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第28講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積

（7類核心考點(diǎn)精講精練）

考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第9題,5分柱體體積的計(jì)算

2023年天津卷，第8題,5分錐體體積的有關(guān)計(jì)算證明線面垂直

2022年天津卷，第8題,5分柱體體積的有關(guān)計(jì)算求組合體的體積

2021年天津卷，第6題,5分錐體體積的有關(guān)計(jì)算球的體積的有關(guān)計(jì)算

2020年天津卷，第5題,5分球的表面積的有關(guān)計(jì)算

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握幾何體的有關(guān)特征，掌握不同幾何體的表面積與體積的計(jì)算公式。

2.能掌握不同幾何體的展開圖的特征。

3.具備數(shù)形空間思維，會(huì)計(jì)算空間幾何體中的最短路徑問題。

4.會(huì)解外接球，內(nèi)切球與棱切球問題。

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出幾何體，求解幾何體的表面積。體積與球的相

關(guān)問題。

GA?考點(diǎn)梳理，

1

r知識(shí)點(diǎn)一.構(gòu)成空間幾何體的基本元素一點(diǎn)、線、面考點(diǎn)一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

考點(diǎn)五、幾何體的展開圖

知識(shí)點(diǎn)二.簡(jiǎn)單凸多面體一棱柱、棱錐、棱臺(tái)

考點(diǎn)六、最短路徑問題

知識(shí)點(diǎn)三.簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體一圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積；

知識(shí)點(diǎn)四.組合體

考點(diǎn)二、空間幾何體的表面積

知識(shí)點(diǎn)五.表面積與體積計(jì)算公式考點(diǎn)二、空間幾何體的表面積

考點(diǎn)七、球相關(guān)問題

知識(shí)點(diǎn)六.空間幾何體的直觀圖考點(diǎn)四、幾何體的直觀圖

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.構(gòu)成空間幾何體的基本元素一點(diǎn)、線、面

1.空間中，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體.

2.空間中，不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)空間圖形或幾

何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）.

知識(shí)點(diǎn)二.簡(jiǎn)單凸多面體一棱柱、棱錐、棱臺(tái)

1.棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所

圍成的多面體叫做棱柱.

(1)斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱;

(2)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱;

(3)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱;

(4)平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱;

(5)直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體;

(6)長(zhǎng)方體：底面是矩形的直平行六面體;

(7)正方體：棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體.

2.棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.

（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心;

（2）正四面體：所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐.

3.棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐截得的棱臺(tái)叫

做正棱臺(tái).

簡(jiǎn)單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示.

2

知識(shí)點(diǎn)三.簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體一圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球

1.圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱.

2.圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐.

3.圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái).

4.球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球（球面距離:

經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度）.

知識(shí)點(diǎn)四.組合體

由柱體、錐體、臺(tái)體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體.

知識(shí)點(diǎn)五.表面積與體積計(jì)算公式

1.表面積公式

S直棱柱="+2s底

S斜棱柱=c7+2s底(c‘為直截面周長(zhǎng)

柱體

)

S圓錐=2TTP2+271rl=2^r(r+/)二2--

表S正棱錐=；加"+8底

面錐體

積S圓錐-兀戶+7irl=7ir(r+/)

a

S正棱臺(tái)=~n(a++S上+S下

臺(tái)體

S圓臺(tái)=成產(chǎn)+r2+r'l+r/)

3

球S=4"21

體積公式

柱體%=SkK

錐體囁=興

體

積

臺(tái)體K=^(s+4ss'+S')h

43

球V=-7rR3

3?

知識(shí)點(diǎn)六.空間幾何體的直觀圖

1.斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法的主要步驟如下：

（1）建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐標(biāo)系.

（2）畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對(duì)應(yīng)圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀

圖中畫成平行于O'x',Oy,使/x'O'y'=45。（或135。），它們確定的平面表示水平平面.

（3）畫出對(duì)應(yīng)圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于V軸的線段，且長(zhǎng)度保持不變;

在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y'軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?可簡(jiǎn)化為“橫不變，

縱減半

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去x'軸、y'軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被擋住的棱畫虛線.

注：直觀圖和平面圖形的面積比為4.

2.平行投影與中心投影

4

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn).

