．2．（22-23九年級(jí)上·河北石家莊·期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．長(zhǎng)度相等的弧是等弧 B．直徑是圓中最長(zhǎng)的弦C．弧是半圓 D．三點(diǎn)確定一個(gè)圓【答案】B【分析】根據(jù)等弧、弦、弧的和定義和確定圓的條件逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等弧，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，所以B選項(xiàng)正確；C、弧不一定是半圓，而半圓是弧，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)概念，解題的關(guān)鍵是掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．3．（23-24九年級(jí)上·廣西防城港·期末）下列判斷正確的是（）A．弦心距相等則弦也相等B．不與直徑垂直的弦，不可能被該直徑平分C．在兩個(gè)圓中，若有兩條弦相等，則這兩條弦所對(duì)的弧一定相等D．弦的垂直平分線必定經(jīng)過(guò)圓心【答案】D【分析】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理及其推論是解題的關(guān)鍵．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）弦的垂直平分弦經(jīng)過(guò)圓心，并且平方弦所對(duì)的兩條??；（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直于平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。普?：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．【詳解】解：A、在同圓或等圓中，弦心距相等則弦也相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、一個(gè)圓的兩條直徑，雖不垂直，但一條一定平分另一條，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、必須在同圓或等圓中，若有兩條弦相等，則這兩條弦所對(duì)的弧一定相等，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、根據(jù)垂徑定理得到，故該選項(xiàng)正確．故選：D．4．（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．長(zhǎng)度相等的弧是等弧 B．在同圓或等圓中，弦相等則所對(duì)的弧相等C．優(yōu)弧一定比劣弧長(zhǎng) D．在同圓或等圓中，圓心角相等則所對(duì)的弦相等【答案】D【分析】根據(jù)圓心角，弧，弦之間的關(guān)系一一判斷即可．【詳解】A項(xiàng)，在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等弧，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，本項(xiàng)不符合題意；B項(xiàng)，在同圓或等圓中，弦所對(duì)的弧有優(yōu)弧或劣弧，兩弧不一定相等，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，本項(xiàng)不符合題意；C項(xiàng)，在同圓或等圓中，優(yōu)弧一定比劣弧長(zhǎng)，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，本項(xiàng)不符合題意；D項(xiàng)，在同圓或等圓中，圓心角相等則所對(duì)的弦相等，說(shuō)法正確，本項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角，弧，弦之間的關(guān)系．【考點(diǎn)題型二】利用垂徑定理求解常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：1）有弦無(wú)垂徑時(shí)，可過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長(zhǎng)度；2）有弦中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.5．（22-23九年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為E，連接，若，則弦的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．由題意易得，根據(jù)勾股定理可求的長(zhǎng)，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：連接，∵是的直徑，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．6．（23-24九年級(jí)上·福建龍巖·期末）《夢(mèng)溪筆談》是我國(guó)古代科技著作，其中它記錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是的弦，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，點(diǎn)M在上，于點(diǎn)N．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)l的近似值計(jì)算公式：．當(dāng)，時(shí)，l的值為．【答案】【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)垂徑定理，知，M，N，O共線，設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)勾股定理求出r，然后代入公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖：連接，∵點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴，∴M，N，O共線，∵，設(shè)圓的半徑為r，則，在中，根據(jù)勾股定理可得：，即，解得，∴，∴．故答案為：．7．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為的經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)垂徑定理得到，由，，可得，，，推出，再根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，，，，，，，，，的坐標(biāo)為，故答案為：．8．（22-23九年級(jí)上·北京密云·期末）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，垂足為D．(1)求證：；(2)已知的半徑為5，，求長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)8【分析】（1）由垂徑定理，得到，進(jìn)而得到，三線合一，得到，等邊對(duì)等角，得到，即可得出；（2）先求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，垂徑定理得到即可．