立體幾何中的截面、交線問題（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)19立體幾何中的截面、交線問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1截面作圖】...........................................................................2

【題型2截面圖形的形狀判斷】.................................................................4

【題型3截面圖形的周長或面積問題】..........................................................5

【題型4球的截面問題】.......................................................................6

【題型5截面切割幾何體的體積、表面積問題1............................................................................6

【題型6交線長度、軌跡問題】.................................................................7

【題型7截面的范圍與最值問題】...............................................................8

?命題規(guī)律

1、立體幾何中的截面、交線問題

“截面、交線”問題是高考立體幾何問題中最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些動(dòng)態(tài)的線、面等元素,

給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問題，一是與解三角形、多邊形面積、周長、扇形弧長、面

積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1立體幾何中的截面問題】

1.作截面的幾種方法

(1)直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找

交線的過程.

(2)延長線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長至與其他平面相交找到交點(diǎn).

(3)平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直

線的平行線找到幾何體與截面的交線.

2.球的截面

(1)球的截面形狀

①當(dāng)截面過球心時(shí)，截面的半徑即球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的大圓；

②當(dāng)截面不過球心時(shí)，截面的半徑小于球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：d=.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為七以。，為圓心的截面的半徑

為r,。。=〃貝!|在尺以。。。中，有=即衣2="+/.

【知識(shí)點(diǎn)2立體幾何中的截面、交線問題的解題策略】

1.立體幾何截面問題的求解方法

(1)坐標(biāo)法：所謂坐標(biāo)法就是通過建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問題，進(jìn)行求解.

(2)幾何法：從幾何視角人手，借助立體幾何中的線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，找到該截面與相關(guān)

線、面的交點(diǎn)位置、依次連接這些點(diǎn)，從而得到過三點(diǎn)的完整截面，再進(jìn)行求解.

2.截面、交線問題的解題策略

(1)作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：

①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；

②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；

③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.

(2)作交線的方法有如下兩種：

①利用基本事實(shí)3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

?舉一反三

【題型1截面作圖】

【例1】(2024?河南新鄉(xiāng)?三模)在如圖所示的幾何體中，DE||AC,AC_L平面BCD,4C=2DE=4,BC=2,

DC=1,乙BCD=60°.

(2)過點(diǎn)。作一平行于平面4BE的截面，畫出該截面，說明理由，并求夾在該截面與平面4BE之間的幾何

體的體積.

【變式1-1]（2024高一下?廣東佛山?競(jìng)賽）如圖，在正方體ABC?！?3也1。1中，瓦尸分別為棱4艮Cg

的中點(diǎn).

（1）請(qǐng)?jiān)谡襟w的表面完整作出過點(diǎn)及工小的截面.（只需寫出作圖過程，不用證明）

（2）請(qǐng)求出截面分正方體上下兩部分的體積之比.

【變式1-2]（2023?貴州?模擬預(yù)測(cè)）矩形48C￡＞中，AB=曲,AD=1（如圖1）,將△沿NC折到△

⑴證明：AD11BC；

（2）過ZE的平面與8c平行，作出該平面截三棱錐久-ABC所得截面（不要求寫作法）.記截面分三棱錐所

得兩部分的體積分別為匕,匕,匕＜V2,求點(diǎn).

【變式1-3］（23-24高一下?河北廊坊?階段練習(xí)）如圖正方體力BCD-4/1的。1的棱長為2,E是線段A4

的中點(diǎn)，平面a過點(diǎn)小、C、E.

（1）畫出平面a截正方體所得的截面，并簡要敘述理由或作圖步驟；

⑵求（1）中截面多邊形的面積；

（3）平面a截正方體，把正方體分為兩部分，求較小的部分與較大的部分的體積的比值.

