幾種常見的力（解析版）-2024-2025學(xué)年高中物理競(jìng)賽能力訓(xùn)練（高一年級(jí)上冊(cè)）

專題02幾種常見的力

一、單選題

1.（2022?全國(guó)競(jìng)賽）對(duì)于一定溫度下金屬的楊氏模量，下列說法正確的是（）

A.只與材料的物理性質(zhì)有關(guān)而與與材料的大小及形狀無關(guān)

B.與材料的大小有關(guān)，而與形狀無關(guān)

C.與材料的形狀有關(guān)，而與大小無關(guān)

D.與材料的形狀有關(guān)，與大小也有關(guān)

【答案】A

【詳解】楊氏模量只與材料的物理性質(zhì)有關(guān)而與與材料的大小及形狀無關(guān)。

故選A。

2.（2022?浙江模擬）北京冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)總結(jié)表彰大會(huì)2022年4月8日在京舉行。冬奧冠軍武大靖作

為北京冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)突出貢獻(xiàn)個(gè)人稱號(hào)獲得者代表上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)。如圖為他在水平冰面上的訓(xùn)練照片，

根據(jù)該照片，此時(shí)刻我們可推知（）

A.他受到的重力小于地面對(duì)他豎直向上的支持力

B.地面對(duì)他的作用力與重力大小相等

C.他正處于彎道轉(zhuǎn)彎，合力方向與水平面平行

D.他正處于彎道轉(zhuǎn)彎，合力方向與水平面成一個(gè)銳角

【答案】C

【詳解】A.在轉(zhuǎn)彎時(shí)，豎直方向上武大靖僅受到重力和支持力作用，而豎直方向上受力平衡，因此他

受到的重力等于地面對(duì)他豎直向上的支持力，故A錯(cuò)誤；

B.在轉(zhuǎn)彎時(shí)，地面對(duì)武大靖作用力一方面在豎直和重力平衡，一方面在水平方向提供向心力，因此地

面的作用力大于重力，故B錯(cuò)誤；

CD.武大靖正處于彎道轉(zhuǎn)彎，在豎直方向上受力平衡，地面對(duì)他豎直方向的支持力與重力大小相等，方

向相反，而地面對(duì)他的摩擦力只能是水平方向，因此，他轉(zhuǎn)彎時(shí)，所受合力方向與水平面平行，故C正

第1頁(yè)共34頁(yè)

確，D錯(cuò)誤。

故選C。

3.（2007?全國(guó)競(jìng)賽）春天在廣場(chǎng)上有許多人放風(fēng)箏.會(huì)放風(fēng)箏的人，可使風(fēng)箏靜止在空中.圖中的四幅

圖中，兒加代表風(fēng)箏截面，代表風(fēng)箏線，風(fēng)向水平.在圖所示的四種情況中，風(fēng)箏可能處于靜止?fàn)顟B(tài)

【分析】根據(jù)題意可知考查物體受力平衡問題.物體靜止合力為零，先受力分析，再判斷合力是否為零.

設(shè)風(fēng)箏受到的重力為G,繩子拉力為T,風(fēng)對(duì)風(fēng)箏的作用力為F,對(duì)四個(gè)選項(xiàng)風(fēng)箏受力分析，發(fā)現(xiàn)只有B

選項(xiàng)中的風(fēng)箏合力為零，其它3個(gè)選項(xiàng)中風(fēng)箏合力不可能為零.故B符合題意，ACD不符合題意.

二、多選題

4.（2022?江蘇競(jìng)賽）自然界中有四種基本相互作用，下列作用力中屬于電磁相互作用的有（）

A.地球與太陽(yáng)間的作用力

B.將原子結(jié)合成分子的作用力

C.將核子結(jié)合成原子核的作用力

D.汽車與地面間的摩擦力

【答案】BD

第2頁(yè)共34頁(yè)

【詳解】A.地球與太陽(yáng)間的作用力為萬有引力，故A錯(cuò)誤；

B.將原子結(jié)合成分子的作用力屬于電磁相互作用，故B正確；

C.將核子結(jié)合成原子核的作用力屬于強(qiáng)相互作用，故C錯(cuò)誤；

D.汽車與地面間的摩擦力屬于電磁相互作用，故D正確。

故選BD。

5.（2022?全國(guó)競(jìng)賽）在測(cè)量金屬絲的楊氏模量實(shí)驗(yàn)中，常需預(yù)加2kg的負(fù)荷，其目的是（）

A.消除摩擦力

B,使測(cè)量系統(tǒng)穩(wěn)定，金屬絲鉛直

C.拉直金屬絲，避免將拉直過程當(dāng)作伸長(zhǎng)過程進(jìn)行測(cè)量

D,便于望遠(yuǎn)鏡的調(diào)整和測(cè)量。

【答案】BC

【詳解】在測(cè)量金屬絲的楊氏模量實(shí)驗(yàn)中，由于實(shí)驗(yàn)對(duì)象是金屬絲，因此為了保證金屬絲在施加作用力

廠時(shí)，排除金屬絲本身的曲折對(duì)形變長(zhǎng)度A￡造成的影響，故要先施加一些負(fù)荷使其拉直，這些預(yù)先施加

的外力不計(jì)做作用力F中。故選BC

6.（2018?全國(guó)競(jìng)賽）由青島大學(xué)學(xué)生自主設(shè)計(jì)研發(fā)的墻壁清潔機(jī)器人，利用8只“爪子”上的吸盤吸附在接

