六年級數(shù)學(xué)小升初奧數(shù)：排列組合問題（講義）

排列組合問題

(知識梳理+典例分析+高頻考題+答案解析)

笏粳塊一知識橫理---------------------------------

一、排列與組合的定義

1、排列：從n個不同元素中取出m個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個

元素的一個排列。

2、組合：從n個不同元素中取出m個元素，不考慮順序，合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元

素的一個組合。

二、排列數(shù)與組合數(shù)的公式

1、排列數(shù)公式：

An(m)=nx(n-1)x(n-2)x...x(n-m+1)=n!/(n-m)!

其中，n!表示n的階乘，即nx(n-1)x…x2x1。

2、組合數(shù)公式：

Cn(m)=m!x[(n!/(m!x(n-m)!))]=n!/[m!x(n-m)!]

其中，m!表示m的階乘。

三、排列組合問題的常見題型及解題思路

1、特殊元素與特殊位置優(yōu)待法：先考慮滿足特殊的元素和位置，再考慮其它元素和位置。

2、分類討論思想：遇到情況比較復(fù)雜時，可以通過分類討論，分出幾種情況，再用分類加法原理進(jìn)行計算。

3、插空法(不相鄰問題)：對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在

已排好的元素之間及兩端空隙中插入。

4、捆綁法(相鄰問題)：對于某幾個元素相鄰的排列問題，可先將相鄰的元素捆綁，再將它與其它元素在

一起排列，注意捆綁部分的內(nèi)部順序。

5、平均分組問題除法策略：解決此類問題，平均分了組后，要除以組數(shù)的全排列數(shù)，以避免重復(fù)計數(shù)。

6、分配問題先分組再分配：遇到分配問題時，應(yīng)先分組，再去分配。

7、定序問題(消序法)：在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序時，可先用全排列，再除以定序

元素的全排列。

8、相同元素分配問題(插板法)：當(dāng)元素相同時，可用插板法解決，必須滿足元素相同且每份至少分到一

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個元素。

9、環(huán)形排列問題：n個不同元素作環(huán)形排列時，共有（n-1）!種排法。

四、注意事項(xiàng)

1、區(qū)分排列與組合：關(guān)鍵在于是否考慮順序。有序?yàn)榕帕?，無序?yàn)榻M合。

2、避免重復(fù)計數(shù)：在分組和分配問題中，要注意避免重復(fù)計數(shù)。

3、理解公式和性質(zhì)：熟練掌握排列數(shù)和組合數(shù)的公式及性質(zhì)，以便靈活應(yīng)用。

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【典例1】五個人進(jìn)行象棋單循環(huán)賽，規(guī)定勝者得2分，負(fù)者得0分，和棋雙方各得1分，比賽結(jié)束

后統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，五個人的得分和加起來一定是多少？

【答案】解：5X（5-1）4-2=10（場）

10X2=20（分）

答：五個人的得分和加起來一定是20分。

【分析】單循環(huán)比賽場次=人數(shù)X（人數(shù)-1）+2,先計算出比賽場次。每場無論分出勝負(fù)還是打平，兩

人的得分和一定是2分，因此用比賽場次乘2就是五個人的得分和。

【典例2】4名男生，5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法：

（1）甲不在中間也不在兩端；

（2）甲、乙兩人必須排在兩端；

（3）男、女生分別排在一起；

（4）男女相間.

【答案】（1）解：先排甲，9個位置除了中間和兩端之外的6個位置都可以，有6種選擇，剩下的

8個人隨意排，也就是8個元素全排列的問題，有P^=8x7x6x5x4x3x2xl=40320（種）

選擇.由乘法原理，共有6X40320=241920（種）排法.

（2）解：甲、乙先排，有片=2x1=2（種）排法；剩下的7個人隨意排，有

P7=7X6X5X4X3X2X1=5040（種）排法.由乘法原理，共有2X5040=10080（種）排

法.