【題型2截面圖形的形狀判斷】

【例2】（2024?四川達(dá)州?二模）如圖，在正方體力BCD—4B1QD1中，E為4B中點(diǎn)，P為線段的小上一動(dòng)

點(diǎn)，過D,E,P的平面截正方體的截面圖形不可能是（）

A.三角形B.矩形C.梯形D.菱形

【變式2-1］（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）在正方體4BCD-4中,M,N分別為的小的中點(diǎn)，過跖

N,%三點(diǎn)的平面截正方體ABCD-481的。1所得的截面形狀為（）

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

【變式2-2］（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底

面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（）

【變式2-3］（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知在長方體48。。一481的。1中，AB=BB1=2BC,點(diǎn)、P,Q,T

分別在棱BBi，CCi和4B上，且/P=38P,CQ=3￡Q,BT=3AT,則平面PQT截長方體所得的截面形狀

為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【題型3截面圖形的周長或面積問題】

【例3】（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測(cè)）正方體4BCD-41%的。1外接球的體積為4V3TT,E、F,G分別為棱44、

&/、的中點(diǎn)，則平面EFG截球的截面面積為（）

A.空B.如C.空D.2

3333

【變式3-1］（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-力道1的。1中，E為棱2C的中點(diǎn),

用過點(diǎn)公,E,的的平面截正方體，則截面周長為（）

A.3V2+2V5B.9C.2&+2有D.3近+2百

【變式3-2］（2024?江蘇南通?二模）在棱長為2的正方體力BCD—&B1C1D1中，P,Q,R分別為棱BC,CD,

CCi的中點(diǎn)，平面PQR截正方體A8CD-4%的。1外接球所得的截面面積為（）

A5「8八35c2V15

A.-TlB.-TlC.——TTD.------1T

3333

【變式3-3］（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）已知正方體2BCD-4/1的。1的棱長為4,M為棱DC的中點(diǎn)，N

為側(cè)面BCi的中心，過點(diǎn)M的平面a垂直于DN,則平面a截正方體4cl所得的截面面積為（）

A.4（V5+V2）B.2V3

C.5V3D.4V6

【題型4球的截面問題】

【例4】（2024?四川資陽?二模）已知球。的體積為帶二點(diǎn)/到球心。的距離為3,則過點(diǎn)工的平面a被

球。所截的截面面積的最小值是（）

A.9irB.12TlC.16nD.20Tl

【變式4-1］（2024?四川自貢?三模）已知球。半徑為4,圓01與圓。2為球體的兩個(gè)截面圓，它們的公共弦

長為4,若|。。/=3,|。。21=百，則兩截面圓的圓心距|0。2|=（）

A.V3B.手C.3+V3D.2V3

【變式4-2］（2024?陜西榆林?一模）已知”是球。的直徑力B上一點(diǎn)，AH-.HB=1:2,AB1平面a,"為垂足,

a截球。所得截面的面積為mM為a上的一點(diǎn)，且=乎，過點(diǎn)M作球。的截面，則所得的截面面積最小的

圓的半徑為（）

A.坦B.巫C?坦D.巫

2442

【變式4-3］（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，某同學(xué)制作了一個(gè)工藝品.該工藝品可以看成是一個(gè)球

被一個(gè)棱長為8的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合）.若其中一截面圓的周長

為4m則球的體積為（）

200南

,333■-3-

【題型5截面切割幾何體的體積、表面積問題】

【例5】（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為4cm和6cm,AAt,BBi為

圓臺(tái)的兩條母線，截面力與下底面所成的夾角大小為60。，且O0劣弧力渣1的弧長為號(hào)cm,則三棱臺(tái)

48。一為九。1的體積為（）

A.-ycm3B.10V3cm3C.19cm3D.20V3cm3

【變式5-1］（2024?上海普陀?二模）若一個(gè)圓錐的體積為雪，用通過該圓錐的軸的平面截此圓錐，得到的

截面三角形的頂角為會(huì)則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.V2TTB.2TTC.2V2TTD.4&兀

【變式5-2］（2024?河南開封?二模）已知經(jīng)過圓錐S。的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐

SO分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是

（）

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【變式5-3］（2024?江西贛州?一模）在棱長為1的正方體力BCD-4/1的。1中，E為棱4。的中點(diǎn)，過當(dāng)且

平行于平面4BE的平面截正方體所得截面面積為（）

A.當(dāng)B.-C.V6D.2V6

24

【題型6交線長度、軌跡問題】

［例6］（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）在正六棱柱4BCDEF—&B1C1D1E1F1中，AAt=2AB=6,。為棱力公