觸面上，通過這8只“爪子”的交替伸縮吸附，就能在豎直墻壁和玻璃上行走并完成清潔任務(wù).如圖所示,

假設(shè)這個(gè)機(jī)器人在豎直玻璃墻面上由A點(diǎn)沿直線“爬行”到右上方B點(diǎn)，在這一過程中，若此機(jī)器人8只

“爪子”所受玻璃墻對(duì)它的摩擦力的合力為E則下列受力分析圖中可能正確的是（）

7.（2022?全國(guó)競(jìng)賽）“動(dòng)態(tài)法”測(cè)楊氏模量與“靜態(tài)拉伸法”相比，主要優(yōu)點(diǎn)有（）

第3頁(yè)共34頁(yè)

A.其實(shí)驗(yàn)思想和測(cè)量方法更加直觀

B.對(duì)脆性材料也能進(jìn)行測(cè)量

C.避免了靜態(tài)拉伸法受馳豫過程等的影響不能真實(shí)反映材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)變化的缺點(diǎn)

D.測(cè)量的物理量比“靜態(tài)拉伸法”要少，因而對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果不確定度的影響也較小。

【答案】BC

【詳解】A.靜態(tài)拉伸法的實(shí)驗(yàn)思想和測(cè)量方法更加直觀，A錯(cuò)誤；

B.對(duì)脆性材料也能進(jìn)行測(cè)量，B正確；

C.避免了靜態(tài)拉伸法受馳豫過程等的影響不能真實(shí)反映材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)變化的缺點(diǎn)，C正確;

D.動(dòng)態(tài)拉伸法實(shí)驗(yàn)工作量大，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理繁瑣，D錯(cuò)誤。

故選BC.

三、實(shí)驗(yàn)題

8.（2023?北京順義競(jìng)賽）在一定條件下，流體是分層流動(dòng)的，由于各層流體的運(yùn)動(dòng)速度不同所產(chǎn)生的內(nèi)

摩擦力稱為粘滯力。牛頓在大量實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上于1686年提出內(nèi)摩擦定律：粘滯力/與它分布的面積

和流速梯度dv/d/成正比，其表達(dá)式為尸=心當(dāng)式中〃稱為流體的粘度，在國(guó)際單位制中，單位為Pas。

滿足內(nèi)摩擦定律的流體被稱為牛頓流體.試簡(jiǎn)述一種測(cè)量流體粘度〃的方法.

【答案】見解析

【詳解】采用落球法測(cè)定液體的粘度，實(shí)驗(yàn)原理：根據(jù)斯托克斯公式可知小球在液體中受的粘滯力為

F=6nr）rv

〃為粘度、，?為小球半徑，V為小球下落速度，當(dāng)小球受到重力、浮力和粘滯力平衡時(shí)有

mg=。液暗+F

設(shè)小球的直徑為d,小球勻速運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)度為/,時(shí)間為則

m=p/g=/p球，v=y

則有

//一

18/

實(shí)驗(yàn)過程：選幾個(gè)半徑相同的小球，用游標(biāo)卡尺測(cè)出小球的直徑4將盛有菌麻油的長(zhǎng)試管和刻度尺固

定在鐵架臺(tái)上，用重錘線檢驗(yàn)試管和刻度尺是否豎直，在試管外側(cè)標(biāo)出等間距的標(biāo)線，將第一顆小球投

入瓶麻油，用秒表測(cè)量出經(jīng)過各標(biāo)線的時(shí)間，選定小球做勻速運(yùn)動(dòng)的區(qū)域，用刻度尺測(cè)出長(zhǎng)度/,然后

第4頁(yè)共34頁(yè)

分別將其他小球投入菌麻油，測(cè)出每次經(jīng)過勻速區(qū)域的時(shí)間。取平均值，查出小球所用材質(zhì)的密度和

魂麻油的密度，代入原理公式即可計(jì)算出流體粘度。

四、解答題

9.（2013?全國(guó)競(jìng)賽）小明幫媽媽在廚房做菜的時(shí)候經(jīng)常遇到玻璃瓶螺旋瓶蓋擰不開的問題.他通過各種

途徑了解到三種開瓶的技巧：（1）將瓶子到過來，一手緊握瓶子，另一手用力拍打瓶底幾下，然后可擰

開瓶蓋.（2）如圖所示，用麻繩（或布條）在瓶蓋上繞一圈，設(shè)法固定一頭（如系在某固定物上），另

一頭讓人拉緊，瓶子與繩垂直.用手緊握瓶子沿繩的方向使力使其平移，則可將瓶蓋擰開.（3）將瓶子

倒過來置于碗中，倒少許開水使瓶蓋淹沒，稍待片刻，即可擰開瓶蓋.

（1）請(qǐng)分別簡(jiǎn)要說明三種方法的物理原理；

（2）圖中握瓶子的手應(yīng)是用力向左推還是用力向右邊拉？

【答案】（1）第一種是利用慣性，第二種是利用摩擦和力矩,第三種是利用物質(zhì)的熱脹冷縮性質(zhì)（2）用力向

左邊推

【詳解】（1）第一種是利用慣性；

第二種是利用摩擦和力矩；通常擰開瓶蓋的方法中擰瓶的手需要兩方面使力，一是切向的力產(chǎn)生力矩，

二是為了使手與瓶蓋之間不滑動(dòng)，需要緊握產(chǎn)生對(duì)其的壓力從而能有足夠的摩擦力.圖答1的方法中拉

繩的力B產(chǎn)生繩對(duì)瓶蓋的壓力，容易產(chǎn)生足夠大的摩擦力；入產(chǎn)生開瓶需要的力矩.一般仍比手直接

擰瓶蓋時(shí)的摩擦力矩大只要指出了利用了繩的摩擦及推力產(chǎn)生力矩即給滿分，沒有圖不扣分）

劄

圖

第三種是利用物質(zhì)的熱脹冷縮性質(zhì)，不同物質(zhì)的熱脹冷縮效應(yīng)的差別.

