寧夏回族自治區(qū)銀川某中學2024-2025學年高二年級上冊期中考試 數(shù)學試卷（含解析）

寧夏回族自治區(qū)銀川一中2024-2025學年高二上學期期中考試

數(shù)學試題

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

x2y21

----1------1

1.橢圓716的焦點坐標為（）

A.(0,±3)B.(0,±4)C.(±3,0)D.(±4,0)

2.直線x—2y+l=0的一個方向向量是（)

A.(2,1)B.(1,2)C.(2,-1)D.(1,-2)

3.若平面a的一個法向量為（1,2,0）,平面廣的一個法向量為（2,-1,0）,則平面a和平面廣的位置關系

是（）.

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合

4.已知雙曲線C:二—《=1伍〉0小〉0）的一條漸近線方程是y=-也工，實軸的長度為26，則雙

ab3

曲線C的標準方程為（）

丫2

A.—-y2=lB.-----y2=1

3'2

c一LDV人1

■3223

5.已知圓（X—1）2+5—1）2=/經(jīng)過點尸（2,2）,則圓在點P處的切線方程為（）

A.x+y—4=0B.x+y=0

C.x-y=OD.x-y-4=0

6.已知橢圓?+{=1?〉b>0）的左、右焦點分別是匕下2,焦距為2c,若直線y=V3（x+c）與橢圓交于M

ab

點,且滿足/MFIF2=2/MF2FI,則橢圓的離心率是

A.—B.V3-1C.@口D.—

222

7.已知橢圓￡：工+匕=1,過右焦點廠且傾斜角為45°的直線交橢圓E于A、B兩點,48設的中點

248

為M,則直線加的斜率為（）

[C

A.-3B.——C.--D.-J3

33

8.光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，

被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出，如圖①，一個光學裝置由有公共焦點《、月的橢

圓「與雙曲線。構成，現(xiàn)一光線從左焦點片發(fā)出，依次經(jīng)。與：T反射，又回到了點片，歷時4秒；若將

裝置中的。去掉，如圖②，此光線從點片發(fā)出，經(jīng)「兩次反射后又回到了點《，歷時4秒；若右=8小

則「與。的離心率之比為（）

A.3:4B.2:3C.1:2D.1：V2

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全對的得部分分，有選錯的得0分.

9.如圖，正方體/BCD—44CQ1的棱長為1，E為54的中點，尸為的中點，則（）

A.DE±AXBB.直線"7/平面Z5CD

C.直線BF與平面ABBXAX所成角的正切值為75D.點8到平面4CD的距離是孝

10.已知圓C：（%—2），/=4,直線/：（m+l）x+2v-3-m=0（meR）,貝U（）

A.直線/恒過定點（1,1）

B.存在實數(shù)小，使得直線/與圓C沒有公共點

C.當機=-3時，圓C上恰有兩個點到直線/的距離等于1

D.圓C與圓一2x+8y+l=0恰有兩條公切線

22

11.已知橢圓C:=+與=1（?！?〉0）的左、右頂點分別為43,左、右焦點分別為片，鳥,p是橢圓C

ab

上異于48的一點，且|。周=\OP\=\PF2\（。為坐標原點）,記PA,PB的斜率分別為左狀2，設/為APF\FZ

的內(nèi)心，記“尸片,△叱,△坊鳥的面積分別為￡,$2，S3,則（）

A.PF.-PR=0B.C的離心率為必

-2

C.桃2=3-2百D.S}+S2

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.雙曲線匕-土=1上一點尸到它的一個焦點的距離等于3,那么點尸與兩個焦點所構成的三角形的周

6436

長等于.

13.已知過定點/（-2,0）的動圓M與定圓8：（》-2）2+/=36相內(nèi)切，則動圓的圓心的軌跡方程為

14.設橢圓二+4=1（?！?〉0）的兩焦點為《，鳥.若橢圓上存在點尸，使/原典=120°,則橢圓的

a'b"

離心率e的取值范圍為.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.已知。。：》2+y2+9+份—12=0關于直線》+2＞）；-4=0對稱，且圓心在歹軸上.

（1）求。。的標準方程;

（2）已知動點M在直線＞=x-5上，過點M引。。的切線M4,求的最小值.