考點(diǎn)一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

中典例引領(lǐng)

1.（?北京?高考真題）如圖，在正方體力BCD-&B1C1D1中，P為對(duì)角線BDi的三等分點(diǎn)，P到各頂點(diǎn)的距離

的不同取值有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)

C.5個(gè)D.6個(gè)

【答案】B

【詳解】如圖,取底面ABCD的中心0,連接PA,PC,PO.

：AC_L平面DD1B,

又POu平面DD1B,

AACIPO.

又O是AC的中點(diǎn)，

；.PA=PC.

同理，取B1C與BC1的交點(diǎn)H,易證B1C_L平面D1C1B,

.?.B1C±PH.

又H是B1C的中點(diǎn)，

.,.PB1=PC,

；.PA=PB1=PC.

5

同理可證PA1=PC1=PD.

又P是BD1的三等分點(diǎn)，

/.PB#PD1/PB1#PD,

故點(diǎn)P到正方體的頂點(diǎn)的不同距離有4個(gè).

2.（2007?安徽?高考真題）在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些

幾何形體是（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.

①矩形；

②不是矩形的平行四邊形；

③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；

④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；

⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體.

【答案】①③④⑤

【詳解】試題分析：本題中①③④⑤只要能舉一例說明正確即可，如圖長(zhǎng)方體力中，四邊

形是矩形，四面體有三個(gè)面是直角三角形，第四個(gè)面/AC是等腰三角形，四面體每

個(gè)面都是等腰三角形，四面體Z8DC每個(gè)面都是直角三角形，故①③④⑤正確，而任取四點(diǎn)構(gòu)成的平行四

邊形的兩組對(duì)邊中至少有一組是長(zhǎng)方體的平行的一對(duì)棱，故這個(gè)平行四邊形一定是矩形，從而②錯(cuò)誤.

考點(diǎn)：線線垂直與線面垂直.

即時(shí)檢測(cè)

■一

1.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）碳60（Co）是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個(gè)碳原子構(gòu)成，形似足球，又稱

為足球烯，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共32個(gè)面,

且滿足：頂點(diǎn)數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)=2,則其六元環(huán)的個(gè)數(shù)為（）.

6

A.12B.14C.18D.20

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，設(shè)正五邊形為x個(gè)，正六邊形為y個(gè)，分析可得其棱數(shù)，即可得關(guān)于久、y的方程組，解

得y的值，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)正五邊形為x個(gè)，正六邊形為y個(gè)，

碳60（40）的頂點(diǎn)數(shù)為60，有32個(gè)面，

由頂點(diǎn)數(shù)一棱數(shù)+面數(shù)=2,則棱數(shù)為90,

則有解可得y=20,即有20個(gè)六元環(huán)，

故選：D

2.（2023高三上?廣西?學(xué)業(yè)考試）如圖、以矩形48CD的邊AB所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所

圍成的幾何體是（）

【分析】根據(jù)圓柱的形成即可得到答案.

【詳解】以矩形48CD的邊所在直線為軸，

其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是圓柱.

故選：C.

3.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）要使正方體力BCD-4道1的。1以直線C4為軸，旋轉(zhuǎn)n。后與其自身重合，貝g

的最小正值為.

【答案】120

【分析】由正方體的性質(zhì)可證得C41平面BO。，且為正三角形，所以只需要△BDCi旋轉(zhuǎn)后能和自

身重合即可，從而可求得答案.

【詳解】因?yàn)樗倪呅?BCD為正方形，所以力C1BD,

因?yàn)?41_L平面4BCD,8Du平面力BCD,所以4411BD,

因?yàn)榱?1。4。=力，441，4Cu平面所以BD_L平面

因?yàn)?1Cu平面44停，所以8D_L&C,同理可證得BQ_L&C,

因?yàn)锽CiCiBD=B,BC[,BDu平面8。的，所以C4i_L平面8。的，

7

同理可證得1平面48拉1，

因?yàn)椤鰾O。為等邊三角形，BC=CCt=DC,

所以&C過△BOQ的中心，設(shè)△BDQ的中心為點(diǎn)G,連接CiG,BG,DG,

貝此8GD=乙BGC]=乙DGC[=120°,

同理&C也過等邊的中心，

若正方體繞C&旋轉(zhuǎn)滸后與其自身重合，只需要△BO。和△力Bi%旋轉(zhuǎn)后能和自身重合即可,

因此至少旋轉(zhuǎn)120°.