（2）用力向左邊推.

第5頁(yè)共34頁(yè)

10.（2019?全國(guó)競(jìng)賽）如圖所示，有一均勻的彈性體，勁度系數(shù)為左，質(zhì)量為加，懸掛后與地面接觸不擠

壓.現(xiàn)將懸掛繩剪斷，求彈性體再次穩(wěn)定后上端與天花板的距離.（懸掛時(shí)上端與天花板的距離可以忽

略）

【答案】等

k

【詳解】將懸點(diǎn)記為x=0,彈性體沿長(zhǎng)度方向各部位均可用坐標(biāo)尤（OVxd）標(biāo)記（按彈性體中無彈力

時(shí)的長(zhǎng)度計(jì)算），取X到公段，貝IJ：k^^—k.

ax

該段的兩端受力分別為

仁寧(C-x)g

&=先￡_（尤+^g

L

上下受力相差一無窮小量，近似處理為r（￡-x）g.

?m/T\

該小段的伸長(zhǎng)量為dlx=-[L-x)gL—x)dx

L

彈性體的伸長(zhǎng)量為△/1=]a=等.

J。2k

用同樣的方法可求得當(dāng)懸掛繩被剪斷時(shí)，彈性體的縮短量

傲=里.

22k

所以再次穩(wěn)定后彈性體上端距天花板的距離為

1=必+%=等

11.（2007?全國(guó)競(jìng)賽）如圖所示，定滑輪B、C與動(dòng)滑輪D組成一滑輪組，各滑輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦、滑輪

的質(zhì)量均不計(jì)。在動(dòng)滑輪D上，懸掛有祛碼托盤A,跨過滑輪組的不可伸長(zhǎng)的輕線的兩端各掛有祛碼

2和3。一根用輕線（圖中穿過彈簧的那條豎直線）拴住的壓縮輕彈簧豎直放置在托盤底上，彈簧的下

第6頁(yè)共34頁(yè)

端與托盤底固連，上端放有祛碼1（兩者未粘連）。已知三個(gè)祛碼和祛碼托盤的質(zhì)量都是相，彈簧的勁

度系數(shù)為匕壓縮量為加整個(gè)系統(tǒng)處在靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)突然燒斷拴住彈簧的輕線，彈簧便伸長(zhǎng)，并推動(dòng)

祛碼1向上運(yùn)動(dòng)，直到祛碼1與彈簧分離.假設(shè)祛碼1在以后的運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)與托盤的頂部相碰。

求祛碼1從與彈簧分離至再次接觸經(jīng)歷的時(shí)間。

23

【詳解】設(shè)從燒斷線到祛碼1與彈簧分離經(jīng)歷的時(shí)間為△/,在這段時(shí)間內(nèi)，各祛碼和祛碼托盤的受力

情況如圖1所示：圖中，廠表示時(shí)間內(nèi)任意時(shí)刻彈簧的彈力，T表示該時(shí)刻跨過滑輪組的輕繩中的

張力，機(jī)g為重力，乃為懸掛托盤的繩的拉力.因D的質(zhì)量忽略不計(jì)，有

入

mg

圖1

T0=2T(1)

在時(shí)間內(nèi)任一時(shí)刻，祛碼1向上運(yùn)動(dòng),托盤向下運(yùn)動(dòng),祛碼2、3則向上升起，但祛碼2、3與托盤

速度的大小是相同的.設(shè)在祛碼1與彈簧分離的時(shí)刻，祛碼1的速度大小為切，祛碼2、3與托盤速度

的大小都是V2,由動(dòng)量定理，有

-％=叫(2)

【T-Img5%(3)

第7頁(yè)共34頁(yè)

。-兒=機(jī)匕(4)

〃+/“陪，⑸

式中IF、Img、IT、。分別代表力足僅g、7、To在△/時(shí)間內(nèi)沖量的大小。注意到式(1),有

1%-21T⑹

由(2)、(3)、(4)、(5)、(6)各式得

匕=；匕⑺

在彈簧伸長(zhǎng)過程中，彈簧的上端與祛碼1一起向上運(yùn)動(dòng)，下端與托盤一起向下運(yùn)動(dòng).以外表示在

時(shí)間內(nèi)彈簧上端向上運(yùn)動(dòng)的距離，△/,表示其下端向下運(yùn)動(dòng)的距離.由于在彈簧伸長(zhǎng)過程中任意時(shí)刻,

托盤的速度都為硅碼1的速度的1/3,故有

△，2=~(8)

另有

A/j+A/2=/0⑼

在彈簧伸長(zhǎng)過程中，機(jī)械能守恒，彈簧彈性勢(shì)能的減少等于系統(tǒng)動(dòng)能和重力勢(shì)能的增加，即有

—kl^=—mv[+3x—ml/f+mgAl{-mgl\l2+2mgA/2(10)

由⑺、⑻、⑼、(10)式得

~^0~mSlo\(11)

2m12J

祛碼1與彈簧分開后，祛碼作上拋運(yùn)動(dòng)，上升到最大高度經(jīng)歷時(shí)間為t1,有

W=gG(12)

祛碼2、3和托盤的受力情況如圖2所示以。表示加速度的大小，有

1

由H

2

mgmg

圖2%

mg—T=ma(13)

mg-T=ma(14)