22萬

16.已知橢圓，+方=1伍〉6〉0）的長軸長為2后，離心率e=三，過右焦點尸的直線/交橢圓于

P、0兩點.

（1）求橢圓的方程.

（2）當直線/的斜率為1時，求△尸。。的面積.

17.如圖，四棱錐P—453的底面48c。是平行四邊形，PA1AD,PB=275,AB=2,PA=BC=

4,N45C=60°,點E是線段2C（包括端點）上的動點.

BEC

（1）若BE=LBC,求證：平面尸2￡，平面PED；

2

（2）平面尸和平面48。的夾角為a,直線2c與平面PED所成角為廣，求a+"的值.

18.已知雙曲線C的方程為1―二=1（。〉0/〉0）,實軸長和離心率均為2.

ab~

（1）求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；

（2）過￡（0,2）且傾斜角為45。的直線/與雙曲線C交于〃,N兩點，求兩?礪的值（。為坐標原

點）.

19.設橢圓C：2r=l（a〉b〉0）的右頂點為A,離心率為一，且以坐標原點為圓心，橢圓C的短半

ab2

軸長為半徑的圓與直線x+y-指=0相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設直線x=-2上兩點N關于x軸對稱，直線與橢圓C相交于點2（8異于點/）,直線

8N與x軸相交于點。，若△2〃。的面積為W1,求直線4W的方程；

3

（3）P是N軸正半軸上的一點，過橢圓C的右焦點廠和點尸的直線/與橢圓C交于G,X兩點，求

\PG\+\PH\拈什申

----------的取值氾圍.

寧夏回族自治區(qū)銀川一中2024-2025學年高二上學期期中考試數(shù)學試

題

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.橢圓716的焦點坐標為（）

A.（0,±3）B.（0,±4）C.（±3,0）D.（±4,0）

【答案】A

【解析】

【分析】橢圓焦點在歹軸上，再根據(jù)基本量之間的關系求解即可.

【詳解】由題,c=716^7=3，又焦點在歹軸上,故焦點坐標為（0,±3）.

故選：A

【點睛】本題主要考查了橢圓中的基本量與基本概念，屬于基礎題.

2.直線x—2y+l=0的一個方向向量是（）

A.（2,1）B.（1,2）C.（2,-1）D.（1,-2）

【答案】A

【解析】

【分析】在直線上任取兩個不重合的點，可得出直線的一個方向向量.

【詳解】在直線工一2了+1=0上取點幺（—1,0）、5（1,1）,

故直線x—2y+1=0的一個方向向量為罰=（2,1）.

故選：A.

3.若平面a的一個法向量為（1,2,0）,平面廣的一個法向量為（2,-1,0）,則平面a和平面廣的位置關系

是（）.

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)兩平面法向量的垂直關系可判斷兩平面的位置關系.

【詳解】???平面a的一個法向量為VI=（1,2,0）,平面廣的一個法向量為％=（2,-1,0），

UIu

-v2=lx2+2x(-l)+0x0=0,

?F>2，

???平面a_L平面

故選：C

V2A

4.已知雙曲線C：J=1（?！?力〉0）的一條漸近線方程是歹=—號工，實軸的長度為2百，則雙

a

曲線C的標準方程為（）

r2

A.—-/=1B.----y2=1

3.2

2222

C,匕-匕=1D,匕-匕=1

3223

【答案】A

【解析】

【分析】利用給定條件結合雙曲線的性質求解雙曲線方程即可.

22_

【詳解】因為雙曲線C:二—與=1（?！?4〉0）實軸的長度為2K，

ab

所以a=G，因為雙曲線的一條漸近線方程是y=-^x，

所以一冬=-走，解得6=1,故雙曲線C的標準方程為片―y2=l,故A正確.

V333.

故選：A

5.已知圓（x—1）2+（y—l）2=/經(jīng)過點尸（2,2）,則圓在點P處的切線方程為（）

A.x+jz-4=0B.x+y=0

C.x-y=OD.x-y-4=0

【答案】A

【解析】

【分析】首先求/的值，然后求圓心坐標，接著求圓心C與點尸連線的斜率左°,最后求圓在點尸處的切

線方程.

