集合（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考專用）

第01講集合

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................3

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)...........................................3

高頻考點(diǎn)一：集合的基本概念......................................3

高頻考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系....................................4

高頻考點(diǎn)三：集合中元素的特性....................................5

高頻考點(diǎn)四：集合的表示方法......................................6

高頻考點(diǎn)五：集合的基本關(guān)系......................................6

高頻考點(diǎn)六：集合的運(yùn)算..........................................8

高頻考點(diǎn)七：聲而圖的應(yīng)用........................................9

高頻考點(diǎn)八：集合新定義問(wèn)題......................................10

第四部分：典型易錯(cuò)題型.............................................11

第五部分：新定義題(解答題).......................................12

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、元素與集合

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.

(2)元素與集合的關(guān)系：屬于或不屬于，數(shù)學(xué)符號(hào)分別記為：e和自

(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖圖).

(4)常見(jiàn)數(shù)集和數(shù)學(xué)符號(hào)

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NN*或N+ZQR

說(shuō)明：

①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說(shuō)，給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這

個(gè)集合中就確定了.給定集合A={1,2,3,4,5},可知leA,在該集合中，不在該集合中；

②互異性：一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的；也就是說(shuō)，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.

集合A={a,b,c}應(yīng)滿足a豐b豐c.

③無(wú)序性：組成集合的元素間沒(méi)有順序之分。集合A=[1,2,3,4,5}和3={1,3,5,2,4}是同一個(gè)集合.

④列舉法

把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.

具體方法是：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，

在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.

2、集合間的基本關(guān)系

(1)子集(subset)：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合5中的元素,

我們就說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合3的子集，記作(或3①A),讀作“A包含

于B”(或“5包含人”).

(2)真子集(propersubset)：如果集合A05,但存在元素xe8,且xeA,我們稱集合A是集合3的

真子集，記作AU3(或6UA).讀作“A真包含于3”或“3真包含A

(3)相等：如果集合A是集合3的子集(AqB,且集合3是集合A的子集,此時(shí)，集合A

與集合8中的元素是一樣的，因此，集合A與集合5相等，記作A=3.

(4)空集的性質(zhì)：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集

合的真子集.

3、集合的基本運(yùn)算

(1)交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與3的交集，記作A^B,

即Ap|8={x|xeA，且xeB}.

(2)并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為A與5的并集，記作A\JB,

即A|j3={x|xeA,或xeB}.

(3)補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的

補(bǔ)集，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作JA，即。A={x|xeU,且xeA}.

4、集合的運(yùn)算性質(zhì)

（1）AC\A=A,Apl0=0，AC\B=BC\A.

（2）A\JA=A,A\J0=A,A\JB=B\JA.

（3）An?A）=0,AU（G；A）=U,CC7A）=A.

5、高頻考點(diǎn)結(jié)論

（1）若有限集A中有〃個(gè)元素，則A的子集有2〃個(gè)，真子集有2〃-1個(gè)，非空子集有2"-1個(gè)，非空真子

集有2"—2個(gè).

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

（3）AcB<^>APB=AoA|jB=JB-?CUBcCVA.

（4）Cf/（AnB）=（Ci/A）|J（C[/B））的（仙）=（。*）0"）.

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?全國(guó)?(乙卷文))設(shè)全集。={0,124,6,8},集合M={0,4,6},N={0,l,6},則()

A.{0,2,4,6,8}B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U

2.(2023?全國(guó)(甲卷理))設(shè)全集U=Z，集合M={x|x=3k+l,k^Z],N={x\x=3k+2,k^Z}9金(MuN)=

()

A.{x|x=34，左EZ}B.{X\x=3k-l,kE：Z}

C.[x\x=3k-2,k^Z}D.0

3.(2023?全國(guó)?(新課標(biāo)I))設(shè)集合A={0,—〃},={l,a—2,2a—2},若Aw3,則〃二().

2

A.2B.1C.-D.-1

3

4.(2023?全國(guó)(新課標(biāo)n))已知集合"={-2,-1,0,1,2},N=[x\x2-x-6>0\,則McN=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.2

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：集合的基本概念

典型例題

例題1.（多選）（2024上?河南安陽(yáng)?高一安陽(yáng)一中校聯(lián)考期末）下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.。與｛0｝表示同一個(gè)集合;

B.集合｛1,2,3｝與｛3,2,1｝是兩個(gè)相同的集合；

C.方程（x-l）2（x-2）=0的所有解組成的集合可表示為｛1,1,2）；

D.集合｛N4<x<5｝可以用列舉法表示.