故答案為：120.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本小題主要考查正方體特征及垂直等知識(shí)；解題的關(guān)鍵是證明C41平面BDCi，考

查運(yùn)算求解能力等；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等；體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展發(fā)展直觀想象、邏輯推理、

數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的關(guān)注.

4.（24-25高三?上海?隨堂練習(xí)）連結(jié)正三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)，可以組成個(gè)四面體.

【答案】12

【分析】求出4個(gè)點(diǎn)共面的情況有3種情況，利用正難則反進(jìn)行求解.

【詳解】正三棱柱共有6個(gè)頂點(diǎn)，從中任取4個(gè)，有墨種，

其中4個(gè)點(diǎn)共面的情況有3種情況，分別為三個(gè)側(cè)面,

故可以組成-3=12個(gè)四面體.

故答案為：12

考點(diǎn)二、空間幾何體的表面積

8

典例引領(lǐng)

1.（24-25高三上?安徽?開學(xué)考試）陀螺是中國(guó)民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個(gè)圓柱和

一個(gè)圓錐組合而成.如圖，已知一木制陀螺的圓柱的底面直徑為6,圓柱和圓錐的高均為4,則該陀螺的表面

積為（）

A.44TlB.46KC.48KD.50n

【答案】c

【分析】分析該陀螺的表面結(jié)構(gòu)，結(jié)合圓柱、圓錐的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：該陀螺的表面有：底面圓面、圓柱的側(cè)面和圓錐的側(cè)面,

且圓錐的母線長(zhǎng)為V32+42=5,

所以該陀螺的表面積為兀x3?+2irx3x4+nx3x5=481T.

故選：C.

2.（24-25高三上?貴州黔東南?開學(xué)考試）如圖，在直角梯形4BCD中，4B||CD,AB1BC,且力B=l,BC=y/3,

DC=2.將直角梯形4BCD繞BC所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為（）

A.2逐兀+5兀B.百兀+5無C.UTTD.6V3TT+5K

【答案】C

【分析】由圓臺(tái)的表面積公式求解即可.

【詳解】由題可知，該旋轉(zhuǎn)體為上底面半徑勺=1,下底面半徑*=2,母線長(zhǎng)/=2的圓臺(tái),

則該圓臺(tái)的表面積S=rt（ri+r1+rrl+r2Z）=lln.

故選：C.

1.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐P。的頂點(diǎn)為P,其三條母線P4PB,PC兩兩垂直，且母線長(zhǎng)為

9

則圓錐P。的側(cè)面積為（）

A.V2TTB.2y/6itC.手兀D.V6TC

【答案】D

【分析】由已知和正弦定理，勾股定理求出圓錐底面圓的半徑，然后由圓錐的側(cè)面積公式求出結(jié)果即可.

【詳解】因?yàn)槿龡l母線PA,PB,PC兩兩垂直，且母線長(zhǎng)為舊，

所以△4BC為圓錐底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)4B=BC=CA=V3T3=V6,

由正弦定理可得底面圓的半徑R=3x咯=&，

2sin60°

圓錐的側(cè)面積為］xV2x211xV3-迎兀；

故選：D

2.（2024?福建福州?模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐S。的底面半徑為1,過高線的中點(diǎn)且垂直于高線的平面將圓錐S。

截成上、下兩部分，若截得小圓錐的體積為翁乃，則圓錐S。的側(cè)面積為（）

A.4TTB.2TTC.a兀D.n

【答案】B

【分析】根據(jù)體積公式可得圓錐的高，進(jìn)而求解母線，即可由側(cè)面積公式求解.

【詳解】圓錐的底面半徑為1,設(shè)高為伍過高線的中點(diǎn)且垂直于高線的平面將圓錐截成上下兩部分，則小

圓錐的底面半徑為右高為沙

則小圓錐的體積為：|TTX（|）2X|/I==V3.

