遼寧省2024-2025學(xué)年高三年級上冊10月聯(lián)考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

遼寧省2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量

檢測試卷

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答

題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的)

八八人幺=周|2_司<1]B-[x\a<x<a+3).N<x<5)n.n

i.已知集合1111>,5兀若一兀則。一()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合A,再根據(jù)并集得出參數(shù)的值.

【詳解】因為2=(1,3),2。8=(1,5),又因為8=(a,a+3),

所以。+3=5,即a=2.

故選：C.

2.如圖，在V45c中，點D是BC邊的中點，AD=3GD)則用向量方，k表示數(shù)為()

BDC

mm2^11111:1LUUiULD2^

A.BG=——AB+-ACB.BG=——AB+-AC

3333

tun201111UL?uun21X111UL?

C.BG=—AB——ACD.BG^-AB+-AC

3333

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的線性運算求解即可.

__.2__-

【詳解】AD=3GD，故=

則瑟=成+*=函+2詼=函+2*1（益+宿=二次

332、/33

故選：A

3.在等比數(shù)列｛叫中，記其前〃項和為%已知的=-％+2%,則各的值為（）

A.2B,17C.2或8D.2或17

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得4=1或4=-2,再利用等比數(shù)的求和公式求解即可.

【詳解】解：由等比數(shù)列的通項公式可得%/=—

整理得/+q_2=0,

解得q=1或q=-2.

邑=也=2

當(dāng)4=1時,

S44al

q(q8_i)

q-i

當(dāng)q=—2時，|=q4+l=17.

4T/—i

q—i

所以善

的值為2或17.

故選：D.

4.每年10月1日國慶節(jié)，根據(jù)氣象統(tǒng)計資料，這一天吹南風(fēng)的概率為25%,下雨的概率為20%,吹南風(fēng)

或下雨的概率為35%,則既吹南風(fēng)又下雨的概率為（）

A.5%B.10%C.15%D.45%

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)概率公式直接得出結(jié)論.

【詳解】由題知，既吹南風(fēng)又下雨的概率為25%+20%-35%=10%.

故選:B

5.若直線/：y=Ax+3-左與曲線c：y=J1二7恰有兩個交點，則實數(shù)左的取值范圍是（）

44343

A.—,+?9B.C.D.

33；2352

【答案】B

【解析】

【分析】先得到直線過定點尸（1,3）,作出直線/與曲線C,由圖求出直線/過點幺（-1,0）時的斜率和直線/

與曲線C相切時的斜率即可樹形結(jié)合得解.

【詳解】由＞=依+3-左=左（》一1）+3可知直線/過定點尸（1,3）,

曲線C:y=JI一兩邊平方得/+/=1（＞20）,

所以曲線C是以（0,0）為圓心，半徑為1且位于直線x軸上方的半圓,

3

當(dāng)直線/過點2（-1,0）時，直線/與曲線C有兩個不同的交點，止匕時0=-k+3-左n左=],

,、\i-k\

當(dāng)直線/與曲線C相切時，直線和圓有一個交點，圓心（0,0）到直線/的距離4=方充=1,兩邊平方

4

解得左=§，

43

所以結(jié)合圖形可知直線/與曲線C恰有兩個交點，則一〈左＜一.

32

故選：B.

6.已知/(x)=sin|ox+烏+0”0>0,閘(烏為偶函數(shù),g(x)=sin(0X+。），則下列結(jié)論不正確的

32

是()

71

A.展不

若g(x)的最小正周期為3兀，則0=g

B.

C.若g(x)在區(qū)間(o,7l)上有且僅有3個最值點，則①的取值范圍為

D.，則。的最小值為2

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)/(x)是偶函數(shù)求。判斷A選項；根據(jù)最小正周期公式計算可以判斷B選項；據(jù)有且僅有

3個最值點求范圍判斷C選項；據(jù)函數(shù)值求參數(shù)范圍結(jié)合給定范圍求最值可以判斷D選項.