（3）解：分別把男生、女生看成一個整體進(jìn)行排列，有理=2X1=2（種）不同排列方法，再分別

對男生、女生內(nèi)部進(jìn)行排列，分別是4個元素與5個元素的全排列問題，分別有

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P花=4x3x2x1=24（種）和喈=5x4x3x2x1=120（種）排法.

由乘法原理，共有2x24x120=5760（種）排法.

（4）解：先排4名男生，有玲=4x3x2x1=24（種）排法，再把5名女生排到5個空檔中，

有形=5x4x3x2x1=120（種）排法.由乘法原理，一共有24x120=2880（種）排法.

【分析】（1）第一步：先排甲，除了兩端和中間，一共有6種排法；第二步：剩下的8個人進(jìn)行全排

列。最后把兩步的排法乘起來即可；

（2）第一步：先排甲和乙；第二步：剩下的7個人進(jìn)行全排列。最后把兩步的排法乘起來即可；

（3）第一步：4個男生進(jìn)行全排類；第二步：5個女生進(jìn)行全排列；第三步：分別將男生和女生看成一

個整體，即2個元素進(jìn)行排列。最后把三步的排法乘起來即可；

（4）男女相間也就是男生之間不相鄰，女生之間不相鄰，所以第一步：先排4個男生；第二步：女生插

空。最后把兩步的排法乘起來即可。

【典例3】小明和小紅各有一個正方體木塊，六個面分別寫著1,2,3,4,5,6.兩人同時擲一次.

（1）兩數(shù)積大于10的小明勝出，小于10的小紅勝.每人勝的可能性各是多少？

（2）這種游戲公平嗎?如果不公平，請你重新設(shè)計游戲規(guī)則.

【答案】（1）9+18=白，8+18=2

lolo

答：小明獲勝的可能性是白，小紅獲勝的可能性是上

lolo

（2）這種游戲不公平，可以這樣設(shè)計：兩個數(shù)的積大于10的小明勝出，兩個數(shù)的積小于等于10的小紅

勝出。

【分析】（1）可能出現(xiàn)的積：1X1=1,1X2=2,1X3=3,1X4=4,1X5=5,1X6=6,2X1=2,2

X2=4,2X3=6,2X4=8,2X5=10,2X6=12,3X1=3,3X2=6,3X3=9,3X4=12,3X5=15,

3X6=18,4X1=4,4X2=8,4X3=12,4X4=16,4X5=20,4X6=24,5X1=5,5X2=10,5X

3=15,5X4=20,5X5=25,5X6=30,6X1=6,6X2=12,6X3=18,6X4=24,6X5=30,6X

6=36,共36個積，去除重復(fù)的積，剩下的積有1、2、3、4、5、6、8、9、10、12、14、15、16、

18、20、24、30、36,共18個，大于10的有9個，所以小明勝的可能性就是白；小于10的有8個，

lo

所以小紅勝的可能性是L

lo

（2）兩人勝的可能性不相同，因此游戲不公平。要想游戲公平，就要使兩人獲勝的可能性相同。

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【典例4】學(xué)校舉行了中國象棋比賽，已知參賽選手共64人.

（1）如果采用單循環(huán)賽制，決出冠軍和亞軍，至少需賽多少場？

（2）如果采用淘汰制比賽，決出冠軍和亞軍一共要賽多少場？

（3）如果先分成8個小組，在小組內(nèi)采用單循環(huán)賽制，小組前2名共16名隊(duì)員進(jìn)行淘汰制，一共要

多少場？

【答案】（1）I*"。=2016（場）

（2）64-1=63（場）

（3）64+8=8（人）

^12=28（場）

28X8+（16-1）=239（場）

【分析】本題考查的主要內(nèi)容是排列組合的應(yīng)用問題.

