極化恒等式與等和（高）線定理-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)13極化恒等式與等和（高）線定理【四大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1利用極化恒等式求值】.................................................................3

【題型2利用極化恒等式求最值（范圍）】......................................................5

【題型3利用等和線求基底系數(shù)和的值】........................................................8

【題型4利用等和線求基底系數(shù)和的最值（范圍）】.............................................II

?命題規(guī)律

1、極化恒等式與等和（高）線定理

極化恒等式是平面向量中的重要等式，是解決平面向量的數(shù)量積問(wèn)題的重要工具，有平行四邊形模型

和三角形模型兩大重要模型，可以建立起向量與幾何長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系；等和（高）線定理是平面向量

中的重要定理，由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)得出，在求基底系數(shù)和的值、最值（范圍）中有著重要作用.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1極化恒等式】

1.極化恒等式的證明過(guò)程與幾何意義

（1）平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和:

|Z+R「+|力2（內(nèi)2+㈤2）.

證明：不妨設(shè)4B=a,AD=石,貝！J/C=Q+B,DB=a-b,

I>|2?2/—?—\2LP—?—

\AC\=AC=（a+6）=a+2a-b+斤①,

同=齒=（力）2叩+同2②,

①②兩式相加得：

就『+麗『=2忖2+麻卜成時(shí)+時(shí)

（2）極化恒等式：

上面兩式相減，得：a4=i[p+s）2-（a-s）2]-------極化恒等式

平行四邊形模式：a-b=^\AC^-\DB^.

2.幾何解釋：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平

方差的’.

4

（1）平行四邊形模型：向量的數(shù)量積等于以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角

線長(zhǎng)”平方差的L即：.刃=斗伍+盯一伍-同[（如圖）.

（2）三角形模型：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差，即

------>------->-------->2-------->2

AB-=兒?一出為3c的中點(diǎn)X如圖）.

極化恒等式表明，向量的數(shù)量積可以由向量的模來(lái)表示，可以建立起向量與幾何長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系.

【知識(shí)點(diǎn)2等和（高）線定理】

1.等和（高）線定理

（1）由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和（高）線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若蘇=/次+〃而（2,〃GR）,

則%+〃=1,由4OAB與/XOA'B'相似，必存在一個(gè)常數(shù)k,k^R,使得OP'=kOP,則

OP'—kOP—kXOA+k/LtOB,又。P=無(wú)0/+(x,yGR),.'.x+y=kX+k/n=k-,反之也成立.

（2）平面內(nèi)一個(gè)基底｛53,而｝及任一向量而，OP'=XOA+//OSa,/zeR）,若點(diǎn)P在直線AS上或在

平行于的直線上，則4+〃=網(wǎng)定值）；反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和（高）

線.

①當(dāng)?shù)群途€恰為直線N3時(shí)，Q1；

②當(dāng)?shù)群途€在。點(diǎn)和直線Z8之間時(shí)，左e（O,l）；

③當(dāng)直線N3在。點(diǎn)和等和線之間時(shí)，左e（l,+8）；

④當(dāng)?shù)群途€過(guò)。點(diǎn)時(shí)，k=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點(diǎn)對(duì)稱，則定值后1,左2互為相反數(shù);

⑥定值k的變化與等和線到。點(diǎn)的距離成正比.

?舉一反三

【題型1利用極化恒等式求值】

【例1】（2024?貴州畢節(jié)?三模）如圖，在△ABC中，。是BC邊的中點(diǎn)，E,尸是線段4D的兩個(gè)三等分點(diǎn),

若瓦=BE-CE=2,則前?方=（）

【解題思路】利用幾何關(guān)系將瓦而,而，在均用品,而表示出來(lái)，進(jìn)而將瓦？?京,喬?亦表示成與麗，品

相關(guān)，可以求出仍2=1,阮2=8,同時(shí)麗，亦的數(shù)量積也可用配表示，即可求出結(jié)果.

【解答過(guò)程】依題意，D是BC邊的中點(diǎn)，E,尸是線段4D的兩個(gè)三等分點(diǎn),

則麗?CA=Qpc-沏）.（-河-葩）二竺=刎7°2=7,

BE-CE=（-BC--AD'）■（--BC--AD）=-AD2--BC2=L-BC，=

\23/\23/944

因此而2=1,阮2=8,BF-CF^gfiC_廂）.（_：阮—而）=土產(chǎn)==-1.

故選：B.

【變式1-1］（23-24高三上?福建廈門(mén)?期末）如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，BF=2FO,

則而?麗=（）

4

AA.——3C.-iD.

