平行四邊形與多邊形（考點解讀）-2023年中考數(shù)學第一輪復習

專題21平行四邊形與多邊形(考點解讀)

中考命題解讀

多邊形的內角和一般是利用公式求角，一般命題為填空題或選擇題，難度不大。平行

四邊形的性質和判定是中考中的熱點問題，單純從它的性質和判定來講，難度不大，

但它經常和一些數(shù)學問題結合在一起出題。

考標要求》

1.了解多邊形的定義，多邊形的頂點、邊、內角、外角、對角

線等概念；

2.理解并掌握多邊形內角和與外角和公式；

3.理解平行四邊形的概念，了解四邊形的不穩(wěn)定性；

4.理解并證明平行四邊形的有關性質定理.

考點精講

考點1：多邊形

(1)定義：在平面.內，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做

多邊形.

1.多邊形的(2)對角線：從〃邊形的一個頂點可以引(〃-3)條對角線，并且這些

相關概念對角線把多邊形分成了(〃一2)個三角形；〃邊形對角線條數(shù)為

n(n-3)

2

(1)內角和：〃邊形內角和公式為(〃-2)?180°

2.多邊形的

內角和、外

(2)外角和：任意多邊形的外角和為幽」.

角和

(1)定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.

(2)正〃邊形的每個內角為

"，每一個外角為360。/n.

3.正多邊形

(3)正〃邊形有碌對稱軸.

(4)對于正〃邊形，當〃為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當〃為偶數(shù)時，既

是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

考點2：平行四邊形性質

1.平行四邊形的定義：

兩組對邊分別平行的.四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“口”表示.

2.平行四邊形的性質

(1)邊：兩組對邊分別平行且相等.即AB〃CD且AB=CD,BC〃AD且AD=BC.

(2)角：對角相笠，鄰角互補.即NBAD=NBCD,ZABC=ZADC,D

ZABC+ZBCD=180°,ZBAD+ZADC=180°./

(3)對角線：互相平分.即0A=0C,0B=0D

(4)對稱性：中心對稱但不是軸對稱.”

3.平行四邊形中的幾個解題模型

(1)如圖①，AF平分NBAD,則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到4ABF為笠腰三

角形，即AB=5E.

(2)平行四邊形的一條對角線把其分為兩個全等的三角形，如圖②中4ABD/4CDB；

兩條對角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中AAOD/△C0B,

△AOB^ACOD；

根據(jù)平行四邊形的中心對稱性，可得經過對稱中心0的線段與對角線所組成的居于中

心對稱位置的三角形全等，如圖②△AOEg^COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊

形面積的一半.

(2)如圖③，已知點E為AD上一點，根..據(jù)平行線間的距離處處相等，可得

SABEC=SA.ABE+SACDE.

(4)根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE?BC=AF?CD

圖①圖②圖③圖④

考點3：平行四邊形的判定

（1）方法一（定義法）：兩組對邊分別壬任的四邊形是平行四邊形.丘---------—

即若AB〃CD,AD〃BC,則四邊形ABCD是口//

（2）方法二：兩組對邊分別相篁的四邊形是平行四邊形.、/

AB

即若AB=CD,AD=BC,則四邊形ABCD是￡7..

（3）方法三：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

即若AB=CD,AB〃CD,或AD=BC,A.D〃BC,則四邊形ABCD是￡7.

（4）方法四：對角線互相壬分的四邊形是平行四邊形.

即若OA=O,C,OB=OD,則四邊形ABCD是。.

（5）方法五：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

若NABC=NADC,ZBAD=ZBCD,則四邊形ABCD是￡7.

母題精講

【典例1】（2022?煙臺）一個正多邊形每個內角與它相鄰外角的度數(shù)比為3：1,則這個正

多邊形是（）

A.正方形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

【典例2】（2021?桂林）如圖，在平行四邊形A5C。中，點。是對角線8□的中點，取過點

O,交A5于點5交CD于點?

（1）求證：N1=N2；

（2）求證：△DORXBOE.

2jc

/V7

2

EB

【典例3】(2022?廣西)如圖，在口ABC。中，8。是它的一條對角線.

