平面向量與復(fù)數(shù)綜合測試卷（新高考專用）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第五章平面向量與復(fù)數(shù)綜合測試卷

（新高考專用）

（考試時間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要

求的。

1.（5分）（2024?北京大興?三模）設(shè)房石是非零向量，嚕是*=初的（）

\a\\b\

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案.

【解答過程】由白=備表示單位向量相等，貝同b同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出N=b,

\a\\b\

由方=另表示日而向且模相等，則卷=看，

所以嚕=舒是*=鏟的必要而不充分條件.

\a\\b\

故選：B.

2.（5分）（2024?西藏?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=2—i,則馬二（）

z—z

A.-1+iB.|-iC.1+iD.

【解題思路】根據(jù)共輾復(fù)數(shù)和除法法則進行計算，得到答案.

【解答過程】因為z=2—i,所以2=2+i,

所以二=2+i=型=皿=*=_工j

z-z2-i-（2+i）-2i（-2i）-i22'

故選：A.

3.(5分)(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)己知向量反刃為單位向量，同=舊且方+石+/=6,則方與了的夾角

為()

A.-B.-C.-D.—

6433

【解題思路】利用轉(zhuǎn)化法求得方?反再利用兩個向量夾角的余弦公式即可得解.

【解答過程】因為向量五是均為單位向量，即同=的=1,且方+了+下=6,[c|=V3,

則方+了二一西兩邊平方可得同2+|同2+2衣石=?2,

即2工?6=1,所以N-b=\a\-\b\'cos(a,b)=cos(a,b)=j,

又0W色由Wm所以方與石的夾角為今

故選：C.

4.(5分)(2024?重慶?二模)若復(fù)數(shù)z=(2-a)+(2a-l)i(aCR)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z+a在復(fù)平面上的

對應(yīng)點的位置在()

A.第一象限內(nèi)B.第二象限內(nèi)

C.第三象限內(nèi)D.第四象限內(nèi)

【解題思路】根據(jù)純虛數(shù)的定義解出a,利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解.

【解答過程】?.?復(fù)數(shù)z=(2-a)+(2a-l)i(aeR)為純虛數(shù)，；.{/二仁],二a=2,

復(fù)數(shù)z+a=3i+2在復(fù)平面上的對應(yīng)點為(2,3),位置在第一象限.

故選：A.

5.(5分)(2024?四川?模擬預(yù)測)已知平行四邊形ZBCD中，E為AC中點.F為線段AD上靠近點A的四等分

點，設(shè)荏=方，AD=b,則麗=()

11—>2、1—

A.B.

--4a--2b--4a--b2

C「.——1一a——ITbDc.——1—a——3Mb

2424

【解題思路】利用向量的線性運算可得答案.

【解答過程】如圖所示，由題意可得前=卷+而=方+了，

而而=￡\4+A?=|-G4+;而—^(a+b)+^b=—|a-^b,

故選：C.

DC

6.（5分）（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)了棣莫弗定理：設(shè)兩個復(fù)

rr

數(shù)Zi=TI（COS8I+isinOJ,z2=r2（cos02+isin02）（i/2>。），則Z1Z2=rxr2[cos^i+02）+isin。+02）]?

設(shè)2=-，爭，貝1|z2024的虛部為（）

A.——B.-C.ID.0

22

【解題思路】變形復(fù)數(shù)Z,根據(jù)題中定義進行計算，即可判定.

【解答過程】Z=-3-爭=cosy+isiny,

所以z2024=cosW絲+isin如答

2n...2K1.V3.

-coST+isinT^--+Ti,

所以Z2M4的虛部為當(dāng)

故選:B.

7.（5分）（2024?北京大興?三模）已知平面向量N=石=（2,—2根），則下列結(jié)論一定錯誤的是（）

A.a//bB.~a1bC.|<b|=2|a|D.a—b=（1,—3m）

【解題思路】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出參數(shù)m的值，即可判斷A；根據(jù)彼力=0及數(shù)量積的坐標(biāo)表示求

出山，即可判斷B；表示出同，同，即可判斷C；根據(jù)平面向量線性運算的坐標(biāo)表示判斷D.