【典例5】將一個4x4x4的立方體切割成64個1x1x1的小立方體，然后將其中16個1X1X1的小

立方體染成紅色，要求與任意一條棱平行的4個小立方體中，都正好有1個小立方體被染成紅色，求不

同的染色方法有多少種？（旋轉(zhuǎn)后相同的染色方法也視為不同的染色方法）

【答案】解：①先考慮“1”，每行各1個，且不同列有4X3X2X1=24種填法；我們不妨設(shè)為圖1的

情況，

若第二行的“2”填在第一列，則第三行的“2”填在四列，第四行的“2”填在三列；（如圖3）若第二行

的“2”填在第三列，則第四行的“2”填在一列，第三行的“2”填在四列；（如圖4）若第二行的“2”填

在第四列，則第三行的“2”填在一列，第四行的“2”填在三列；（如圖5）③再考慮"3”，第一行的

“3”有2種填法：我們不妨設(shè)為第-行的“3”填在第三列（如圖6--8）,

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圖6余下的有2種填法：（如圖9和10）圖7余下的有1種填法：（如圖11）

（如圖12）冬8余下的有1種填法：

綜上得“4”有：第一行的“2”填在第1列，第一行“3”填在第3歹U，有4種；

共計不同的填法有24X3X2X4=576（種）；

答：不同的染色方法有576種。

【分析】由題意“與任意一條棱平行的4個小立方體中，都正好有一個小立方體被染成紅色”，得每層4

義4義1中，都正好有4個正方體染成紅色；且從上往下看，每層染成紅色得小立方體的俯視圖為一個4

X4的正方形，對這個4X4正方形，我們分別用“1”、“2”、“3”、“4”各4個表示第12、3、4

層對應(yīng)的小方格染成紅色；并且按照題意，這個4X4正方形中，每行、每列“1”、“2”、“3”、

“4”個1個故問題轉(zhuǎn)化為用“1”“2”“3”“4”各4個填在一個4X4正方形中，要求每行、每列3

“1”“2”“4”各1個“'，不同的填法有多少種?這樣的計數(shù)題了，然后我們按照一定的順序分步考

慮“1”“2，“3”“4”在每行、每列的填法的種數(shù)，最后相乘即可。

“WigVMMHi--------------------------------

1.三個圓A、B、C在同一條直線上，如圖所示，一只青蛙在這三個圖之間跳來跳去，它先從A開始，跳

了4次以后又回到A,問它有多少種不同的跳法？

O-----0-----?

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2.丁丁和爸爸、媽媽、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排；奶奶要站在正中間，有多

少種不同的站法？

3.從3、5、8這三個數(shù)字中任選2個數(shù)字組成兩位數(shù)：

(1)有幾種排法？

(2)組成雙數(shù)的可能性要比組成5的倍數(shù)的可能性“大”還是“小”，為什么？

4.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)排成一排，從左往右數(shù)，如果甲不排在第一個位置上，乙不排在第二個位置

上，丙不排在第三個位置上，丁不排在第四個位置上，那么不同的排法共有多少種？

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5.書架上層有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層有5本不同的語文書，若任意從書架上取一本數(shù)學(xué)書和一本語

文書，有多少種不同的取法？

6.一張靶紙共三圈，投中內(nèi)圈得10環(huán)，投中中圈得8環(huán)，投中外圈得6環(huán)。小華投中兩次，可能得到

環(huán)數(shù)是多少？（列舉出所有可能的答案）

7.選衣服，我有兩件上衣，一件黑色的，一件白色的；有3件下衣，有黃色的、紅色的、藍(lán)色的。請從

中選一件上衣和一件下衣，有幾種選法，請你寫出來。

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8.用2、3、5、7組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，能組成多少個個位是單數(shù)的兩位數(shù)?

9.小貓、小熊和小兔進(jìn)行賽車比賽（比賽成績各不相同），它們比賽完可能有多少種不同的比賽結(jié)果

呢？填一填。

情況1情況2情況3情況4

第一名

第二名

有（）種不同的比賽結(jié)果。

10.用數(shù)字1?8各一個組成8位數(shù)，使得任意相鄰三個數(shù)字組成的三位數(shù)都是3的倍數(shù)，共有多少

種組成方法?

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11.4名同學(xué)到照相館照相.他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法?

12.一把硬幣全是2分和5分的，這把硬幣一共有1元，問這里可能有多少種不同的情況?