例題2.（多選）（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.0=0；

B.某中學(xué)新高一全體學(xué)生可以構(gòu)成一個(gè)集合；

C.集合A=｛xeR1%2-6x+7=0｝有兩個(gè)元素；

D.小于10的自然數(shù)按從大到小的順序排列和按從小到大的順序排列分別得到不同的兩個(gè)集合.

練透核心考點(diǎn)

1.（2023上?江蘇?高一專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.0與｛0｝的意義相同

B.某市文明市民可以組成一個(gè)集合

C.集合4=｛（尤,〉）|3尤+/=2,尤€1\[｝是無(wú)限集

D.方程/+2x+l=0的解集有二個(gè)元素

2.（多選）（2024上,全國(guó),高一專題練習(xí)）（多選題）下列各組對(duì)象能組成集合的是（）

A.大于6的所有整數(shù)

B.高中數(shù)學(xué)的所有難題

C.被3除余2的所有整數(shù)

D.函數(shù)>=工圖象上所有的點(diǎn)

X

高頻考點(diǎn)二：元素與集合的關(guān)系

典型例題

例題1.（2024上?河南省直轄縣級(jí)單位?高一統(tǒng)考期末）下列各式中：①。走N；②。€0；?0G｛O｝;

@0c｛O｝;⑤｛0,1｝=｛（。,1）｝；?ZcQ.正確的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

例題2.（2024上?四川德陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）若肛療-2m+1｝,則加=.

例題3.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知集合4=｛尤€可依2+2x+l=。｝,其中aeR.

（1）若集合A中有且僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。組成的集合反

⑵若集合A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?江西萍鄉(xiāng)?高一統(tǒng)考期末）已知集合4={-1,6—2。+1,。-4},若4wA,則。的值可能為（）

A.-1,3B.-1C.-1,3,8D.-1,8

2.（2024上?江蘇南通?高三統(tǒng)考期末）集合4={尤eR辰2-3x+2=0,aeR},若A中元素至多有1個(gè)，則

a的取值范圍是.

3.（2024上?云南大理?高一統(tǒng)考期末）已知集合4=”叫0%2+2苫+3=0}.

（1）當(dāng)。=0時(shí)，求集合A；

⑵若集合A只有2個(gè)子集，求實(shí)數(shù)。的值.

高頻考點(diǎn)三：集合中元素的特性

典型例題

例題1.（2024上?全國(guó)?高一專題練習(xí)）若集合中的三個(gè)元素分別為2,x,/-尤,則元素x應(yīng)滿足的條件

是.

例題2.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知集合4=卜,?,11,8=5七+》0}若4=8,則工.+丁必=

例題3.（2024上?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知集合A={1,2,3},B={l,m,n},若2-m￡A,W+2GA,則

m-\-n=.

練透核心考點(diǎn)

1.（多選）（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）設(shè)集合A={-3,x+2,尤2-4元},且5eA,則無(wú)的值可以為（）

A.3B.-1C.5D.-3

2.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）集合A={4+。-2,1-a,2},若4eA,則"=

3.（2024上?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知集合M={%|（工-"）（%2—依+[-1）=0}}中各元素之和等于3,求實(shí)數(shù)

。的值，并用列舉法表示集合

高頻考點(diǎn)四：集合的表示方法

典型例題

例題1.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知集合A=,n?%eN,且0V左V4、則集合A的元素個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.4D.5

例題2.（2023上?云南昆明?高一官渡五中?？计谥校┮阎螦=*eN|1eN},3={2,3},集合C滿

足則所有滿足條件的集合C的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

例題3.（2024下?上海?高一開(kāi)學(xué)考試）用列舉法表示集合卜卜=￡+1,"片0"為：.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?四川雅安?高一?？计谀┘蟵xeNl尤244}用列舉法表示為（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{0,1,2）

2.（2024上?全國(guó)?高一專題練習(xí)）集合4=卜??4尤=?,〃eN，的元素個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2024上?上海嘉定?高三?？计谥校┮阎?=<y>=-44x<0>,則集合

B={y|y=log3尤,xeA,yez}用列舉法表示為.

高頻考點(diǎn)五：集合的基本關(guān)系

典型例題

例題L（2023?福建寧德?福建省寧德第一中學(xué)?？级＃┮阎?1i,集合A={x|-3<x<2},

B=X2，：411,C={x\a—\<x<2a+\].

（1）求AC（泗;

（2）若CgAuB,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例題2.(2024上?云南昆明?高一統(tǒng)考期末)已知全集。=14,集合

A={%|a-l<x<2a+3},B=|x|x2-2x-3<0^.