故圓錐母線長(zhǎng)為=2,

故圓錐S。的側(cè)面積為nx1x2=2兀

故選：B

3.（24-25高三上?河南?開學(xué)考試）已知圓錐的高與底面半徑之和為3,則當(dāng)該圓錐的體積取得最大值時(shí)，圓

錐的側(cè)面積為（）

A.2逐兀B.（2V5+4）7tC.4V5rtD.4（1+V5）TI

【答案】A

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為3-r,得到％）=?—濘，得到U'（r）=nr（2—r）,利用導(dǎo)數(shù)求得

10

函數(shù)的單調(diào)性和極值(最值)，即可求解.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r,則圓錐的高為3-r(0<r<3),

則圓錐的體積為V(r)=!?tr2(3—r)=nr2—^r3,

所以U'(r)=2nr—irr2=nr(2—r),

當(dāng)0<r<2時(shí),/(r)>0,U(r)在(0,2)上單調(diào)遞增，

當(dāng)2<r<3時(shí)，7'(r)<0,U(r)在(0,2)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)r=2時(shí)，U(r)取得最大值，此時(shí)圓錐的高為1,母線2=后”=痛，

故圓錐的側(cè)面積S=TtrZ=ITx2xV5=2V5TT.

故選：A.

4.(2024?四川宜賓?三模)在直三棱柱力BC-4B1C1中，AB=BC=BBX,4B1BC,點(diǎn)P在四邊形人&⑶道

內(nèi)(含邊界)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C1P=/CC1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為兀，則該三棱柱的表面積為()

A.4B.10+4V2C.12+4V2D.16+4近

【答案】C

【分析】由題意得8記=V2a2-a2=a,其中AB=BC=BB1=a,從而根據(jù)題意列方程可求得a,根據(jù)棱

柱表面積公式即可求解.

【詳解】

設(shè)力B=BC=BBi=a,因?yàn)?B，BC,所以由棱柱的性質(zhì)可得1位的，

因?yàn)锽B]_J_平面B]_Ciu平面4B1C1，所以B/J-BiCi，

又因?yàn)?iBi±B]Ci，41夕1CBBI=B],A^BI,BB^u平面力

所以C\Bi，平面4BBi公,

點(diǎn)P在四邊形441/B內(nèi)(含邊界)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)gP=&Cg=奩￡1時(shí)，

B]P=V2a2-a2=a,這意味著點(diǎn)P是在以當(dāng)為圓心a為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，

該圓弧弧長(zhǎng)是:圓周周長(zhǎng)，由題意：x2ira=n,解得a=2,

所以該三棱柱的表面積為2X2+2X2+2/x2+Tx2x2+Ix2x2=12+4V2.

故選：C.

11

考點(diǎn)三、空間幾何體的體積

典例引領(lǐng)

1.（2023?天津?高考真題）在三棱錐P—4BC中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且PM=*C,PN=^PB,則

三棱錐P-HMN和三棱錐P-A8C的體積之比為（）

1214

A.-B.-C.-D.-

9939

【答案】B

【分析】分別過作“用'124"'’1「力,垂足分別為“，過8作88’1平面/5",垂足為B',連接PB',過N

作NN'1PB’,垂足為N'.先證NN'_L平面PAC,則可得到BB7/NN,，再證MM'//。。'.由三角形相似得到箸=

普=9,再由詈皿=經(jīng)%即可求出體積比.

3Vp-ABCVB-PAC

【詳解】如圖，分別過MC作MM'1PA,CC,1P4垂足分別為過B作，平面P4C,垂足為B',連接PB；

過N作NN'1PB：垂足為N：

因?yàn)?B‘1平面PAC,BB'u平面PBB',所以平面PBB'_L平面P4C.

又因?yàn)槠矫鍼B8'n平面PAC=PB',NN'1PB',NN'u平面PBB',所以NN’1平面P力C,且BB'〃NN'.

在△PC。'中，因?yàn)镸M'1P4CC'，P4所以MM力CC',所以翳=箸=(,

在△PBB'中，因?yàn)锽B7/NN',所以黑=黑=：

CDDD3

所以PPTMN_PN-P4M_￥APAM.NM_ggPAMMjNN'_2

Vp-ABCVB-PAC^S^PAC-BB'^PACCyBB'9*

故選：B

2.（2024?北京?高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是痛、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量

器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次

為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm,則斗量器的高為mm,升量器的高為mm.

【答案】2357.5/孚

【分析】根據(jù)體積為公比為10的等比數(shù)列可得關(guān)于高度的方程組，求出其解后可得前兩個(gè)圓柱的高度.

【詳解】設(shè)升量器的高為刈，斗量器的高為電（單位都是mm）,則球陛=單守=10,

若”1督）加

12

故電=23mm,自=—mm.

故答案為：23mm，手mm.

即時(shí)校L

1.(2024?全國(guó)?高考真題)已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為q,下底面半徑均為上，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)分別為

2(「2-口),3(丁2—勺)，則圓臺(tái)甲與乙的體積之比為.