第8頁(yè)共34頁(yè)

"-mg=ma(15)

TO=2T(16)

由(14)、(15)和(16)式得

a=；g(17)

托盤的加速度向上，初速度V2向下，設(shè)經(jīng)歷時(shí)間”，托盤速度變?yōu)榱?，?/p>

V,=at2(18)

由⑺、(⑵、(17)和(18)式,得

%

(19)

g

即祛碼1自與彈簧分離到速度為零經(jīng)歷的時(shí)間與托盤自分離到速度為零經(jīng)歷的時(shí)間相等.由對(duì)稱性可

知，當(dāng)祛碼回到分離位置時(shí)，托盤亦回到分離位置，即再經(jīng)歷必祛碼與彈簧相遇.題中要求的時(shí)間

%=2%(20)

由(11)、(12)、(20)式得

12.(2007?全國(guó)競(jìng)賽)如圖所示，有一固定的、半徑為內(nèi)壁光滑的半球形碗(碗口處于水平位置)，O

為球心.碗內(nèi)擱置一質(zhì)量為加、邊長(zhǎng)為。的等邊三角形均勻薄板/3C.板的頂點(diǎn)/位于碗內(nèi)最低點(diǎn)，

碗的最低點(diǎn)處對(duì)A有某種約束使頂點(diǎn)A不能滑動(dòng)(板只能繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng))

(1)當(dāng)三角形薄板達(dá)到平衡時(shí)，求出碗對(duì)頂點(diǎn)4B,C的作用力的大小各為多少？

(2)當(dāng)板處于上述平衡狀態(tài)時(shí)，若解除對(duì)/點(diǎn)的約束，讓它能在碗的內(nèi)表面上從靜止開始自由滑動(dòng)，

求此后三角形薄板可能具有的最大動(dòng)能。

gg;

【答案】⑴X

【詳解】(1)因A點(diǎn)位于半球形碗的最低點(diǎn),等邊三角形薄板的BC邊一定沿水平方向.作連線OB和

第9頁(yè)共34頁(yè)

OC,因O為半球形碗的球心，A、B、C均在球面上，故有

OA=OB=OC=a(1)

ABC是等邊三角形，

~AB=~BC=~AC=a(2)

故OABC為正四面體，如圖1所示.三角形薄板所受的力有:

(i)B、C處碗面對(duì)板的作用力NB和Nc均垂直于碗面，指向球心O.又由對(duì)稱性可知，

NB=NC(3)

它們的合力NBC沿NCOB的角平分線DO的方向，其大小為

NBC=2NBCOS300=43NB(4)

DO的長(zhǎng)度

Dd=OBcos30°=—a(5)

2

(ii)重力FG的大小

Fo=mg(6)

它作用于三角形ABC的重心G,G位于AD上，與A的距離

——2——2——6

AG=-AD=-OD=—a(7)

333

重力的方向與OA平行，該力位于OAD平面內(nèi)，與OD相交.用P表示其交點(diǎn)，則

OP='AG=^-a(8)

3

(iii)設(shè)碗面在A點(diǎn)作用于薄板的約束力為NA,薄板(或可看成剛性正四面體OABC)在NBC、FG

和NA三力作用下保持平衡，這三力應(yīng)在同一平面內(nèi)，且應(yīng)共點(diǎn)，即NA應(yīng)與FG和NBC都在OAD平面

內(nèi)，且應(yīng)通過P點(diǎn)，如圖2所示，在三角形ODA中

第10頁(yè)共34頁(yè)

OD=AD=a,OA=a

2

設(shè)/DOA=a,貝!J

Z.ODA=n-2a

在三角形ADO中，由正弦定理，有

a_yfia

sin2a2sina

由此可得

6.V2

cosa=——sma=⑼

3V3

設(shè)NOAP=0,在三角形OPA中，由余弦定理得

AP=—a2+a2-2—a2--\==

V3V3V3

由正弦定理得

靜加歷

sinasin/?sin(a+/?)

fl也

即丫3°_71_a(10)

sin4sin￡sin(4+/?)

FG、NBC和NA三力平衡，它們應(yīng)形成封閉的三角形，如圖3所示.由正弦定理得

急=如;(11)

由(10).(11)式和(3)、(4)、(6)各式得

第11頁(yè)共34頁(yè)

mgsina&

-------------=—ms:(12)

sin((7+/?)3

32七爪弓需黑(13)

得(14)

（2）解除對(duì)A點(diǎn)的約束后，A,B、C三頂點(diǎn)將從靜止開始沿碗面滑動(dòng).根據(jù)對(duì)稱性可知，薄板處于水

平位置時(shí)重心最低，從而重力勢(shì)能最小.根據(jù)機(jī)械能守恒定律，此時(shí)薄板的動(dòng)能最大.此時(shí)薄板的重心

將移至O點(diǎn)正下方的G，點(diǎn)，如圖4所示.由幾何關(guān)系并考慮到（7）式，G相對(duì)碗最低點(diǎn)的高度.