449

【解題思路】根據(jù)題意，得到麗?朋=-(岳+赤)?(施-左)，進(jìn)行求解即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)閳A半徑為1BC是直徑，BF=2F0,

所以|函=5，

根據(jù)向量加法和減法法則知：FD^OD-OF,FE^OE-OF；

又OE是直徑，所以礪=一OE,\OD\=\0E\=1,

則而-7E=(OD-OF)■(OE-OF)=Q-OE-OF)■(OE-OF)

=-(OE+0F)■(OE-OF)=|OF|2-|OF|2=|-1=-1

故選B.

【變式1-2](2024高三?江蘇?專題練習(xí))如圖，在平面四邊形48CD中，。為8。的中點(diǎn)，且。/=3,OC

=5.若存?通=—7,則阮?玩的值是9.

【解題思路】根據(jù)平面向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算，利用福?麗=(而+砒)?(而+前)，求出[0面=

|前|=4,再利用阮?配=(前+覺(jué))?(前+沆)，運(yùn)算可求出結(jié)果.

【解答過(guò)程】在平面四邊形4BCD中，。為2。的中點(diǎn)，且。4=3,0C=5,.??■+前=6,

若前?而=一7,

貝1J西+甌)?(而+前)=協(xié)+初苑+布?加+酒前=AO2+OA-(OD+OB)-OB2=32-

OB2=-7,

OB2=16,\OB\=\OD\=4,

：.BC-DC(BO+0C)■(DO+OC)^=BO-W+BOOC+OD-OC+OC2-BO2+OC-(BO+OD)+

OC2=-42+0+52=9.

故答案為：9.

【變式1-3](23-24高二下?湖南長(zhǎng)沙?開(kāi)學(xué)考試)如圖，在平行四邊形/BCD中，AB=1,4D=2,點(diǎn)E,

F,G,X分別是/￡BC,CD,4D邊上的中點(diǎn)，則前?麗+■?7而等于_|.

【解題思路】在平行四邊形/BCD中，取HF的中點(diǎn)O,根據(jù)相等向量和向量的加法運(yùn)算法則及數(shù)量積運(yùn)算

求解.

【解答過(guò)程】如圖：

在平行四邊形/BCD中，取HF的中點(diǎn)。，

則而-FG^EF-EH^（E0+0F）-（E0+0W）=的_麗2=1_d’在砧=麗.喬=（前+

077）?（GO+OF）==GO2-OH2=1-（1）2=

則麗?FG+GH-RE=I，

故答案為：*

【題型2利用極化恒等式求最值（范圍）】

【例2】（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）半徑為2的圓。上有三點(diǎn)4B、C滿足D1+通+就=6,點(diǎn)P是圓內(nèi)

一點(diǎn)，則同?附+而?玩的取值范圍為（）

A.[—4,14）B.[0,4）C.[4,14]D.[4,16]

【解題思路】設(shè)。4與BC交于點(diǎn)。，由D1+荏+前=6得四邊形0B4C是菱形，。是對(duì)角線中點(diǎn)，

同，廂，兩，定用前和其他向量表示并計(jì)算數(shù)量積后可得同-PO+PB-PC=2|PD|2-4,由點(diǎn)與的位置關(guān)系

可得|PD|的取值范圍，得結(jié)論.

【解答過(guò)程】如圖，。4與8C交于點(diǎn)￡）,由/+而+前=。得：OB+AC=0,

A

所以四邊形。BAC是菱形，且。4=。8=2,則4。=。。=1,BD=DC=瓜

由圖知兩=兩+9，PC^PD+DC,而詼=一配，

：.PB-PC=PD2-DB2=\PD\2—\DB\2=\PD\2-3,

同理同=麗+3號(hào)PO^PD+D0,而m=一前，

J.PA-PO=PD2-DO2=\PD\2-|D0|2=\PD\2-1,

：.PA-PO+PB-PC=2\PD\2-4,

?.?點(diǎn)P是圓內(nèi)一點(diǎn)，則OS|而|<3,：.-4<PA-PO+PB-PC<14,

故選：A.

【變式2-1]（23-24高一下?江蘇南通?期中）正三角形力BC的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)。在邊AB上，且麗=2瓦5,三

角形力BC的外接圓的一條弦MN過(guò)點(diǎn)。，點(diǎn)P為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最短時(shí)，麗?麗的取值范圍

是（）

A.[-1,5]B.[-1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【解題思路】設(shè)。為△力BC外接圓的圓心，結(jié)合垂徑定理和正弦定理，可得MN=2&,再由極化恒等式推

出麗.前=而2一3麗2,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|麗|的取值范圍，然后結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)與余弦定理，即可

得解.