【詳解】/(x)=singx+'+03>0,忸|<3J為偶函數(shù),

lTTITJTIT

則—(p——Fku,左￡Z,|(f\<一.(p=1,A選項正確；

3226

2兀2

若g(x)的最小正周期為3兀，由g(x)=sin(?x+0)則7=——=3兀,「.。=一，B選項正確;

CD3

XG(O,7l),^x+—G(工，/兀+巴)

666

若g(%)在區(qū)間(0,兀)上有且僅有3個最值點，

E5兀兀，7兀7,103TH丁也

則<初IH<,—V刃<,C選項正確;

_.7C7171-、717C27r-

則G—十———F27kji或co—+——---F2k7ji,無￡Z,

463463

2

則@=—+8左或〃>=2+8左，左wZ,

3

又因為0>o,則。的最小值為2,D選項錯誤.

3

故選:D.

7.已知(x——的展開式中，常數(shù)項為—1280,貝巾=()

A.-2B.2C.-V2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項式定理并分類討論，即可求解.

【詳解】由題意，[x—q]的通項公式為=Q26T(—4)―6一2、

令6—2尸=0,則r=3,

7

令6-2/=-1,則尸=一不符合題意，

2

所以(x—l)[x—的常數(shù)項為—C：23(—4)3=—1280,

解得a=-2.

故選：A.

8.已知函數(shù)/(x)=log2X-機―+X,若不等式/(x)>0的解集中恰有兩個不同的正整數(shù)解，則實數(shù)加

的取值范圍是()

A3+log23^3+log233

"-9—JB.~954

、F3+log233]33+log23

L94)8；-9—)

【答案】C

【解析】

【分析】不等式/(x)>0可化為1<嶺婦，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)=g叱的單調(diào)性，作函數(shù)

XX

h(x)=mx-l,g(x)=理場的圖象，由條件結(jié)合圖象列不等式求機的取值范圍.

X

【詳解】函數(shù)/(》)=1。82%一鵬2+X的定義域為(0,+(?)，

不等式/(x)>0化為：

X

令〃(x)=〃x-1,g(x)=log2.-xlog,e-log2x

^w=-——三—k^eTog2了，

故函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+。)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x>l時，g(x)>0,當(dāng)x=l時，g(x)=0,

當(dāng)0<x<l時，g(x)<0,

當(dāng)Xf+00時,g(x)f0,當(dāng)x>0,且x.0時,g(x)-?-00,

畫出g(x)及〃(x)的大致圖象如下,

10g2X

因為不等式/(x)>0的解集中恰有兩個不同的正整數(shù)解,

故正整數(shù)解為1,2.

W(2)<g⑵

2，解得以火

故<即《*二.

["3"g⑶'logj394

3m-i>一三一

3

故選：C.

二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

2

i+i+p+...+i2023

9.已知復(fù)數(shù)2=—,則下列結(jié)論正確的是()

1+i

1-i1-i_l+i

A.z=-----B.z=--C.z=---

222

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用i+i2+i3+j4=0對分子化簡，然后利用復(fù)數(shù)的除法化簡，可求共朝復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模依次判斷即

可得出結(jié)果.

i,〃=4k+1

—1,〃=4左+2

234

【詳解】因為丁=.A.,左￡Z,所以i+i+i+i=0，

一1,〃=4上+3

1,”=4左

23423

??2?3?2023505(i+i+i+i)+i+i+ii+p+p_i

1+1+1+…+111.

所以Z=-----------------------------------------F—1，

1+i1+i1+i1+i(l+i)(l-i)22

所以A正確，B錯誤,

D正確.

故選：ACD

10.“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學(xué)家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點,

使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小”.意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)V48C的三個內(nèi)角均

小于120。時，使得44。8=/80。=/。。4=120°的點0即為費馬點；當(dāng)V45C有一個內(nèi)角大于或等

于120。時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點.下列說法正確的是（）

A,正三角形的的費馬點是正三角形的中心

UUULIUUUI

B.若P為V4SC的費馬點，且PA+PB+PC=。，則V48c一定為正三角形

C.若V4SC三邊長分別為1,6,2,則該三角形的費馬點到各頂點距離之和為J7

JT

D.V48C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ZA=-,bc=2,若點P為V48C的費馬點，

2

________巧

財PA.PB+PB-PC+PC?PA=―匚?

