集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式、復(fù)數(shù)（19題新題型）解析版-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第08講第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式、復(fù)數(shù)

(章節(jié)驗(yàn)收卷)(19題新題型)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(2024下?河北保定?高一河北安國(guó)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知集合“=卜卜3<彳<4},

N=[gx+l>o],則MCN=()

A.(-3,3)B.(-3,6)C.(-2,4)D.(-3,2)

【答案】C

【分析】求出集合N,利用交集的定義可求得集合McN.

[詳解]因?yàn)镹={xgx+l>o}={x|x>_2},M=^x\-3<x<4^,故AfAf=(-2,4).

故選：C.

2.(2024下?四川?高三四川省西充中學(xué)校聯(lián)考期末)設(shè)i為虛數(shù)單位,若z=l+i,則，(z+l)=

()

A.3-iB.1-iC.l+3iD.3+3i

【答案】A

【分析】利用共輾復(fù)數(shù)的意義、復(fù)數(shù)乘法計(jì)算即得.

【詳解】復(fù)數(shù)z=l+i,則W(z+D=(l-i)(2+i)=3-i.

故選：A

3.(2024上?安徽?高一校聯(lián)考期末)不等式_尤2+%+2>()的解集為()

A.(^?,-2)U(-1,-HX>)B.(-oo,-l)._(2,+co)

C.(-1,2)D.(-2,-1)

【答案】C

【分析】根據(jù)不含參的一元二次不等式的解法計(jì)算即可求解.

【詳解】原不等式可化為(x+l)(x-2)<0,解集為(-1,2).

故選：C.

4.(2024上?安徽亳州?高一亳州二中?？计谀?一元二次不等式以2-云+c>0的解集為

[x\l<x<2],則不等式cd一區(qū)+“<0的解集為()

1

C.—00,—D(l,+8D.

22

【答案】C

hc

【分析】根據(jù)不等式的解集可得到a<0,-=3,-=2,把結(jié)果代入到所求不等式中

aa

即可求解.

hr

【詳解】根據(jù)題意可知a<0,—=3,—=2,貝|J6=3〃，c=2a,

a

所求的不等式可化為：2依2一36+。<0,即2尤2-3尤+1>0,解得：x>l或

故選：C

5.（2024下?廣東?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知集合A=xx\x<a+y^

若AB=R,貝吐的取值范圍是（

A.[1,+(?)B.[-2,-H?)

C.(-co1]D.(F,-2]

【答案】A

【分析】解不等式求出集合4根據(jù)AB=R列出不等式，求解即得答案.

【詳解】解不等式X2-3X-4>0,得X24或XW-1,

即A={x|xN4或九<一1},而3={%[x<a+3},

若AB=R,貝1]。+324,二。21,

即。的取值范圍是［1,+8）,

故選：A

6.（2024下?湖北?高一湖北省漢川市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）下列選項(xiàng)中是“玉目1,2］,

2%2_座+6>0”成立的一個(gè)必要不充分條件的是（）

A.m<8B.m>8C.m<4A/3D.m<8

【答案】A

2r2+6=2「+。］,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到3

【分析】變形得到機(jī)=8,故

Xxxmax

m<8,由于m<8是mK8的真子集，故A正確，其他選項(xiàng)不合要求.

【詳解】[1,2],2x2—mx+6>0,

即上e[l,2],m<2x+6=2+

Xrt,

,其中y=2卜+j

m<2在a，石）上單調(diào)遞減,

[hllmax、

在（62]上單調(diào)遞增,

其中x=l時(shí)，y=2x[l+；]=8,當(dāng)x=2時(shí)，y=2x（2+||=7,

故2^x+-

=8,gpm<8,

Imax

由于m<8是mW8的真子集，故"m<8”的必要不充分條件為“m<8,5,

其他選項(xiàng)均不合要求.

故選：A

31

7.（2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)x,歹滿(mǎn)足3x+2y=2,則丁+一的最小值

2xy

為（）

、「c25八13C25

A.6B.—C.—D.—

422

【答案】B

【分析】借助基本不等式計(jì)算即可得.

