空間向量基本定理 選擇題-2025屆人教版高中數(shù)學一輪復習專練（含解析）

空間向量基本定理選擇題一2025屆高中數(shù)學人教B版一輪復習題型滾

動練

一'選擇題

1.如圖，在四面體。43c中

A11/1■1-1/1-11,111/1-

A.一。+—/?+—ctRi.-a—b+—cr'^■—a+—b—cUn-——a+—b+—c

322322222322

2.在下列命題中：

①若向量a力共線，則向量a力所在的直線平行；

②若向量。力所在的直線為異面直線,則向量a/一定不共面；

③若三個向量。力，c兩兩共面,則向量a,b,c共面；

④已知空間的三個向量a,b,c,則對于空間的任意一個向量?？偞嬖趯崝?shù)x,y,z使得

p=xa+yb+zc其中正確命題的個數(shù)是()

A.OB.lC.2D.3

3.如圖所示，在四面體O—ABC中，Q4=a,OB=b,OC=c,點舷在上，且

OM=2MA,N為3C的中點，則MN=()

B

322223

4.以下說法中，不正確的個數(shù)為()

①u\a\-\b\^a+b\n是“a,b共線”的充要條件；

②若則存在唯一的實數(shù)X,使得勸；

③若ab=O,bc=O,則“二八

④若｛a,dc｝為空間的一個基底，則｛a+瓦8+c,c+a｝構成空間的另一個基底；

A.2B.3C.4D.5

5.已知三棱錐尸-ABC的體積為15,航是空間中一點，

114

PM=--PA+-PB+—PC,則三棱錐A—的體積是()

A.7B.8C.9D.10

6.已知空間兩個單位向量。4=(〃z,〃,0),08=(0,〃,°)與向量。。=(1,1,1)的夾角都等

于巴，則cosNAOB=()

2.—y/3_u.2+y/32-右-2+石

C.--------或----------或-----

7.在空間直角坐標系中,已知點42,3,-5),5(0,-2,-2),C(-2j,l),若A,B,C三

點共線，則實數(shù)/的值為()

8.在長方體A3CD-4用GR中，可以作為空間的一個基底的是()

A.AB,AC,ADB.AB,",AB1

C.AA,D?,RDD.AC],AC,BBI

9.如圖，在三棱錐O-ABC中，點G為底面△回(?的重心，點M是線段OG上靠近

點G的三等分點，過點M的平面分別交棱。4,OB,0c于點。，E,E若

OD=kOA,OE=mOB,OF=nOC,則工+工+！=()

kmn

10.在四面體。45c中，。4="，OB=b,OC=c,點。滿足B￡)=ZBC,E為AD

_111

的中點，S.OE=-a+-b+-c,則2=()

244

A.-B.-C.-D.-

2433

11.已知。為空間任意一點，A,B,C,P滿足任意三點不共線但四點共面，且

BP=mOA+OB+OC,則實數(shù)機的值為()

A.-lB.2C.-2D.-3

12.斜三棱柱ABC—451cl中，設AB=a，AC=b，M="，若5P=2PC]，則&/>=()

12221J122211

A.—^+―/?+—cB.—〃+—。C.—a—b—cD.一〃—b—c

333333333333

13.如圖，在三棱柱ABC—DEF中，G為棱AD的中點，若84=a,BC=b,

BD=c,貝l]CG=()

A.—a+b—c

B.—a+8+c

2

C.一,-aH—b+c

22

Dn.1-a-b,+—1c

22

14.已知三棱柱ABC-A4G的側棱長為2，底面ABC是邊長為2的正三角形,

uuir

=N4AC=60。，若耳。和5G相交于點M.則AM=（）

A.73B.2C.V5D.V6

15.如圖，在空間四邊形Q4BC中，OA=a,OB=b,OC=c,且0M=2MA,

BN=NC,則MN等于（）

C

A.2a+L+=+CD.L—L+L

332222322232

16.已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點24,平面ABCD,且M,N,分別為

PC,上的點，且PM=MC,PN=2ND,NM=xAB+yAD+zAP,貝I]