【詳解】因為圓(X—1)2+0—1)2=戶經(jīng)過點尸(2,2),

將點次2,2)代入圓的方程可得：(2—iy+(2—I)?=r.即1+1=/,所以/=2，

則圓的方程為(x-I)2+(y—Ip=2.

對于圓(x-a)2+(y-6)2=/,其圓心坐標為(a,6),所以此圓的圓心C(l,l).：

根據(jù)斜率公式左=上星,這里尸(2,2),則左=3=1.

2-1

因為圓的切線與圓心和切點連線垂直，若兩條垂直直線的斜率分別為勺和左2,則左色=-L

己知左°=1，所以切線的斜率左=—1.

又因為切線過點尸(2,2),根據(jù)點斜式方程＞—為=左(%一%)(這里/=2,為=2,左=—1),

可得切線方程為y_2=_(x—2).整理得x+y-4=0.

故選：A.

22

6.已知橢圓二+2=1的左、右焦點分別是匕馬焦距為2c,若直線y=V3(x+c)與橢圓交于M

ab

點,且滿足/MFIF2=2/MF2FL則橢圓的離心率是

A.—B.6-1C.GTD.—

222

【答案】B

【解析】

【分析】依題意知，直線g=V^(x+c)經(jīng)過橢圓的左焦點Fi(-c,0),且傾斜角為60°,從而知

NMF2FI=30°,設|MF/=x,利用橢圓的定義即可求得其離心率.

y=VJ(x+c)

22

..,橢圓的方程為=+[=1伍>6>0)，作圖如右圖：

ab~

:橢圓的焦距為2c,

直線g=V^(x+c)經(jīng)過橢圓的左焦點Fi(-c,0),又直線g=Vi(x+c)與橢圓交于M點,

，傾斜角NMFIF2=60°,又NMFIF2=2NMF2FI，

AZMF2F1=30°,

O

/.ZF.|MF2=90.

設|MF/=x,貝=,F1F2|=2C=2X,故*=以

/.|Mf；|+|A^|=(V3+l)x=(V3+1)c,

又|MFi|+|MF21=2a,

；.2a=(6+1)c,

該橢圓的離心率e=-=一一=V3-1.

aV3+1

故選B.

【點睛】本題考查橢圓的簡單性質，著重考查直線與橢圓的位置關系，突出橢圓定義的考查，理解得到直

線g=Vi(x+c)經(jīng)過橢圓的左焦點Fi(-c,o)是關鍵，屬于中檔題.

7.已知橢圓￡：三+二=1,過右焦點尸且傾斜角為45°的直線交橢圓E于A、2兩點，48設的中點

248

為M,則直線。河的斜率為()

A.—3B.—X-/.----D.-

33

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓標準方程可得焦點尸的坐標，進而得直線方程.聯(lián)立橢圓方程,根據(jù)韋達定理及中點坐標公

式可得中點M的坐標，即可得直線0M的斜率.

【詳解】橢圓的標準方程為E:二+^^=1

248

所以半焦距c=&2_廬=724^8=4，即右焦點坐標為尸（4,0）

過右焦點F的直線傾斜角為45°,即斜率k=tan450=1

所以直線方程為y=x-4

y=x-4

聯(lián)立直線方程與橢圓方程《X2y2，化簡可得必-6x+6=0

—+--=1

〔248

設直線與橢圓兩個交點2（西,必）、B（x2,y2）

則由韋達定理可得須+工2=6

則為+/-4+―4=—2

由中點坐標公式可得48中點“（3,-1）

-11

則直線OM的斜率為一=―-

33

故選:B

【點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關系，中點弦問題的解法，屬于基礎題.

8.光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，

被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出，如圖①，一個光學裝置由有公共焦點片、月的橢

圓「與雙曲線。構成，現(xiàn)一光線從左焦點片發(fā)出，依次經(jīng)。與：T反射，又回到了點片，歷時4秒；若將

裝置中的。去掉，如圖②，此光線從點片發(fā)出，經(jīng)「兩次反射后又回到了點片，歷時方2秒；若/2=甑，

則「與。的離心率之比為（）

圖①圖②

A.3:4B.2:3C,1:2D.1;72

【答案】A

【解析】

【分析】設上勾=2c，設橢圓「的長軸長為2%,雙曲線。的實軸長為2%,設光速為V,推導出

4

q=2v%,利用橢圓和雙曲線的定義可得出,=不，由此可計算得出「與Q的離心率之比.