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵的半徑為5，，∴，∵，∴，∵是的直徑，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，中垂線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型三】利用垂徑定理解決實(shí)際問(wèn)題9．（24-25九年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）簡(jiǎn)車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，如圖，點(diǎn)P表示簡(jiǎn)車(chē)的一個(gè)盛水桶，如圖2．當(dāng)簡(jiǎn)車(chē)工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，且圓心在水面上方，若圓被水面截得的弦長(zhǎng)為，簡(jiǎn)車(chē)工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為．則圓的半徑為．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。^(guò)O點(diǎn)作半徑于E，如圖，利用垂徑定理得到，設(shè)半徑為，根據(jù)題意得，再利用勾股定理列關(guān)于的方程，解方程即可．【詳解】解：過(guò)O點(diǎn)作半徑于E，如圖，∴，由題意得，，設(shè)半徑為，則，在中，，∴，解得：，∴圓的半徑為，故答案為：．10．（24-25九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑，水面寬，某天下雨后，水面寬度變?yōu)椋瑒t此時(shí)排水管水面上升了．【答案】10或70【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是垂徑定理，易錯(cuò)點(diǎn)是分類(lèi)討論水面在直徑是下方和上方．根據(jù)半徑為，則直徑為；又根據(jù)水面寬度為，則有兩種情況，水面在水面平行的直徑下方，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)；水面在水面平行的直徑上方，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，勾股定理，即可求出．【詳解】連接∵∴圓的直徑為∴水面在水面平行的直徑下方∴過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)∴且與交于點(diǎn)∵，∴，∴在直角三角形中，∴∴；在直角三角形中，∴∴∴上升的距離為水面在水面平行的直徑上方，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)同理可得，上升的距離為：．故答案為：10或70．11．（2024·江蘇南京·一模）圓在中式建筑中有著廣泛的應(yīng)用．如圖，某園林中圓弧形門(mén)洞的頂端到地面的高度為，地面入口的寬度為，門(mén)枕的高度為，則該圓弧所在圓的半徑為m．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)該門(mén)洞的半徑的半徑為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，則，由垂徑定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)該門(mén)洞的半徑的半徑為，如圖，過(guò)點(diǎn)圓心作于點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，則，∴，在中，由勾股定理得：，，解得：，即該門(mén)洞的半徑為，故答案為：．12．（23-24九年級(jí)下·上海寶山·期中）為傳承海派文化，社區(qū)準(zhǔn)備舉辦滬劇愛(ài)好者觀摩演出活動(dòng)．把某場(chǎng)館的一個(gè)正方形區(qū)域改造成一個(gè)由矩形和半圓形組成的活動(dòng)場(chǎng)地（如圖），矩形是觀眾觀演區(qū)，陰影部分是舞臺(tái)，是半圓O的直徑，弦與平行．已知長(zhǎng)8米，舞臺(tái)區(qū)域最大深度為2米，如果每平方米最多可以坐3名觀眾，那么觀演區(qū)可容納名觀眾．【答案】150【分析】本題考查了垂徑定理，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識(shí)，過(guò)O作于G，交弧于H，連接，利用垂徑定理求出，設(shè)半圓的半徑為r，在中，利用勾股定理求出半徑，從而可求矩形的面積，即可求解．【詳解】解：過(guò)O作于G，交弧于H，連接，則，，∵，，∴，設(shè)半圓的半徑為r，則，在中，，∴，解得，∴∴正方形邊長(zhǎng)，∴，∴矩形的面積為，∵每平方米最多可以坐3名觀眾，，∴觀演區(qū)可容納人，故答案為：150．【考點(diǎn)題型四】利用弧，弦，圓心角關(guān)系求解/證明13．（24-25九年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，已知是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得，再由計(jì)算的度數(shù)即可．【詳解】解：∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴．故答案為：．14．（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，在中，是的直徑，是上一動(dòng)點(diǎn)，的最小值是．【答案】10【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)最短路徑問(wèn)題，垂徑定理，圓心角與弧之間的關(guān)系，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接，則，可證明點(diǎn)C在上，再證明，得到三點(diǎn)共線，根據(jù)可得當(dāng)C、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，則的最小值為．【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連接，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得垂直平分，∴，∵是的直徑，∴點(diǎn)C在上，∴，∵，∴，∴，∴三點(diǎn)共線，∴，∵，∴當(dāng)C、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即此時(shí)最小，∴的最小值為，故答案為：10；15．（24-25九年級(jí)上·遼寧盤(pán)錦·期中）如圖，在中，為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)(1)求證：．(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)弧、圓心角的關(guān)系得平分．進(jìn)而利用角平分線的性質(zhì)定理即可得證．（2）連接由，得．進(jìn)而得．利用度直角三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理得，從而即可求得．同理，可得，于是即可得解．【詳解】（1）證明：如圖，連接為的中點(diǎn)，，，平分．又，，．（2）解：如圖，連接由（1）得，，．∵，∴，．，在中，，，．