【答案】斗

【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式直接代入計(jì)算即可

得解.

*22

【詳解】由題可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別為八甲=V[2(ri-r2)]-(ri-r2)=百(勺一萬)，

r22

h乙=V[3(n-2)]-(n-^2)=2魚01-r2),

福l、J甲翔2+$1+4瓦)詐八甲V3(ri-r2)V6

P/T以=T-----------===---------=

，乙§(S2+Si+JS2Si)h乙"乙2V2(ri—r2)4

故答案為：手.

2.(2023?全國(guó)?高考真題)已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上，△力BC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，SH1

平面力BC,則S4=.

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】如圖，將三棱錐S-4BC轉(zhuǎn)化為正三棱柱SMN-4BC,

設(shè)的外接圓圓心為?？诎霃綖閞,

則2T=.*憶=%=2?可得百，

smz.ACB蟲.7-=

2

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為0,連接。4。。1，貝"04=2,。。1=gsa,

因?yàn)?。A2=。。彳+0^2,即4=3+[s42,解得S4=2.

故答案為：2.

13

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問題的求解方法

（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，

把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；

（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=a,PB=b,PC=c,一

般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2=a2+b2+c2求解；

（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)；

（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)；

（5）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位

置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.

3.（2023?全國(guó)?高考真題）在正四棱臺(tái)力BCD-力i/CiDi中，=2,=1,44］=戊，則該棱臺(tái)的體積

為.

［答案］』灰

OO

【分析】結(jié)合圖像，依次求得乙。1，4。,公知，從而利用棱臺(tái)的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過&作41MJ.4C,垂足為M,易知為四棱臺(tái)48。。一4/1的。1的高，

因?yàn)?B=2,4當(dāng)=l,AAr=V2,

Ac

貝I］力=^ii=ixV2A1B1W，A0=^AC=^x42AB=V2,

故力M=|(^C-&CJ=y,則=yjA^-AM2=(2-1=y,

14

所以所求體積為。=Jx(4+1+W3H)義當(dāng)=嬰

DZO

故答案為：平.

6

4.(2023?全國(guó)?高考真題)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為一.

【答案】28

【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺(tái)體

的體積公式直接運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：由于：=；，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

所以正四棱錐的體積為3x(4x4)x6=32,

截去的正四棱錐的體積為3x(2x2)x3=4,

所以棱臺(tái)的體積為32-4=28.

方法二：棱臺(tái)的體積為gx3x(16+4+116x4)=28.

故答案為：28.

考點(diǎn)四、幾何體的直觀圖

典例引領(lǐng)

1.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，其中。'是B'C'的中點(diǎn),

且力'D'//y'軸，軸，A'。'=B'C'=2,那么SMBC=()

A.V2B.2C.2V2D.4

15

【答案】D

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法確定原圖形，求解即可.

【詳解】根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示,

其中力DJ.BC,力。=24'。'=4,BC=B'C'=2,

原平面圖形的面積為S&4BC=?4D=（x2x4=4.

2.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，△?！?'8'是水平放置的△。48用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖（圖中虛線

分別與V軸和y'軸平行），OB'=20'D=6,OC=8,則a。力B的面積為（）

A.8&B.12V2C.24D.48

【答案】D

【分析】由直觀圖得到平面圖形，再求出相應(yīng)的線段長(zhǎng)，最后由面積公式計(jì)算可得.

【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：

其中。8=02=6,0D=0D=3,OC=2OC=16,力?！▂軸，且AD=OC=16,

所以SAO4B=；x6x16=48.

16

即時(shí)檢測(cè)

1.（2022高三?全國(guó)?專題練習(xí)）下圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1,四邊形4BCD為某圖形的直觀圖，則該圖形的

面積為（）

【答案】D

【分析】先利用分割法求出直觀圖的面積，然后利用直觀圖和原圖面積關(guān)系求解.

【詳解】如圖，把四邊形4BCD分割成兩個(gè)三角形和一個(gè)梯形來求面積

其面積S'=gx5x5+1x2x7+gx（5+7）x3=g

設(shè)原圖形面積為s,則s'=￥s,

4

所以S=2V2S'=2V2xy=75a.

故選：D.

2.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在水平放置的平面a上畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，在斜二測(cè)畫法中線

段2C的長(zhǎng)為.