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求①(AUB);

(2)若求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

例題3.(2024上?山東聊城?高一統(tǒng)考期末)函數(shù)y=log3］無(wú)€：,2］的值域?yàn)锳,y=J±一l(aeR)

的定義域?yàn)?.

⑴求A；

⑵若3=4,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.(2024下?浙江溫州?高一浙江省樂(lè)清中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知集合人=x\-x-2<0},

3

B=

2

⑴求正(”)；

(2)記關(guān)于X的不等式尤2-2(m+l)x+m2+2m<0的解集為M,若M=2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

2.(2024上?湖南長(zhǎng)沙?高一統(tǒng)考期末)已知集合A={%W<xv2m},8={%|龍工-5或x>4}.

⑴當(dāng)機(jī)=3時(shí)，求；

(2)若求實(shí)數(shù)用的取值范圍.

3.（2024上?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末）設(shè)集合4={小、2M,8="€叫》-4《8-2對(duì).

⑴求集合AcB；

⑵記C={xeR|x<o-3或x?a+7},若"xeA"是"xeC"的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

高頻考點(diǎn)六：集合的運(yùn)算

典型例題

例題L（2024上?陜西西安?高一西安市西光中學(xué)校聯(lián)考期末）已知集合&={1|尤2一2x+9-a=0},

B={x|ax2-4.r+l=0,。片0},若集合A,2中至少有一個(gè)非空集合，實(shí)數(shù)。的取值范圍_____.

例題2.（2024上?山東苗澤?高一荷澤一中?？茧A段練習(xí)）己知集合4=體-B={l-a,a-5,9},

若滿足Ac3={9},則實(shí)數(shù)。的值為.

例題3.（2024上?江蘇無(wú)錫?高一江蘇省天一中學(xué)?？计谀┮阎?=卜三!10，，B={x|y=F?}，

C=（~oo,2m+1],其中eR.

（1）若&A）nB；

（2）若AuC=R,求加的取值范圍.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)集合A={x|x2-2x-3<0,無(wú)eR},8=e禺>a,a>o},貝5|AU8=R,則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

2.（2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若集合&=-2尤-24W。},2={尤帆？<尤+2},Ac3=0,則機(jī)?

的最小值為.

3.（2024上■河南洛陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）已知全集為R,M={x|-24尤V2},N={x\G<x<2].

⑴求MC￡N）；

（2）若A={x|l-aW%?l+a},且AcM=A,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

高頻考點(diǎn)七：ye〃〃圖的應(yīng)用

典型例題

例題L（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某小學(xué)對(duì)小學(xué)生的課外活動(dòng)進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示：參加舞蹈課外

活動(dòng)的有63人，參加唱歌課外活動(dòng)的有89人，參加體育課外活動(dòng)的有47人，三種課外活動(dòng)都參加的有24

人，只選擇兩種課外活動(dòng)參加的有46人，不參加其中任何一種課外活動(dòng)的有15人.問(wèn)接受調(diào)查的小學(xué)生共

有多少人？（）

A.120B.144C.177D.192

例題2.（2024上?上海?高一上海市行知中學(xué)校考期末）定義集合運(yùn)算=且XWB｝稱為集合A

與集合8的差集；定義集合運(yùn)算A）稱為集合A與集合8的對(duì)稱差，有以下4個(gè)等式：

①AAB=BAA;（2）（AAB）AC=71A（BAC）;③AI（3AC）=（AI3）A（AIC）；④

AU（BAC）=（AUB）A（AUC）,則4個(gè)等式中恒成立的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

例題3.（2024上?山東濱州?高一?？计谀┠嘲嗯e行數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競(jìng)賽，每人至少參加一科，已

知參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人，參加物理競(jìng)賽的有25人，參加化學(xué)競(jìng)賽的有27人，其中同時(shí)只參加數(shù)學(xué)、物

理兩科的有10人，同時(shí)只參加物理、化學(xué)兩科的有7人，同時(shí)只參加數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科的有11人，而參加

數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科的有4人，則全班共有人.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上,湖南長(zhǎng)沙?高一湖南師大附中校考期末）已知全集為U,集合N滿足MNU,則下列

運(yùn)算結(jié)果為U的是（）.