【解答過程】對于A：若引/反則lx（-2m）=2m,解得m=0,故A正確；

對于B：1b,則方?b=1x2-2巾2=o,解得m=±l,故B正確；

對于C：因為同=Y1+m2,|/）|—^22+（-2m）2=V4+4m2=2V1+m2,

顯然同=2同,故C正確；

對于D：~a—b—（l,m）—（2,-2m）-（—1,3m）,故D錯誤.

故選：D.

8.（5分）（2024?四川成都?模擬預(yù)測）在矩形力BCD中,48=5,AD=4,點E是線段4B上一點，且滿足ZE=4EB.

在平面ABCD中，動點P在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，則而?尼的最大值為（）

A.V41+4B.V41-6C.2g+4D.2V13-6

【解題思路】建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算即可結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

【解答過程】以E為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

動點P在以E為圓心，1為半徑的圓上運動，故設(shè)P(cos0,sin8),

則力(0,4),D(4,4),C(4,-1),

DP-AC—(cos0—4,sin。-4)?(4,-5)=4(cos0—4)—5(sin0-4)=V41cos(0+<p)+4,其中銳角中滿足

5

tan(p=

故而■尼的最大值為VU+4,

故選：A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.(6分)(2024?山東?模擬預(yù)測)已知向量方=(1,舊)，了=(—2,0),則下列說法正確的是()

A.正力=2B.方與了的夾角為g

C.al(a+2b)D.方+了在石上的投影向量為笆

【解題思路】利用向量的坐標(biāo)運算即可，其中方+了在了上的投影向量公式為噌巨?看.

【解答過程】對于A,由向量N=(1,禽)，了=(一2,0),則五工=lx(—2)+WxO=—2,故A是錯誤的;

對于B,由向量的夾角公式得：，所以,與了的夾角為與，故B是錯誤的；

對于C,由方+2石=(1,百)+2(—2,0)=(—3,百)，所以a-(a+26)=(l,g>(—3,B)=-3+3=0,即

al(a+26),故C是正確的；

對于D,由五+1=(1,舊)+(—2,0)=(—1,遍)，則訝+了在工上的投影向量為：

生薩?[=2半亞?亨=(-1,0)=3反故D是正確的；

\b\\b\222

故選：CD.

10.（6分）（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)2=。+6（j/￡10，下列說法正確的是（）

A.若z為純虛數(shù)，則a+b=0

B.若z是巖的共飄復(fù)數(shù)，則a+b=—￡

1—315

C.若z=（1+i）（l-3i）,則a+b=2

D.若|z—i|=l,則|z|取最大值時，a+6=2

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求解參數(shù)的值判斷A,利用復(fù)數(shù)的除法運算及共軌復(fù)數(shù)的概念求解參數(shù)判斷B,

利用復(fù)數(shù)的乘法運算求解參數(shù)判斷C,根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算結(jié)合三角換元求解最值即可判斷D.

【解答過程】對于A：復(fù)數(shù)z=a+歷的實部為a,虛部為b,若z為純虛數(shù)，則｛，：；，

故Q+b=bW0,錯誤；

對于B：因為言=普搞—1+所以z=l:—|i,則a+b=—|,錯誤;

對于C：z=(l+i)(l-3i)=4-2i,則a+b=2,正確;

對于D：因為|z—i|=l,所以jF+(b—1)2=1,即4+的-1)2=1,

人［a=cos022

*lb=1+sin。貝!j|z|=Va+b=Jcos21+(1+sin8)2=+2sin6,

因為6ER,所以一14sin。41,所以當(dāng)sin。=1時，|z|取到最大值2,

此時所以a+b=2,正確.

3=1+sin0=2

故選：CD.