9

【答案】ABC

【解析】

【分析】對A,根據(jù)正三角形中心的性質(zhì)結(jié)合費馬點定義易判斷；對B,取48的中點。，由

秒+方+定=?？傻命c尸是V48c的重心，再結(jié)合條件可得點尸是V48C的中心，得證；對C,利

用三角形旋轉(zhuǎn)，結(jié)合費馬點定義，構(gòu)造正三角形轉(zhuǎn)化線段長求解；對D,由向量數(shù)量積定義，結(jié)合費馬點

定義和三角形等面積法列式求解.

【詳解】對于A,如圖。是正三角形48c的中心，根據(jù)正三角形的性質(zhì)易得

ZAOB=ZAOC=ZBOC=120°，所以點。是正三角形48c的費馬點，故A正確；

對于B,如圖，取48的中點。，則再+而=2而，因為港+方+京=6,

ULA1IULLN

所以尸C=-20。，所以C,P,。三點共線，且點P是V45C的重心，

又點P是YABC的費馬點,則NAPB=ZAPC=ZBPC=120°，

則N4PZ)==60°，又AD=BD,易得PA=PB,同理可得PC=P5,

所以尸N=尸8=PC所以點尸是V/5c的外心，所以點尸是V48c的中心，

即V4BC是正三角形.故B正確；

對于C,如圖，在Rt^ZBC中，AB=1,8C=G，AC=2,NNC5=30°，

點。是RtZkABC的費馬點，將ACCM繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CEQ，

易證ACOE,A/CD是正三角形，

則OC=OE,OA=DE,CD=AC,且點瓦。,瓦。共線，

所以N8CD=90。，所以AD=yjBC2+CD2=J(+22=77-

5iOA+OB+OC=DE+OE+OB=DB=

即該三角形的費馬點到各頂點距離之和為近.故c正確;

對于D,由費馬點定義可得N4P5=NAPC=NAPC=120°，

設(shè)尸Z=x,PB=y,PC=z,x.y.z>0,

可得L廣電+Lz.也+1z.也」x2

由S'ABC~S'PAB+‘VPAB+S'PAB'

2-2222-22

整理得xy+yz+xz=，

所以蘇.而+方.正+卮.再=++

1/\14-\/32-\/3+6c*jt、口

=—（XV+yz+xz]=—x----=------,故D錯厭.

2、'233

故選：ABC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題首先要理解費馬點的含義，解答D選項的關(guān)鍵在于利用三角形等面積法求

中4G

出盯+yz+xz=§-

11.在四面體ABCD中，棱AB的長為4,ABLBD,CDVBD,BD=CD=2,若該四面體的體積為

述，則（）

3

7T

A.異面直線AB與CD所成角的大小為一

3

B.AC的長可以為2Jd

C.點D到平面ABC的距離為2叵

7

D.當(dāng)二面角8C-。是鈍角時，其正切值為-指

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)等體積法可結(jié)合三角形的面積公式可得sinNCQ￡=X上，即可由異面直線的角的定義求解

2

A,根據(jù)余弦定理即可求解B,根據(jù)等體積法即可求解C,根據(jù)二面角的幾何法，結(jié)合同角關(guān)系即可求解

D.