的中點(diǎn)，以。為球心，6為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（）

A.（3+V3）TTB.（6+V3）TTC.（3+2遮）nD.（6+2V3）ir

【變式6-1］（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐力—BCD中，4B,兩兩垂直，且4B=AC=AD=3,

以2為球心，傷為半徑作球，則球面與底面BCD的交線長度的和為（）

A.2V3TTB.V3TTc—D.亨

【變式6-2］（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）己知正四棱錐P-4BCD的體積為手，底面ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在經(jīng)過球

心的截面圓上，頂點(diǎn)P在球。的球面上，點(diǎn)E為底面A8CD上一動(dòng)點(diǎn)，PE與P。所成角為！則點(diǎn)E的軌跡長度

為（）

A.V2TTB.4伍C.等D.乎IT

【變式6-3］（2024?河南?二模）已知四面體力BCD的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且C4=CB=24B=4.

設(shè)E為空間內(nèi)一點(diǎn)，且A,B,C,D,E五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，若AE=2W,則點(diǎn)E的軌跡長度為（）

A.nB.2KC.3iiD.4H

【題型7截面的范圍與最值問題】

【例7】（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）已知S6=2,底面半徑。遇=4的圓錐內(nèi)接于球。，則經(jīng)過S和。M

中點(diǎn)的平面截球。所得截面面積的最小值為（）

252525

A.—71B.—nC.—nD.5冗

234

【變式7-1］（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐尸一4BC中，/C=BC=PC=2,且AC1BCfPC，平面ABC,

過點(diǎn)尸作截面分別交AC,BC于點(diǎn)瓦F,且二面角P-EF-C的平面角為60。，則所得截面PEF的面積最小值為

（）

A.-B.-C.-D.1

333

【變式7-2］（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正方體4BCD-4/C1D1的棱長為1,.片直線&C垂直的平面a截該

正方體所得的截面多邊形為M,則M的面積的最大值為（）

A.-V3B.-V3C.—D.V3

842

【變式7-3］（2024?四川?一模）設(shè)正方體4BCD-&81的。1的棱長為1,與直線&C垂直的平面a截該正方

體所得的截面多邊形為則下列結(jié)論正確的是（）.

A.M必為三角形B.M可以是四邊形

C.M的周長沒有最大值D.M的面積存在最大值

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）過圓錐P。高的中點(diǎn)。作平行于底面的截面，則截面分圓錐PO上部分圓錐與下部

分圓臺(tái)體積比為（）

2.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體4BCD-中，點(diǎn)E是線段BBi上靠近Bi的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸是

線段小的上靠近小的三等分點(diǎn)，則平面截正方體力BCD-aB1C1D1形成的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

3.（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測(cè)）己知正三棱錐4-BCD的外接球是球。，正三棱錐底邊BC=3,側(cè)棱AB=2V3,

點(diǎn)E在線段BD上，且BE=DE,過點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓面積的最大值是（）

A.2nB.丁C.3nD.4n

4.（2024?廣東江門?模擬預(yù)測(cè)）沙漏也叫做沙鐘，是一種測(cè)量時(shí)間的裝置.沙漏由兩個(gè)完全一樣的圓錐和一

個(gè)狹窄的連接管道組成，通過充滿了沙子的玻璃圓錐從上面穿過狹窄的管道流入底部玻璃圓錐所需要的時(shí)

間來對(duì)時(shí)間進(jìn)行測(cè)量西方發(fā)現(xiàn)最早的沙漏大約在公元1100年，比我國的沙漏出現(xiàn)要晚.時(shí)鐘問世之后，沙