13.小亞和小胖都到衛(wèi)生室測量身高、體重，小亞說：在測身高時我看見老師寫了1、4、7三個數(shù)字,

根據(jù)小亞所說，你認(rèn)為小亞的身高是多少米？小胖說：我稱了體重后，看見老師寫了5、3、5三個數(shù)

字，那么小胖的體重是多少千克呢？

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14.學(xué)校為藝術(shù)節(jié)選送節(jié)目，要從8個合唱節(jié)目中選出4個，2個舞蹈節(jié)目中選出一個，一共有多少種不

同的選送方案？

15.一個兩位小數(shù)的整數(shù)部分是一個三位數(shù)，數(shù)字之積是4；小數(shù)部分的數(shù)字之和是4。這樣的兩位小數(shù)

共有多少個？

16.文具店里有四種圓珠筆，售價分別是1元、2元、3元和4元。笑笑花了10元錢買了4支筆，那么

他買筆的組合有幾種不同的方式?請用算式列出。

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17.有49名運(yùn)動員，每名運(yùn)動員都有一個號碼，號碼從1到49各不相同。挑選若干名運(yùn)動員排成

一個圓圈使任何相鄰的兩個運(yùn)動員的號碼數(shù)的乘積小于100。

(1)你最多能挑選出名運(yùn)動員；

(2)畫出一副符合題意的號碼排列圓圈圖。

18.有若干把鎖，現(xiàn)在有6個人各絮捶了其中一部分鎖的鑰匙，已知任意兩人同時去開鎖，恰有一

把鎖打不開，而任意三人都可以全部把鎖打開。那么至少有把鎖。

19.四個學(xué)生每人做了一張賀年片，放在桌子上，然后每人去拿一張，但不能拿自己做的一張.問：一

共有多少種不同的方法？

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20.某人忘記了自己的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是9.為確保打開保險

柜至少要試多少次？

21.小華、小光、小紅、小軍在兒童節(jié)互相問候，每兩人通一次電話，一共通了幾次電話？如果互相贈

一張賀卡，需要幾張賀卡？

22.東東、西西、北北三人進(jìn)行乒乓球單循環(huán)賽，結(jié)果3人獲勝的場數(shù)各不相同.問第一名勝了幾場?

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23.32人租車去旅游，有限乘客6人的小車和限乘客8人的大車兩種車型可選。如果每輛車都坐滿，那

么可以怎樣租車？

24.學(xué)校舉行青少年法律知識競賽，共有8人參加比賽，其中4名男生，4名女生，要求一男一女組成一

隊(duì).

(1)共有多少種組隊(duì)方案？

(2)若A、B兩同學(xué)已成一隊(duì)，還有多少種組隊(duì)方案？

(3)若男B,D不能一隊(duì)，有多少種組隊(duì)方案？

25.有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自1,2,3,4,5,并且任意相鄰兩位數(shù)字(大減小)的差都是1.問這

樣的五位數(shù)共有多少個？

26.二年級六個班進(jìn)行拔河單循環(huán)賽，每個班要進(jìn)行幾場比賽？一共要進(jìn)行幾場比賽?

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27.有10對夫婦共20人參加聚會，其中每位男士與其他每個人握一次手(他的妻子除外)。女士與女士

之間不握手，晚會上這20人之間一共握手多少次？

28.一個籃球隊(duì)有五名隊(duì)員A,B,C,D,E,由于某種原因，E不能做中鋒，而其余4個

人可以分配到五個位置的任何一個上，問一共有多少種不同的站位方法？

29.用0、1、2、3、4、5這六個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)的個數(shù):

(1)奇數(shù)；

(2)比20300大的數(shù);

(3)不含數(shù)字0,且1、2不相鄰的數(shù)。

30.東東、西西、南南、北北四人進(jìn)行乒乓球單循環(huán)賽，結(jié)果有三人獲勝的場數(shù)相同.問另一個人勝了

幾場？

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6模塊四答案解析-----------------------------------

1.【答案】解：AfBfCfA、AfBfCfB—A、A-C-A>A.

答：有4種不同的跳法.

【分析】青蛙可以一次跳1格，也可以一次跳2格，從A開始把所有跳的方法列舉出來即可.