【詳解】在平面45。內(nèi)過。作。E8,且ED=4B,

由于48LAD,故四邊形4aDE為矩形，

CD1BD,DELBD,BD[}DE=C,CDu平面CDS,QEu平面CDS,故AD1平面C￡>￡,

故VC-ABD=VC-EDA=VB-CDE=-S^CDE'BD=S^CDEX2=~~'

S△LrnDF匕=-2CDDE-sinZCDE=-2x2x4sinZCDE=4sinZCDE

故%ABD=~SrnPx2=-x4sinZCDEx2=—，因此sin/CDE=立，

C-ABD3ACUZI332

由于NC￡)￡e(O7),所以NCQE=q或整，

7T

由于NCDE為異面直線4B與CD所成角或其補角，故異面直線48與CD所成角的大小為一，A正確，

3

當(dāng)NCDE=g時，CE=dCD?+DE2—2co.DE.cosNCDE=,+4?—2x2x4xg]=23,

由于8。1平面CDE,AE//BD,；.4E上平面CDE,CEu平面CDE,故Z￡，C￡,

此時AC="爐+幺爐=4挺

5

當(dāng)NCQ￡=工時，CE7CD2+DE?-2CD-DE-cosNCDE=j2?+4?—2x2x4><L=2百,

3\2

由于8D工平面CDE,4E〃8￡),.?.ZE,平面CDE,CEu平面CDE,故NELCE,止匕時

AC=^CE2+AE2=4，故B錯誤，

由于8C=\lCD2+BD2=2V2,4B=4,

當(dāng)NC=4夜時，cosABAC=16+31-!-=,故sin/5NC=恒，

2x4x4近88

SARC=-AB-AC-sinZBAC=-x4x4y[2x^-=241,

"BC228

當(dāng)NC=4時，cosABAC=+=y>故sinN8/C=——

2x4x444

S=-AB-ACsinZBAC=247,

△TAIDRGC2"

4G

故點D到平面ABC的距離為d=~—=己叵=口包,c正確,

1<S.BC7

3Q&ABC

當(dāng)NC=4時，Z8=ZC=4,CZ)=8Z)=2,取8c中點為0,連接0/,。。,

則ZAOD即為二面角N—8C—。的平面角,

OD=^BC=^CD2+BD2=^2，AO=^AB^OB2=V14

1A+2-(BD2+AD2^14±22=—正＜o,故nn。。為鈍角,符合題意，此

所以cosNZOD=

2x714x722xV14xV27

sinZAODrr

時tanNAOD=------------=—V6

cosZAOD

4G

當(dāng)ZC=4,由于點A到平面BDC的距離為"=丁二一=^-=273

_CS&BDC

33BDC

設(shè)A在平面BDC的投影為〃，則AH=2日故HD=^AD2-HA2=2正，HC=y）AC2-AH2=26，

因此點。為以。，。為圓心，以半徑為2J5,2亞為半徑的圓的交點,

顯然交點位于8C,同。的一側(cè)，故此時二面角Z-5C-。為銳角，不符合要求，故D正確,

故選：ACD

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

ab

12.已知a,beR+,4a+6=l,則----的最大值是_________.

a+b

【答案】-

9

【解析】

【分析】先求出工+工的最小值，再將4化為7萬，即可求得答案.

aba+b-+7

ab

【詳解】因為a/eR+,4〃+6=1,

11(11"7、U64。u。

—+—=—+—(4。+6)=5+—+—>5+2.

ab\ab)'7ab

b4Q11

當(dāng)且僅當(dāng)一=丁，結(jié)合4a+6=l,即。=:力二彳時等號成立，

ab63

ab11

------=-------<—abI

所以a+b11-9,即一r的最大值是一，

—+ya+b9

ab

故答案為：—

9

13.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點的

曲率等于2兀與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多

面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體（四個

TT

面都是等邊三角形圍成的幾何體）在每個頂點有3個面角，每個面角是一，所以正四面體在每個頂點的曲

3

兀

率為2?！?x—=兀，故其總曲率為4兀.我們把平面四邊形48。外的點尸連接頂點A、B、C、。構(gòu)

3

成的幾何體稱為四棱錐，根據(jù)曲率的定義，四棱錐的總曲率為.

【答案】4兀

【解析】

【分析】根據(jù)曲率的定義求解即可.

【詳解】由定義可得多面體的總曲率=2兀x頂點數(shù)一各面內(nèi)角和，

因為四棱錐有5個頂點，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，

所以任意四棱錐的總曲率為2兀x5-（兀x4+2兀*1）=4兀.