【解答過(guò)程】解：設(shè)。為△48C外接圓的圓心，

因?yàn)榍?2瓦5,所以。D=（AC=1,

當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最短時(shí)，MNLOD,

在△ABC中，由正弦定理知，外接圓半徑R=百，即。用=百，

2sinC2

所以MN=2MD=270M2-OD2=2j(V3)2-I2=2近,

因?yàn)椋▋?前）2=（PM-麗）2+4PM-PN,即（2萬(wàn)）2=~NM2+4PM-麗，

所以兩.前=而2_[麗2=而2—[.（2或『=而2―2,

因?yàn)辄c(diǎn)P為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，

所以當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合（DQLBC）時(shí)，I而Imin=\DQ\=|BD|sin60°=2Xy=V3；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，|而Imax=\CD\,

在△BCD中，由余弦定理知，

\CD\2=\BC\2+\BD\2-2\BC\■\BD\cosz.ABC=9+4-2x3x2xg=7,

所以I而lmax=ICDI=夕，

綜上，I而Ie[V3,V7],

所以兩?前=而2-2e[1,5].

【變式2-2](2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知△O4B的面積為1,AB=2,動(dòng)點(diǎn)P,Q在線段4B上滑動(dòng)，且|PQ|=1,

則加-麗的最小值為

【解題思路】根據(jù)題意，記線段PQ的中點(diǎn)為“，由Sa。"=1且力B=2,可得點(diǎn)。到直線力B的距離為d=1,

由京-OQ=\[(OP+OQ)2-(OP-的溝,根據(jù)向量的運(yùn)算代入求解即可.

【解答過(guò)程】記線段PQ的中點(diǎn)為H,點(diǎn)。到直線力B的距離為d,

則有SM4B=(48?d=1,解得d=1,

由極化恒等式可得：

1______

OP-OQ=-[(OP+所產(chǎn)-(OP-麗

4

=OH2-PH2=OH2-->d2

444

故答案為：

4

【變式2?3］（23?24高三上?上海浦東新?階段練習(xí)）在面積為2的平行四邊形中ZBCD中，乙DAB=3點(diǎn)、P

是4D所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則麗2+而2一廂.玩的最小值為,遍_(kāi).

【解題思路】取BC的中點(diǎn)Q,連接PQ,利用極化恒等式可得而2+玩2_麗.而=|圖2+力園2,

結(jié)合基本不等式與四邊形面積可得最小值.

【解答過(guò)程】取BC的中點(diǎn)Q,連接PQ,則

PB+~PC=2PQ,而同=［［（而+麗）2—（而—麗）2］=［（4國(guó)函2）,

A而2+而2_麗.玩=（兩+硝2_3而.麗=4附2T4西2T詞2）,

232A/3

=\PQ\+y\BC\>2\PQ\--\BC\=yf3\PQ\\BC\>yf3S=2V3

4LABCD

當(dāng)且僅當(dāng)|PQ|=?|BC|且PQ1BC時(shí)取等號(hào)，

故答案為：2班.

【例3】（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形4BCD中,BE=：BC,DF=沙日若方+〃通,

【解題思路】由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理即可求解.

【解答過(guò)程】在平行四邊形ZBCD中，BE=§BC,DF=：DE,

所以而=AD+DF=AD+1OE=AD+^（DC+CE）

^AD+l（AB-［珂=^AB+^AD,

若而=AAB+[1AD,則;I=〃=貝I]%+〃=三.

42

故選：A.

【變式3-1]（2023?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）在△力BC中，屁=g麗，麗=：（育+就），點(diǎn)P為4E與BF的交點(diǎn)，

AP=AAB+iiAC,則％+“=（）

113

A.0B.-C.-D.-

424

【解題思路】利用平面向量基本定理得到而=（1-憶）荏+J而，而=如前十|也荏，從而列出方程組,

求出々，血，得到2=]〃=；，求出答案.

L4

【解答過(guò)程】因?yàn)槎?（（瓦5+阮），所以F為4C中點(diǎn)，

B,P,尸三點(diǎn)共線，故可設(shè)加=左衣，即彳？一同=-彳瓦），

整理得衣=fc^F+（1-k）AB=（1-k~）AB+^kAC,

因?yàn)辂?；就，所以版一屈=；而_；版，即荏=：前+|屈，

4,P,E三點(diǎn)共線，

可得而=mAE=mQxC+1萬(wàn)）=^mAC+^mAB,

（2mj（1

—=14—fck7=-

所以13.i,解得｛\,

—=-km=-

I32I4

可得ZP=;AB則4=）〃=；,4+〃=:.