同理，可得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理，30度直角三角形的性質(zhì)及直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握弧、弦、圓心角的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)定理及勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．（24-25九年級(jí)上·江西九江·期中）追本溯源題（1）來(lái)自課本中的習(xí)題，請(qǐng)你完成解答，提煉方法并解答題（2）．(1)如圖1，，比較與的長(zhǎng)度，并證明你的結(jié)論．方法應(yīng)用(2)如圖2，，是的兩條弦，點(diǎn)，分別在，上，連接，，且，是的中點(diǎn)．①求證：．②若圓心到的距離為3，的半徑是6，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析；②【分析】本題考查了圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同圓或等圓中，弦、弧之間的關(guān)系得出即可；（2）根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)垂徑定理即可求解．【詳解】（1）解：．證明：，，，即．（2）解：①證明：是的中點(diǎn)，．，，，，．②如圖，過(guò)點(diǎn)作，是垂足，連接．在中，，，，．【考點(diǎn)題型五】判斷三角形外接圓圓心位置17．（24-25九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，在坐標(biāo)系中，、、．(1)經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)這個(gè)圓的半徑為：_______；(3)直接判斷點(diǎn)與的位置關(guān)系．點(diǎn)在________．（填“內(nèi)”、“外”、“上”）【答案】(1)(2)(3)外【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，也考查了垂徑定理和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（1）根據(jù)題意，的垂直平分線所在直線為，可知圓心M在直線為上，設(shè)，根據(jù)，可求出圓心M的坐標(biāo)；（2）由（1）求出，即可求圓的半徑長(zhǎng)；（3）根據(jù)，即可判斷D點(diǎn)的位置．【詳解】（1）解：、，的垂直平分線所在直線為，圓心M在直線為，設(shè)，，，解得，，故答案為：；（2）解：，，，圓的半徑長(zhǎng)為，故答案為：；（3）解：，，，，點(diǎn)在外，故答案為：外．18．（23-24九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D均為小正方形的格點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺作圖（保留痕跡，描出必要的格點(diǎn)）．(1)在圖1中作出的外心D；(2)圖2中D是的中點(diǎn)，作出邊上的點(diǎn)F（不與點(diǎn)B重合），使得．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．（1）如圖1中，分別作及的垂直平分線，相交于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求．（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，垂足即為點(diǎn)F，連接，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一親，可得．【詳解】（1）如圖1，點(diǎn)D即為的外心；（2）如圖2，點(diǎn)F即為所作；【考點(diǎn)題型六】求特殊三角形外接圓的半徑19．（22-23八年級(jí)下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）（1）如圖，已知，用尺規(guī)作圖畫(huà)出的外接圓（不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡）；（2）若是直角三角形，且，，則的外接圓的半徑為_(kāi)_____．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．【分析】本題考查了作圖—復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了三角形的外接圓和圓周角定理．（1）作和的垂直平分線，它們相交于點(diǎn)，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓即可；（2）根據(jù)圓周角定理得到為直角的直徑，從而得到的外接圓的半徑．【詳解】解：（1）如圖，為所作；（2），為的外接圓的直徑，的外接圓的半徑．故答案為：．20．（21-22九年級(jí)下·湖北武漢·自主招生）關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，以這兩個(gè)根作為等腰的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)，這樣的等腰三角形有且僅有一個(gè)．(1)求m的取值范圍；(2)當(dāng)m取最大值時(shí)，求該等腰三角形外接圓半徑．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式得出，根據(jù)這兩個(gè)根作為等腰的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)，這樣的等腰三角形有且僅有一個(gè)，得出，且，求出m的取值范圍即可；（2）先求出時(shí)，方程的解，得出該等腰三角形的三邊分別為，4，2，如圖，，，作其外接圓，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，設(shè)，根據(jù)勾股定理得出，解方程即可．【詳解】（1）解：∵有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，假設(shè)為a，b，且，∴，解得：，∵這兩個(gè)根作為等腰的底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)，這樣的等腰三角形有且僅有一個(gè)，∴，且，解得：；（2）解：把代入得：，解得：，，∴該等腰三角形的三邊分別為，4，2，如圖，，，作其外接圓，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，