2.【答案】解：由于奶奶必須站在中間，那么問題實(shí)質(zhì)上就是剩下的四個人去站其余四個位置的問題，

是一個全排列問題，且n=4.

由全排列公式，共有P^=4X3X2X1=24（種）不同的站法.

【分析】已經(jīng)確定了奶奶的位置，只需要將剩下的4人進(jìn)行全排列即可。

3.【答案】（1）解：可以組成的兩位數(shù)有35、38、53、58、83、85,共6種排法。

（2）解：35、38、53、58、83、85中雙數(shù)有38、58這2個；5的倍數(shù)有35、85這2個；組成雙數(shù)的可

能性與組成5的倍數(shù)的可能性相等。

【分析】（1）3、5、8分別在十位都可以組成兩個不同的兩位數(shù)，共6個；

（2）組成的雙數(shù)有2個，組成5的倍數(shù)有2個，可能性相等。

4.【答案】解：3X3=9（種）

答：不同的排法共有9種。

【分析】首先考慮甲不排在第一個位置上，所以第一個位置上可放乙、丙、丁，有3種可能情況，如果

第一個位置排乙，不論二、三、四哪個位置排甲，丙、丁也就確定了，也對應(yīng)于3種可能情況，據(jù)此根

據(jù)乘法原理計算即可。

5.【答案】解：6X5=30（種）

答：有30種不同的取法。

【分析】取一本數(shù)學(xué)書有6種選擇，取一本語文書有5種選擇，根據(jù)乘法原理相乘即可。

6.【答案】解：10+10=20（環(huán)）

8+8=16（環(huán)）

6+6=12（環(huán)）

10+8=18（環(huán)）

10+6=16（環(huán)）

8+6=14（環(huán)）

答：可能得到環(huán)數(shù)是20、16、12、18、14環(huán)。

【分析】可能得到環(huán)數(shù)分別是：①兩個內(nèi)圈、②兩個中圈、③兩個外圈、④一個內(nèi)圈一個中圈、⑤一個

內(nèi)圈一個外圈、⑥一個外圈一個中圈。

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7.【答案】解：第一種：黑色黃色，第二種：黑色紅色，第三種黑色藍(lán)色，第四種白色黃色，第五種白

色紅色，第六種白色藍(lán)色。

8.【答案】解：個位是單數(shù)的兩位數(shù)：23、53、73、25、35、65、27、37、57,共9個。

答：用2、3、5、7組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，能組成9個個位是單數(shù)的兩位數(shù)。

【分析】先固定個位的數(shù)字，再選取不重復(fù)的數(shù)字進(jìn)行組合。

9.【答案】

情況1情況2情況3情況4情況5情況6

第一名小貓小熊小貓小兔小熊小兔

第二名小熊小貓小兔小貓小兔小熊

有6種不同的比賽結(jié)果。

【分析】每個小動物都可能是第一名，先確定一個第一名，那么第二名會有2種可能的結(jié)果。按照這樣

的方法列舉出所有比賽結(jié)果即可。

10.【答案】解：1?8中被三除余1和余2的數(shù)各有3個，被3整除的數(shù)有兩個

根據(jù)題目條件可以推導(dǎo)，符合條件的排列，一定符合“被三除所得余數(shù)以3位周期”

所以8個數(shù)字，1、4、7被3除同余1,2、5、8被3除同余2,3、6被3除同余0

顯然第3、6位上的數(shù)被3整除，第1、4、7位上的數(shù)被3除可以余1也可以余2,第2、5、8位上的數(shù)

被3除可以余2可以余1

余數(shù)的安排上共有2種方法，余數(shù)安排定后，還有同余數(shù)之間的排列，一共有2X2X3!X3!=144種方

法。

答：共有144種組成方法。

【分析】要使任意相鄰三個數(shù)字組成的三位數(shù)都是三的倍數(shù)，就需要令任意相鄰三個數(shù)字組成的數(shù)字之

和為三的倍數(shù)；或令任意相鄰三個數(shù)字各自除以3所得的余數(shù)之和為3的倍數(shù)，1、4、7除以3余1,

2、5、8除以3余2,3、6除以3余0,而滿足題意的余數(shù)組合就只有12012012和21021021這兩個；每

個組合的8位數(shù)字個數(shù)為3!X3!X2=72個，兩組共144個。

11.【答案】解：4個人到照相館照相，那么4個人要分坐在四個不同的位置上.所以這是一個從4

個元素中選4個，排成一列的問題.這時n=4,m=4.