故答案為：4兀.

22

14.過雙曲線4-1（。>01>0）的上焦點與，作其中一條漸近線的垂線，垂足為〃，直線耳〃與

ab~

雙曲線的上、下兩支分別交于M,N,若彷=3加，則雙曲線的離心率e=.

【答案】75

【解析】

【分析】設(shè)雙曲線右焦點為月，|冏4=/,|N"|=3/,由題意結(jié)合雙曲線定義可依次求出陽〃|、

|。叫、陽"I、閨N|、EM和接著分別在Rt△片。H、△片和△片N4中結(jié)合余弦定理

求出cos/。片M,進而建立等量關(guān)系式求出"從而求得6=2。，進而由離心率公式即可得解.

【詳解】設(shè)雙曲線右焦點為鳥，由題片（0,。），雙曲線的一條漸近線方程為y=-fx即ax+力=0,

b

??\bc\\bc\??

過該漸近線作垂線，則由題閨/==\OF,\=c,

+b~yjc-

^\HM\=t,則由題|NH|=3L陽=閨N|=b+3f,

所以|7^7V|—b-\-3t—2a,=—/+2〃，

市W『+年月12T月w『_伍一）2+（2°y一伍7+2a）2

在中，cosZOF^M=②,

2怛MM可2伍-,）（2c）

忸必+忸g|2-1|2_（/,+3?）2+（2c）2-（b+3t-2a）2

在△片N6中，cosZOF{M=③,

2忸MM可2伍+37）（2c）

（b-tX+（2cY-（b-t+2aYb.ab

由①②得1—1―—一--------乙—9,化簡解得/二

2（6-r）（2c）a+b

b

由①③得化簡解得/=

2（ZJ+3?）（2C）

故答案為：4s.

【點睛】思路點睛：依據(jù)題意設(shè)雙曲線右焦點為月，|〃〃|=八則結(jié)合雙曲線定義可得Rt△大?！ā?/p>

AF'MF2和△片N居的邊長均是已知的，接著結(jié)合余弦定理均可求出三個三角形的公共角NOF］M的余弦

值cos/O^M,從而可建立等量關(guān)系式依次求出f和6=2a,進而由離心率公式得解.

四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟）

15.設(shè)S〃為數(shù)列｛4｝的前n項和，滿足S“=l—

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）記7；=S；+S；+…+S；,求北.

【答案】（1）an=

【解析】

【分析】（1）應(yīng)用5“-5恒=4,再結(jié)合等比數(shù)列定義及通項公式計算即可；

（2）先化簡得出S；=l-（g）〃T+（；）",再應(yīng)用分組求和及等比數(shù)列前n項和公式計算.

【小問1詳解】

因為數(shù)列｛aj的前n項和，滿足S〃=l一%,

當(dāng)〃22時，可得=1—an_x,

a”1

兩式相減得a”一〃“，即2Q〃=Q〃T，所以----二5，

an-\幺

令〃=1,可得E=1-q=q,解得q=；,

所以數(shù)列｛aj構(gòu)成首項為:，公比為g的等比數(shù)列，

所以｛aj的通項公式為%=|-（1）"-1=（1）".

【小問2詳解】

由（1）知%=（］）",可得S"=i—（］）"，

所以出=口-（；）"『=1-2?（1）?+（；產(chǎn)=i-（1r+（5,

2221；山—(；)"]3n-5

]_

貝iK=s；+s；+…+即=。+1+…+i)——一

1--1--33

24

16.如圖，正四棱臺48co—EFG4■中,EG=2NC=4,〃N上為上下底面中心的連線，且與側(cè)面

6

所成的角的正切值為注.

2

(1)求點A到平面M/G的距離;

(2)求二面角￡——G的余弦值.

V6

【答案】(1)

~6~

⑵一:

【解析】

【分析】(1)由題意建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面法向量，利用點面距向量公式，可得答案;

(2)求得兩個平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.