∵，∴，，∴，設(shè)，∴，∵，∴，解得：．即該等腰三角形外接圓半徑為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，勾股定理，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．21．（22-23九年級(jí)上·廣東廣州·期末）老師給小明出了一道題，小明感到有困難，請(qǐng)你幫助小明解決這個(gè)問(wèn)題，題目是這樣的：一個(gè)三角形兩邊長(zhǎng)分別是3和4，第三邊長(zhǎng)是的一個(gè)實(shí)數(shù)根，請(qǐng)結(jié)合作圖求這個(gè)三角形的外接圓面積．【答案】或【分析】利用因式分解法求出三角形的第三邊長(zhǎng)，然后分兩種情況：當(dāng)?shù)谌呴L(zhǎng)是3時(shí)，當(dāng)?shù)谌呴L(zhǎng)是5時(shí)，結(jié)合三角形外接圓的性質(zhì)解答，即可．【詳解】解：，解得：，當(dāng)?shù)谌呴L(zhǎng)是3時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)為3，3，4，如圖，，點(diǎn)O為的外接圓，連接，交于點(diǎn)D，∵點(diǎn)O為的外接圓，，∴垂直平分，∴，∴，設(shè)，∵，∴，解得：，∴這個(gè)三角形的外接圓面積為；當(dāng)?shù)谌呴L(zhǎng)是5時(shí)，三角形三邊長(zhǎng)為3，4，5，如圖，，點(diǎn)O為的外接圓，連接，∵，∴，∴，∵點(diǎn)O為的外接圓，∴為圓O的直徑，∴，∴這個(gè)三角形的外接圓面積為；綜上所述，這個(gè)三角形的外接圓面積為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，三角形的外接圓，勾股定理，垂徑定理等知識(shí)，熟練掌握解一元二次方程，三角形的外接圓，勾股定理，垂徑定理，利用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型七】利用圓周角定理求解22．（24-25九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，、是的弦，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)P，已知，，則的度數(shù)是．【答案】20【分析】本題主要考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：連接，∵，∴，∵，∴，∴的度數(shù)是．故答案為：20．23．（24-25九年級(jí)上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期中）如圖，內(nèi)接于，，，于點(diǎn)．若的半徑為，則CD的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)；連接、，根據(jù)圓周角定理可得，由勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接、，∵，∴．又∵，∴．在中，∵，，∴；故答案為：2．24．（24-25九年級(jí)上·廣西南寧·期中）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上，點(diǎn)A，B的讀數(shù)分別為，，則的度數(shù)是．【答案】【分析】本題主要考查了圓周角定理．先根據(jù)A、B的度數(shù)得到，再根據(jù)同圓中同弧所對(duì)的圓周角度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，設(shè)量角器的中心為O，連接，∵點(diǎn)A，B的讀數(shù)分別為，，∴，∴，故答案為：．25．（24-25九年級(jí)上·山東濰坊·期中）如圖，是的直徑，A，B，C是上的三點(diǎn)，，點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，若的半徑為2，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．確定線段和最小的情況是解題的關(guān)鍵．如圖，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則，，，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，，，則，，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，值最小為，由勾股定理得，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，．∵，∴，∴，∵點(diǎn)B是弧的中點(diǎn)，∴，由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，，，∴，，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，值最小為，由勾股定理得，，故答案為：．【考點(diǎn)題型八】利用圓周角定理推論求解26．（24-25九年級(jí)上·山東濱州·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，是的弦，的平分線交于點(diǎn)D．若，求的長(zhǎng)．【答案】，【分析】本題考查圓周角定理，勾股定理及直徑對(duì)的圓周角為直角等知識(shí)；連接，易得，勾股定理求出的長(zhǎng)，角平分線結(jié)合圓周角定理得到，得到為等腰直角三角形，求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接，∵是的直徑，∴，∵，∴；∵的平分線交于點(diǎn)D，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴．27．（24-25九年級(jí)上·浙江寧波·期中）（1）如圖1，是的直徑，點(diǎn)C在圓上，若，求的半徑；（2）如圖2，是的直徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，，若，，求的半徑；（3）如圖3，點(diǎn)在上，，若，求的半徑．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本題主要考查直徑所對(duì)的圓周角的定理，勾股定理及平行四邊形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)是的直徑，可得，再根據(jù)勾股定理求出即可得出半徑．（2）作交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，得出四邊形是平行四邊形，由，再根據(jù)勾股定理得出即可得出半徑．（3）作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作于F，連接，得出四邊形是平行四邊形，，再根據(jù)勾股定理得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，，最后由勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）∵是的直徑，點(diǎn)C在上，∴，

，

∴的半徑為．（2）如圖，作交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵，∴四邊形是平行四邊形，且，

∴，，∴的半徑為．

（3）如圖，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作于F，連接，同（2）可得四邊形是平行四邊形，且，

∴，∵，∴，∴，，∴，，