(1)求證：AABD咨ACDB；

(2)尺規(guī)作圖：作8。的垂直平分線ER分別交A。，BC于點E,F(不寫作法，保留

作圖痕跡)；

(3)連接BE,若NO8E=25°,求NAEB的度數(shù).

【典例4】(2021?北京)如圖，在四邊形ABC。中，NACB=NC4O=90°,點E在上,

AE//DC,EFLAB,垂足為尸.

(1)求證：四邊形4EC。是平行四邊形；

(2)若4E平分N84C,BE=5,cosB=芻，求8/和的長.

5

yr-----7D

BE

真題精選

命題點1平行四邊形的性質及麻〉

1.（2022?內江）如圖，在口ABC。中，已知AB=12,AD=8,NABC的平分線用皎CD

邊于點“，則。M的長為（）

A.2B.4C.6D.8

2.（2022?湘潭）在口ABC。中（如圖）,連接AC,已知NA4C=40°,ZACB=80°,

則NBCZX（）

A.80°B.100°C.120°D.140°

3.（2022?梧州）如圖，在口ABC。中，E,G,H,尸分別是AB,BC,CD,D4上的點，

且BE=DH,AF=CG.求證：EF=17G.

A__________.p

BGC

4.（2020?長春）如圖，在口ABC。中，。是對角線AC、8。的交點，BELAC,DFLAC,

垂足分別為點E、F.

（1）求證：0E=OF.

（2）若BE=5,OF=2,求tanNOBE的值.

5.（2020?廣元）已知口ABC。，。為對角線AC的中點，過。的一條直線交于點E,交

BC于點、F.

（1）求證：ZkAOE/△COB

（2）若AE：AD=1：2,△AOE的面積為2,求口ABC。的面積.

命題點2多邊形及其性質〉

6.（2022?通遼）正多邊形的每個內角為108°,則它的邊數(shù)是（）

A.4B.6C.7D.5

7.（2022?甘肅）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學家”，如圖1,蜜蜂的蜂巢結構非

常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是

正六邊形.如圖2,一個巢房的橫截面為正六邊形ABCL比凡若對角線的長約為8M加

則正六邊形A5CDEF的邊長為（）

B.2ypimmC.D.4mm

8.（2021?福建）如圖，點尸在正五邊形A5CDE的內部,△A3尸為等邊三角形，貝IJNA尸C

C.126°D.132°

9.（2022?荷澤）如果正〃邊形的一個內角與一個外角的比是3：2,則〃=

10.（2021?鎮(zhèn)江）如圖，花瓣圖案中的正六邊形ABCDEV的每個內角的度數(shù)是

專題21平行四邊形與多邊形（考點解讀）

中考命題解讀

多邊形的內角和一般是利用公式求角，一般命題為填空題或選擇題，難度不大。平行

四邊形的性質和判定是中考中的熱點問題，單純從它的性質和判定來講，難度不大，

但它經常和一些數(shù)學問題結合在一起出題。

考標要求〉

1.了解多邊形的定義，多邊形的頂點、邊、內角、外角、對角

線等概念；

2.理解并掌握多邊形內角和與外角和公式；

3.理解平行四邊形的概念，了解四邊形的不穩(wěn)定性;

4.理解并證明平行四邊形的有關性質定理.

考點精講

考點1：多邊形

(1)定義：在平面.內，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做

多邊形.

1.多邊形的(2)對角線：從〃邊形的一個頂點可以引(〃-3)條對角線，并且這些

相關概念對角線把多邊形分成了(〃一2)個三角形；〃邊形對角線條數(shù)為

n(n-3)

2

(1)內角和：〃邊形內角和公式為(A—2)?180°

2.多邊形的

內角和、外

(2)外角和：任意多邊形的外角和為跑

角和

(1)定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.

(2)正〃邊形的每個內角為(〃-2)」80

n,每一個外角為360。/n.

3.正多邊形

(3)正〃邊形有碌對稱軸.

(4)對于正〃邊形，當〃為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當〃為偶數(shù)時，既

是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

考點2：平行四邊形性質

3.平行四邊形的定義:

兩組對邊分別平行的.四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“口”表示.