出3

【詳解】設上勾="設橢圓「的長軸長為2%,雙曲線。的實軸長為2%,

在圖②中，KDF［的周長為|C胤+|。片|+|CD|=|普|+15|+⑷用+|。閶=4%=vt2,

所以，4%=8%,可得ax=2%,

在圖①中，由雙曲線的定義可得|/閶—M用=2出，由橢圓的定義可得忸片|+忸用=2%,

上閶=忸閶一|4司,則|4閭—以用=|典卜|/同—周=2%—忸耳日/上一以胤=2%,

即2%—+\AFy|+\BFy°=2a2,

由題意可知，"BF［的周長為用+|/用+忸片|=%,即2a夕=2%-△/=2%一5=^~，

a4

所以，一}=~.

23

因此，「與。的離心率之比為，：02=￡：￡=%嗎=3:4.

故選：A.

【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得。、。的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值;

(2)齊次式法：由已知條件得出關于。、。的齊次方程，然后轉化為關于e的方程求解；

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全對的得部分分，有選錯的得0分.

9.如圖，正方體48。?！?81GA的棱長為1，E為84的中點，尸為CG的中點，則()

A.DE1AXBB,直線￡戶〃平面4BCD

C.直線BF與平面4BB4所成角的正切值為芯D.點8到平面4CD的距離是孝

【答案】ABD

【解析】

【分析】依題意可得到為等邊三角形，又E為84的中點，即可判斷A；利用線面平行的判定定理

證明B；用線面角的定義可知NG3廠為所求角，進而求得其正切值，即可判斷C；利用等體積法判斷D.

【詳解】解：對于A,=后，BD=亞,43=也，，為等邊三角形，又石為54的中

點，所以故A正確;

對于B,取48中點“，連接EH,CH,EF,可知昉7〃4且成/=；么4，

XCF//AA.KCF=-AA,

2

所以EH//FC且EH=FC,所以四邊形E/7C下是平行四邊形，.?.￡尸//AC,

又跖仁平面48CD,HCu平面45C。，.?.斯〃平面48CD,故B正確；

對于C,取85]的中點G,連接尸G,則EG〃8C,因為3C,平面48與4，

所以EG,平面/8與4，

所以AF與平面ABBXAX所成的角為/GBP,

,「CLGF1c

ll,.tan2_GBF==--=2,,、口

所以BG￡，故C錯誤；

2

對于D,設點8到平面4C。的距離為力，利用等體積法知〃即

-x-xlxlxl=-x—xlxV2x/!,解得k=^3L,故D正確；

32322

故選：ABD

10.已知圓C：(x-2)2+j2=4,直線/：(m+l)x+2j-3-m=0(meR),則()

A.直線/恒過定點(U)

B.存在實數(shù)〃?，使得直線/與圓C沒有公共點

C.當機=-3時，圓C上恰有兩個點到直線I的距離等于1

D.圓C與圓爐-2x+8y+1=0恰有兩條公切線

【答案】ACD

【解析】

【分析】求出直線/過的定點判斷A；判斷定點與圓的位置關系判斷B；求出圓心到直線距離判斷C；判斷

圓與圓的位置關系判斷D.

%—1=0[x=1

【詳解】對于A,直線/的方程為(x-l)機+x+2y—3=0,由＜°.八，得，，

x+2y-3=0=1

直線/過定點(1,1),A正確；

對于B,又(1-2『+12=2＜4,即定點(-M)在圓C內(nèi)，則直線/與圓C相交，有兩個交點，B錯誤；

|2-0|f-

對于C,當根=—3時，直線/：x-y^Q,圓心C(2,0)到直線/的距離為J2,

而圓C半徑為2,且2-行＜1，因此恰有2個點到直線/的距離等于1,C正確；

對于D,圓x?+「-2x+8y+1=0化為+(j+4)-=16,

圓//一2工+8y+1=0的圓心為(1,-4),半徑為4,

兩圓圓心距為4—2=2<d'=7（1-2）2+（-4-0）2=V17<6=4+2,

兩圓相交，因此它們有兩條公切線，D正確

故選：ACD.

