平面向量的概念及線性運(yùn)算（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第20講平面向量的概念及線性運(yùn)算

（3類核心考點(diǎn)精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算

2024年天津卷，第14題,5分

律數(shù)量積的坐標(biāo)表示

余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式

2023年天津卷，第14題,5分

求積的最大值

2022年天津卷，第14題,5分用基底表示向量向量夾角的計(jì)算

2021年天津卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律

2020年天津卷，第15題,5分已知向量共線（平行）求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標(biāo)表示

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握向量的概念，能夠熟練使用三角形法則與平行四邊形法則

2.能掌握向量共線的性質(zhì)

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助建系解決線性表示與共線的問(wèn)題

4.會(huì)利用共線定理解決含參問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出圖形,運(yùn)用三角形的加減法法則進(jìn)行線性表示,

以及求參。

IN?考點(diǎn)梳理。

1.向量

2.零向量

3.單位向量

r知識(shí)點(diǎn)一.向量的有關(guān)概念《

4.平行向量考點(diǎn)一、平面向量的概念

5.相等向量

6.相反向量

平面向量的概念及線性運(yùn)算1.加法

知識(shí)點(diǎn)二.向量的線性運(yùn)算2.減法考點(diǎn)二、平面向量線性運(yùn)算

3.數(shù)乘

知識(shí)點(diǎn)三.向量共線定理考點(diǎn)三、向量共線定理的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)四向量的常用結(jié)論

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.向量的有關(guān)概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.

2.零向量：長(zhǎng)度為小的向量，其方向是任意的.

3.單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任意向量共線.

5.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向想圓的向量.

6.相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

［注意］1.向量不同于數(shù)量，向量不僅有大小，而且還有方向.

2.任意向量a的模都是非負(fù)實(shí)數(shù)，即

知識(shí)點(diǎn)二.向量的線性運(yùn)算

向量法則（或幾

定義運(yùn)算律

運(yùn)算何意義）

交換律：a~\~b=b+a；

二a,

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則結(jié)合律：（Q+》）+C=E

+S+c）

平行四邊形法則

減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a—>=a+(—b)

a

三角形法則

數(shù)乘求實(shí)數(shù)力與向量a的|Aa\=KI|a|,當(dāng)/1>0時(shí),Ma)=；

積的運(yùn)算與。的方向相同;(A+—丸。+〃_。；

當(dāng)2<0時(shí)，加與〃的X(a+5)=Aa+肪

方向相反;

當(dāng)2=0時(shí)，

A?=0

知識(shí)點(diǎn)三.向量共線定理

向量”（a力））與》共線的充要條件是：存在唯---個(gè)實(shí)數(shù)九使b=K.

知識(shí)點(diǎn)四.向量的常用結(jié)論

1.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即再屈十

A2A3+A3A4+...+An-iAn=A\^n,特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量.

2.若尸為線段的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則改=/次+份）.

3.若A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則可+何+由=0o尸為AABC的重心，宿.

4.對(duì)于任意兩個(gè)向量a,b,都有眄一網(wǎng)留。土方區(qū)同+|臼.

考點(diǎn)一、平面向量的概念

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三下.江蘇揚(yáng)州.階段練習(xí)）下列命題中，正確的是（）

A.若同=|同,則2=1B.若同〉同,則2>3

C.若>=刃,貝展〃另D.若到瓜力/冷則a//c

2.（22-23高三上?福建廈門(mén)?開(kāi)學(xué)考試）下列命題不正確的是（）

A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量

B.零向量的長(zhǎng)度等于0

C.若出方都為非零向量，則使=6成立的條件是a與反反向共線

\a\\b\

D.若五=b,b=c,則五=c

即時(shí)檢測(cè)

1.（2018高三?全國(guó)?專題練習(xí)）給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②兩個(gè)向量

不能比較大小，但它們的模能比較大小;③若府=0（九為實(shí)數(shù)）,則九必為零;④己知人,N為實(shí)數(shù)，若府=訪

則a與另共線.其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

a_b

設(shè)Z,6是非零向量，“W忖,,是“￡=方,,的（）

2.（2023?北京大興?三模）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2022.江蘇.三模）已知向量”=0，2）,與之共線且方向相反的單位向量石=

考點(diǎn)二、平面向量線性運(yùn)算

1.（23-24高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）中國(guó)文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會(huì)現(xiàn)象.如圖

（1）是八卦模型圖，將其簡(jiǎn)化成圖（2）的正八邊形ABCDEFGH,若AB=1,則|荏一麗|=（）

C.3D.V2+1

2.（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知非零平面向量出b,那么％=〃*是"怩+同=||團(tuán)一同『的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

1.（2024.遼寧?模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形4BCD中，AE=2EC,~EF=~FB,貝!!（）

A.AF=-AB+-ADB.AF=-AB+-AD

3636

>q>1>>q>O>

C.AF=-AB+-ADD.AF=-AB+-AD

6363

2.（2019高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖所示，在正方形ABC。中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，則標(biāo)=（）