∵，∴，作于，，，設(shè)，，則有，解得，，即的半徑為．28．（22-23九年級(jí)上·廣西河池·期末）已知四邊形內(nèi)接于，．(1)如圖1，連接，若的半徑為6，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，連接，若，，對(duì)角線平分，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)AC【分析】（1）由90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑得到是直徑，則，再利用勾股定理求解即可；（2）如圖2，連接，作于H，先利用勾股定理得到，再由角平分線的定義得到，則可證明，求出，由勾股定理可得．再證明是等腰直角三角形，同理可得．在中，，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）解：，是直徑，∵的半徑為6，．在中，由勾股定理，得，∵∴，；（2）解：如圖2，連接，作于H，，，，．平分，，，．四邊形內(nèi)接于，，，在中，由根據(jù)勾股定理，得，∴，∴．，∴是等腰直角三角形，同理可得．在中，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧與圓周角之間的關(guān)系，90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等等，熟知90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型九】已知圓內(nèi)接四邊形求角度解題方法：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理為證明兩角相等或互補(bǔ)提供了依據(jù).在求角的度數(shù)時(shí)往往綜合運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理及其推論等知識(shí)建立所求角與已知條件的聯(lián)系.29．（24-25九年級(jí)上·云南玉溪·期中）點(diǎn)A、B、C都在上，如果，那么的度數(shù)是．【答案】或【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形．根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，分類(lèi)求解即可．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)上時(shí)，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)C在劣上時(shí)，∴∴．故答案為：或．30．（24-25九年級(jí)上·山東德州·期中）如圖，是半圓的直徑，為圓心，是半圓上的點(diǎn)，是上的點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為．【答案】【分析】由直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理可得，然后利用等式的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，是半圓的直徑，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角是直角及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．31．（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）在中，弦所對(duì)的圓心角是，則弦所對(duì)的圓周角為．【答案】45或135【分析】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)E在優(yōu)弧上時(shí)，由圓周角定理得，，當(dāng)點(diǎn)D在劣弧上時(shí)，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為或．故答案為：45或135．32．（24-25九年級(jí)上·河南開(kāi)封·期中）如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，，，若點(diǎn)A0,3，則圓的直徑長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，圓周角定理及推論，勾股定理．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求出是解答本題的關(guān)鍵．由圓內(nèi)接四邊形，，得出，又因，所以，是圓的直徑，由勾股定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，∴，即，解得：，∵，∴，∴圓的直徑，，∵點(diǎn)A0,3∴，在中，由勾股定理得．故答案為．【考點(diǎn)題型十】利用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑解題方法：根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑比較大小，從而得到位置關(guān)系.設(shè)半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d1）若d＜r，則點(diǎn)P在圓內(nèi)；2）若d=r，則點(diǎn)P在圓上；3）若d＞r，則點(diǎn)P在圓外.33．（21-22九年級(jí)上·陜西安康·期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，以A為圓心，r為半徑作，若點(diǎn)B，D，C均在外，求r的取值范圍．【答案】0＜r＜5【分析】先根據(jù)勾股定理和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求得AB、AD，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵在中，，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，∵5＜6＜8，∴AD＜AB＜AC，∵A為圓心，r為半徑，點(diǎn)B，D，C均在外，∴0＜r＜5．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓半徑為r，點(diǎn)與圓心的距離為d，當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＞r時(shí)，點(diǎn)在圓外．34．（21-22九年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)．(1)若以點(diǎn)O為圓心，以R為半徑作⊙O，且點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，求R的值；(2)若以點(diǎn)B為圓心，以r為半徑作⊙B，且點(diǎn)O，A，C中有兩個(gè)點(diǎn)在⊙B內(nèi)，有一個(gè)點(diǎn)在⊙B外，求r的取值范圍．【答案】(1)R=5(2)8＜r＜10【分析】（1）利用勾股定理可得AB=10，根據(jù)∠ACB＝90°可得AB為⊙O的直徑，即可得答案；（2）根據(jù)BC、BO、BA的長(zhǎng)可得點(diǎn)O、C在⊙B內(nèi)部，點(diǎn)A在⊙B外，進(jìn)而可得答案．【詳解】（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB==10，∵∠ACB＝90°，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，∴AB為⊙O的直徑，∴R=AB=5．（2）∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，AB=10，∴BO=AB=5，∴BO＜BC＜BA，∵點(diǎn)O，A，C中有兩個(gè)點(diǎn)在⊙B內(nèi)，有一個(gè)點(diǎn)在⊙B外，∴點(diǎn)O、C在⊙B內(nèi)部，點(diǎn)A在⊙B外，∴8＜r＜10．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系及勾股定理，熟練掌握直角所對(duì)的弦是直徑是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十一】利用直線和圓的位置關(guān)系求解35．（24-25九年級(jí)上·云南曲靖·階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，r為半徑作．