【小問1詳解】

由題意，易知兒取兒以,MB兩兩垂直，分別以為x,y,2軸建立直角坐標(biāo)系，如下圖:

則幺(1,0,0),M(0,0,0),//(0,-2,1),G(-2,0,1),mW=(0,-2,1),W=(-2,0,1),

n-MH=—2y+z=0

設(shè)平面〃HG的法向量為=(x,y,z),則＜_.，令z=2,則x=l,y=l,

n?MG=—2x+z=0

所以平面MfG的一個法向量力=(1,1,2),取疝=(1,0,0),

\MA-n\1癡

點A到平面MHG的距離d=1,,1=,=—.

\n\Vl+1+46

【小問2詳解】

由⑴可知E（2,O,1）,2（O,—2,1）,M（O,O,O）,G（_2,O,1）,

取版=（2,2,0）,施=（2,0,1）,麗=（-2,2,0）,標(biāo)=（-2,0,1）,

m,-HE=2x+2y.=0

設(shè)平面E7W的法向量能i=(xi，%,zj,貝卜——."，令X]=—1,貝（1%=1/2=2,

Wj-ME=2x1+2]=0

所以平面￡7￡攸的一個法向量而=(-1,1,2),

—..、m,-HG=-2x,+2y,=0

設(shè)平面HA/G的法向量機2=（》2，%，22），貝M二.一,一，令/=1，則M=1,4=2,

~m2-MG=-2x2+z2=0

所以平面￡8G的一個法向量點=(1,1,2),

-^2I—1+1+4|2

設(shè)二面角￡——G的大小為3,則cos。=1'=

風(fēng)?用1+1+43

17.某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程(理論上

是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程)的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行整理，得

到如下的頻率分布直方圖:

(I)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值三(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);

(2)由頻率分布直方圖計算得樣本標(biāo)準差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認為這款汽

車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布N(〃,b2),其中日近似為樣本平均數(shù)萬，◎近似為樣本標(biāo)

準差S.

(i)利用該正態(tài)分布，求尸(250.25<X<399.5)；

(ii)假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大續(xù)

航里程位于區(qū)間(250.25,399.5)的車輛數(shù)，求E(Z)；

參考數(shù)據(jù)：若隨機變量自服從正態(tài)分布N(〃,b2),則尸(〃一b<J<〃+b)=0.6827,

尸(〃一2b<J<〃+2tr)=0.9545,尸(〃一3b<J<〃+3cr)=0.9973l.

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋

擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在x軸上從原點0出發(fā)向右運動，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都工，客

2

戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動一次，若擲出正面，則遙控車向移動一個單位，若擲出反面，則遙控車

向右移動兩個單位，直到遙控車移到點（59,0）（勝利大本營）或點（60,0）（失敗大本營）時，游戲結(jié)

束，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券.設(shè)遙控車移到點（〃,0）的概率為

Pn[i<n<60）,試證明數(shù)列優(yōu)一匕1｝是等比數(shù)列（2<?<59）,求出數(shù)列｛5｝（1口V60）的通項公

式，并比較人9和累0的大小.

【答案】（1）300(2)(i)0.8186；(ii)16.372

2_j_

36

（3）證明見解析,49>穌0

11

-+-

36

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的求法求得正確答案.

（2）（i）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.

（ii）根據(jù)二項分布的知識求得正確答案.

（3）根據(jù)已知條件構(gòu)造等比數(shù)列，然后利用累加法求得匕，利用差比較法比較巴9和Ko的大小?

【小問1詳解】

x~205x0.1+255x0.2+305x0.45+355x0.2+405x0.05=300.

【小問2詳解】

0954506827

(i)尸(250.25<X<399.5)=0.6827+---=0.8186.

(ii))服從二項分布5(20,0.8186)E(Z)=20x0.8186=16.372.

【小問3詳解】

當(dāng)3W“459時，Pn+*，尸"-Pnl=一；(巴一1一5—2)，

乙乙I'?I

{5—5_1}(2<〃<59)是以;為首項，―；為公比的等比數(shù)列，

々—4i=；,g](2W〃W59).