漏完成了它的歷史使命.現(xiàn)代沙漏可以用來助眠.經(jīng)科學(xué)認(rèn)證，人類的健康入睡時(shí)間是15分鐘，沙漏式伴睡

燈便是一個(gè)15分鐘的計(jì)時(shí)器.它將古老的計(jì)時(shí)沙漏與現(xiàn)代夜燈巧妙結(jié)合，隨著沙粒從縫隙中滑下，下部的

燈光逐漸被沙子掩埋，直到15分鐘后沙粒全部流光，柔和的燈光完全覆蓋.就這樣，寧靜的夜晚，聽著沙

粒窸窸窣窣的聲音，仿佛一首緩緩流動(dòng)的安眠曲如圖，一件沙漏工藝品，上下兩部分可近似看成完全一樣

的圓錐，測(cè)得圓錐底面圓的直徑為10cm,沙漏的高（下底面圓心的距離）為8cm,通過圓錐的頂點(diǎn)作沙漏

截面，則截面面積最大為（）

A.40cm2B.41cm2C.42cm2D.43cm2

5.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體力BCD-41%的。1中，5尸分別為棱力B,4D的中點(diǎn),過瓦尸,的

三點(diǎn)作該正方體的截面，則（）

A.該截面是四邊形

B.4C1平面

C.平面ABiA〃平面CiEF

D.該截面與棱8%的交點(diǎn)是棱BBi的一個(gè)三等分點(diǎn)

6.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知直三棱柱4BC—&BiCi的體積為4,ACLBC,AC=BC=CC1；D

為/Ci的中點(diǎn)，E為線段NC上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則平面截直三棱柱力BC-4/1的所得的截面面積

的取值范圍為（）

7.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）在正方體4BCD-4/1的。1中，E,尸分別為棱4/1，￡＞小的中點(diǎn)，過直線M

的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為s,最大值為S,則9=（）

S

A.當(dāng)B.|C.fD.|

8.（2024?山東棗莊?一模）在側(cè)棱長為2的正三棱錐A-BCD中，點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，且ADJL力E,則以

4為球心，夜為半徑的球面與該三棱錐三個(gè)側(cè)面交線長的和為（）

A.學(xué)B.伍C.唱D.3伍

二、多選題

9.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P-4BC中，△A8C與△P4C是全等的等腰直角三角形，平面PAC1平

面ABC,4C=2,。為線段4C的中點(diǎn).過點(diǎn)D作平面截該三棱錐的外接球所得的截面面積可能是（）

A.nB.2TIC.4nD.5Ti

10.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體P-ABC,過點(diǎn)P的平面將四面體的體積平分，則下列命題

正確的是（）

A.截面一定是銳角三角形B.截面可以是等邊三角形

C.截面可能為直角三角形D.截面為等腰三角形的有6個(gè)

11.（2024?湖北荊州?三模）如圖，正八面體E-4BCD-F棱長為2.下列說法正確的是（）

B.當(dāng)尸為棱EC的中點(diǎn)時(shí)，正八面體表面從尸點(diǎn)到P點(diǎn)的最短距離為V7

C.若點(diǎn)P為棱￡8上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐F-力DP的體積為定值g

D.以正八面體中心為球心，1為半徑作球，球被正八面體各個(gè)面所截得的交線總長度為誓

三、填空題

12.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長為2的正四面體力BCD中，M,N分別為棱力D,BC的中點(diǎn)，。

為線段MN的中點(diǎn)，球。的表面與線段4D相切于點(diǎn)M,則球。被正四面體4BCD表面截得的截面周長為.

C

13.（2024?山東日照?一模）已知正四棱錐S—4BCD的所有棱長都為2；點(diǎn)￡在側(cè)棱SC上，過點(diǎn)E且垂直

于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形〃，則〃的邊數(shù)至多為,〃的面積的最大值為.

s

E

AB

14.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）在棱長為1的正方體力BCD-4B1C1D1中，過面對(duì)角線人小的平面記為a,

以下四個(gè)命題：

②若平面a與平面BBiCiC的交線為Z,則存在直線I,使l〃Bg;

③若平面a截正方體所得的截面為三角形，則該截面三角形面積的最大值為乎；

④若平面a過點(diǎn)當(dāng)，點(diǎn)P在線段BQ上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到平面A%%的距離為日.

其中真命題的序號(hào)為.

四、解答題

15.（2024?陜西榆林?三模）如圖是一個(gè)半圓柱，DC,AB分別是上、下底面圓的直徑，。為4B的中點(diǎn)，且4B=

4D=2,E是半圓而上任一點(diǎn)（不與48重合）.

（1）證明：平面。瓦4平面CEB,并在圖中畫出