由排列數(shù)公式知，共有03=4x3x2x1=24（種）不同的排法.

【分析】因?yàn)闆]有要求每個同學(xué)的位置，所以只需要把4進(jìn)行全排列即可。

12.【答案】解：按5分硬幣的個數(shù)對硬幣情況進(jìn)行分類：

如果5分硬幣有奇數(shù)個，那么無論2分硬幣有多少個都不能湊成100分.如表當(dāng)5分硬幣的個數(shù)為0~20

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的偶數(shù)時，都有對應(yīng)個數(shù)的2分硬幣.所以一共有11種不同的情況.

類別1234567891011

5分02468101214161820

2分50454035302520151050

【分析】1元=100分，因?yàn)?的奇數(shù)倍還是奇數(shù)，2乘任何數(shù)都是偶數(shù)，所以當(dāng)5分硬幣的個數(shù)為。?20

的偶數(shù)時，都有對應(yīng)個數(shù)的2分硬幣，據(jù)此列表計算即可。

13.【答案】解：小亞的身高是1.47米或者1.74米；小胖的體重是35.5千克、53.5千克或者55.3千

克。

【分析】根據(jù)實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)以及題干中的具體數(shù)據(jù)來寫出小數(shù)。

14.【答案】解：CJX廢=70X2=140（種）；

答：一共有140種不同的選送方案.

【分析】從8個合唱節(jié)目中選4個有4=70種選法；從2個舞蹈節(jié)目中選出一個有廢=2種選法；根據(jù)乘

法原理，可得共有：70X2=140（種）；據(jù)此解答.

15.【答案】解：整數(shù)部分是三位數(shù)，數(shù)字之積是4,這樣的三位數(shù)有411、141、114、221、212、

122,共6個。

小數(shù)部分是兩個數(shù)字，數(shù)字之和是4,可能由下面的數(shù)字組成：

①4=4+0（2種）

②4=3+1（2種）

③4=2+2（1種）

小數(shù)部分有2+2+1=5（種）。

共有6義5=30（個）。

【分析】本題可以先算出整數(shù)部分可能的情況個數(shù)和小數(shù)部分可能的情況個數(shù)，滿足條件的兩位小數(shù)的

個數(shù)=滿足條件的整數(shù)部分的個數(shù)又滿足條件的小數(shù)部分的個數(shù)。

16.【答案】解：共5種：①10=1+1+4+4,②10=1+2+3+4,③10=2+2+3+3,④10=1+3+3+3,⑤

10=4+2+2+2o

答：買筆的組合有5種不同的方式。

【分析】因?yàn)槭琴I了4支筆，先確定一種筆，然后依次確定第二種、第三種、第四種，總錢數(shù)一定是10

元，這樣列舉出不同的組合方式即可。

17.【答案】⑴18

（2）解：如圖

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j16

6

Z\1

100的算術(shù)平方根是10,先把1-10挑出來，再在每兩個中間插一個合適的數(shù)最后應(yīng)該是1-49-2-33-3-

24-4-19-5-16-6-14-7-12-8-11-9-10,共18個數(shù)；2個不同兩位數(shù)乘積大于100,因此不能相鄰，把1

位數(shù)和兩位數(shù)相間排列，所以最多可以排18個數(shù).

故答案為：18.

【分析】因?yàn)?個不同兩位數(shù)乘積大于100,因此不能相鄰，把1位數(shù)和兩位數(shù)相間排列，最多可以排

18個數(shù).例如：1T8-2T7-3T6-4T5-5T4-6-13-7-12-8T1-9-10排成圓圈.