11.已知橢圓C:二+鼻=1伍〉6〉0）的左、右頂點分別為48,左、右焦點分別為片，鳥，。是橢圓C

ab

上異于A,B的一點，且制=|。尸］=］「與|（。為坐標原點）,記PA,PB的斜率分別為3左2，設/為"6

的內(nèi)心，記△/阿，△叱,△與用的面積分別為S］,S2，S3,則（）

C的離心率為必

A.尸耳.尸鳥=0B.

2

SS=^S.

C.左］左2=3-2,^3D.l+2

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,由題意點P在以大鳥為直徑的圓上,由此即可判斷A；對于B,由離心率定義結合正弦

定理即可判斷；對于c,由斜率公式結合離心率即可驗算；對于D,由。的關系以及這三個三角形的高一

樣即可驗算.

因為周=|。尸］=|尸用，所以A。即為正三角形，且點尸在以片片為直徑的圓上,

所以尸￡，尸乙，即兩.而2=0,故A正確.

不妨設尸

.兀

sm—

Q2c國FI

則C的離心率為一二—=?-?1|2_?2故B錯誤.

.兀.兀

a2a閥1+1叫smFsin—

63

V36n32

—c—0

I"r_3c2_3e2

左色=------

cCc12C2-4a2e2-4

-----FCl---a----a

22------4

3（4-2碼

=3—2百，故C正確.

_4—2y/3

設△尸片片的內(nèi)切圓半徑為r,則SI=?附|應=1質同=］陽閶，

S+S2=gr（|尸圖+|咋|）=1,1V3+1

—r2a=ra=—,=——rc=-----rc，

2V3-12

S,=^r\FxF^=^r-2c=rc,所以s1+S2=,故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：解決問題的關鍵是得出△。因為正三角形，且點P在以片鳥為直徑的圓上，由此即

可逐一判斷各個選項，進而順利得解.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.雙曲線2L—二=1上一點尸到它的一個焦點的距離等于3,那么點尸與兩個焦點所構成的三角形的周

6436

長等于.

【答案】42

【解析】

【分析】求雙曲線的定義求出點尸到另一個焦點的距離，即可求解

【詳解】雙曲線匕—±=1的。=8,6=6,則c=10,

6436

設尸到它的上焦點片的距離等于3,

由于3＞。一。=2,3＜。+。=18,

則尸為上支上一點，

則由雙曲線的定義可得歸閭-|P周=2。=16,（乙為下焦點）.

則有|尸閭=16+3=19,

則點P與兩個焦點所構成三角形的周長為忸國+1尸與|+閨月|=3+19+20=42.

故答案為：42.

13.已知過定點/(-2,0)的動圓M與定圓8：(x-2)2+y2=36相內(nèi)切，則動圓的圓心的軌跡方程為

22

【答案】—+^=1

95

【解析】

【分析】根據(jù)兩圓位置關系可得|，|+|〃3|=6>以同，結合橢圓定義求方程即可.

【詳解】因為圓3:(x-21+/=36的圓心為6(2,0),半徑r=6,

設動圓M的半徑為R,

顯然點出一2,0)在圓2內(nèi)，則R=|〃41MBi=,R=6—R,

可得|M4|+\MB\=6>A=\AB\,

可知動圓M的圓心M的軌跡是以4臺為焦點的橢圓，

則。=3,c=2,b2=a2-c2=5,所以動圓的圓心的軌跡方程為工+2=1.

95

故答案為：—+^=1.

95

22

14.設橢圓二+與=1(?！?〉0)的兩焦點為《，鳥.若橢圓上存在點尸，使/片尸鳥=120。，則橢圓的

ab

離心率e的取值范圍為.

【答案】冬1

【解析】

【分析】設|"|=切，|尸耳|=〃，根據(jù)橢圓性質和余弦定理得到4c2=(機+〃)2—機〃，利用均值不等式

得到/之一，解得答案.