11.（6分）（2024?山西?三模）蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物，巢房是嚴格的六角柱狀體，它

的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底（由三個相同的菱形組成）巢中被封蓋的是自

然成熟的蜂蜜，如圖是一個蜂巢的正六邊形開口N8CDE凡它的邊長為1,點尸是△￡）￡尸內(nèi)部（包括邊界）

A.DE=AF-^AD

B.~AC-~BD^~

4

C.若尸為M的中點，則而在前上的投影向量為-

D.|而+而|的最大值為近

【解題思路】對于A：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)結(jié)合向量的線性運算求解；對于C：根據(jù)CELEF結(jié)合投影向量

的定義分析判斷；對于BD：建系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求解.

【解答過程】對于選項A：因為歷=云一前=初一］前，故A正確；

對于選項C：由題意可知：CE1EF,

若尸為即的中點，所以而在前上的投影向量為-阮，故C錯誤；

對于選項BD：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(一？一苧),B&一y),C(1,O),。&苧),5體一縱F(-1,O),

可得前=8由，前=(0,向，所以正?麗=|,故B錯誤；

設(shè)P(x,y),可知一1WxW1,0WyW冬

則而=&苧)，而=(%+l,y)，可得而+而=(久+|,y+苧)，

則|而+而|=J(x+|)2+(y+y)\

可知當(dāng)x=3，y=?，即點P與點。重合時，|而+而|的最大值為近，故D正確；

故選：AD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z=^-i(i為虛數(shù)單位)，貝岐的虛部為0

1—1Z.

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則可得z=(-gi,進而2=g+gi,結(jié)合復(fù)數(shù)的有關(guān)概念即可求解.

【解答過程】z=苴—i

1—1(l-i)(l+i)22

所以，=；+?，

則5的虛部為g.

故答案為：今

13.(5分)(2024?湖南長沙?三模)平面向量反嬴滿足：/1乙色㈤=全優(yōu)?}=*且⑷=團=3,

問=2,貝I」|五+了+可=3V3+1.

【解題思路】結(jié)合數(shù)量積的定義和性質(zhì)求出五工、無訴訪?區(qū)利用M+1+引=］(3+1+?)2即可求出答

案.

【解答過程】因為工，二所以27=0,

因為同=陰=3,同=2,(a,b)=p(b,c)=

所以工.b=@|b|cos@b)=3X2xcos］=3,

b'~c=|Z)||c|cos(b,c)=2x3xcos：=3V3,

因為忖+了+引之=(a+fo+c)2,

(a+fo+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+203+五U+了7)=28+=(3A/3+1)\

所以M+1+石=J(a+b+c)2=J(3V3+1)2=3V3+1.

故答案為：3^+1.

14.(5分)(2024?天津南開?二模)已知在平行四邊形A8CD中，瓦=g麗，^=g左，記四=五，而=反

用N和方表示版=JN+E；若4E=2,AF=瓜,則前?礪值為

34

【解題思路】對于空1,由礪=(前得麗=(虎=］屈，結(jié)合版=而+歷即可得解；對于空2,利用已

知條件將向量就和而轉(zhuǎn)換成向量而和荏來表示即可得解.

【解答過程】因為尻=［說，所以礪=［反=：荏，

所以濯=AD+DE=AD+^AB=+|a；

因為麗=1所，所以麗=1前=1而，

所以尼=荏+前=(而一前)+(荏-DE)^AF+AE-1(AB+AD)^AF+AE-|Zt,

故士前=赤+荏，即尼=三衣+。荏=。(而+版)，

34441，

又礪^AB-AD^(AF-BF)-(AE-~DE^^AF-AE+^DE-BF')^AF-AE+^(AB-AD}=AF-

AE+-^B,

3

故I而=衣一荏，即麗=|衣_|版=曰(赤一荏)，

因為力E=2,4F=V6,

所以就?麗=久都+版)?式初一荏)-1(AF2-AE2)-|X(6-4)=*

故答案為：3五+8；

34

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。

15.(13分)(2024?天津河北,模擬預(yù)測)已知向量3=(3,4),b=(l,x),c=(1,2).