A點(diǎn)被約束時(shí)薄板重心為G點(diǎn)，參閱圖1,可知G點(diǎn)相對(duì)碗最低點(diǎn)的高度

h=AGcosZDAO=~AGcosa（16）

由（7）和（9）式可得

h=；a（17）

由（15）、（17）兩式可求得薄板從A點(diǎn)約束解除到處于水平狀態(tài)過程中，其重心高度減少量的最大值,

從而求出重力勢(shì)能的減少量的最大值，最后即求得薄板具有的最大動(dòng)能為

Ek=mg（〃一〃’）=屜32mga（18）

解法二

（1）當(dāng)三角形薄板處于平衡狀態(tài)時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，反必位于過B、C兩點(diǎn)的水平圓面內(nèi)，以0,表示

此水平圓面的圓心，如圖1所示.碗內(nèi)壁球面的球心為O,則O,以及A、O三點(diǎn)必位于同一條豎直線

上.由于B、C與球面接觸處都是光滑的，球面對(duì)這兩點(diǎn)的作用力都指向球面的球心0,令NB和Nc分

別表示這兩個(gè)力的大小.由對(duì)稱性可知

NB=NC(1)

第12頁(yè)共34頁(yè)

因球面的半徑等于等邊三角形的邊長(zhǎng)，三角形OAB和OBC都是等邊三角形

乙4OB=/BOC=8=60°(2)

把NB分解成沿豎直方向的分量N

NB1=NBCOSd=NBCOS60°=gM

V3

NBli=NBsin8=砥sin60°=--NB⑷

同理有

=腔腔腔

NCLcos8=cos60°=g⑸

反

Nc//=Ncsin0=NCsin60。=--A^c

NB”與BO,平行，Nc//與CO,平行，都平行于以O(shè),為圓心的水平圓面，可以把這兩個(gè)力移到圓心為O,

的水平圓面內(nèi)，如圖2所示.NB//和Nc4的合力為N“

圖2

球面底部作用于三角形薄板的力NA也可分解成沿豎直方向的分量NAL和位于水平面內(nèi)的分量NA//.當(dāng)

三角形薄板達(dá)到平衡時(shí)，有

=N〃=2/〃cosa⑺

mg-NAl~NB1~NC1=0(8)

由圖1可知，圓心為0,的水平圓面的半徑R即線段西是等邊三角形OAB的高，故有

J3

R=asind=asin60°=——a(9)

第13頁(yè)共34頁(yè)

由圖2得

由以上有關(guān)各式，(7)、(8)兩式可寫成

NA〃=GNB(11)

NAy=mg-NB(12)

當(dāng)三角形薄板達(dá)到平衡時(shí)，作用于三角形的各力對(duì)BC邊的力矩總和等于零.NB,Nc通過BC邊，對(duì)

BC邊無力矩作用，只有NA//、NA,和重力mg對(duì)BC邊有力矩作用.平衡時(shí)有

NAII-^+mg-^dT>-NA^D=O(13)

由(9)、(10)式可知

7^77；口瓜也仇也/

OD=R——=——a----=——a(14)

3232

把(14)式代入(13)式，得

NA//=mg(15)

由(11).(12)和(15)及(1)式

NB=NC=-jmS(16)

NTV2.,

NAU=~YmS(17)

2等(18)

NA=^j-mg(19)

(2)當(dāng)解除對(duì)A點(diǎn)的約束，A.B、C三頂點(diǎn)將在球面內(nèi)人靜止開始滑動(dòng).根據(jù)對(duì)稱性可知，必有一時(shí)

刻薄板處于水平位置，這時(shí)板的重心最低，重力勢(shì)能最小，薄板具有的動(dòng)能最大這動(dòng)能來自薄板減少

的重力勢(shì)能.

在圖1中三角形ADO,為直角三角形，一條直角邊DO,位于水平位置，另一條直角邊AO,位于豎直

位置，根據(jù)題意及幾何關(guān)系可知，三角形薄板的重心G位于斜邊AD上，離A點(diǎn)的距離為重心

G的高度

h=^AO'=---=-a(20)

3323

第14頁(yè)共34頁(yè)

當(dāng)三角形薄板的三條邊位于同一水平的圓面內(nèi)時(shí)，三角形的重心G，與其三邊所在圓面的圓心重合，如

圖3所示,

OG'=

這時(shí)，三角形薄板重心G，的高度

7，V63一遙℃

n=a-----a=--------a（21）

33

薄板的最大動(dòng)能

(22)

Ek=mg=

13.（2007?全國(guó)競(jìng)賽）如圖所示，在傾角為夕的足夠大粗糙斜面上，有一質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為內(nèi)用一彈性繩栓

住，繩的另一端固定在斜面上。'點(diǎn)，彈性繩的形變與彈性力服從胡克定律，繩原長(zhǎng)為以勁度系數(shù)（即

倔強(qiáng)系數(shù)）為K,斜面與質(zhì)點(diǎn)間的靜摩擦系數(shù)為〃，試確定質(zhì)點(diǎn)在斜面上可靜止的區(qū)域并畫出此區(qū)域邊

界的示意圖。

【答案】見解析

【詳解】若質(zhì)點(diǎn)靜止在斜面上任一點(diǎn)它在斜面上的位置可用坐標(biāo)八8表示.如圖3-77所示.在繩子

伸長(zhǎng)，即出現(xiàn)彈力時(shí)，M質(zhì)點(diǎn)在斜面上受三個(gè)力：彈力尸=左（廠-￡）,方向永遠(yuǎn)

第15頁(yè)共34頁(yè)

指向點(diǎn)O';重力沿斜面的分量片=Psinp,方向永遠(yuǎn)向下，且大小不變；靜摩擦力

及w“ax=1'=〃5=，Pcos9.這三力一定構(gòu)成一個(gè)閉合三角形.若在圖3-77中用犯、(yo.況分別

表示足P“及F；,則繩子張緊時(shí)M點(diǎn)可靜止區(qū)域的邊界可由動(dòng)點(diǎn)/的軌跡，即圖中圓I來間接表示.