4

【詳解】設|尸娟二加，|尸耳卜〃，則加+〃=2a,4C2=m2+n2-2mncos120°，

2

即4c=(加+-mn,

2a=m+n>2dmn，即mn<a2，當且僅當m=n=a時等號成立，

3反

故4c②=(機+〃)一一機〃23片,即e?N—,——<e<1.

v742

故答案為：4^1

,7

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.已知。。：/+了2+?；+為；—12=0關于直線x+2y—4=0對稱，且圓心在歹軸上.

(1)求。。的標準方程；

(2)已知動點/在直線y=x-5上，過點M引。。的切線M4,求的最小值.

【答案】(1)X2+(J-2)2=16

⑵

2

【解析】

【分析】(1)利用給定條件求出參數(shù)，寫出一般方程，再轉化為標準方程即可.

(2)結合題意及勾股定理將切線長用圓心到直線的距離進行表示，再利用點到直線的距離公式求解最值即

可.

【小問1詳解】

因為圓的方程為/+/+以+或-12=0,

所以圓心坐標為(-T,-。)，由題意得圓關于直線x+2了-4=0對稱，

DF

故x+2歹—4=0是圓的直徑，即(―§,—萬)在直線x+2y—4=0上，

得到—2—￡-4=0,而圓心在歹軸上，故—2=0,解得。=0,

22

代入到—9—￡—4=0中，得到—￡—4=0,解得￡=—4,

2

故圓的一般方程為X2+/-4J-12=0,

我們把它換為標準方程，得到圓的標準方程為/+(y-2)2=16,

【小問2詳解】

首先，V=%-5可化為x—y—5=0,

如圖，作且記直線x—y—5=0為/,

由勾股定理得|M4『+16=|Cwf,故|兒例=而彳］金,

當最小時，|CA/『一定最小，|M4|也一定最小，

由平面幾何性質得當CW，/時，|C"|取得最小值，

由點到直線的距離公式得3『目=常半

故巧|.=

IImin

22萬

16.已知橢圓?+a=1伍〉6〉0)的長軸長為2行，離心率e=三，過右焦點少的直線/交橢圓于

P、0兩點.

(1)求橢圓的方程.

(2)當直線/的斜率為1時，求△尸。0的面積.

f2

【答案】⑴—+/=1⑵-

2,3

【解析】

6丫2

【詳解】試題分析：(1)由題意可得2a=2&，e=手，從而解出橢圓方程］+/=1；

x1+2y2=2

(2)設直線1的方程為y=x-1,從而聯(lián)立方程」，從而解出交點坐標，從而求面積;

y=x-l

解析：

(1)由已知，橢圓方程可設為三+4=1(?！?〉0),

ab

???長軸長為2&，離心率e=三，

a=y/2>b=c=l,

V2

故所求橢圓方程為土+y2=1.

2"

（2）因為直線/過橢圓右焦點廠（1,0）,且斜率為1,

所以直線/的方程為y=x-l,設尸（XQJ,Q（x2,y2）,

x?+2y2=2.1

由,W3/+2j-l=0,解得％=—1,j=-,

y=x-l23

???S/00=?|。斗乂-匕％=|-

17.如圖，四棱錐P—453的底面/BCD是平行四邊形，PALAD,PB=2y[5,AB=2,PA=BC=

4,N48C=60°,點E是線段3c（包括端點）上的動點.

P

（2）平面PED和平面4BCZ）的夾角為a,直線與平面PED所成角為廣，求￡+，的值.

【答案】（1）證明見解析

⑵-

2

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理及性質定理，再結合面面垂直的判定定理即可求解；

（2）如圖，以A為原點，以48,ZC,4P所在直線為x軸，N軸，z軸建立空間直角坐標系，設

BE=25C（0<2<1）,E（a,b,Q）,利用向量法求出平面PED和平面4BCD的夾角的余弦值，直線3c

與平面PED所成角的正弦值，即可求解.

【小問1詳解】

因為N8=2,PA=4,PB=2yf5

所以ZB?+尸/2=必2,即尸

又PALAD,ABcAD=A,平面ABC。，

所以尸平面幺BCD,又。Eu平面Z5C。，

所以尸Z，￡>￡,

若BE=gBC,則由題意得AE=2,NEAD=60°,4D=4,

所以。加=22+42—2x2x4xL12,

2

所以DE1+AE2=AD'，即4E，，

又P4n4E=A,P4NEu平面p/E,

所以DEL平面尸4E,又DEu平面尸ED,

所以平面PAE1平面PED.