P2~PX~P2—Qi(2<ZZ<59).

累加得：

Ui/」門

4[2)21(1V111r1Y8

=2^n8=i+6\d'

Pn-P^———.~--(2V〃V59),4

1+136V2J

2

g—gU,1<?<59

:.p—<

."11IM

—H-,77=60

〔36⑴

11f1V81((iY8>|

???—]于圖4-0J>0,二與>取.

注：比較己9和兄。的另一個過程：己9>|-1=-

5，%=i-4<5<4,

X+1

18.已知函數(shù)/(X)=「一.

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若不等式d/(》)+。111》21恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)已知直線/是曲線y=/(x)在點?,/?))處的切線，求證：當(dāng)f>1時，直線/與曲線y=/(x)相交

于點卜,/(§))，其中s<f.

【答案】(1)極大值為1,沒有極小值

(2)[-e,0]

(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷了(x)的單調(diào)性和極值;

(2)根據(jù)題意可得x+alnx?O恒成立，構(gòu)建g(x)=x+alnx,x>0,分類討論。的符號，利用導(dǎo)數(shù)求

最值，結(jié)合恒成立問題分析求解；

(3)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得當(dāng)，>1時，方程山+與―廠+'+1=0有小于/的解,構(gòu)建

exee

A(x)=—+--r+Z+1,其中/>1,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點分析證明.

【小問1詳解】

由題意可知：/(x)的定義域為R,且/'(%)=三，

e

令/'(X)=0時，x=0,

則X，f(x),/(X)的關(guān)系為

X(-°0,o)0(0,+co)

f(x)+0—

/(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

所以，當(dāng)x=0時，/(X)取到極大值為1,沒有極小值.

【小問2詳解】

若exf(x)+alnx>l,即x+alnx20恒成立，

設(shè)g(x)=x+alnx,x>0,則g<x)=1+@=火工,

xx

①當(dāng)。=0時，則g(x)=x>0恒成立，符合題意；

②當(dāng)口〉0時，則g'(x"0,可知g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

因為ge"=e0-1<0,所以x+alnx20不恒成立；

③當(dāng)a<0時，x,g'(x),g(x)的關(guān)系為

X(0,-4)-Q(-a,+“)

g'(x)—0+

g(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

可知g(x)的最小值為g(x)min=—a+aln(-a),則一a+aln(-a)20,

因為。＜0,貝！j1—In(-a)20,解得—efa＜0；

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍是卜e,0].

【小問3詳解】

因為/(x)=W，/'(x)=三，則/?)=＜，k==

eeee

即切點坐標(biāo)為切線/斜率為左=g,

可得"的方程為＞一/=9(、一')’即

/+%+1

y=—^+

ee’—x+1tx〃+，+l

聯(lián)立方程可rZ得B----+—----------=0,

x+1exe'e’

y=-

ex

由題可知：當(dāng)，＞1時，方程葉1+與一:+'+1=0有小于/的解,

exee

設(shè)==1+￡—二±|±1,其中x</,/>1且〃(7)=0,則l(x)=g+(,

設(shè)E(x)=〃'(x),則

e

因為/>1,X,k(x),F(x)的關(guān)系為

X(E)1(M)

尸(X)—0+

-1t

F(x)單調(diào)遞減一+~'單調(diào)遞增

ee

可知F(x)的最小值E(x)min=E(l)<E?)=0,且尸(一1)=e+?！?,

e

可知王oe(-1,1),使E(Xo)=O,

當(dāng)xe(-e,Xo)時，F(xiàn)(x)>0,即h'(x)>0；

當(dāng)xe(x()/)時，F(xiàn)(x)<0,即h'(x)<0；

可知h(x)在(一。,玉))內(nèi)單調(diào)遞增；在(％/)內(nèi)單調(diào)遞減,

可知h(x)的最大值MHmax=〃(%)〉M')=°，且〃(―1)=-<0，

可知h(x)存在小于/的零點，

所以當(dāng)，>1時，直線/與曲線y=f