(1)當(dāng)r滿(mǎn)足什么條件時(shí)，與的邊有2個(gè)公共點(diǎn)？(2)當(dāng)r滿(mǎn)足什么條件時(shí)，與的邊有3個(gè)公共點(diǎn)？(3)當(dāng)r滿(mǎn)足什么條件時(shí)，與的邊有4個(gè)公共點(diǎn)？【答案】(1)(2)或(3)【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)勾股定理逆定理判斷出，取中點(diǎn)E，取中點(diǎn)F，連接，，根據(jù)三角形中位線定理可求出，，然后數(shù)形結(jié)合即可解答；（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出，然后數(shù)形結(jié)合即可解答；（3）結(jié)合（1）中結(jié)論，數(shù)形結(jié)合即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，取中點(diǎn)E，取中點(diǎn)F，連接，，

則，，，，∴，，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時(shí)，與的邊有2個(gè)公共點(diǎn)；（2）解：由（1）知：當(dāng)時(shí)，與相切，

∴當(dāng)時(shí)，與的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，∵，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，∴當(dāng)時(shí)，與的邊有3個(gè)公共點(diǎn)，綜上，當(dāng)或時(shí)，與的邊有3個(gè)公共點(diǎn)；（3）解：由（1）知：當(dāng)時(shí)，與相切，

此時(shí)與的邊有5個(gè)公共點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，與的邊有4個(gè)公共點(diǎn)．36．（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知：中，，以點(diǎn)C為圓心，作半徑為的圓.問(wèn)：(1)當(dāng)R為何值時(shí)，和直線相離？(2)當(dāng)R為何值時(shí)，和直線相切？(3)當(dāng)R為何值時(shí)，和直線相交？【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系．根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，由勾股定理求出的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)，根據(jù)直線與圓的三種位置關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，

∵中，，∴，∴，∴當(dāng)，和直線相離；（2）解：當(dāng)時(shí)，和直線相切；（3）解：當(dāng)時(shí)，和直線相交．【考點(diǎn)題型十二】切線的性質(zhì)與判定綜合37．（24-25九年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）如圖，以點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為直徑作圓，在上取一點(diǎn)C，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)D，連接，，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求證：CD是的切線(2)若，，則的長(zhǎng)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角定理的推論，全等三角形的性質(zhì)和判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）連接，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，即，求得，得到，根據(jù)切線的判定定理得到答案；（2）根據(jù)勾股定理得到，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，如圖，為直徑，，即，又，，，，即，是的半徑，是的切線；（2）解：連接，，，，，，，，，，，，，解得：．38．（24-25九年級(jí)上·山東日照·期中）如圖，是的直徑，是的切線，，在圓上取一點(diǎn)C，使得，延長(zhǎng)、，交點(diǎn)為D．(1)求證：與相切；(2)若，求的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)的半徑為2．【分析】（1）連接，證明，得到，即可證明與相切；（2）先求得，得到，求得，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）證明：連接，∵是的切線，∴，∵，，，∴，∴，∵為的半徑，∴與相切；（2）解：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，設(shè)的半徑為，∵是的切線，∴，∵，∴是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，即，解得，∴的半徑為2．39．（2023·山東淄博·二模）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，交于，交于，．(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)【分析】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）由是的直徑，得，由，得，由，，得，所以，即可證明是的切線；（2）由，，得，則；（3）作于點(diǎn)，則，由勾股定理得，則，可求得，所以，即可由，求得．【詳解】（1）證明：是的直徑，，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，，，，，，是的半徑，且，是的切線．（2）證明：，，，，．（3）解：作于點(diǎn)，，平分，，，，，，，，，，，，，的長(zhǎng)是．40．（23-24九年級(jí)上·湖北襄陽(yáng)·期末）如圖，在中，，以為直徑的與AB邊交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析【分析】(）連接，根據(jù)切線的判定及切線的性質(zhì)可知，，再根據(jù)切線長(zhǎng)的定理及余角的定義，最后利用等腰三角形的判定及等量代換解答即可．（）根據(jù)正方形的性質(zhì)可知是等腰直角三角形。再利用等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）證明：連接，∵是直徑，，∴是的切線，∵DE是的切線，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰三角形，∴，∴．