18.【答案】解：首先，利用排列組合計算，從6個人中任意選出2人，一共有6x5+2=15種不同

的選法。

每種選法對應(yīng)一把“缺少的鑰匙”，而這15種選法中，“缺少的鑰匙〃互不相同，那么總共自然有至少

15把鎖。

接下來，我們嘗試進(jìn)行構(gòu)造，找到一種恰有15把鎖的安排方法，不妨將15把鎖編號為1,2,

3,......,15號，并與這6個人中選出2個人的一種選法進(jìn)行——對應(yīng)，如：1號鎖一(A,B)；2號鎖

—(A,C)；3號鎖一(A,D)；……；15號鎖-(E、F)o

接下來，我們確保每個兩人組中的兩個人不持有對應(yīng)編號的鎖的鑰匙，而持有所有其他編號的鎖的鑰

匙，最終得到下面的一種分配方式。

A：6,7,8,9,10,11,12,13,14,15號鑰匙;

B：2,3,4,5,10,11,12,13,14,15號鑰匙;

C：1,3,4,5,7,8,12,13,14,15號鑰匙;

D：1,2,4,5,6,8,9,11,12,15號鑰匙;

E：1,2,3,5,6,7,9,10,12,14號鑰匙;

F：1,2,3,4,6,7,8,10,11,13號鑰匙。

此時任何兩人都恰有一把鎖打不開,且任何兩人打不開的都是不同編號的鎖，滿足題目要求,

因此最小值15可以取得。

故答案為：15。

【分析】六個人中任意兩個人都要有一把鎖打不開，兩個人的組合是6x5+2=15種，根據(jù)每種選法

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對應(yīng)一把“缺少的鑰匙”，可知這15種選法中，“缺少的鑰匙〃互不相同。然后根據(jù)不同的組合進(jìn)行推

導(dǎo)，即可求出最少有15把鎖。

19.【答案】解：設(shè)四個學(xué)生分別是A,B,C,D,他們做的賀年片分別是a,b,c,d.

先考慮A拿B做的賀年片b的情況（如下表），一共有3種方法.

ABcD

badc

bada

bdac

同樣，A拿C或D做的賀年片也有3種方法.

一共有3+3+3=9（種）不同的方法.

【分析】每人去拿一張，但不能拿自己做的一張，可以假設(shè)四個學(xué)生分別是A,B,C,D,他們做的賀年

片分別是a,b,c,d,如果A拿了b,那么有3種方法，同理A拿了c、d也各有3種方法，所以一共有

9種方法。

20.【答案】解：四個非0數(shù)碼之和等于9的組合有1,1,1,6；1,1,2,5；1,1,3,4；1,2,2,

4；1,2,3,3；2,2,2,3六種.

第一種中，只要考慮6的位置即可，6可以隨意選擇四個位置，其余位置方1,共有4種選擇.

第二種中，先考慮放2,有4種選擇，再考慮5的位置，有3種選擇，剩下的位置放1,共有4X3=12種

選擇，同理，第三、第四、第五種都有12種選擇，最后一種與第一種相似，3的位置有四種選擇，其余

位置放2,共有4種選擇.由加法原理，一共可以組成4+12+12+12+12+4=56個不同的四位數(shù)，即為確保打

開保險柜至少要試56次.

【分析】先計算出4非0的四個數(shù)碼之和是9的組合，然后分別計算出每個組合可以組出的數(shù)的個數(shù)，

最后把它們加起來即可。

21.【答案】解：4X（4-1）-4-2

=4X34-2

=6（次）

4X3=12（張）

答：每兩人通一次電話，一共通了6次電話，如果互相贈一張賀卡，需要12張賀卡。

【分析】做題時注意本題中每兩人通一次電話和互相贈送一張卡片的區(qū)別，兩人通一次電話所用公式：n

X（n-l）4-2,據(jù)此解答即可。

22.【答案】解：總場次：3X（3-1）4-2=3（場），

2+1+0=3（場）

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答：第一名勝了2場。

【分析】三人進(jìn)行單循環(huán)賽，即每兩人都要賽一場，共進(jìn)行3X（3-1）+2=9（場）比賽。每場比賽都有

一人獲勝，每人都賽2場。由題意知三人獲勝的場數(shù)各不相同，2+1+0=3（場），所以三人獲勝的場數(shù)分

別為2、1、0。顯然，第一名是勝了2場。

23.【答案】

租車方案大車小車可乘人數(shù)