4.平行四邊形的性質

(3)邊：兩組對邊分別平行且相等.即AB〃CD且AB=CD,BC〃AD且AD=BC.

(2)角：對角相篁，鄰角互補.即NBAD=NBCD,ZABC=ZADC,

ZABC+ZBCD=180°,ZBAD+ZADC=180°.

(3)對角線：互相平分.即0A=0C,0B=0DD

(4)對稱性：中心對稱但不是軸對稱./

3.平行四邊形中的幾個解題模型

(1)如圖①，AF平分NBAD,則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到4ABF為笠腰三

角形，即AB寸

(2)平行四邊形的一條對角線把其分為兩個全等的三角形，如圖②中4ABD/ACDB；

兩條對角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中AAOD也

△AOB也△COD；

根據(jù)平行四邊形的中心對稱性，可得經過對稱中心0的線段與對角線所組成的居于中

心對稱位置的三角形全等，如圖②AAOE/ACOF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊

形面積的一半.

(4)如圖③，已知點E為AD上一點，根..據(jù)平行線間的距離處處相等，可得

SABEC=SA，ABE+SACDE.

(4)根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE?BC=AF?CD

考點3：平行四邊形的判定

（1）方法一（定義法）：兩組對邊分別壬任的四邊形是平行四邊形.

即若AB〃CD,AD〃BC,則四邊形ABCD是￡7.

（2）方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.

即若AB=CD,AD=BC,貝四邊形ABCD是￡7..

（3）方法三：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

即若AB=CD,AB〃CD,或AD=BC,AD〃BC,貝ij四邊形ABCD是。.

（4）方法四：對角線互相壬分的四邊形是平行四邊形.

即若OA=O.C,OB=OD,則四邊形ABCD是￡7.

（5）方法五：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

若NABC=NADC,ZBAD=ZBCD,則四邊形ABCD是。.

母題精講

【典例1】（2022?煙臺）一個正多邊形每個內角與它相鄰外角的度數(shù)比為3：1,則這個正

多邊形是（）

A.正方形B.正六邊形C.正八邊形D.正十邊形

【答案】C

【解答】解：I?一個正多邊形每個內角與它相鄰外角的度數(shù)比為3：1,

.??設這個外角是￡,則內角是3x。，

根據(jù)題意得：x+3x=180,

解得：x=45,

360°4-45°=8（邊），

故選：C.

【典例2】（2021?桂林）如圖，在平行四邊形ABC。中，點。是對角線8。的中點，反過點

O,交于點E,交于點H

（1）求證：Z1=Z2；

（2）求證：尸也△BOE.

D

1

【解答】證明：(1)???四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AB//CD,

.\Z1=Z2；

(2)?..點。是的中點,

：.OD=OB,

在△。。產和ABOE中，

叱1=/2

<ZD0F=ZB0E-

OD=OB

:.△DOFQXBOE(A4S).

【典例3】(2022?廣西)如圖，在口ABC。中，8。是它的一條對角線.

(1)求證：△A3。/△C08；

(2)尺規(guī)作圖：作8。的垂直平分線ER分別交A￡>,BC于點E,F(不寫作法，保留

作圖痕跡)；

(3)連接BE,若NDBE=25°,求NA防的度數(shù).

【解答】(1)證明：如圖1,

V四邊形ABC。是平行四邊形,

：.AB=CD,AD=BC,

,:BD=BD,

：.AABD^ACDB(SSS)；

(2)如圖所示，

:所垂直平分5。，ZDBE=25°,

：.EB=ED,

：.ZDBE=ZBDE=25°,

NAEB是△BE。的外角，

ZAEB=ZDBE+ZBDE=250+25°=50°

【典例4】(2021?北京)如圖，在四邊形ABC。中，ZACB=ZCAD=90°,點E在上,

AE//DC,EF±AB,垂足為尸.

(1)求證：四邊形AEC。是平行四邊形；

(2)若AE平分NBAC,BE=5,cosB=l,求8/和的長.