C.-AB+ADD.-AB+-AD

242

3.(2024?山西呂梁?三模)已知等邊A/IBC的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)分別為48,BC的中點(diǎn)，若加=3而，則Q=()

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

4.(2024?廣東汕頭?三模)已知四邊形48CD是平行四邊形，BE=2EC,~DF=~FC,則而=()

A.--AB+-ADB.--AB--AD

2323

C.--AB+-ADD.--AB--AD

3232

5.(2024.重慶?模擬預(yù)測(cè))已知點(diǎn)G是△48C的重心，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，若壽=2通+〃尼，則2+〃=

()

1111

A.—B.-C.--D.--

126612

考點(diǎn)三、向量共線定理的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2024?河北.模擬預(yù)測(cè)）己知點(diǎn)是直線I上相異的三點(diǎn)，。為直線矽卜一點(diǎn)，且2就=3而+4而，則

%的值是（）

11

A.-1B.1C.--D.-

22

2.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.二模）已知窗3是兩個(gè)不共線的向量，命題甲：向量萬(wàn)+3與2石共線；命題乙：t=

則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?廣東.二模）已知向量2與另能作為平面向量的一組基底，若N+無(wú)與（k+lM+B共線（keR）,則

k的值是（）

A-1+V5n-1±V5「-1—>/5「1+V5

A.-------o.-------C.-------U.-----

2222

2.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知向量瓦，備是平面上兩個(gè)不共線的單位向量，且屈=瓦+2備，阮=-3瓦+2備，

DA=3由-632，則（）

A.4B、C三點(diǎn)共線B.4、B、。三點(diǎn)共線

C.4、C、。三點(diǎn)共線D.B、C、D三點(diǎn)共線

3.（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè)）在AABC中，~BD=2DC,過(guò)點(diǎn)D的直線分別交直線4B、AC于點(diǎn)E、F,且荏=

mAB,AF—nAC,其中m>0,n>0,則m+2ri的最小值為（）

_O

A.2B.V2C.3D.-

3

4.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）在A4BC中，。是BC的中點(diǎn)，直線1分別與AB,AD,4C交于點(diǎn)M,E,N,且荏=（戒,

AE=2ED,AC=AAN,貝!U=（）

5.（2021?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三角形。PQ中，M、N分別是邊。P、OQ的中點(diǎn)，點(diǎn)R在直線MN上,

22

JLOZ?=xOP+yOQ(x,yeR),則代數(shù)式lx+y-x-y+1的最小值為（

C.立

4

『I好題沖關(guān)

A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.（21-22高三上.山東煙臺(tái)?開(kāi)學(xué)考試）。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足

OP=0A+A（AB+AC）,A￡[0,+oo）,則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）

A.外心B.垂心C.內(nèi)心D.重心

2.（23-24高三上.安徽?階段練習(xí)）在AABC中，點(diǎn)M是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是線段2C的中點(diǎn)，

則前=（）

A.-BN+-ACB.--BN+-AC

333

C.-BN+-ACD.--BN+-AC

333

3.（2020?天津河?xùn)|?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于非零向量4、b,“23=另”是％,3共線”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（23-24高三上?天津紅橋?階段練習(xí)）已知向量3=（-3,1）,則與石方向相反的單位向量是.

5.（2022?天津河北?模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)M是ATIBC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：俞=|荏+|而.貝必4BM與

△4BC的面積之比為.

6.（21-22高三上.山東日照?開(kāi)學(xué)考試）在三角形04B中，點(diǎn)P為邊4B上的一點(diǎn)，且屈=2而，點(diǎn)Q為直線。P

上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)。和點(diǎn)Q不重合），且滿足的=2況+%加則尚=.

1.（23-24高三上?天津南開(kāi)?階段練習(xí)）△ABC是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)

較大的等邊三角形，若衣=3而，|而|=3,SAF=AAB+fiAC,則2+〃=（）.

2.（23-24高三下?天津?階段練習(xí)）在ZkABC中，設(shè)，亞=a,AC=叫其夾角設(shè)為仇平面上點(diǎn)D,E滿足而=2AB,

AE=3AC,BE,DC交于點(diǎn)。，則而用之方表示為.^AO-DE=^DC-BE,則cos。的最小值

為.

3.（2024.天津和平.一模）青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，代表了我國(guó)古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，是中國(guó)瓷器的主流

品種之一.圖一是一個(gè)由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤(pán)，已知圖二中正六邊形的邊長(zhǎng)為4,圓。的

圓心為正六邊形的中心，半徑為2,若點(diǎn)M在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)4B在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心。對(duì)稱.

（i）請(qǐng)用加，而表示花5=；（ii）請(qǐng)寫(xiě)出?麗的取值范圍.

M

圖一圖二

4.(23-24高三上?天津河西?期末)在448。中，484。=120°,\AB\=\AC\=2,AB=2AE,AF=XAC(A>0),

EF=2EM,且|前|=?,貝lU=;而?麗的值為

5.（23-24高三上.天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）在△ABC中，AD=^AB,AE=^AC,CD與BE交于點(diǎn)、P,4B=2,

AC=4,用標(biāo)和前表示*,則Q=