X+y+Z=（）

A.--B.-C.-D.l

226

17.已知｛a,A,c｝是空間的一個基底，p=a+b,q=a+c,則下列與p,q構成一

組空間基底的是（）

A.r=2b-3cB.r=a-b+2cC.r=a-\-2b-cD"=2a+/?+c

18.已知a,均為空間單位向量，它們的夾角為60。，那么|a+3口等于（）

A.V7B.V10C.V13D.4

19.已知點P在棱長為2的正方體ABC。-的表面上運動，則PA.PB的最大值

為（）

A.6B.7C.8D.9

20.在棱長為2的正方體A3CD-A4GA中，若點P是棱上一點（含頂點），則滿足

P4PG=-1的點p的個數(shù)為（）

A.8B.12C.18D.24

參考答案

1.答案：D

解析：^^^,MN=MO+OB+BN=--OA+OB+-BC=--OA+OB+-(OC-OB)

3232

=--OA+-OB+-OC=--a+-b+-c.

322322

故選：D.

2.答案：A

解析:對于①，若向量a,b共線,則向量a,b所在的直線平行，也可能共線，故①錯誤；

對于②，由于向量可以平移，兩個向量一定共面，故②錯誤；

對于③，任意兩個向量自然是兩兩共面，三個向量則不一定共面,例如空間直角坐標系

x,y,z軸所在的向量兩兩共面，但是顯然軸不共面，故③錯誤；

對于④，若a,〃共線時，顯然a,c共面，于是xa+y〃+zc只能表示和a,c共面的向量，

對于空間中的任意向量p則不一定成立，故④錯誤.

于是四個選項都是錯的.

故選:A

3.答案：B

一_.2.

解析：因為0M=2MA,所以0M=—04,所以

3

___________1_12112

MN=ON-OM=-OB+-OC——0A=-b+-c——a,故選B.

223223

4.答案：C

解析：①中為充分不必要條件；②中方W0；③顯然不成立；④中a,方，c不共面，則

a+b,b+c,c+a也不共面，故④正確；⑤中|(a?方)?傳|^|c|^|cos〈a,〃〉|.

5.答案：C

1.14-

解析：因為——PA+-PB+—PC,所以15PM=—PA+3PB+4PC,即

15515

15PM=-PM-MA+3PM+3MB+4PM+4MC,

即9PM=-MA+3MB+4MC,

3-1-12

所以一PM=__MA+-MB+-MC.

2623

117

因為一%+5+§=L所以由空間向量基本定理可知，在平面ABC內(nèi)存在一點0,使得

11232

MD=——MA+—MB+—MC成立，即一PAf="D,所以PAf=—MD,即

62323

PD=-MD,則MD=2PD又三棱錐P—ABC的體積為15,貝U

35

33

yA-MBC=%.樹==反*15=9.故選C.

解析：空間兩個單位向量。4=(祖,〃,0),03=(0,〃,°)與向量。。=(1,1,1)的夾角都等

于巴，AAOC=ZBOC=-,|OC|=73,OAOC=\OA\\OC\cosZAOC=—,

442

A/6

*m+n=----,

5LOA-OC=m+n,:.m+n=——,又Q4為單位向量，.十川=1.聯(lián)立＜2

2

m2*4+n2=1,

22+出22芍

m=--------m=--------

得4或＜4

22-622+6

n---------n---------.

44

OA=(m,n,0),OB=(0,n,p),

cosZAOB="=2-6.故選C.

4

7.答案：B

解析：因為A3=(-2,-5,3),AC=(-4,/-3,6),且A,B,C三點共線，所以存在實數(shù)

-2=-42,

2,使得A3=XAC,則有卜5=〃/一3),

3=62,

解得'"5'故選B.

t=-7.