（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：∵當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，，∴是直角三角形，由（1）可知：，∴是等腰直角三角形，∴，∵△ABC是直角三角形，，∴，∴△ABC是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)與判定，切線長(zhǎng)定理、圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)及判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，余角的定義及性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，連接得垂直，構(gòu)造出等腰三角形，利用“等角的余角相等”是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型十三】應(yīng)用切線長(zhǎng)定理求解41．（24-25九年級(jí)上·四川廣元·期中）如圖所示，的半徑是4，、分別與相切于點(diǎn)A、點(diǎn)B，若與之間的夾角．(1)若點(diǎn)C是圓周上的一動(dòng)點(diǎn)，的大小為定值嗎？若是定值，請(qǐng)求出它的度數(shù)．(2)求的周長(zhǎng)．【答案】(1)的大小為定值，定值為或；(2)．【分析】（1）根據(jù)切線性質(zhì)得出，求出，根據(jù)圓周角定理求出即可；（2）連接，求出是等邊三角形，，求出和，即可求出答案．【詳解】（1）解：∵、分別與相切于點(diǎn)A、點(diǎn)B，∴，∵，∴，當(dāng)C在優(yōu)弧上時(shí)，，當(dāng)C在劣弧上時(shí)，；（2）解：連接，∵、分別與相切于點(diǎn)A、點(diǎn)B，，∴，，∴是等邊三角形，∴，∵，，，∴，由勾股定理得：，∴的周長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．42．（24-25九年級(jí)上·江蘇連云港·期中）如圖，是半圓的直徑，和是它的兩條切線，切點(diǎn)分別為，平分．(1)求證：是半圓的切線．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（）過(guò)作，垂足為，再由角平分線的性質(zhì)得到，從而可知是半圓的切線；（）由切線長(zhǎng)定理可知，，再由線段和差可求得的長(zhǎng)；本題主要考查了切線的性質(zhì)和判定、切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，掌握切線的性質(zhì)和判定、切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)作，垂足為，∵與半圓相切于點(diǎn)，∴，∵平分，∴，∴是半圓的半徑，∴是半圓的切線；（2）解：∵是半圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，∴，∵，∴，∵是半圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，∴．43．（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．(1)圖1中三組相等的線段分別是，，；若，，則半徑長(zhǎng)為；(2)如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)M，使，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)N．求證：是的切線．【答案】(1)；；1(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）連接，，由切線長(zhǎng)定理可知，，，再推得四邊形是正方形，設(shè)，根據(jù)，可得，計(jì)算即可；（2）過(guò)O作于H，連接，，，先證得，再證明四邊形是矩形，即可得，即是的半徑，即可證明．【詳解】（1）解：連接，，如圖：由切線長(zhǎng)定理可知，，，∵，是的內(nèi)切圓，∴，，∴四邊形是正方形，設(shè)，則，，∵，∴，解得，∴，即半徑長(zhǎng)為1；故答案為：；；1．（2）證明：過(guò)O作于H，連接，，，如圖：∵，，，∴，∴，∵，∴，即，同（1）可知，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，即是的半徑，∵，∴是的切線．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)切圓，圓的切線判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握切線長(zhǎng)定理和切線的判定定理．【考點(diǎn)題型十四】正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算44．（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·期中）如圖，將的圓周12等份，圓內(nèi)接矩形的面積為20，則圓內(nèi)接正六邊形面積為．【答案】30【分析】本題考查了正多邊形與圓，矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接，交于，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，求得，推出是等邊三角形，得到邊即為圓內(nèi)接正六邊形的邊，即可求解．【詳解】解：連接，交于，如圖所示：四邊形是矩形，，，是的直徑，將的圓周等份，，是等邊三角形，邊即為圓內(nèi)接正六邊形的邊，圓內(nèi)接矩形的面積為，，圓內(nèi)接正六邊形面積為，故答案為：30．45．（24-25九年級(jí)上·江蘇淮安·期中）如圖，在正五邊形中，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)N，則．【答案】/54度【分析】連接，，先證明，得到，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)解答即可．【詳解】解：連接，，∵正五邊形，∴，∴，∴，∵∴，∴．∵點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．46．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）一個(gè)半徑為5的圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)等于．【答案】【分析】本題考查了正多邊形與圓．熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑，即可求得邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得周長(zhǎng)．【詳解】解：∵圓的半徑為5，∴圓內(nèi)接正六邊形的半徑為5，即邊長(zhǎng)是5，∴正六邊形的周長(zhǎng)是：．故答案為：．47．（20-21九年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，A、B、C、D為一個(gè)正多邊形的頂點(diǎn)，O為正多邊形的中心，若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為【答案】九/9【分析】本題考查正多邊形與圓，圓周角，掌握?qǐng)A周角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，理解正多邊形的邊數(shù)與相應(yīng)的圓心角之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的前提．