24244

故選：D.

【變式3-2]（23-24高一上?江蘇常州?期末）在平行四邊形ZBCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段DC上，

且CF=2DF.若就=4荏+“荏，4,〃均為實(shí)數(shù)，則4+〃的值為

【解題思路】設(shè)荏=五,四=無(wú)結(jié)合幾何性質(zhì)用瓦方表示荏，都，結(jié)合已知條件，構(gòu)造方程組，即可求解兒〃

的值，即可求解.

【解答過(guò)程】解：設(shè)四=反而=及

?.?在平行四邊形4BCD中，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在線段DC上，且CF=2DF,

.**AE=a+萬(wàn)b,AF=,a+b,

VXC=XAE+nAF,均為實(shí)數(shù)，AC=a+b,

**.AC——a+b——40+—b')+〃(弓a+b),

4+2=142

G3,解得：2=E，“=F

-+u-l55

2尸

A+/I=—.

【變式3-3］（23-24高一上?江蘇蘇州?期末）如圖，在矩形A8CD中，M,N分別為線段BC,CD的中點(diǎn)，若

MN=+左前，八左6R，則兒i+&的值為—.

【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理即可求解.

【解答過(guò)程】因?yàn)镸,N分別為線段BC,CD的中點(diǎn)，

所以麗=jfiD=^(AD-~AB)=^AD-^AB,

---?>--->--->1---?

AM=ABBM=AB+-AD,

2，

--->>>>1--->

BN=BC+CN=AD--AB,

2，

所以麗=小宿+42前=AiCXB+jZD)+A2(Z5-|XB)

=(A1-1A2)^+(iA1+22)>lD,

2=-1及=--

所以｛12A解得｛3，

-^1+A2=-A=-

2222z5

所以2]+A2=—+1=|>

所以41+%2的值為

故答案為：

【題型4利用等和線求基底系數(shù)和的最值（范圍）】

【例4】（2024?山東煙臺(tái)?三模）如圖,邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓0,P為圓。上任一點(diǎn)，若萬(wàn)=%南+

yAC,則2K+2y的最大值為（）

84

A.-B.2C.-D.1

33

【解題思路】等和線的問(wèn)題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.

【解答過(guò)程】

作8c的平行線與圓相交于點(diǎn)尸，與直線N8相交于點(diǎn)￡,與直線2C相交于點(diǎn)凡

設(shè)都=4族+〃衣，貝奴+〃=1,

VBC//EF,二設(shè)有=煞=%則ke[0,1]

'.AE=kAB,AF—kAC,AP-XAE+[1AF—XkAB+pkAC

x=Ak,y=

2x+2y=2(2+〃)fc=2/c<|

故選：A.

【變式4-1]（23-24高三上?河北滄州?期中）如圖，△BCD與△ABC的面積之比為2,點(diǎn)尸是區(qū)域力BCD內(nèi)

任意一點(diǎn)（含邊界），且麗=4同+〃前貝1U+〃的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[0,刀C.[0,3]D.[0,4]

【解題思路】根據(jù)題意，將圖形特殊化，設(shè)4。垂直平分BC于點(diǎn)。，的。。=2AO,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)4重合和點(diǎn)P

與點(diǎn)。重合時(shí)，分別求得4+〃的最值，即可求解.

【解答過(guò)程】根據(jù)題意，將圖形特殊化，設(shè)4D垂直平分BC于點(diǎn)。，

因?yàn)椤鰾CD與△A8C的面積之比為2,貝!）。。=24。，

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)4重合時(shí)，可得Q=6,此時(shí)4=〃=0,即4+〃的最小值為0；

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)n重合時(shí)，可得說(shuō)=3AO=3X=^AB+|XC,

此時(shí)a=〃=|,即4+〃，此時(shí)為最大值為3,

所以4+〃的取值范圍為[0,3].

【變式4-2]（23-24高一下?福建泉州?階段練習(xí)）在△4BC中，M為8c邊上任意一點(diǎn)，N為線段上任

意一點(diǎn)，若前=4屈+"?（A,〃€R）,則4+〃的取值范圍是」QJJ-.

【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)前=tAM,然后分t=。與0<tW1討論，結(jié)合三點(diǎn)共線定理代入計(jì)算，即可

得到結(jié)果.