31if31.、1（9c3y1"3一訪(fǎng)

五十15仁+力3?2y）=木+2+丁j/x[525

【詳解】

4

3y3x

--L--Q3]oc

當(dāng)且僅當(dāng)xy，即時(shí)，等號(hào)成立，因此丁+一的最小值為多.

52xy4

[3x+2y=2

故選：B.

8.（2024上?山東威海?高二統(tǒng)考期末）已知集合&={2|2=『+]，〃€用},則A的元素個(gè)

1

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,得出復(fù)數(shù)的周期性，即可判斷集合中的元素

個(gè)數(shù).

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，z=i+-=i-i=0,當(dāng)〃=2時(shí)，z=i2+4=-l-l=-2,

11

當(dāng)〃=3時(shí)，z=i3+4=-i--=O,當(dāng)〃=4時(shí)，z=i4+4=l+l=2,

iii

當(dāng)九=5時(shí)，z=i5+4-=i+-=i-i=O,當(dāng)〃=6時(shí)，z=i6+^-=i2+-^-=—1—1=—2,

iiii

當(dāng)〃=7時(shí)，z=i7+^-=i3+^-=-i--=0,當(dāng)〃=8時(shí)，z=i8+^-=i4+^=1+1=2,

iiiii

L,可知以上四種情況循環(huán)，故集合A={0,-2,2},A的元素個(gè)數(shù)為3.

故選：C

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2024上?江西?高一校聯(lián)考期末）如圖，已知矩形U表示全集，48是U的兩個(gè)子

集，則陰影部分可表示為（）

A.（MnSB.e（AcB）C.D.Q⑷（Ac5）

【答案】AC

【分析】利用集合的交集、并集以及補(bǔ)集的定義，結(jié)合韋恩圖分析各選項(xiàng)即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)圖示可知陰影部分表示的元素是屬于集合2,而不屬于集合A,

即在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素%貝IJ滿(mǎn)足x走A,且xeB,即xeeA且xeB；

因此陰影部分可表示為（eA）c3,即A正確；

且xe（AB）,因此陰影部分可表示為B）,C正確；

易知陰影部分表示的集合是。（4八3）和?回（4B）的真子集，即B錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.（2024?廣西南寧?南寧三中校聯(lián)考一模）若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足zi=l_i,則下列命題正確的

有（）

A.z的虛部是一1B.|Z|=A/2

C.z?=2D.z是方程Y+2x+2=0的一個(gè)根

【答案】ABD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模即可判斷AB,利用復(fù)數(shù)的乘方相關(guān)運(yùn)算即可判

斷CD.

【詳解】zi=l-inz=T=-l-i,貝|目=忘，故A,B正確；

z2=（-l-i）2=2i,故C錯(cuò)誤；

而（-l-i）2+2（-l-i）+2=0成立，故D正確.

故選：ABD.

11.（2024上?山東聊城?高三統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法中正確的是（）

4

A.函數(shù)y=sinx+^—的最小值為4

smx

B.若。+少=2,則2"+2"的最小值為4

C.若。>0,b>0,a+b+ab=3,貝!的最大值為1

149

D.若x>0,y>0,且滿(mǎn)足x+y=2,則一+一的最小值為:；

xy2

【答案】BCD

【分析】根據(jù)基本不等式和“1”的妙用依次判定即可.

1T4

【詳解】對(duì)于A：當(dāng)x=V時(shí)，y=-l+—=-5,故A錯(cuò)誤；

2—1

對(duì)于B：2"+2、之2,2J2/=2^7r=4,當(dāng)且僅當(dāng)〃=人=1時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；

對(duì)于C：a+b+ab=3>2y[ab+ab=>ab+2y[ab—3<0,

即（疝+3）（疝一1）40,解得痣當(dāng)且僅當(dāng)a=b=l時(shí)，等號(hào)成立，故C

正確；

工十141「14）ify4x_]y9

對(duì)于D:_+-=「_+—（尤+y）=T1+―+—+42展5+2卜——=-,

xy21%y）2（xyJ2（xyj2

24

當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時(shí)等號(hào)成立，止匕時(shí)x=t，y=（,故D正確；

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（2024上?山東臨沂?高一統(tǒng)考期末）集合A={-3,機(jī)},8={加+4帆,-1},且A=3,則

實(shí)數(shù)，7?=.