8.答案：C

解析：長方體ABCD-AgCQ如圖所示.

對于A,因為AC=AB+A￡>,所以AB,AC,AD共面，故A3,AC,AD不能作

為基底，故A錯誤；

對于B,因為做=回+朋，所以A3,例，A耳共面，故A3,例，的不能作

為基底，故B錯誤；

對于c,因為Dg,OQ不共面，所以RA，AG，可以作為基底，故

C正確；

對于D,因為AC],AC，cq共面，且鶴=。。1，所以AC]，\C,84共面，故

AC],A。，84不能作為基底，故D錯誤.故選C.

9.答案：D

解析：由題意可知，OM=—OG=

3

2——―-2—21----

-(OA+AG)=-[OA+-x-(AB+AC)]

211222

=-[OA+-(OB-OA)+-(OC-OA)]=-OA+-OB+-OC,

因為。，E,F,”四點共面，所以存在實數(shù)2,〃，itDM=ADE+^DF,所以

OM-OD=A(OE-OD)+-OD),所以

OM=(1—A—]LT)OD+AOE+/uOF=(1—A—]n)kOA+AtnOB+/unOC,

2

.2111QQQQ

所以Am=—,所以一+—+_==(1_丸_//)+=；1+=〃==.故選D.

9kmn2222

2

10.答案：A

解析：由題意作圖如下.

OE=-a+-b+-c=-OA+-OB+-OC.

244244

一.1一1___.1_1.

因為E為AD的中點，所以。E=—OA+—。。，所以OD=—03+—OC,則。為3C的

2222

中點，故點。滿足則X=L

22

11.答案：C

解析：因為。為空間任意一點，BP=mOA+OB+OC,

所以OP—08=mOA+OB+OC,

所以OP=加OA+2O8+OC,

因為A,B,C,尸滿足任意三點不共線，但四點共面,

所以m+2+1=1,解得冽=-2.故選C.

12.答案：C

____________9___.___9-

解析：因為A尸=A5+BP=AB+§BG=AB+§(AG—.)

I?122

=-AB--(AC+AAi}=-a--b--c

故選:c.

13.答案：D

解析：

CG=CA+AG=CA+-AD=(BA-BC)+]-(BD-BA)=(a-b)+-(c-a)=-a-b+-c.

14.答案：D

解析：依題意可得：

一1

ABAC=ABAA,=AC-AA,=2x2x-=2,

又般是BQ的中點，

AM=-(AC.+AB}=-(AC+AA.)+-AB=-AC+-AA1+-AB,

2、i,2、>2222

\AM|=jf-AC+-AAl+-AB)=-^4+4+4+2x2x3=46,

22J2

故選:D.

15.答案：C

解析：因為BN=NC,即N為BC的中點，所以0N=g(03+0C卜

.2.

因為QW=2M4,所以0M=—。4,

3

MN=ON-OM=-（0B+0C]--0A=--a+-b+-c.

2、>3322

故選：C.

16.答案:B

解析：因為PN=2ND,

Q1Q1

所以7W=NP+PM=—￡>P+—PC=—（AP—AD）+—（AC—AP）,

323、）2、）

XAC=AB+AD,

所以MW=2（AP-AD）+L（AB+AD-

3、,2、>266

田、

所以?x=1—,y=——1,2=1一,

266

故％+y+z=].

故選：B.

17.答案：A

解析：若p,q,尸不能構成一組空間基底，則p,q,r共面,

所以存在唯一實數(shù)為》使得廠=中+的，

對A：因為廠=2b—3C,則一3c=%(〃+〃)+y(a+c),

%+y=0

整理得25-3c=(x+y)〃+xZ?+yc,所以<x=2,無解.

y=-3

即p,q，〃不共面，所以p,q與/構成一個基底，故A正確;

對B：因為廠=〃一b+2c,