【解答過(guò)程】

A

N

B，--------1-------"C

由題意，設(shè)前=t俞，(0<t<1),

當(dāng)t=0時(shí)，AN=0,所以4同+4m=d,

所以a=〃=o,從而有a+〃=o；

當(dāng)0<tW1時(shí)，因?yàn)榍?XAB+[1AC(A,〃€R),

所以t俞=2同+〃前，即宿=:屈+%前，

因?yàn)椤?、B、C三點(diǎn)共線，所以：+”1,即4+4=te(0,1].

綜上，4+〃的取值范圍是[0,1].

故答案為：[0,1].

【變式4-3](23-24高一下?廣西桂林?期末)已知。為△48C內(nèi)一點(diǎn)，且4OA+8OB+5OC=0,點(diǎn)用在^OBC

內(nèi)(不含邊界)，若前=4胡+〃福貝IM+〃的取值范圍是

【解題思路】設(shè)而=mAB+nAC,根據(jù)題意結(jié)合平面向量基本定理可得而=^AB+福芯,設(shè)3祈=xOB+

0<x+y<1__

y而，且%>0,整理可得前=偌+白—荏+信—Q+*)露進(jìn)而可得結(jié)果.

,y>0

【解答過(guò)程】設(shè)而=巾荏+n而,m,neR,即瓦？=一同=一小四一n前，

可得費(fèi)=OA+AB=dl-m\AB-nAC.OC=OA+AC=-mAB+(1-n)AC,

因?yàn)?OA+BOB+5OC=0,

即4(-mXB-nZc)+8[(1-m)AB-nAC]+5[-mAB+(1-n)AC]=0,

整理可得(8-17m)AB+(5-17n)XC-0,且同，前不共線，

or

則8—17m=5—17n=0,解得?n=石，九二不，

即而=且四+$而，OB=—AB-—AC,OC=--AB+—AC,

171717171717

0<%+y<1

又因?yàn)辄c(diǎn)M在△OBC內(nèi)(不含邊界)，設(shè)麗=x^+y而,x,yeR,且，x>0,

、y>0

可得而=d-刃)屈+(-/+||y)麗

則祠=而+麗=偌+3一Q）屈+信一*+抄）前,

2=-A--x--

可得《Y112'可得，+〃="+?(%+辦

a=-----x4——y

廣171717z

且0<x+y<l,可得2+〃=^|+*(x+y)€

所以4+〃的取值范圍是借,1）.

故答案為：偌,1）.

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?四川綿陽(yáng)三模）如圖，在△力BC中，AF=BF=6,EF=5,則麗?麗=（）

C.-15D.15

【解題思路】根據(jù)極化恒等式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，直接求解即可.

2

【解答過(guò)程】因?yàn)榉焦?（呼）2f~a-b

\2J

K22_>_>

=麗2_護(hù)=25_36=-11.

故選：A.

2.（2024?陜西西安?一模）在△A8C中，點(diǎn)。是線段AC上一點(diǎn)，點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，且加=Q=|南+

AAC,則2=()

A-IB-1C|D-i

【解題思路】依題意可得前=2AD,即可得到Q=lAB+2%而，再根據(jù)平面向量共線定理的推論得到：+

2/1=1,解得即可.

【解答過(guò)程】因?yàn)槎?百，所以而=3而，即前=2而,

又族=(屈+4前，所以而=(荏+24而，

因?yàn)辄c(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn)，即8、P、。三點(diǎn)共線,

所以；+24=1,解得2=之

36

故選：A.

3.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))在△ABC中，。是BC邊上的中點(diǎn)，且版=g前，AF=2AE,AB-AC6,

麗?元=-2,則麗?阮=()

1

A.-1B.2C.--D.1

2

【解題思路】

利用向量的線性運(yùn)算及向量的數(shù)量的運(yùn)算律即可求解.

【解答過(guò)程】

ABAC=(AD+DB)■(AD-DB)=|可?-網(wǎng)?=6)

同理可得而-FC=|FD|2-|DB|2=-2,

又族=1而，AF=2AE,

所以府(=9]麗2,所以同『=],國(guó)『=3,

222

麗?阮=|￡7)|-網(wǎng)2=4|FD|-\DB\=4x1-3=1.

故選：D.

4.(2024?陜西榆林?三模)在△4BC中，E在邊BC上，且EC=3BE,D是邊A8上任意一點(diǎn)，力E與CD交于點(diǎn)P,

若而=xCA+yCB,則3x+4y=()

33

A.-B.--C.3D.-3

44

【解題思路】利用向量的線性運(yùn)算，得而=麗+麗=兄1+弓-而，再利用平面向量基本定理，可

得X=t,y=J—9,然后就可得到結(jié)果.