根據(jù)圓周角定理可得正多邊形的邊所對(duì)的圓心角，再根據(jù)正多邊形的一條邊所對(duì)的圓心角的度數(shù)與邊數(shù)之間的關(guān)系可得答案．【詳解】解：如圖，設(shè)正多邊形的外接圓為，連接，，，，而，這個(gè)正多邊形為正九邊形，故答案為：九．48．（23-24九年級(jí)下·上海靜安·階段練習(xí)）對(duì)角線條數(shù)和自身邊數(shù)相同的正多邊形的中心角度數(shù)為．【答案】72°/72度【分析】本題考查了正多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式，正多邊形的中心角．根據(jù)題意判斷出對(duì)角線條數(shù)和邊數(shù)相同的正多邊形是正五邊形，進(jìn)而即可解答．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為，則對(duì)角線條數(shù)為，根據(jù)題意得，，解得，或（舍去）∴對(duì)角線條數(shù)和邊數(shù)相同的正多邊形是正五邊形，正五邊形的中心角為．故答案為：【考點(diǎn)題型十五】利用弧長(zhǎng)公式求解49．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）扇形的圓心角為，半徑為，則弧長(zhǎng)是．【答案】【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，利用弧長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可求解，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：弧長(zhǎng)，故答案為：．50．（23-24九年級(jí)上·天津?yàn)I海新·期末）扇形的弧長(zhǎng)為，弧所對(duì)的圓心角為，則此扇形的半徑為．【答案】9【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)題意，得，計(jì)算即可．【詳解】設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)題意，得，解得．故答案為：9．51．（23-24九年級(jí)上·甘肅平?jīng)觥て谀┮阎刃蔚陌霃綖?，扇形的弧長(zhǎng)為，則此扇形的圓心角是．【答案】/度【分析】本題主要考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，代入弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：扇形的弧長(zhǎng)是．∴故答案是：．【考點(diǎn)題型十六】利用扇形面積公式求解52．（23-24九年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）已知一個(gè)扇形的圓心角為，其弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為．【答案】/【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，扇形面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，注意：圓心角為，半徑為的扇形的面積弧長(zhǎng)．設(shè)扇形的半徑為，根據(jù)弧長(zhǎng)公式和已知條件得出，求出，再根據(jù)扇形的面積公式求出面積即可．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為，扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，，解得：，扇形的面積為，故答案為：．53．（20-21九年級(jí)上·北京大興·期末）若扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的面積為．【答案】/【分析】本題考查了扇形的面積公式；直接利用扇形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：扇形的面積為，故答案為：．54．（23-24九年級(jí)上·山東濰坊·期末）現(xiàn)在很多家庭都使用折疊型餐桌來(lái)節(jié)省空間，兩邊翻開(kāi)后成為圓形桌面（如圖①），餐桌兩邊和平行且相等，（如圖②），小華用皮尺量得米，米，那么桌面翻成圓桌后，桌子面積會(huì)增加平方米．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，扇形面積，三角形面積，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確計(jì)算弓形的面積，是解答本題的關(guān)鍵．設(shè)圓心為，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意，求出，，從而得到，利用，由此求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，圓形桌面如圖所示，設(shè)圓心為，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，是⊙的直徑，，，，和平行且相等，，（米），，，，，，，，，桌面翻成圓桌后，桌子面積會(huì)增加（平方米），故答案為：．【考點(diǎn)題型十七】求不規(guī)則的圖形面積55．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，在中，是的內(nèi)切圓，若，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查與圓相關(guān)的陰影部分面積，熟練掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意求出圓的半徑和的度數(shù)，再計(jì)算出與的差，即可得到答案．【詳解】解：連接，∵是的內(nèi)切圓，∴分別與相切于點(diǎn)，∴四邊形是正方形，設(shè)的半徑為，∴，∵，，∴，∴，，，∴，解得：，∵是的內(nèi)切圓，∴，∴，∴陰影部分的面積，故答案為：．56．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，，圍成的面積（圖中陰影部分面積）為．【答案】/【分析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，不規(guī)則圖形的面積計(jì)算，勾股定理，發(fā)現(xiàn)陰影部分面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，再結(jié)合扇形面積公式和勾股定理求解，即可解題．【詳解】解：將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，在中，，，，上式．故答案為：．57．（23-24九年級(jí)上·重慶九龍坡·期末）如圖，在扇形中，，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，交弧于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧交于點(diǎn)D，若，則陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題主要考查了求不規(guī)則圖形面積，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等