【答案】程

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的幾何關(guān)系，再結(jié)合余弦定理從而可求解.

【詳解】在斜二測(cè)畫法中，取的中點(diǎn)D,則力。=f，CD=1,^ADC=45°,

AC2=CD2+AD2-2CD-AD-coszXDC=1+--2x1x—x—=

4224

故答案為：號(hào).

17

A

A

3.（23-24高三上?貴州黔西?階段練習(xí)）如圖，矩形。/B'C'是水平放置的平面圖形。48C的直觀圖，其中。N=

6,。'。'=3,則原圖形。48C的面積為

【答案】36企

【分析】結(jié)合圖形求出矩形ON'B'c'的面積，再由/j=2a,即可求解.

SOABC

【詳解】由題意可得SoZRd=3X6=18,又^^=2V2,所以S./BC=2&X18=36Vl

SoABC

故答案為：36Vl

4.（2023?遼寧錦州?模擬預(yù)測(cè)）已知用斜二測(cè)畫法畫梯形OABC的直觀圖。力'B'C'如圖所示，6A=3CB,

C'E1O'A,S04BC=8,C力'〃y'軸，CE=y,。'為。'4'的三等分點(diǎn)，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成

的空間幾何體的體積為一.

【答案】48Tt

【分析】先由直觀圖還原梯形OABC,再利用斜二測(cè)畫法的性質(zhì)求得其邊與高，從而判斷得該梯形為等腰梯

形，進(jìn)而利用圓臺(tái)與圓錐的體積公式求解即可.

【詳解】在直觀圖中，CD=<2C'E=1,所以在還原圖中，CD=2,如圖，

在直觀圖中，O'A=3CB',。'為。'4的三等分點(diǎn)，

所以在還原圖中，O4=3CB,D為OA的三等分點(diǎn),

又在直觀圖中，C'》〃爐軸，

所以在還原圖中，CD〃y軸，則CDLO4

18

所以S04BC=[CDX（%+CB）=[X2x4CB=4CB=8，貝iJCB=2,

故。A=6,。。=（。4=2,所以四邊形OABC是等腰梯形，

所以四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體的體積等于一個(gè)圓臺(tái)的體積減去一個(gè)圓錐的體積,

222

即V=1KX（4+4X6+6）X2-1TTX2x2=苧—岑=48n.

故答案為：487T.

考點(diǎn)五、幾何體的展開圖

典例引領(lǐng)

1.（?廣東?高考真題）己知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是（）

A.—B.—C.—D.—

4TTn2K2TI

【答案】c

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為八，則由題意可得h=2irr,然后分別表示出圓柱的表面積與側(cè)面積進(jìn)

行求解即可.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為八，

因?yàn)閳A柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，所以九=2irr,

所以圓柱的表面積為2irr2+2-rrr-h=2-nr2+4n2r2,

圓柱的側(cè)面積為4n2r2,

所以這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是空真竺=竽，

4九”產(chǎn)271

故選：C

2.（?北京?高考真題）如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）

是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為I,底面半徑為r,依題意得到Z=2r,即可得到圓錐的軸截面為等邊三角形，即

可得解.

【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為Z,底面半徑為r,依題意可得位=2c,即Z=2r,

所以圓錐的軸截面為等邊三角形，所以圓錐的頂角為60。.

故選：C.

即時(shí)檢測(cè)

1.（2022?全國(guó)?高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2m側(cè)面積分別為S甲

19

sv

和s乙，體積分別為唳和V乙.若￡=2,則直（）

A.V5B.2V2C.V10D.—

4

【答案】c

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為Z,甲圓錐底面半徑為「1，乙圓錐底面圓半徑為「2,根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得=2丁2,

再結(jié)合圓心角之和可將勺,「2分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即

可得解.

【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為1,甲圓錐底面半徑為勺，乙圓錐底面圓半徑為全，

C

則二=辿=11=2,

r

s乙"沖2

所以=2r2，

又孚+”=2兀，

則中=1,

所以=|，"2=?

所以甲圓錐的高陽=

乙圓錐的高七=

所以￡=注

故選：C.

2.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開圖，在該正方體中，下列命題正確的是（）

A.AB||HGB.CG1BHC.CG1DHD.AC||DG

【答案】A

【分析】將正方體的展開圖重新組合成正方體，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析，判斷易得只有A選項(xiàng)正確.