【小問2詳解】

AB=2,BC=4,/ABC=60°,所以ZC?=2?+42一2x2x4x；=12,

所以AgZ+ZC?=8。2,即Z81ZC,

又由（1）知「N_L平面48c。，

如圖，以A為原點，以48,ZC,4P所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系,

所以5(2,0,0),C(0,26,0)'BC=(-2,250),

設屜=)麗O&XWl),E(a,b,o),

則伍一2,40)="一2,26,0)，

。=2-22

所以｝_2屆，所以￡(2—242640),

尸(0,0,4),。(-2,26,0),4(0,0,0)

方=（0,0,4）為平面/BCD的法向量,

PE=(2-22,2V32,-4),麗=(-2,2后-4),

設平面PED的法向量為m=（x,y,z），

PE-m=(2-22)x+2y[3Ay-4z=0

則《一

PDm-—2x+2y/3y-4z-0

可取而=(273(1-2),4-22,73)，

平面PED和平面ABCD的夾角為a,

,一、\m-AP

所以cosa=cos(m,AP)=-~■,-----

'/\nMAP

___________4V|_________V3

4112(1—/Ip+4(2—4)2+371622-402+31

直線BC與平面PED所成角為廣，

?一?\BC-m\

所以sin/=cosBC,m=|_.卜]

1*15C|m|

V4+12^12(l-2)2+4(2-2)2+3V1622-402+31

所以cosa=sin/?,

兀

因為ae[0,7i],〃e0,-,

71

所以々+/=萬.

18.已知雙曲線。的方程為4=l（a〉0,b〉0）,實軸長和離心率均為2.

ab

（1）求雙曲線。的標準方程及其漸近線方程；

（2）過￡（0,2）且傾斜角為45。的直線/與雙曲線。交于M,N兩點，求而.而的值（。為坐標原

點）.

【答案】（1）X2—=1,y=土6X；

（2）1.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離心率以及實軸長即可求解見仇。，即可求解方程，

（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，即可根據(jù)數(shù)量積的坐標運算求解.

【小問1詳解】

由離心率e=9=2,又°2=/+人2,則高=3力,

a

又長軸長2a=2,所以/=],所以5?=3，

故雙曲線的標準方程為/—匕=1；

3

其漸近線方程為y=土島.

【小問2詳解】

???直線/的傾斜角為45°，故其斜率為1，又/過點E（0,2）,

，/的方程為y=x+2；

設V（西,必）川（馬,%）,

y=x+2

由＜2/得2/_4x-7=0,

x----=1

3

c7

%+%2=2,xrx2=--

:.OMON=XjX2+yxy2=XjX2+（西+2）（%+2）=2x1x2+2（x；+x2）+4=1

221

19.設橢圓。：二+\=1伍〉6〉0)的右頂點為人，離心率為；，且以坐標原點為圓心，橢圓C的短半

ab2

軸長為半徑的圓與直線x+y-逐=0相切.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設直線x=-2上兩點N關于x軸對稱，直線4W與橢圓C相交于點8(3異于點/),直線

8N與x軸相交于點。，若AZM)的面積為迪，求直線的方程；

3

(3)P是N軸正半軸上的一點，過橢圓C的右焦點尸和點尸的直線/與橢圓C交于G,H兩點,求

\PG\+\PH\估升國

---方方---的取值氾圍.

I田

22

【答案】(1)二+2=1;

43

(2)x+-^-y—2=0或x—一2=0或x+y-2=0或x-y-2=0；

Q

⑶［；4).

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知得到關于仇。的方程組，解方程組即得解；

(2)設直線4W方程為》=吵+2,加h0,求出直線BN方程，再解方程S孚即得解；

(3)設直線/的方程為＞=?x—1),其中后＜0,G(x「M)，H(X2,y2),聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋

達定理，求出、⑺士—"+再就點尸的位置分兩種情況討論得解.

1^1

【小問1詳解】

c1

由題意可得e=—=—,

a2

/、r~|0+0-V6|「

日占(。0)到直線Y.J—、.久=0的距離IL一1―—8

7i2+