44

【解答過(guò)程】?；4P、E三點(diǎn)共線，設(shè)麗=tEACO<t<1),

則而=CE+~EP=+tEA=+t(TA-=tCA+,

又?.?麗=萬(wàn)方+丫而，所以x==：—即3x+4y=3.

故選：C.

5.(23-24高三下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和

對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一，即如圖所示，a-b=3(|前|就『)，我們稱為極化恒等式.已

知在△力BC中，M是8C中點(diǎn)，AM=3,8c=10,則荏?前=()

A.-16B.16C.-8D.8

【解題思路】可以把三角形補(bǔ)形為平行四邊形，前=g而,利用已知條件求解即可.

【解答過(guò)程】由題設(shè)，△4BC可以補(bǔ)形為平行四邊形力BDC,

由己知得|俞|=3,|BC|=10,AB-ACi(4|AM|2-|BC|2)=[x(36-100)=-16.

故選：A.

6.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖，在△ABC中，AN=tNCQt>0),BP=>0),若萬(wàn)=，左一;灰,

則4+t的值為()

【解題思路】表達(dá)出而，利用平面向量基本定理求出尢t,即可求出/l+t的值.

【解答過(guò)程】由題意及圖可得，

'：BP=APN,

.??利希+前=荏+言前=荏+言(-屈+前)=碧+薯

VA/V=tNC(t>0),

：.AN=—ACjP=普+--AC.

t+11+A(l+t)(l+2)

\'AP^-AC--BC^-AC--(-AB+AC'}--AB+-AC,

444八J42

??^=?解得：4=3,t=2,4+"5，

故選：C.

7.(23-24高三上?山東濰坊?期末)已知正方形/8CO的邊長(zhǎng)為2,九W是它的內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)尸為正

方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長(zhǎng)度最大時(shí)，兩?西的取值范圍是()

A.[0,1]B.[0,V2]

C.[1,2]D.[-1,1]

【解題思路】作出圖形，考慮p是線段48上的任意一點(diǎn)，可得出|司Ie[1,g,以及由=前+南，西=

PO-OM,然后利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律可求得PM-兩的取值范圍.

【解答過(guò)程】如下圖所示：

考慮P是線段4B上的任意一點(diǎn)，PM^PO+OM,PN^PO+ON-PO-OM,

圓。的半徑長(zhǎng)為1,由于P是線段力B上的任意一點(diǎn)，^|PO|e[1,V2],

所以，PM-PN=(PO+OM)■(PO-W)=P02-OM26[0,1].

故選：A.

8.(2024?河北滄州?三模)對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分

支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊△ABC中，AB=2,以三條邊為直徑向外作三

個(gè)半圓，M是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若前=4四+〃而，則2+〃的最大值為()

3

c-

D.2

【解題思路】過(guò)點(diǎn)M作MP〃BC,設(shè)/P=kAB,AQ=kAC,得到前=(fcx-V)AB+kyAC,再由前=XAB+

〃而，求得2+〃=k一1,結(jié)合圓的性質(zhì)，當(dāng)PM與半圓相切時(shí)，k最大,分別求得的長(zhǎng)，即可求解.

【解答過(guò)程】如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MP〃BC,交直線于點(diǎn)P,Q,

設(shè)麗？=xAP+yAQ,可得％+y=1.

設(shè)族=kAB,AQ=kAC,則前=AM-AB=(^kx-1)荏+kyAC,

因?yàn)椤狝,AB+[1ACj所以2+〃=kx—1+ky—k—1,

由圖可知，當(dāng)PM與半圓BC相切時(shí)，k最大,

又由力B=2,BE=-^=—,可得4E=2+苑="逋，

sin-333

所以k=若=片與即女最大為之真所以4+〃的最大值為日

AD33□

故選：B.

二、多選題

9.(23-24高一下?江蘇南京?期中)在△力BC中，點(diǎn)。是線段BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段4D的中點(diǎn)，若存在

2,/zeR使的=2卷+fiAC,則尢〃的取值可能是()

313

A.A”=而B(niǎo).4=1,〃=--

92c]73

A=--，n=-D.A=---,u=-

C.10T5

【解題思路】令麗=小前且me[0,1],根據(jù)向量對(duì)應(yīng)線段的位置、數(shù)量關(guān)系用荏，前表示的，進(jìn)而得到

機(jī)與尢4關(guān)系，最后求九〃范圍和數(shù)量關(guān)系，即可得答案.