【詳解】如圖所示，將展開圖重新組合成正方體.顯然4BIIHG.因此A選項(xiàng)正確.

20

由圖易得CGIIDH,顯然?！迸cBH所成角非直角，因此異面直線CG與所成角也非直角，所以CG1不成

立.因此B、C選項(xiàng)不正確.

由圖易得AC||EG,顯然EG與DG相交，因此4C||DG不成立.因此D選項(xiàng)不正確.

故選：A

3.（2022?江蘇連云港?二模）如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2,則該圓臺(tái)的

,242412,12

【答案】B

【分析】先計(jì)算出上、下底面的半徑和面積，再求出圓臺(tái)的高，按照?qǐng)A臺(tái)體積公式計(jì)算即可.

如圖，設(shè)上底面的半徑為r,下底面的半徑為R,高為h,母線長(zhǎng)為Z,

則2TO-=TTX1,2TTR=TTX2,解得r=1,R=L

又I=2-1=1,h=J/2一（R_「）2=J]_2_0_=今

設(shè)上底面面積為S'=ITx（￡）2=j下底面面積為S=TTX/=m

所以圓臺(tái)的體積V=[（S+S'+Vsy）/l=11+；+J兀X：）Xy=

故選：B.

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的軸截面是頂角為a的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為￡的扇形,

21

則當(dāng)0—a的值最大時(shí)，夕=()

A.1B.2

C.VTT12-1D.2,兀2—1

【答案】D

【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為1,則可得底面半徑丁=Isin會(huì)再由側(cè)面展開圖的扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)

可得/?=2ns嗚，則￡一a=2ns嗚一a,構(gòu)造函數(shù)/(a)=2ns嗚一a,利用導(dǎo)數(shù)可求出其最大值，從而可

求出/?.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為1,則圓錐的底面半徑r=Zsin泉

側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)，即圓錐底面的周長(zhǎng)C=邛,

因此牛=2n/sirip/?=2nsinpp-a=2nsin|-a.

記/(a)=2nsin^—a,a6(0,IT),則f(a)=ncos^—1,

因?yàn)閒(a)在(0,冗)上遞減，且f(0)=ncosO—1=K—l>0,/(兀)=ncos^—1=—1<0,

所以存在唯一的劭G(0,71)滿足f'Oo)=0,即cos?=工，

L71

且當(dāng)ae(0,劭)時(shí)，/'(a)>0,則/(a)在(0,劭)單調(diào)遞增，

當(dāng)a￡(他加)時(shí)，/(a)<0,則/"(a)在(劭,冗)單調(diào)遞減，

故劭是/①)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).

此時(shí)/?=Zirsiny=2njl一(：)=2VTI2-1.

故選：D

考點(diǎn)六、最短路徑問題

典例引領(lǐng)

1.(24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)圓錐頂點(diǎn)4底面半徑為1,母線4B=4,4B的中點(diǎn)為M,一只螞蟻從底

面圓周上的點(diǎn)B繞圓錐側(cè)面一周到達(dá)M的最短路線中，其中下坡路的長(zhǎng)是()

A.0B.等C.卓D.逐

【答案】B

【分析】將圓錐側(cè)面沿母線2B剪開并展開成扇形，最短路線即為扇形中的線段3M,過A作8M的垂線，垂足

為N,求出NM的長(zhǎng)即可.

【詳解】將圓錐側(cè)面沿母線ZB剪開并展開成扇形，

22

心-----------

則該扇形半徑2B=4,弧長(zhǎng)為2TTX1=2TT,圓心角==泉

最短路線即為扇形中的線段BM,BM=7AB2+加=2限

過2作BM的垂線，垂足為N,當(dāng)螞蟻從B點(diǎn)爬行到點(diǎn)N過程中，它與點(diǎn)4的距離越來越小，

于是BN為上坡路段，當(dāng)螞蟻從點(diǎn)N爬行到點(diǎn)M的過程中，它與點(diǎn)4的距離越來越大，

于是NM為下坡路段，下坡路段長(zhǎng)NM=AM-cos^AMB=2x親=等.