【答案】-1

【分析】根據(jù)集合關(guān)系A(chǔ)=3,分別討論m=-1,"?=:"+4加，從而可求解.

【詳解】由題意得A=3,

2

當(dāng)〃z=-l時(shí)，A={-3,-1）,m+4m=-3,則3={-3,-1},符合題意；

當(dāng)加=相？+4m時(shí)，解得=0或m=—3,

若加=0,則人={-3,0},5={0,-1},不符合題意；

若〃?=-3,貝iJA={-3,—3},不符合題意；

綜上所述：〃z=-L

故答案為：-1.

13.（2024上?湖北荊州"高一校聯(lián)考期末）若命題3xeR,-2m+2加-320為真命題，

則m的取值范圍為.

【答案】（f,—3]31,?。?/p>

【分析】利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.

【詳解】由題意，不等式—Y—2:nr+2機(jī)—320有解，即不等式x2+2加x—2機(jī)+340有

解,

設(shè)/(尤)=d+2〃a一2機(jī)+3,則函數(shù)圖象開(kāi)口向上，

要使不等式〃x)V0有解，則函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)，

則A=4病—4(—2〃?+3)20,化簡(jiǎn)得療+2機(jī)—320,解得znW—3或〃z2/.

故答案為：(YO,-3]3L")

14.(2024?福建漳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)馬，Z?滿(mǎn)足z+2馬=-3-i,|z「zj=l,則

肉+0的最大值為.

【答案】Vio+i/i+Vio

【分析】設(shè)4=尤+何，根據(jù)題意求得4,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求得z?對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，

再根據(jù)幾何意義求目標(biāo)式的最大值.

【詳解】令復(fù)數(shù)4=x+yi,x,>eR,則彳=x-yi,

所以4+2可=3x-yi=-3-i,所以x=—1,y=l,即z=-l+i.

又因?yàn)槊?1=1,即在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z?所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(-U)為圓心，1為半

徑的圓.

又點(diǎn)(TJ)到點(diǎn)(0,-2)的距離為"(-1一0『+(1+2>=710,

所以"+2i|的最大值為JQ+1.

故答案為：V10+1.

四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，

共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(2023下?陜西咸陽(yáng)?高一咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)復(fù)數(shù)

Z]=l-?i(oeR),z2=3-4i.

(1)若a+z?是實(shí)數(shù),求Z「Z2；

⑵若五是純虛數(shù)，求4.

Z2

【答案】(l)19+8i；

3

⑵1+,

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的加法及復(fù)數(shù)的分類(lèi)求出〃，再利用復(fù)數(shù)乘法求解即得.

(2)利用復(fù)數(shù)除法及復(fù)數(shù)的分類(lèi)求出〃即得.

【詳解】(1)由ZI=l-ai,Zz=3-4i,得+z2=4—(4+a)i,而z1+z?是實(shí)數(shù)，

于是4+a=0,解

所以Z1?Z2=（1+4i）（3_4i）=19+8i.

4_1-fli_（l-ai）（3+4i）_3+4?+（4-3fl）i

(2)依題意,是純虛數(shù),

三一3-4i—（3-4i）（3+4i）—25

3+4。=03

因此解得一“

4—3。w0

3

所以4=1+亍.

16.(2015下?福建?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知不等式依2一3x+2>0的解集為"I無(wú)<1

或x>人}

(1)求。力的值

(2)解不等式g?-^am+b^x+bm<0.

[a—1

【答案】⑴〃,

[6=2

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)由題知占=142=匕是方程分2一3x+2=0的兩個(gè)解，根據(jù)韋達(dá)定理列出

方程，解出即可；

(2)化簡(jiǎn)不等式，分類(lèi)討論，即可得到不等式的解集.

【詳解】(1)因?yàn)椴坏仁郊?3元+2>0的解集解集為{x|x<l或尤>此

所以％=1,%=6是方程依2-3尤+2=。的兩個(gè)解,

1+6=3r=1

所以：，解得：；

入[b=2

l1x/?=—2i

a

(2)由(1)知原不等式為f一(加+2)x+2加<0,

即(x-m)(％—2)<0,

當(dāng)機(jī)>2時(shí)，不等式解集為卜|2〈尤〈加}；

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，不等式解集為0；

當(dāng)機(jī)<2時(shí)，不等式解集為{耳機(jī)<x<2}.