A.MDNB.（翔N）u（yM）

C.MuguN）D.NUQM

2.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）某社區(qū)老年大學(xué)秋季班開(kāi)課，開(kāi)設(shè)課程有舞蹈，太極、聲樂(lè).己知秋季班課

程共有90人報(bào)名，其中有45人報(bào)名舞蹈，有26人報(bào)名太極，有33人報(bào)名聲樂(lè)，同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名聲

樂(lè)的有8人，同時(shí)報(bào)名聲樂(lè)和報(bào)名太極的有5人，沒(méi)有人同時(shí)報(bào)名三門課程，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：

①同時(shí)報(bào)名舞蹈和報(bào)名太極的有3人；

②只報(bào)名舞蹈的有36人；

③只報(bào)名聲樂(lè)的有20人；

④報(bào)名兩門課程的有14人.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

3.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出"經(jīng)典頻傳：看電影，學(xué)

黨史"系列短視頻，傳揚(yáng)中國(guó)共產(chǎn)黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來(lái)精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》《建黨偉

業(yè)》《開(kāi)國(guó)大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建黨偉業(yè)》

的有23人，觀看了《開(kāi)國(guó)大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4人，只觀

看了《建黨偉業(yè)》和《開(kāi)國(guó)大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開(kāi)國(guó)大典》的有6人，三支短視

頻全觀看了的有3人，則沒(méi)有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為.

高頻考點(diǎn)八：集合新定義問(wèn)題

典型例題

例題L（2024上?北京豐臺(tái)?高一統(tǒng)考期末）記R（A）為非空集合A中的元素個(gè)數(shù)，定義

.若4={1,2},B=Ux2+ax）（x2+ax+5）=0\,且A*3=l,設(shè)實(shí)數(shù),的

所有可能取值組成的集合是S,則R（s）等于（）

A.1B.2C.3D.4

例題2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）大數(shù)據(jù)時(shí)代，需要對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，檢索過(guò)程中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)

象，而笛卡爾積會(huì)產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對(duì)內(nèi)存、計(jì)算資源都會(huì)產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人員需

要了解笛卡爾積.兩個(gè)集合A和3,用A中元素為第一元素，3中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)?，所有這樣的

有序?qū)M成的集合叫作A與8的笛卡兒積，又稱直積，記為AxB.即AxB={（x,y）|xeA且yeB}.關(guān)于任

意非空集合N,T,下列說(shuō)法一定正確的是（）

A.MxN=NxMB.（MxN）xT=MxT）

C.Alx（NUT）（MXN）U（MXT）D.Afx（NC|T）=（AfxN）n（M*T）

例題3.（2024?廣東?惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合A中含有三個(gè)元素MV*,同時(shí)滿足①x<y<z；

②x+y>z；③x+y+z為偶數(shù)，那么稱集合A具有性質(zhì)尸.已知集合S“={1,2,3,…,2力（〃eN*,〃N4）,對(duì)

于集合S“的非空子集3,若S“中存在三個(gè)互不相同的元素"c,使得a+瓦b+c,c+a均屬于8,則稱集合B

是集合S”的"期待子集

⑴試判斷集合A={1,2,3,5,7,9}是否具有性質(zhì)P,并說(shuō)明理由；

（2）若集合8={3,4,a}具有性質(zhì)產(chǎn)，證明：集合B是集合S’的"期待子集"；

⑶證明：集合M具有性質(zhì)P的充要條件是集合M是集合S”的“期待子集

練透核心考點(diǎn)

1.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）設(shè)集合S為實(shí)數(shù)集R的非空子集，若對(duì)任意尤eS,yeS,都有（x+y）e5,

（x-y）eS,xyeS,則稱集合S為“完美集合”，給出下列命題：

①若S為"完美集合"，則一定有OeS；

②"完美集合"一定是無(wú)限集；

③集合A=卜卜=a+45b,aeZ,bez）為"完美集合"；

④若S為"完美集合"，則滿足S^TuR的任意集合T也是“完美集合

其中真命題是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

2.（2024?全國(guó)?高一專題練習(xí)）若一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成"鯨吞"；若兩個(gè)集合有

公共元素且互不為對(duì)方的子集，則稱兩個(gè)集合構(gòu)成"蠶食"，對(duì)于集合4={-1,2},B={xp=2,a>0},若

這兩個(gè)集合構(gòu)成"鯨吞"或"蠶食"，則a的取值集合為（）

A,{畛2，七二1C.{0,2}D-

3.（2024上?北京通州?高一統(tǒng)考期末）已知有加個(gè)連續(xù)正整數(shù)元素的有限集合

m>2）,記有序數(shù)對(duì)4=（與生,…0”），若對(duì)任意i,j6{1,2,.-?,/?}（?>j）,%,與wS?，且.產(chǎn)勺，A同時(shí)滿

足下列條件，則稱A為加元完備數(shù)對(duì).

條件①：1%一闖4|出一旦區(qū)…《鼠-1-a/；

條件②:|%一闖+|電-⑷■*---一"）=加