D

【解答】（1）證明：?.?NACB=NCAO=90°,

：.AD//CE,

,JAE//DC,

四邊形AECD是平行四邊形；

（2）解："."EFLAB,

：.ZBFE=9Q°,

VcosB=A=BE=5,

5BE

.,.BF=ABE=AX5=4,

55

EF=I/BE2-BF2=7B2-42=3'

平分NB4C,EFLAB,ZACE=90°,

：.EC=EF=3,

由（1）得：四邊形AEC。是平行四邊形，

：.AD=EC=3.

真題精選

命題點1平行四邊形的性質及判定〉

1.（2022?內江）如圖，在口ABC。中，已知AB=12,AD=8,NA8C的平分線用皎CD

A

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解答】解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.CD=AB=12,BC=AD=8,AB//CD,

：.ZABM=ZCMB,

?.,BM是NABC的平分線，

/.ZABM=ZCBM,

：.ZCBM=ZCMB,

：.MC=BC=8,

：.DM=CD-MC=\2-8=4,

故選：B.

2.（2022?湘潭）在口ABC。中（如圖），連接AC,已知NB4c=40°,ZACB=80°,

【答案】C

【解答】解：?.?四邊形48。是平行四邊形，ZBAC=40°,

J.AB//CD,

：.ZACD=ZBAC=40°,

VZACB=80°,

ZBCD=ZACB+ZACD=120°,

故選：C.

3.（2022?梧州）如圖，在口ABC。中，E,G,H,尸分別是AB,BC,CD,ZM上的點,

且BE=DH,AF=CG.求證：EF=HG.

AF

BGC

【解答】證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB=CD,ZA=ZC,

,:BE=DH,

：.AB-BE=CD-DH,

即AE=CH,

在△AM和△C”G中，

'AE=CH

<NA=NC，

AF=CG

AAEF^ACHG(SAS),

：.EF=HG.

4.(2020?長春)如圖，在口ABC。中，。是對角線AC、8。的交點，BELAC,DFLAC,

垂足分別為點反F.

(1)求證：OE=OF.

(2)若BE=5,OF=2,求tanNOBE的值.

【解答】(1)證明：二?四邊形A3。是平行四邊形,

：.OB=OD,

'：BE±AC,DFLAC,

：.ZOEB=ZOFD=90°,

rZOEB=ZOFD

在△。仍和△。陽中，,NBOE=/DOF，

OB=OD

/.△OEB^AOFD(A4S),

；.OE=OF；

(2)解：由(1)得：OE=OF,

?：OF=2,

：.OE=2,

'：BE±AC,

：.ZOEB=90°,

在中，tanN05E=%=2.

BE5

5.(2020?廣元)已知口ABC。，。為對角線AC的中點，過。的一條直線交A。于點E,交

BC于點F.

(1)求證：AAOE^ACOF；

(2)若AE：AD=1：2,ZkAOE的面積為2,求口ABC。的面積.

【解答】解：(1)?四邊形ABC。是平行四邊形,

.".AD//BC,

：.ZEAO=ZFCO,

?.?。是AC的中點，

：.OA=OC,

rZEA0=ZFC0

在△AOE和△C。/中，OA=OC，

ZA0E=ZC0F

：./\AOE^/\COF(ASA)；

(2)?.?。為對角線AC的中點，

：.AO：AC=1：2,

."AE：AD=l：2,

?AE=AO

"AD而，

；ZEAO=ZDAC,

,./\AEO^/\ADC,

S2

■AAEO-(AE)2=(_1)=1,

^AADC皿24

；△AOE的面積為2,

?.△ADC的面積為8,

?.平行四邊形ABC。的面積=2X8=16.

6.（2022?通遼）正多邊形的每個內角為108°,則它的邊數(shù)是（）

A.4B.6C.7D.5

【答案】D

【解答】解：方法一：???正多邊形的每個內角等于108。，

每一個外角的度數(shù)為180。-108°=72°,

，邊數(shù)=360、4-72°=5,

方法二：設多邊形的邊數(shù)為小

由題意得，（?-2）780°=108°?小

解得〃=5,

所以，這個多