【解答過(guò)程】令麗=m或且me[0,1],而前=[（瓦5+前）=^（BA+mBC）,

又前=BA+AC,則前=|[BX+m（BA+AC）]=-詈同+yXC,

h=_業(yè)

所以1m，貝！〃e[0,g]且4+〃=一|>

故A、C滿足，B、D不滿足.

故選：AC.

10.（23-24高一下?四川成都?階段練習(xí)）如圖，正方形A8CD中，E為力B中點(diǎn)，M為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，若前=

ABE+fiBD,則4+〃的值可以是（）

【解題思路】設(shè)前=k而，其中OWkWl,利用平面向量的線性運(yùn)算可得出『二2（1jk）,求出;t+A

的取值范圍，即可得出合適的選項(xiàng).

【解答過(guò)程】因?yàn)镸在線段4。上，設(shè)前=k同，其中OWkWl,則前一或=k（前一瓦5）,

所以，W=（1-k）BA+kBD,

因?yàn)镋為BA的中點(diǎn)，則瓦？=2麗，所以，~BM=2（1-k）BE+kBD,

又因?yàn)榍?4場(chǎng)+〃前且旗、而不共線，則｛'=：?[幻，

所以，4+〃=2（1—fc）+/c=2—fc€[1,2],故ACD選項(xiàng)滿足條件.

故選：ACD.

11.（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）（多選）如圖，在四邊形力BCD中，48=60。，AB=3,BC=6,

且而=GR）,而?麗=一永貝1J（)

B.實(shí)數(shù)2的值為:

6

C.四邊形2BCD是梯形D.若M,N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且|說(shuō)|=1,則麗?麗的

最小值為葭

【解題思路】利用數(shù)量積的定義，結(jié)合已知條件，計(jì)算判斷AB；取4=1說(shuō)明判斷C；取MN的中點(diǎn)E,利

用數(shù)量積的運(yùn)算律建立函數(shù)關(guān)系并求出最小值.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,AB-BC^|XB||BC|cosl200=3x6x（-9,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由而=4阮，得AD〃BC,乙4=120。，此時(shí)2>0,

AD-AB\AD\\AB\cosA=3|ZD|COS120°則|前|=1=工|就|,即2=工，B正確；

266

11—

對(duì)于C,由選項(xiàng)B得=即有4D〃BC,4D<BC,則四邊形48CD是梯形，C正確；

對(duì)于D,取MN的中點(diǎn)E,連接DE,則麗?麗=（歷+前）?（歷+麗）

=~DE2-EM2=DE2-由力?！˙C,得點(diǎn)D到直線BC距離等于點(diǎn)力到直線BC距離力Bsin60。=吟

即|尻|min="，所以麗?麗的最小值為（停>一：=D正確.

LL4Z

三、填空題

12.（2024?新疆?二模）在等腰梯形力BCD中，屈=2DC,點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若族=AAB+fiAD,則4+〃=

5

~4~,

【解題思路】

連接CF,依題意可得口AFC。,利用平面向量基本定理，將獲用荏和同表示出來(lái)即得.

【解答過(guò)程】

如圖，取48的中點(diǎn)F,連接CF,則由題意可得CFIIAD,且CF=力》

■■■AE=AB+BE=AB+=AB+1(FC-FB)=AB+^(AID-=^AB+^AD,

31S

..?"二『〃=5"+〃=7

故答案為：J.

4

13X23-24高一下?黑龍江大慶?期末)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn),E,F是40上的兩個(gè)三等分點(diǎn)瓦=

5,~BF-CF=-2,則麗?屈的值是

【解題思路】將反5,而,前，汴均用阮,而表示出來(lái)，進(jìn)而將瓦？?仁？,麗?療表示成與麗，阮相關(guān)，可以求

出師2=：,阮2=富，同時(shí)踮?在可用胡，阮表示，即可求出結(jié)果.

82

【解答過(guò)程】因?yàn)槊?■=(-BC-AD)■(-工阮=4赤-痔=36而2-痔=5,

2244

!，B(：2

BF-CF=(-BC--AD)■(--BC--AD)=^-=_2,

23234

因此前2=2阮2=至BE-CE^(-BC-ED)?(--BC-ED)=，*痔=團(tuán)二痔=3

8222448

故答案為：

O

14.(23-24高三?廣東陽(yáng)江?階段練習(xí))在面積為2的平行四邊形力BCD中，點(diǎn)P為直線AD上的動(dòng)點(diǎn)，則兩?PC+

阮2的最小值是2V3..

【解題思路】根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律，可得麗?同+阮2=92+：品2,進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解

最值.