圓I即是以。為中心，以評(píng)為半徑的圓.當(dāng)取。為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸沿斜面向下時(shí)，厚=〃+Fcos8,

用"sin4則有圓I的方程為：(或2+耳2=耳2),即

P2sin2(p+k2[r-L)2+2左(r-￡)Psin夕cos8=/J2P2cos2ip

由A點(diǎn)軌跡(圓I)求A/■點(diǎn)可靜止區(qū)域邊界的依據(jù)是：

O'Me=rc

O'A=F=k[rc-L)(1)

因而得到《=。'//左+Z(2)

又表示可靜止區(qū)域邊界到。'點(diǎn)距離.由此式可得到畫出可靜止區(qū)域邊界(以下稱為“封閉曲線n”)的作

圖法是：將各力取1/左倍，重作力三角形后畫出圓I,此時(shí)(2)式變?yōu)椋?/p>

rc=O'A+L(3)

因而沿09延長(zhǎng)工長(zhǎng)度，即得“0點(diǎn)，描點(diǎn)即可畫此封閉曲線H.

(1)式實(shí)際也是曲線n的極坐標(biāo)方程.若取。'為極點(diǎn)，x方向?yàn)闃O軸，則M,(%8)的方程為

(仁-￡)+(尸2/小卜蘇0+(2/6psin0cos8-[//P2Ik2,os，夕=0(4)

(3)式不過是(2)式的變形.在AwO(顯然總是如此)時(shí)，封閉曲線II顯然不是圓，而是復(fù)雜曲線.

第16頁(yè)共34頁(yè)

當(dāng)繩子松弛時(shí)，沒有彈力，M質(zhì)點(diǎn)靜止區(qū)域由重力沿斜面分量和靜摩擦力二力平衡來決定.具體情況將

在下面分析.

封閉曲線n的形狀、U和圓I及。'點(diǎn)的關(guān)系，以及可靜止區(qū)邊界（考慮繩子松弛區(qū)后）的形狀需要分

以下三種情況討論.

1）〃>tan0：即耳或，尸cos9>Psin0.這時(shí)O,點(diǎn)一定在圓I內(nèi)，如圖3-78所示，因而圓I也

一定在封閉曲線n內(nèi).以。，為圓心，z為半徑畫圓in,圓ni內(nèi)即是繩子松弛區(qū)，或稱“無彈力區(qū)”.當(dāng)

力與（-己+4'）/左時(shí)，圓W與圓I相交，如圖3-78所示，但圓HI仍在封閉曲線H內(nèi)，僅表示可靜止區(qū)中

這一部分是由于二力平衡，而其他

n內(nèi)區(qū)域是由于三力平衡質(zhì)點(diǎn)可靜止區(qū)邊界總是封閉曲線n.

2）〃=tan0：即可'=%這時(shí)O'定在圓I上.力區(qū)圓W,一定與圓I及封閉曲線n相交，如圖3-79所示.

在圓in內(nèi)重力沿斜面分量與靜摩擦力二力平衡（臨界平衡），因而M點(diǎn)可靜止區(qū)邊界擴(kuò)大到u+m,即

在圓in與封閉曲線n交點(diǎn)cc以上，此邊界為圓皿；在cc以下，為前述封閉曲線n.

3）即用<乙.這時(shí)彈性力必須有向上分量才能平衡，因而曲線II和圓I均不包圍。'點(diǎn)，如

圖3-80所示.如上述作圓W表示無彈力區(qū)，類似在￡>（月/-母）/左時(shí)，圓in與圓I相交.這時(shí)圓W內(nèi)無彈

力，而另外二力不能平衡，所以僅表示封閉曲線口之外的“二力不可平衡區(qū)”，以區(qū)別II外其余部分的“三

力不可平衡區(qū)”.7點(diǎn)可靜止區(qū)邊界仍為封閉曲線n.

第17頁(yè)共34頁(yè)

14.（2019?全國(guó)競(jìng)賽）如圖所示，靜止的圓錐體豎直放置，頂角為。，質(zhì)量為加，且分布均勻的鏈條水平

地套在圓錐體上，忽略鏈條與錐面之間的摩擦力，試求鏈條中的張力.

〃2g

【答案】°+a

277tan—

2

【詳解】由對(duì)稱性易知，鏈條內(nèi)部各處的張力應(yīng)是處處相等的，而要求鏈條內(nèi)部的張力，則需將鏈條

內(nèi)部的張力轉(zhuǎn)化為外力，這就需要從鏈條中隔離出某一部分作為研究對(duì)象，在本題中，可取一小段

△/70為研究對(duì)象，即中學(xué)階段常用的微元法.

如圖所示,

設(shè)鏈條環(huán)半徑為R,在鏈條環(huán)中任取一小段△/為研究對(duì)象，設(shè)其質(zhì)量為△加，△加受力為：圓錐面的支

持力N,其方向垂直于圓錐面，重力Ozg以及△/兩端所受的張力T.平衡時(shí)上述諸力在水平面的分力

之和為零，在鉛垂方向的分力之和也應(yīng)為零.據(jù)此，列出相應(yīng)的兩個(gè)方程，即可解出T.