⑴若方1了，求同的值;

(2)若？II(a-2b),求向量社-與方的夾角的余弦值.

【解題思路】(1)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求久，再代入模的公式，即可求解；

(2)首先根據(jù)兩向量平行求x,再代入向量夾角的余弦公式，即可求解.

【解答過程】(1)由Nib,得3+4x=0,解得"

4

,'I=(1,_D，則同=5+(一丁=

(2)由題意方—2了=(1,4一2%),

Xc||(a-2b),Ix2-lx(4-2x)=0,解得％=1,

則,一2了=(1,2),|a-2b\=Vl2+22=V5,\a\=V32+42=5,

/—f(a-2b)-a1x34-2x411V5

??.cos(a-2b,a)=多麗=Vsx5=X，

即向量2-21與方的夾角的余弦值為若.

16.（15分）（23-24高一下?上海松江?期末）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=（m?一3m-4）++爪）「

（1）當(dāng)實數(shù)小取何值時，z是純虛數(shù)；

（2）當(dāng)zn=1時，復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程/+p%+q=0的一個根，求實數(shù)p與q的值.

【解題思路】（1）由z是純虛數(shù)得到實部為0,虛部不為0,解方程組得到a的值；

（2）將z=-6+2i代入方程，實部和虛部均為0,解方程組得到p和q的值.

【解答過程】（1）由z是純虛數(shù)得［爪2三36一47°,解得1n=4

所以當(dāng)TH=4時，Z是純虛數(shù).

(2)當(dāng)？n=l時，z=-6+2i,

因為z是關(guān)于％的方程/+p%+q=0的一個根，所以Z?+pz+q=0,

即(-6+2i)2+p(-6+2i)+q=0,整理得(32—6p+q)+(2p-24)i=0,

所以已削M。,解得一:；

17.(15分)(2023?黑龍江大慶?二模)已知方=(sin2%+l,cos2久)，b=(-1,2),%G[o,y].

(1)若求x的值；

(2)求/(0=N不的最大值及取得最大值時相應(yīng)的x的值.

【解題思路】(1)由平面向量的數(shù)量積為0可得應(yīng)sin(2%-￡)=0,再由x的范圍求得x值；

(2)/(x)=-V2sin(2x-,結(jié)合x的范圍及正弦函數(shù)的最值求解.

【解答過程】(1)a=(sin2x+1,cos2%),~b—(-1,2),

若之1b,則(sin2%+1,cos2%)?(—1,2)=—sin2x—1+2cos2%=—sin2x+cos2x=0,

sin2x—cos2x=0,即V^sin(2x-=0，

???%€/???2%_注[-翎,可得2%-1=0,即％=也

L2J4L44J48

(2)/(%)=~d'b=—sin2x+cos2x=—企sin(2%—；),

???、E?,?2%—工[一?引，可得當(dāng)2%-3=—？即％=0時，/(%)取最大值為1?

LZJ4L44J44

18.(17分)(2024?湖南邵陽?一模)在△A8C中，內(nèi)角力滿足gsin24一cos2A=2.

(1)求角4的大小；

(2)若反=2而，求揣的最大值.

【解題思路】（1）根據(jù)輔助角公式求解;

（2）根據(jù)向量的加法法則將黑轉(zhuǎn)化為:瞿=蜜粵=y空竺等,然后結(jié)合換元法和基本不等式求解;

怛川\BD\\AC-AB\Jb2-bc+c2

【解答過程】（1）由已知2sin（24—J=2,

???sin（2A-=1

??,0V4Vn,?,?--<2i4--<—TC.

666

VDC=2BD,：.RD==1(^4C-ABy

又而=屈+麗=|屈+式,

\AD\_12荏+祠_y/