【解答過(guò)程】取BC的中點(diǎn)Q,連接PQ,

因?yàn)槠叫兴倪呅?BCD,面積為2,所以|用||阮|22,PC+PB=2PQ,PB-PC[(PC+PB)2-(PC-

兩)],

.■.PB-PC+BC2=[(PC+PB)2-(PC-PB)2]+BC2=PQ2+^BC2>2^PQ2-BC2>2V3,止匕時(shí)而_L

BC,且園=爭(zhēng)園，

故答案為:2g.

四、解答題

15.(23-24高一下?甘肅白銀?階段練習(xí))如圖，在平行四邊形ZBCD中，4c與8D相交于點(diǎn)。.E是線段?！?

的中點(diǎn)，AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.

(1)用前，前方表示荏；

⑵若而=4南+〃而，求4+〃的值.

【解題思路】(1)根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可得解;

(2)由三角形相似得說(shuō)=(荏，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理即可得解.

【解答過(guò)程】(1)由題意得，ED=：BD,

4

TTfT-*TTTTT

所以4E=AD+DE^AD+-DB^AD+-(AB-AD)=-AB+-AD；

44',44

(2)如圖，因?yàn)镈C〃4B,

所以DF〃/IB,

所以△DEF與△BEA相似，

所以火="=工

“^ABBE3'

所以方=1萬(wàn)，

所以而=AD+DF=AD+^AB,

因?yàn)槎?XAB+liAD,

所以2=：,〃=1,

27

16.(23-24高一下?江蘇蘇州?期中)閱讀一下一段文字：值+萬(wàn))=a2+2a-b+b2,(a-b)=a2-2a-b+

b2,兩式相減得①+萬(wàn)>一g_5)2=4五石nH石=：［(a+b)2-(a-b)2］我們把這個(gè)等式稱作“極化恒等

式”，它實(shí)現(xiàn)了在沒(méi)有夾角的參與下將兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算化為“?！钡倪\(yùn)算.試根據(jù)上面的內(nèi)容解決以下

問(wèn)題：如圖，在△45C中，。是8C的中點(diǎn)，E,尸是上的兩個(gè)三等分點(diǎn).

(1)若/。=6,BC=4,求都?衣的值；

⑵若費(fèi)?就=4,FB-FC=-1,求麗?品的值.

【解題思路】(1)根據(jù)“極化恒等式”列出式子計(jì)算即可

(2)設(shè)力。-3m,BC=2n(m>0,n>0),根據(jù)題目所給條件和“極化恒等式”列出關(guān)于的方程組,

解出,再根據(jù)“極化恒等式”計(jì)算出麗?前的值

【解答過(guò)程】(1)AB-AC=i[(AB+AC)2-(AB-AC)2]-AD2-^CB2=36-4=32

(2)設(shè)AD=3m,BC—2n(m>0,n>0)

■■■AB-AC=4,由(1)知而2一工,2=4,即97n2一"=4①

4

?.?廂?定=—1,同理可得防2—工商2=_1,即1n2_層=_1②

4

由①②解得巾2

OO

EB-EC=ED2--BC2=4m2一層=空一身=乙

4888

17.(23-24高一上?遼寧大連?期末)在三角形4BC中，AB=a,AC=b,~BE=2EC,。為線段AC上任意一

點(diǎn)，BD交4E于0.

①用1表示荏；

②若前=4荏，求4的值；

(2)若前^xBA+yBC,求真+士的最小值.

【解題思路】(1)①利用向量的幾何運(yùn)算求解；②設(shè)團(tuán)=t麗(o<t<i),然后用四，芯表示而，然通

過(guò)而=4荏，將而也用荏，而表示，然后利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等列方程組求解；

(2)設(shè)而=巾荏(0<m<1),將初用瓦?，就表示，然后利用系數(shù)對(duì)應(yīng)相等將x,y用小表示，然后利用基

本不等式求最值.

【解答過(guò)程】(1)①因?yàn)榕?2前，所以布=：前，

故在△力BE中，AE^AB+^E^AB+-BC^AB+-(AC-AB^^AB--AB+-AC=-AB+-AC^-a+

33、733333

沙2—

②因?yàn)锽,0,。三點(diǎn)共線，設(shè)麗=用5(0<1<1),

所以同=AB+BO=AB+tBD=AB+t(AD-荏)=(1-t)AB+tAD,

因?yàn)槎?2萬(wàn)]，所以而=(前，所以而=(l—t)南+：前

3

又由①及已知，而=4族=5說(shuō)+?而，所以|「7,1

33￡_:

、3-3

解