如圖所示，

第18頁(yè)共34頁(yè)

圓錐面支持力N在水平面內(nèi)的分力為Nc嗚，它與△/小段兩端所受張力T應(yīng)達(dá)到平衡.設(shè)△，對(duì)鏈條

環(huán)中心的張角為A。，在水平方向的受力如圖丙所示，則有

27sin—=Afcos-.①

22

因△/很短，△夕很小，故有

./\(D/\(D

sm----=-----②

22

將②代人①，得

TZ\0=NCOS￡.③

又△/在鉛垂方向亦應(yīng)受力平衡,故有

A.a

△mg=Asin—.④

t.Q△加

由以上兩式得tanj=；^1g,⑤

2TNip

f>AmA7加A。

式中△加=---AZ=-----.⑥

2nR2〃

將⑥代入⑤，得1嗚=簿

T二mg

故鏈條環(huán)中的張力為一0,

2"tan一

2

15.（2019-全國(guó)競(jìng)賽）如圖所示，一人對(duì)一均勻細(xì)桿的一端施力，力的方向總與桿垂直，要將桿從地板上

無滑動(dòng)地慢慢抬到豎直位置，問：桿與地板之間的靜摩擦因數(shù)至少應(yīng)為多大？

第19頁(yè)共34頁(yè)

F

【答案】專

【詳解】假設(shè)桿與地板之間的靜摩擦因數(shù)足夠大,當(dāng)桿被抬至與地板成任意角。時(shí)均不發(fā)生滑動(dòng),桿受到

作用力尸、重力機(jī)g、地板的支持力N和摩擦力/的作用，因滿足共點(diǎn)力平衡條件，F(xiàn)、mg、地面對(duì)桿的

全反力FR交于。點(diǎn)FR與N之間的夾角不能超過摩擦角9,如圖所示，考慮臨界的情況,設(shè)細(xì)桿全長(zhǎng)為21,

重心為C,有

OC+CDI/sina+1sina

tan(90°-(p]=

')ADADIcosa.

1

化間可得〃=—

2tana+cota

因?yàn)?tana?cota=2=定值，

5[?

所以，當(dāng)2勿〃a=coS,即3”子時(shí)，。3Q+coS最小，則，二碗。有極大值，且（=^-.所以，桿與

地板之間的靜摩擦因數(shù)至少應(yīng)為變.

4

16.（2017?北京強(qiáng)基計(jì)劃）密度為。。的液體在容器的下部，密度為年的液體在容器的上部，兩種液體互

不溶合.高〃、密度為年的長(zhǎng)方體固體靜止在液體中，如圖所示，試求圖中兩個(gè)高度量可、為。

第20頁(yè)共34頁(yè)

【答案】4=/3=子

【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的橫截面積為S靜止時(shí)固體所受的浮力與重力相平衡

P0Sh1g+-Sh2g=-^-SHg

又

〃]+〃2=H

聯(lián)立解得

一,h"

1424

17.（2007?全國(guó)競(jìng)賽）一根細(xì)線豎直懸掛一根長(zhǎng)為￡的均勻細(xì)木桿，置于水桶內(nèi)水平面上方，如圖所示。

當(dāng)水桶緩慢上提時(shí)，細(xì)木桿逐漸浸入水中，當(dāng)木桿浸入水中超過一定深度〃時(shí)，木桿開始出現(xiàn)傾斜現(xiàn)

象。求〃。已知木桿的密度為p,水的密度為po。

[答案]r=l[i-^po-p）/po]

【詳解】當(dāng)木桿浸入水中后，除了受到重力G和繩的拉力T夕卜，還受到浮力F的作用.三者的方向都

是沿豎直方向的。當(dāng)木桿很細(xì)，且無任何擾動(dòng)時(shí)，上述三力是在同一直線上的.隨著木桿浸入水中的

深度的增加，浮力將逐漸增大，繩的拉力將隨之減小，在任一位置都滿足G=F+T。直到浮力增大到等

于木桿的量時(shí)，G=F,此時(shí)T=0,木桿將豎直地懸浮在水面上（一部分浸在水中）.

第21頁(yè)共34頁(yè)

然而實(shí)際上微小的擾動(dòng)隨時(shí)都會(huì)發(fā)生，所以實(shí)際上我們會(huì)觀察到，在木桿尚未達(dá)到懸浮狀態(tài)（即浮力

等于重力時(shí)）之前，就已開始發(fā)生傾斜現(xiàn)象，這是由于當(dāng)有微小的擾動(dòng)使桿發(fā)生微小的傾斜時(shí)，即由

圖中虛線所示的位置變?yōu)閷?shí)線所示的位置時(shí)，對(duì)懸點(diǎn)A來說，將出現(xiàn)重力和浮力的力矩，而且兩者的

方向是相反的。設(shè)桿長(zhǎng)為/,截面積為S,密度為。，則重力對(duì)A端的力矩為

浮力的大小等于排開水的重量，浮力的作用點(diǎn)在排開水的重心處，即圖中C，處（DB的中點(diǎn)）.設(shè)水的

密度為0。，桿沒在水中的長(zhǎng)度為則浮力對(duì)A端的力矩為

MF=I'SpqgI/--1sin

當(dāng)沒人較淺，MF<MG時(shí)，桿將重又回到平衡位置。當(dāng)MF>MG時(shí)，桿將繼續(xù)傾斜。因此，存在一個(gè)臨界

值，當(dāng)沒人深度大于此臨界值時(shí)，桿將開始發(fā)生傾斜現(xiàn)象。此臨界值可令MF=MG,而解得如下:

ISpgsin8=I---Isin6

解此方程得

取合理值得

18.（2011?全國(guó)競(jìng)賽）質(zhì)量均勻分布的剛性桿AB、CD如圖放置，A點(diǎn)與水平地面接觸，與地面間的靜摩

擦系數(shù)為FU,B、D兩點(diǎn)與光滑豎直墻面接觸，桿AB和CD接觸處的靜摩擦系數(shù)為四，兩桿的質(zhì)量均

第22頁(yè)共34頁(yè)

為m,長(zhǎng)度均為1.