故選：B

2.(24?25高三上?廣東?階段練習(xí))已知某圓錐的軸截面是頂角為a的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為￡

的扇形，則當(dāng)。一夕最小時(shí)，)

A.1B.2C.VTI2-1D.2VK2-1

【答案】D

【分析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為1,則可得底面半徑r=/sin會(huì)再由側(cè)面展開圖的扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)

可得/?=2nsi吟則S-a=2ns嗚-a,構(gòu)造函數(shù)f(a)=2ns嗚一a,利用導(dǎo)數(shù)可求出其最大值，從而可

求出仇

【詳解】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為1,則圓錐的底面半徑廠=/sin全

側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)，即圓錐底面的周長(zhǎng)

因此10=2irZsinp0=2nsinpp-a=2nsin1-a.

記f(a)=2nsin1—a,aE(0,n),則f(a)=71cos￡—1,

因?yàn)?(a)在(0,n)上遞減，且/(0)=ncosO—l=n—1>0,/'(兀)=TTCOS^—1=—1<0,

所以存在唯一的劭6(0,TI)滿足/'(劭)=0,即cos詈=

且當(dāng)a6(0,他)時(shí)，/'(a)>0,則/(a)在(0,%))上單調(diào)遞增，

當(dāng)aG(劭,71)時(shí)，/'(a)<0,則/(a)在(劭,IT)上單調(diào)遞減，

于是劭是/(a)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，此時(shí)0=2irsin^=2nJl-(i)2=2荷工

而a-/?最小，當(dāng)且僅當(dāng)/?一a最大，所以-=2A/兀2一1

故選：D

即日螂(

23

1.（2019高三?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4,一只小蟲從圓錐的底面

圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲爬行的最短路程為4b，則這個(gè)圓錐的體積為

【答案】C

【分析】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，該小蟲爬行的最短路程為PPi，由余弦定理求出NPiOP=g.求出底面

圓的半徑r,從而求出這個(gè)圓錐的高，由此能求出這個(gè)圓錐的體積.

【詳解】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示:

該小蟲爬行的最短路程為PP1，

由余弦定理可得COSNPIOP==一[...NP]OP=3.設(shè)底面圓的半徑為r,

L'Ur'UriLJ

則有2m-=gx4,解得r=:....這個(gè)圓錐的高為h=116-,=竽,

這個(gè)圓錐的體積為V=1xnr2xh=|TIXX『=年產(chǎn).

故選：C.

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱486-4/1的01中,=3,P為線段的小的中點(diǎn)，

一質(zhì)點(diǎn)從4點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面運(yùn)動(dòng)到達(dá)P點(diǎn)處，若沿質(zhì)點(diǎn)力的最短運(yùn)動(dòng)路線截該正四棱柱，則所得截面的

面積為（）

24

A.V3B.—C.—D.3V6

24

【答案】B

【分析】根據(jù)正四棱柱的側(cè)面展開圖可得最短距離，進(jìn)而可得截面與截面面積.

【詳解】如圖，把正四棱柱的側(cè)面展開圖可得最短距離,

所以質(zhì)點(diǎn)從4到P的最短距離為3企,

此時(shí)質(zhì)點(diǎn)從4點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過上靠近久的三等分點(diǎn)S,再到達(dá)P點(diǎn),

面力SP截正四棱柱所得截面為五邊形4SPQR,如圖，

由力S=AR=RS=2V2,SP=PQ=QR=V2,

所以沿質(zhì)點(diǎn)力的最短運(yùn)動(dòng)路線截正四棱柱,

則所得截面的面積為:

S^ARS+S梯形PQRS=2聒+當(dāng)=當(dāng)

故選：B

3.（23-24高三上?山西大同?期末）已知圓臺(tái)的上、下底面的圓心分別為％,。2，母線力B=1（點(diǎn)力位于上

25

底面），且8。2=2401，圓。2的周長(zhǎng)為不一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓臺(tái)側(cè)面爬行一周到點(diǎn)B,則其爬行的

最短路程為（）

A.1B.V3C.2D.V5

【答案】B

【分析】將圓臺(tái)側(cè)面展開成平面圖形，在平面扇環(huán)中分析計(jì)算即得.

【詳解】將圓臺(tái)的側(cè)面沿著母線AB剪開，展成平面圖形，延長(zhǎng)B4B1公交于點(diǎn)0,連接481,8%,如圖,

顯然弧的長(zhǎng)為年，弧441的長(zhǎng)為條設(shè)乙B0Bi=a,則ax04=]ax0B=芋

則。B=2。力，即。4+1=2。力，得。4=1,于是4是。B的中點(diǎn)，a=泉

因此△OBJ是等邊三角形，有網(wǎng)10B,且力當(dāng)