①4輛0輛32人

②3輛2輛36人

③2輛3輛34人

④1輛4輛32人

⑤0輛6輛36人

可以租4輛大車，也可以租1輛大車和4輛小車。

24.【答案】（1）解：4X4=16（種）

答：共有16種組隊(duì)方案.

（2）解：（4-1）X（4-1）

=3X3

=9（種）

答：還有9種組隊(duì)方案.

（3）解：4X4-1

=16-1

=15（種）

【分析】本題考查的主要內(nèi)容是排列組合的應(yīng)用問題，根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行排列即可.

25.【答案】解：⑴首位取1時，千位只能是2,百位可以是1和3.

百位是1,十位只能是2,個位可以是1和3.2種.

百位是3,十位可以是2和4；十位是2,個位可以是1和3,十位是4,個位可以是3和5.4種.

所以，首位取1時，共有2+4=6種.

⑵首位取2時，千位可以是1和3.

千位是1,百位只能是2,十位可以是1和3.有3種.

千位是3,百位可以是2和4.百位是2,十位可是是1和3,有3種.百位是4,十位可以是3和5,有

3種.千位是3時有3+3=6種.

20/23

所以首位取2時，共有3+6=9種.

⑶首位取3時，千位可以取2和4.

千位是2,百位可以取1和3.百位是1,十位只能是2,個位可以是1和3；2種.百位是3時，十位可

以是2和4.十位是2個位可以是1和3；十位是4,個位可以是3和5；4種.

千位是4,百位可以取3和5.

百位是5,十位只能是4,個位可以是3和5；2種.百位是3,十位可能是2和4.十位是2個位可以是

1和3；十位是4個位可以是3和5；4種.

所以，首位取3時，共有2+4+2+4=12種.

⑷首位取4時，千位可以取3和5.

千位是5,百位只能是4,十位可以是3和5.十位是3個位可以是2和4；十位是5個位只能是4.有3

種.

千位是3,百位可以是2和4.百位是2,十位可以是1和3.十位是1個位只能是2；十位是3個位可以

是2和4.有3種.百位是4,十位可以是3和5.十位是5個位只能是4；十位是3,個位可以是2和

4.有3種.千位是3共有3+3=6種.

所以，首位取4時，共有3+6=9種.

⑸首位取5時，千位只能是4,百位可以是3和5.百位是5,十位只能是4,有2種；百位是3,十位可

以是2和4,有4種.所以，首位取5時共有2+4=6種.

總共有：6+9+12+9+6=42個

也可以根據(jù)首位數(shù)字分別是1、2、3、4、5,畫5個樹狀圖，然后相加總共有：6+9+12+9+6=42

個

【分析】因?yàn)槭墙M成五位數(shù)，那么可以分為5類，即第一類：首位取1時，那么千位只能是2；第二類：

首位取2時，千位可以是1和3；第三類：首位取3時，千位可以取2和4；第四類：首位取4時，千位

可以取3和5；第五類：首位取5時，千位只能是4。然后分別把每一類中數(shù)字的組法就出來，最后加起

來即可。

26.【答案】解:6-1=5(場)

6X54-2=15(場)

答：每個班要進(jìn)行5場比賽，一共要進(jìn)行15場比賽。

【分析】因?yàn)槊總€班都要與其他班舉行一場比賽，因此每個班只需要與其他5個班各舉行一場，每個班

要舉行5場比賽。這些場次中有一半是重復(fù)計數(shù)的，因此用(6X5-2)來計算場次的總數(shù)。

27.【答案】解：20X(20-1)4-2

21/23

=20X19+2

=3804-2

=190（次）

每位男士與自己的配偶握手一次，10人共握手10次；

10X（10-1）4-2

=10X94-2

=904-2

=