17.(2024上?浙江湖州?高一統(tǒng)考期末)已知集合A={無(wú)h-8X+12<0),B={x|2t>8).

（1）求AcB和

⑵若集合C={Ra-4<xWa+4},且/TC=A,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴卜|34》46},{x|x<2}

⑵[2,6)

【分析】（1）根據(jù)不等式的解法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得集合A3,結(jié)合集合的運(yùn)算,

即可求解；

（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為A=C,列出不等式組，即可求解.

【詳解】（1）解：由不等式元2一8X+12V0,解得2VxW6,所以A={x|24尤V6},

又由2*28,解得x23,可得JB={X|XN3},

所以AcB={x|3VxV6},AuB={x|%>2},則4（AB）={x\x<2}.

（2）解：由集合C={x|a-4<x〈o+4},且AC=A,可得A=C,

fci—3<2「、

貝IJ滿(mǎn)足a+4>6,解得24。<6,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍［2,6）.

18.（2024上?河北石家莊?高?石家莊一中?？计谀?jù)國(guó)家氣象局消息，今年各地均

出現(xiàn)了極端高溫天氣.漫漫暑期，某制冷杯成了暢銷(xiāo)商品.某企業(yè)生產(chǎn)制冷杯每月的成本（單

位：萬(wàn)元）由兩部分構(gòu)成：□固定成才（與生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量無(wú)關(guān)）：20萬(wàn)元；口生產(chǎn)所需材

料成本：+萬(wàn)元，x（單位：萬(wàn)套）為每月生產(chǎn)產(chǎn)品的套數(shù).

（1）該企業(yè)每月產(chǎn)量x為何值時(shí)，平均每萬(wàn)套的成本最低?一萬(wàn)套的最低成本為多少？

（2）若每月生產(chǎn)x萬(wàn)套產(chǎn)品，每萬(wàn)套售價(jià)為：90+宙］萬(wàn)元，假設(shè)每套產(chǎn)品都能夠售出，

則該企業(yè)應(yīng)如何制定計(jì)劃，才能確保該制冷杯每月的利潤(rùn)不低于625萬(wàn)元？

【答案】（1）每月產(chǎn)量20萬(wàn)套時(shí)，平均每萬(wàn)套的成本最低，一萬(wàn)套的最低成本為12萬(wàn)元

（2）該企業(yè)每月生產(chǎn)不小于20（后-10）萬(wàn)套，才能確保該制冷杯每月的利潤(rùn)不低于520

萬(wàn)元

【分析】（1）根據(jù)題意，可知平均每套所需的成本費(fèi)用為y=，20+Wr+io,再利用基

x20

本不等式即可求出結(jié)果；

（2）由題意可矢口月利潤(rùn)。=——+20%—20,解一元二次不等式一+20%—202520即可

2020

求出結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)平均每套的成本為了元,

X2

20+10%+——

由題有y20x1八

20=-----1------F10>2

x20

當(dāng)且僅當(dāng)‘20=白x，即x=20時(shí)，取等號(hào)，

x20

所以企業(yè)每月產(chǎn)量20萬(wàn)套時(shí)，平均每萬(wàn)套的成本最低，一萬(wàn)套的最低成本為12萬(wàn)元.

（2）設(shè)月利潤(rùn)為尸萬(wàn)元，

貝I］有p=x(30+土--20=—+20x-20,

102020

由題知一+20x-202625,整理得至!J/+400X-430x3020,解得彳230,

20

所以，該企業(yè)每月生產(chǎn)不小于30萬(wàn)套，才能確保該制冷杯每月的利潤(rùn)不低于625萬(wàn)元.

19.(2022上?上海普陀?高一曹楊二中?？茧A段練習(xí))己知集合4=｛%,%,…,凡｝

(\<ax<a2<-<an,?>2)具有性質(zhì)P：對(duì)任意的i、j(1<Z<J</I),q/與魚(yú)兩數(shù)

q

中至少有一個(gè)屬于A.