(1)已知系統(tǒng)平衡時(shí)AB桿與墻面夾角為0,求CD桿與墻面夾角a應(yīng)該滿足的條件(用a及已知量滿足

的方程式表示).

(2)若叱1.00,陽(yáng)=0.866,0=60.0°.求系統(tǒng)平衡時(shí)a的取值范圍(用數(shù)值計(jì)算求出).

2(%sin6-cos8)tanasina2sina.

【答案】(1)tana<<4/JA-3tan9(2)19.5°<^<21.1°

/JCcosS+sindsin6cos6

【詳解】(1),建立如圖所示坐標(biāo)系。肛.兩桿的受力情況如圖:

力為地面作用于桿AB的摩擦力，乂為地面對(duì)桿AB的支持力，上、生為桿作用于桿CD的摩擦力

和支持力，小、M分別為墻對(duì)桿AB和CD的作用力，為重力.取桿AB和CD構(gòu)成的系統(tǒng)為研究對(duì)

象，系統(tǒng)平衡時(shí)，由平衡條件有

%+毛"=0(1)

N「2mg=Q(2)

以及對(duì)N點(diǎn)的力矩

第23頁(yè)共34頁(yè)

—mglsin6+加g(/sin6-『sin4J-N(cos6-N4fcos6+/cos4-CT7)=0

即

31

—mglsin-mglsina-N3lcos9-N4(/cos^+/cosa-CF)=0(3)

式中CF待求.b是過。的豎直線與過8的水平線的交點(diǎn)，E為BF與CD的交點(diǎn).由幾何關(guān)系有

CF=Zsin(7cot9(4)

取桿CD為研究對(duì)象，由平衡條件有

N4+A^2cos^-/^sin<9=0(5)

生sin。+人cos。一加g=0(6)

以及對(duì)。點(diǎn)的力矩

A

N4lCOS~~sin<7=0(7)

解以上各式可得

一1

A^4=—mgtana

(31sina1tan(7sina

N\——tan3—tanQ-+

3(22cos92sin9

「(3tan^sina1tan□sin□)

---------------+-----------------mQ

■M2cos92sin8)

?=2mg(11)

N,=1sin^-—tan(7cos<9(

12)

,=(cos8+gtan4sin。)加g(13)

z

CD桿平衡的必要條件為

于24PcN?(14)

由(12),(13),(14)式得

2fusin8-cose)

tana<----r------------------(15)

〃ccose+sin8

AB桿平衡的必要條件為

f\W口風(fēng)(16)

由(10),(11),(16)式得

第24頁(yè)共34頁(yè)

tanasina.2sina「二

-------------------------<4A//-3tan^(17)

sin8cos84

因此，使系統(tǒng)平衡，。應(yīng)滿足的條件為(15)式和(17)式.

(2),將題給的數(shù)據(jù)代入(15)式可得

a<arctanO.385=21.1°(18)

將題給的數(shù)據(jù)代入(17)式，經(jīng)數(shù)值計(jì)算可得

67>19.5°(19)

因此，4的取值范圍為

19.5°<67<21.1°(20)

19.(2019?全國(guó)競(jìng)賽)如圖甲所示，桿N5放在圓筒內(nèi)，桿的A端用較鏈固定在筒壁與筒底的交界處，桿

的C點(diǎn)靠在筒的邊緣上.4C兩點(diǎn)位于通過圓筒軸的豎直平面內(nèi)，桿與水平線所成的角度為a.使桿

沿筒的邊緣移動(dòng)到U點(diǎn)，ZC'OC為學(xué).試問：摩擦系數(shù)最小為多少，桿在C，位置能保持平衡？

(D

tan<7tan—

【答案】I/

220

Jtana+cos—

V2

【詳解】方法1作用在桿上的力有：重力、A點(diǎn)處錢鏈的支持力、。點(diǎn)處的圓筒的支持力N和摩擦力

了.桿平衡的條件是這些力的合力為零以及力矩的代數(shù)和為零.對(duì)于通過A點(diǎn)豎直軸，較鏈的支持力

力矩和桿重力力矩都為零，則力N和1的合力一定通過桿的豎直平面.我們分析合力的水平分量，確

定N和1的方向以及它們?cè)谒矫娴耐队爸狄籒,、Ny、力和刀，坐標(biāo)軸X、工Z分別為從C，點(diǎn)指

向圓心、圓的切線方向和豎直向上的方向上(如圖乙所示).

第25頁(yè)共34頁(yè)

ZA

%

B'

乙丙

我們引入三個(gè)單位矢量勺與、%,其方向分別沿桿、力N和力/.設(shè)々與水平線成角相.由于桿轉(zhuǎn)

動(dòng)，桿所在豎直平面轉(zhuǎn)動(dòng)角在圖丙中，H表示筒高，尺表示圓筒的半徑.在比ZUOC中，tana=^

22R

在R/AAD，。中，tana'=y,在及AAD少中,

22R

tana

ehtano

因而(P.

cos—

2

nn

用單位矢量%、%和%來表示為、N、f.

nn-COS<7*008—+nvcosa'sin|?+〃/sina'

i=x2,

力N垂直于桿并且與圓相切于C，點(diǎn)，由此可知，矢量叫垂直于矢量”＞，和矢量%即

nN=nx+smr+n,cosr.①

tatar?nya_,_____

由此得到角，和之間的關(guān)系為(P.